Prokhorovs teoremi - Prokhorovs theorem - Wikipedia

İçinde teori ölçmek Prokhorov teoremi ilgili önlemlerin sıkılığı akraba kompaktlık (ve dolayısıyla zayıf yakınsama ) alanında olasılık ölçüleri. Kredilendirilir Sovyet matematikçi Yuri Vasilyevich Prokhorov, tam ayrılabilir metrik uzaylarda olasılık ölçülerini düşünen. "Prokhorov teoremi" terimi, doğrudan veya ters ifadelere sonraki genellemelere de uygulanır.

Beyan

İzin Vermek olmak ayrılabilir metrik uzay. İzin Vermek üzerinde tanımlanan tüm olasılık ölçülerinin toplamını gösterir (onunla Borel σ-cebir ).

Teorem.

  1. Bir koleksiyon olasılık ölçüleri sıkı ancak ve ancak kapanması dır-dir sırayla kompakt boşlukta ile donatılmış topoloji nın-nin zayıf yakınsama.
  2. Boşluk zayıf yakınsaklık topolojisi ile ölçülebilir.
  3. Diyelim ki ek olarak, bir tam metrik uzay (Böylece bir Polonya alanı ). Tam bir metrik var açık zayıf yakınsaklık topolojisine eşdeğer; Dahası, sıkı ise ancak ve ancak kapatma nın-nin içinde kompakttır.

Sonuç

Öklid uzayları için bizde:

  • Eğer sıkı sıra içinde (olasılık ölçülerinin toplanması -boyutlu Öklid uzayı ), sonra bir alt sıra ve bir olasılık ölçüsü öyle ki zayıf bir şekilde birleşir .
  • Eğer sıkı bir dizidir öyle ki her zayıf yakınsak alt dizi aynı limite sahip sonra sıra zayıf bir şekilde birleşir .

Uzantı

Prokhorov teoremi dikkate alınarak genişletilebilir karmaşık önlemler veya sonlu imzalı önlemler.

Teorem:Farz et ki tamamen ayrılabilir bir metrik uzaydır ve bir Borel kompleksi ailesidir. Aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:

  • sırayla kompakttır; yani her sekans zayıf yakınsak bir alt diziye sahiptir.
  • sıkı ve düzgün bir şekilde sınırlanmıştır toplam varyasyon normu.

Yorumlar

Prokhorov'un teoremi, kompaktlık açısından sıkılığı ifade ettiğinden, Arzelà-Ascoli teoremi genellikle kompaktlığın yerini almak için kullanılır: işlev alanlarında, bu, süreklilik modülü veya uygun bir analog - bkz. klasik Wiener alanında sıkılık ve Skorokhod uzayında sıkılık.

Prokhorov teoreminin birkaç derin ve önemsiz olmayan uzantıları vardır. Bununla birlikte, bu sonuçlar, orijinal sonucun uygulamalarındaki önemi ve alaka düzeyini gölgede bırakmaz.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  • Billingsley Patrick (1999). Olasılık Ölçütlerinin Yakınsaması. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-19745-9.
  • Bogachev Vladimir (2006). Teoriyi Ölçün Cilt 1 ve 2. Springer. ISBN  978-3-540-34513-8.
  • Prokhorov Yuri V. (1956). "Olasılık teorisinde rastgele süreçlerin yakınsaması ve limit teoremleri". Olasılık Teorisi ve Uygulamaları. 1 (2): 157–214. doi:10.1137/1101016.
  • Dudley, Richard. M. (1989). Gerçek analiz ve Olasılık. Chapman & Hall. ISBN  0-412-05161-3.