Projektör artırılmış dalga yöntemi - Projector augmented wave method

projektör artırılmış dalga yöntemi (PAW) kullanılan bir tekniktir ab initio elektronik yapı hesaplamaları. Bu bir genellemedir sözde potansiyel ve doğrusal artırılmış düzlem dalga yöntemleri ve izin verir Yoğunluk fonksiyonel teorisi daha yüksek hesaplama verimliliği ile yapılacak hesaplamalar.^[1]

Değerlik dalga fonksiyonları çekirdek durumlarına ortogonal olmaları gerekliliği nedeniyle iyon çekirdeklerinin yakınında hızlı salınımlara sahip olma eğilimindedir; bu durum problemlidir çünkü dalga fonksiyonlarını doğru bir şekilde tanımlamak için birçok Fourier bileşeni (veya ızgara tabanlı yöntemler söz konusu olduğunda çok ince bir ağ) gerektirir. PAW yaklaşımı, bu hızla salınan dalga işlevlerini hesaplama açısından daha uygun olan düzgün dalga işlevlerine dönüştürerek bu sorunu çözer ve bu düzgün dalga işlevlerinden tüm elektron özelliklerini hesaplamak için bir yol sağlar. Bu yaklaşım, bir şekilde, Schrödinger resmi için Heisenberg resmi.

Dalga fonksiyonunun dönüştürülmesi

doğrusal dönüşüm ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ hayali sözde dalga fonksiyonunu dönüştürür ${ displaystyle | { tilde { Psi}} rangle}$ tüm elektron dalga fonksiyonuna ${ displaystyle | Psi rangle}$:

${ displaystyle | Psi rangle = { mathcal {T}} | { tilde { Psi}} rangle}$

"Tüm elektron" dalga fonksiyonunun bir Kohn-Sham tek partikül dalga fonksiyonu olduğunu ve çok cisim dalga fonksiyonu ile karıştırılmaması gerektiğini unutmayın. Sahip olmak için ${ displaystyle | { tilde { Psi}} rangle}$ ve ${ displaystyle | Psi rangle}$ sadece iyon çekirdeklerine yakın bölgelerde farklılık gösterir, yazıyoruz

${ displaystyle { mathcal {T}} = 1+ sum _ {R} { hat { mathcal {T}}} _ {R}}$,

nerede ${ displaystyle { hat { mathcal {T}}} _ {R}}$ yalnızca bazı küresel büyütme bölgesinde sıfır değildir ${ displaystyle Omega _ {R}}$ çevreleyen atom ${ displaystyle R}$.

Her atomun etrafında, sözde dalga fonksiyonunu sözde kısmi dalgalara genişletmek faydalıdır:

${ displaystyle | { tilde { Psi}} rangle = toplam _ {i} | { tilde { phi}} _ {i} rangle c_ {i}}$ içinde ${ displaystyle Omega _ {R}}$.

Çünkü operatör ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ doğrusaldır, katsayılar ${ displaystyle c_ {i}}$ bir dizi sözde projektör işlevi ile bir iç ürün olarak yazılabilir, ${ displaystyle | p_ {i} rangle}$:

${ displaystyle c_ {i} = langle p_ {i} | { tilde { Psi}} rangle}$

nerede ${ displaystyle langle p_ {i} | { tilde { phi}} _ {j} rangle = delta _ {ij}}$. Tüm elektron kısmi dalgaları, ${ displaystyle | phi _ {i} rangle = { mathcal {T}} | { tilde { phi}} _ {i} rangle}$, tipik olarak izole bir atom için Kohn-Sham Schrödinger denkleminin çözümleri olarak seçilir. Dönüşüm ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ bu nedenle üç miktarla belirtilir:

1. bir dizi tamamen elektron kısmi dalgalar ${ displaystyle | phi _ {i} rangle}$
2. bir dizi sözde kısmi dalga ${ displaystyle | { tilde { phi}} _ {i} rangle}$
3. bir dizi projektör işlevi ${ displaystyle | p_ {i} rangle}$

ve bunu açıkça şöyle yazabiliriz:

${ displaystyle { mathcal {T}} = 1+ sum _ {i} sol (| phi _ {i} rangle - | { tilde { phi}} _ {i} rangle sağ) langle p_ {i} |}$

Arttırma bölgelerinin dışında, sözde kısmi dalgalar, tüm elektron kısmi dalgalara eşittir. Kürelerin içinde, polinomların doğrusal bir kombinasyonu gibi herhangi bir pürüzsüz devam olabilirler veya Bessel fonksiyonları.

PAW yöntemi tipik olarak, çekirdek durumlarının iyonun ortamından etkilenmediği varsayıldığı donmuş çekirdek yaklaşımı ile birleştirilir. Önceden hesaplanmış atomik PAW verilerinin birkaç çevrimiçi deposu vardır.^[2][3][4]

Operatörleri dönüştürmek

PAW dönüşümü, tüm elektron gözlemlenebilirlerinin bir sözde potansiyel hesaplamadan gelen sözde dalga fonksiyonu kullanılarak hesaplanmasına izin verir ve tüm elektron dalga fonksiyonunu bellekte açıkça temsil etmek zorunda kalmadan rahatlıkla kaçınır. Bu, özellikle aşağıdaki gibi özelliklerin hesaplanması için önemlidir. NMR,^[5] Bu, çekirdeğin yakınındaki dalga fonksiyonunun şekline büyük ölçüde bağlıdır. Bir operatörün beklenti değerinin tanımından başlayarak:

${ displaystyle a_ {i} = langle Psi | { şapka {A}} | Psi rangle}$,

bildiğiniz gibi sözde dalga fonksiyonunda yerine koyabilirsiniz ${ displaystyle | Psi rangle = { mathcal {T}} | { tilde { Psi}} rangle}$:

${ displaystyle a_ {i} = langle { tilde { Psi}} | { mathcal {T}} ^ { hançer} { hat {A}} { mathcal {T}} | { tilde { Psi}} rangle}$,

tanımlayabileceğiniz sözde operatör, tilde ile gösterilir:

${ displaystyle { tilde {A}} = { mathcal {T}} ^ { hançer} { hat {A}} { mathcal {T}}}$.

Operatör ${ displaystyle { şapka {A}}}$ yereldir ve usludur bunu tanımını kullanarak genişletebiliriz ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ PAW operatörüne dönüşüm sağlamak için:

${ displaystyle { tilde {A}} = { hat {A}} + sum _ {i, j} | p_ {i} rangle left ( langle phi _ {i} | { şapka { A}} | phi _ {j} rangle - langle { tilde { phi}} _ {i} | { hat {A}} | { tilde { phi}} _ {j} rangle sağ) langle p_ {j} |}$.

Endeksler nerede ${ displaystyle i, j}$ tüm atomlardaki tüm projektörlerin üzerinden geçin. Genellikle sadece aynı atomdaki endeksler toplanır, yani saha dışı katkılar göz ardı edilir ve buna "yerinde yaklaşım" denir.

Orijinal makalede, Blöchl, keyfi bir operatör için bu denklemde bir derece serbestlik olduğuna dikkat çekiyor. ${ displaystyle { hat {B}}}$şeklinde bir terim eklemek için küresel büyütme bölgesi içinde yerelleştirilen:

${ displaystyle { hat {B}} - sum _ {i, j} | p_ {i} rangle langle { tilde { phi}} _ {i} | { hat {B}} | { tilde { phi}} _ {j} rangle langle p_ {j} |}$,

PAW içinde sözde potansiyellerin uygulanmasının temeli olarak görülebilir, çünkü nükleer coulomb potansiyeli artık daha yumuşak bir potansiyel ile ikame edilebilir.

daha fazla okuma

• Rostgaard, Carsten (2010). "Projektör Arttırılmış Dalga Yöntemi". arXiv:0910.1921v2 [cond-mat.mtrl-sci ]. Alıntıda boş bilinmeyen parametre var: | version = (Yardım)
• Kresse, G .; Joubert, D. (1999). "Ultra yumuşak sözde potansiyellerden projektör artırılmış dalga yöntemine". Fiziksel İnceleme B. 59 (3): 1758–1775. Bibcode:1999PhRvB..59.1758K. doi:10.1103 / PhysRevB.59.1758.
• Dal Corso Andrea (2010-08-11). "Projektör artırılmış dalga yöntemi: Göreli spin yoğunluğu fonksiyonel teorisine uygulama". Fiziksel İnceleme B. 82 (7): 075116. Bibcode:2010PhRvB..82g5116D. doi:10.1103 / PhysRevB.82.075116.

Projektör artırılmış dalga yöntemini uygulayan yazılım

• ABINIT
• CASTEP (NMR özelliklerini hesaplamak için)
• CP-PAW
• GPAW
• ONETEP
• PWPAW
• Sfenks
• Quantum ESPRESSO
• VASP

Referanslar