Ölçülerin sıkılığı - Tightness of measures

Bu makale şunları içerir: referans listesi, ilgili okuma veya Dış bağlantılar, ancak kaynakları belirsizliğini koruyor çünkü eksik satır içi alıntılar. Lütfen yardım edin geliştirmek bu makale tanıtım daha kesin alıntılar. (Mart 2016) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

İçinde matematik, sıkılık bir kavramdır teori ölçmek. Sezgisel fikir, belirli bir önlem koleksiyonunun " sonsuzluk."

Tanımlar

İzin Vermek ${görüntü stili (X, T)}$ olmak Hausdorff alanı ve izin ver ${displaystyle Sigma}$ olmak σ-cebir açık ${displaystyle X}$ topolojiyi içeren ${displaystyle T}$. (Böylece her alt küme aç nın-nin ${displaystyle X}$ bir ölçülebilir küme ve ${displaystyle Sigma}$ en az onun kadar iyi Borel σ-cebir açık ${displaystyle X}$.) İzin Vermek ${displaystyle M}$ bir koleksiyon olabilir (muhtemelen imzalı veya karmaşık ) üzerinde tanımlanan önlemler ${displaystyle Sigma}$. Koleksiyon ${displaystyle M}$ denir sıkı (ya da bazen tekdüze sıkı) eğer, herhangi biri için ${displaystyle varepsilon> 0}$, var kompakt alt küme ${displaystyle K_ {varepsilon}}$ nın-nin ${displaystyle X}$ öyle ki, tüm önlemler için ${M olarak displaystyle mu}$,

${displaystyle | mu | (Xsetminus K_ {varepsilon})$

nerede ${displaystyle | mu |}$ ... toplam varyasyon ölçüsü nın-nin ${displaystyle mu}$. Çoğu zaman, söz konusu önlemler olasılık ölçüleri, böylece son bölüm şu şekilde yazılabilir:

${displaystyle mu (K_ {varepsilon})> 1-varepsilon.,}$

Sıkı bir koleksiyon ise ${displaystyle M}$ tek bir ölçüden oluşur ${displaystyle mu}$, sonra (yazara bağlı olarak) ${displaystyle mu}$ ya olduğu söylenebilir sıkı ölçü veya olmak iç normal ölçü.

Eğer ${displaystyle Y}$ bir ${displaystyle X}$değerli rastgele değişken kimin olasılık dağılımı açık ${displaystyle X}$ o zaman sıkı bir ölçü ${displaystyle Y}$ olduğu söyleniyor ayrılabilir rastgele değişken veya a Radon rastgele değişkeni.

Örnekler

Kompakt alanlar

Eğer ${displaystyle X}$ bir ölçülebilir kompakt alan, daha sonra (muhtemelen karmaşık) ölçülerin her koleksiyonu ${displaystyle X}$ sıkı. Metrik olmayan kompakt uzaylar için bu zorunlu değildir. Eğer alırsak ${displaystyle [0, omega _ {1}]}$ onunla sipariş topolojisi o zaman bir ölçü var ${displaystyle mu}$ bunun üzerine iç düzenli değil. Bu nedenle, singleton ${displaystyle {mu}}$ sıkı değil.

Lehçe boşluklar

Eğer ${displaystyle X}$ kompakt Polonya alanı, sonra her olasılık ölçüsü ${displaystyle X}$ sıkı. Ayrıca, Prokhorov teoremi olasılık ölçülerinin bir derlemesi ${displaystyle X}$ sıkı ise ancak ve ancak ön sıkıştırma topolojisinde zayıf yakınsama.

Nokta kütlelerinin bir koleksiyonu

Yi hesaba kat gerçek çizgi ${displaystyle mathbb {R}}$ olağan Borel topolojisi ile. İzin Vermek ${displaystyle delta _ {x}}$ belirtmek Dirac ölçüsü noktadaki birim kütle ${displaystyle x}$ içinde ${displaystyle mathbb {R}}$. Koleksiyon

${displaystyle M_ {1}: = {delta _ {n} | nin mathbb {N}}}$

sıkı değil, çünkü kompakt alt kümeleri ${displaystyle mathbb {R}}$ tam olarak kapalı ve sınırlı alt kümeler ve bu türden herhangi bir küme, sınırlı olduğundan, ${displaystyle delta _ {n}}$Yeterince büyük için sıfır ölçüm ${displaystyle n}$. Öte yandan, koleksiyon

${displaystyle M_ {2}: = {delta _ {1 / n} | nin mathbb {N}}}$

dar: kompakt aralık ${displaystyle [0,1]}$ olarak çalışacak ${displaystyle K_ {varepsilon}}$ herhangi ${displaystyle varepsilon> 0}$. Genel olarak, bir Dirac delta önlemleri koleksiyonu ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ sıkıdır, ancak ve ancak, destekler Sınırlı.

Gauss ölçülerinden oluşan bir koleksiyon

Düşünmek ${displaystyle n}$-boyutlu Öklid uzayı ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ olağan Borel topolojisi ve σ-cebiri ile. Bir koleksiyon düşünün Gauss ölçüleri

${displaystyle Gama = {gamma _ {i} | iin I},}$

ölçü nerede ${displaystyle gamma _ {i}}$ vardır beklenen değer (anlamına gelmek ) ${Mathbb {R} ^ {n}} {displaystyle m_ {i}$ ve kovaryans matrisi ${matematiksel olarak displaystyle C_ {i} {R} ^ {n imes n}}$. Sonra koleksiyon ${displaystyle Gamma}$ sıkıdır ancak ve ancak koleksiyonlar ${displaystyle {m_ {i} | iin I} subseteq mathbb {R} ^ {n}}$ ve ${displaystyle {C_ {i} | iin I} subseteq mathbb {R} ^ {n imes n}}$ her ikisi de sınırlıdır.

Sıkılık ve yakınsama

Sızdırmazlık, genellikle, kanıtlamak için gerekli bir kriterdir. zayıf yakınsama bir olasılık ölçüleri dizisinin, özellikle ölçü uzayında sonsuz boyut. Görmek

• Sonlu boyutlu dağılım
• Prokhorov teoremi
• Lévy – Prokhorov metriği
• Ölçülerin zayıf yakınsaması
• Klasik Wiener alanında sızdırmazlık
• Skorokhod uzayında sızdırmazlık

Üstel sıkılık

Sızdırmazlığın güçlendirilmesi, üstel sızdırmazlık kavramıdır. büyük sapmalar teorisi. Bir aile olasılık ölçüleri ${displaystyle (mu _ {delta}) _ {delta> 0}}$ bir Hausdorff topolojik uzay ${displaystyle X}$ olduğu söyleniyor üssel olarak sıkı eğer herhangi biri için ${displaystyle varepsilon> 0}$kompakt bir alt küme var ${displaystyle K_ {varepsilon}}$ nın-nin ${displaystyle X}$ öyle ki

${displaystyle limsup _ {delta downarrow 0} delta log mu _ {delta} (Xsetminus K_ {varepsilon}) <- varepsilon.}$

Referanslar

• Billingsley Patrick (1995). Olasılık ve Ölçü. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-00710-2.
• Billingsley Patrick (1999). Olasılık Ölçütlerinin Yakınsaması. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-19745-9.
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Banach uzaylarında olasılık. Berlin: Springer-Verlag. sayfa xii + 480. ISBN  3-540-52013-9. BAY1102015 (Bölüm 2'ye bakın)