Pisagor alanı - Pythagorean field - Wikipedia

Cebirde, a Pisagor alanı bir alan iki karenin her toplamının bir kare olduğu: eşdeğer olarak Pisagor numarası 1'e eşittir. A Pisagor uzantısı bir alanın bir elemanın birleştirilmesiyle elde edilen bir uzantıdır bazı içinde . Yani bir Pisagor sahası bir altında kapalı Pisagor uzantıları alarak. Herhangi bir alan için minimal bir Pisagor sahası var onu içeren, benzersiz izomorfizme kadar, ona seslendi Pisagor kapanışı.[1] Hilbert alanı minimal düzenli Pisagor alanıdır.[2]

Özellikleri

Her Öklid alanı (bir sıralı alan tüm pozitif unsurların kareler olduğu) düzenli bir Pisagor alanıdır, ancak tersi geçerli değildir.[3] Bir ikinci dereceden kapalı alan Pisagor alanı ama tersi değil ( Pisagor); ancak resmen gerçek Pisagor alanı ikinci dereceden kapalıdır.[4]

Witt yüzük Pisagor sahasının alanı 2. mertebededir. resmen gerçek ve aksi takdirde bükülmez.[1] Bir tarla için bir tam sıra dahil Witt yüzükler

nerede Witt yüzüğünün temel idealidir [5] ve gösterir burulma alt grubu (hangisi sadece radikal olmayan nın-nin ).[6]

Eşdeğer koşullar

Bir tarlada aşağıdaki koşullar F eşdeğerdir F Pisagor olmak:

Geometri modelleri

Pisagor alanları, bazılarının modellerini oluşturmak için kullanılabilir. Hilbert'in aksiyomları geometri için (Iyanaga ve Kawada 1980, 163 C). Tarafından verilen koordinat geometrisi için Bir Pisagor alanı, olay aksiyomları, uygunluk aksiyomları ve paralellik aksiyomları gibi Hilbert aksiyomlarının çoğunu karşılar. Ancak, genel olarak bu geometrinin, alan olmadığı sürece tüm Hilbert aksiyomlarını karşılaması gerekmez. F ekstra özelliklere sahiptir: örneğin, alan da sıralıysa, geometri Hilbert'in sıralama aksiyomlarını karşılayacaktır ve alan da tamamlanmışsa, geometri Hilbert'in bütünlük aksiyomunu karşılayacaktır.

Bir Pisagor kapanışı arşimet olmayan düzenli alan Pisagor sahasının kapanması gibi rasyonel işlevler rasyonel sayılar üzerinde bir değişkende Hilbert'in pek çok aksiyomunu karşılayan ancak onun bütünlük aksiyomunu karşılamayan arşimet dışı geometriler oluşturmak için kullanılabilir.[10] Dehn böyle bir alanı kullanarak iki Dehn uçakları, örnekleri Efsanevi olmayan geometri ve yarı Öklid geometrisi Sırasıyla, belirli bir doğruyla kesişmeyen bir noktadan çok sayıda doğrunun olduğu, ancak bir üçgenin açılarının toplamının en az π olduğu.[11]

Diller-Elbise teoremi

Bu teorem, eğer E/F sonlu alan uzantısı, ve E Pisagor mu, öyleyse F.[12] Sonuç olarak, hayır cebirsel sayı alanı Pisagorcudur, çünkü tüm bu alanlar sonludur Q, Pisagor değil.[13]

Süper piragor alanları

Bir süperpistagor alanı F özelliği ile resmi olarak gerçek bir alandır. S dizin 2'nin bir alt grubudur F ve −1 içermiyor, o zaman S bir sipariş tanımlar F. Eşdeğer bir tanım şudur: F resmi olarak gerçek bir alandır, kareler kümesi bir hayran. Bir süperpitagor alanı zorunlu olarak Pisagorcudur.[12]

Diller-Elbise teoreminin analogu: eğer E/F sonlu bir uzantıdır ve E süper piragorcu, öyleyse F.[14] Ters yönde, eğer F süper piragorcu ve E resmi olarak gerçek bir alandır. F ve ikinci dereceden kapanışta bulunur F sonra E süper piragorcu.[15]

Notlar

  1. ^ a b Milnor ve Husemoller (1973) s. 71
  2. ^ Greenberg (2010)
  3. ^ Martin (1998) s. 89
  4. ^ Rajwade (1993) s. 230
  5. ^ Milnor ve Husemoller (1973) s. 66
  6. ^ Milnor ve Husemoller (1973) s. 72
  7. ^ Lam (2005) s. 410
  8. ^ Lam (2005) s. 293
  9. ^ Efrat (2005) s. 178
  10. ^ (Iyanaga ve Kawada 1980, 163 D)
  11. ^ Dehn (1900)
  12. ^ a b Lam (1983) s. 45
  13. ^ Lam (2005) s. 269
  14. ^ Lam (1983) s. 47
  15. ^ Lam (1983) s. 48

Referanslar