Q faktörü - Q factor

Sönümlü bir salınım. Düşük bir Q faktörü - burada yaklaşık 5 - salınımın hızla söndüğü anlamına gelir.

İçinde fizik ve mühendislik kalite faktörü veya Q faktör bir boyutsuz nasıl olduğunu açıklayan parametre az sönmüş bir osilatör veya rezonatör dır-dir. Yaklaşık olarak rezonatörde depolanan ilk enerjinin birinde kaybedilen enerjiye oranı olarak tanımlanır. radyan salınım döngüsünün.^[1] Q faktörü alternatif olarak bir rezonatörün merkez frekansının onun frekansına oranı olarak tanımlanır. Bant genişliği salınımlı bir itici güce maruz kaldığında. Bu iki tanım, sayısal olarak benzer ancak aynı olmayan sonuçlar verir.^[2] Daha yüksek Q daha düşük bir enerji kaybı oranını gösterir ve salınımlar daha yavaş kaybolur. Yüksek kaliteli bir yataktan sarkan, havada salınan bir sarkaç, yüksek Qyağa batırılmış bir sarkaç düşükken. Yüksek kalite faktörlerine sahip rezonatörler düşük sönümleme, böylece daha uzun çınlar veya titreşirler.

Açıklama

Q faktörü, rezonans az sönümlü davranışı harmonik osilatör (rezonatör). Sinüzoidal olarak sürmüş rezonatörler daha yüksek olmak Q faktörler yankılanmak daha yüksek genlikli (rezonans frekansında), ancak rezonansa girdikleri frekansın etrafında daha küçük bir frekans aralığına sahip; Osilatörün rezonansa girdiği frekans aralığına bant genişliği denir. Böylece, yüksekQ ayarlanmış devre bir radyo alıcısında ayarlamak daha zor olurdu, ancak daha fazla seçicilik; Spektrumun yakınında bulunan diğer istasyonlardan gelen sinyalleri filtrelemek daha iyi bir iş çıkarır. Yüksek-Q osilatörler daha küçük bir frekans aralığında salınır ve daha kararlıdır. (Görmek osilatör faz gürültüsü.)

Osilatörlerin kalite faktörü, yapılarına bağlı olarak sistemden sisteme büyük ölçüde değişir. Sönümlemenin önemli olduğu sistemler (bir kapının çarparak kapanmasını engelleyen damperler gibi) Q yakın¹⁄₂. Güçlü rezonansa veya yüksek frekans kararlılığına ihtiyaç duyan saatler, lazerler ve diğer rezonans sistemleri yüksek kalite faktörlerine sahiptir. Akort çatallarının 1000 civarında kalite faktörü vardır. atom saatleri, süper iletken RF hızlandırıcılarda kullanılan boşluklar ve bazı yüksekQ lazerler 10'a kadar ulaşabilir^11[3] Ve daha yüksek.^[4]

Bir osilatörün ne kadar sönümlendiğini tanımlamak için fizikçiler ve mühendisler tarafından kullanılan birçok alternatif miktar vardır. Önemli örnekler şunları içerir: sönümleme oranı, göreli bant genişliği, hat genişliği ve ölçülen bant genişliği oktavlar.

Kavramı Q K. S. Johnson ile Batı Elektrik Şirketi Bobinlerin (indüktörler) kalitesini değerlendirirken Mühendislik Bölümü. Sembol seçimi Q sadece o sırada alfabenin diğer tüm harflerinin alınmış olmasıydı. Terim, "kalite" veya "kalite faktörü" için bir kısaltma olarak tasarlanmamıştır, ancak bu terimler onunla ilişkilendirilmek için büyümüştür.^[5][6][7]

Tanım

Q'nun 1914'teki ilk kullanımından bu yana tanımı, bobinler ve kondansatörler, rezonans devreleri, rezonans cihazları, rezonans iletim hatları, boşluk rezonatörleri, malzeme Q ve spektral hatlara uygulanacak şekilde genelleştirilmiştir.^[5]

Rezonant cihazlar

Rezonatörler bağlamında, iki ortak tanım vardır. Qtam olarak eşdeğer değildir. Yaklaşık olarak eşdeğer hale gelirler Q daha büyük hale gelir, yani rezonatör daha az sönümlenir. Bu tanımlardan biri, rezonatörün frekans-bant genişliği oranıdır:^[5]

${ displaystyle Q { stackrel { mathrm {def}} {=}} { frac {f_ {r}} { Delta f}} = { frac { omega _ {r}} { Delta omega}}, ,}$

nerede f_r rezonans frekansı, Δf ... rezonans genişliği veya Tam genişlik yarı maksimum (FWHM) yani titreşim gücünün rezonans frekansındaki gücün yarısından büyük olduğu bant genişliği, ω_r = 2πf_r ... açısal rezonans frekansı ve Δω açısal yarı güçlü bant genişliğidir.

Bu tanıma göre, Q Karşılıklı kesirli bant genişliği.

Bobinler ve kondansatörler

Diğer yaygın neredeyse eşdeğer tanım Q salınımlı rezonatörde depolanan enerjinin, sönümleme süreçleri tarafından döngü başına harcanan enerjiye oranıdır:^[8][9][5]

${ displaystyle Q { stackrel { mathrm {def}} {=}} 2 pi times { frac { text {depolanan enerji}} { text {döngü başına harcanan enerji}}} = 2 pi f_ {r} times { frac { text {depolanan enerji}} { text {güç kaybı}}}. ,}$

Faktör 2π yapar Q Daha basit terimlerle ifade edilebilir, yalnızca elektriksel veya mekanik çoğu rezonans sistemini tanımlayan ikinci dereceden diferansiyel denklemin katsayılarını içerir. Elektrik sistemlerinde depolanan enerji, kayıpsız olarak depolanan enerjilerin toplamıdır. indüktörler ve kapasitörler; kayıp enerji, içinde dağılan enerjilerin toplamıdır. dirençler döngü başına. Mekanik sistemlerde depolanan enerji, depolanan maksimum olası enerji veya toplam enerjidir, yani potansiyel ve kinetik zamanın bir noktasında enerjiler; kayıp enerji, harici bir kişi tarafından yapılan iştir. muhafazakar güç, genliği korumak için döngü başına.

Daha genel olarak ve reaktif bileşen spesifikasyonu bağlamında (özellikle indüktörler), frekansa bağlı tanımı Q kullanıldı:^{[8][10][başarısız doğrulama – tartışmaya bakın][9]}

${ displaystyle Q ( omega) = omega times { frac { text {depolanan maksimum enerji}} { text {güç kaybı}}}, ,}$

nerede ω ... açısal frekans depolanan enerji ve güç kaybının ölçüldüğü yer. Bu tanım, tek bir reaktif elemana (kapasitör veya indüktör) sahip devreleri tanımlamadaki kullanımıyla tutarlıdır, burada oranına eşit olduğu gösterilebilir. reaktif güç -e gerçek güç. (Görmek Bireysel reaktif bileşenler.)

Q faktör ve sönümleme

Q faktör belirler nitel basit davranış sönümlü osilatörler. (Bu sistemler ve davranışları hakkında matematiksel ayrıntılar için bkz. harmonik osilatör ve doğrusal zamanla değişmeyen (LTI) sistem.)

• Bir sistem düşük kalite faktörü (Q < ​¹⁄₂) olduğu söyleniyor aşırı sönük. Böyle bir sistem hiç salınım yapmaz, ancak denge kararlı durum çıktısından çıkarıldığında, ona şu şekilde geri döner: üstel bozulma, kararlı durum değerine yaklaşıyor asimptotik olarak. Bir dürtü yanıtı bu ikinin toplamı azalan üstel fonksiyonlar farklı çürüme oranları ile. Kalite faktörü azaldıkça, daha yavaş bozunma modu, daha hızlı moda göre daha güçlü hale gelir ve daha yavaş bir sistemle sonuçlanan sistemin yanıtına hakim olur. İkinci dereceden alçak geçiş filtresi çok düşük bir kalite faktörü ile neredeyse birinci dereceden bir adım tepkisine sahiptir; sistemin çıktısı bir adım yavaşça bir asimptot.
• Bir sistem yüksek kalite faktörü (Q > ​¹⁄₂) olduğu söyleniyor az sönmüş. Düşük sönümlü sistemler, belirli bir frekanstaki salınımı, sinyalin genliğindeki bir bozulma ile birleştirir. Düşük kalite faktörüne sahip düşük sönümlü sistemler (biraz yukarıda Q = ​¹⁄₂) ölmeden önce yalnızca bir veya birkaç kez salınabilir. Kalite faktörü arttıkça, göreceli sönümleme miktarı azalır. Yüksek kaliteli bir zil, vurulduktan sonra çok uzun bir süre tek bir saf tonla çalar. Sonsuza kadar çalan bir çan gibi tamamen salınımlı bir sistem, sonsuz bir kalite faktörüne sahiptir. Daha genel olarak, ikinci mertebeden çıktı alçak geçiş filtresi çok yüksek bir kalite faktörü ile hızlı bir şekilde yukarı çıkarak, etrafta salınarak ve sonunda sabit durum değerine yakınsayarak adım girişine yanıt verir.
• Bir sistem orta kalite faktörü (Q = ​¹⁄₂) olduğu söyleniyor kritik sönümlü. Aşırı sönümlenmiş bir sistem gibi, çıktı salınmaz ve kararlı durum çıktısını aşmaz (yani, sabit durumdaki bir asimptota yaklaşır). Düşük sönümlü bir yanıt gibi, böyle bir sistemin çıktısı bir birim adım girdisine hızlı bir şekilde yanıt verir. Kritik sönümleme, aşma olmaksızın mümkün olan en hızlı tepkiyi (son değere yaklaşma) verir. Gerçek sistem özellikleri genellikle daha hızlı bir ilk yanıt için bazı aşırılıklara izin verir veya daha yavaş bir başlangıç ​​yanıtı gerektirir. güvenlik payı aşmaya karşı.

İçinde olumsuz geribildirim sistemlerde, baskın kapalı döngü yanıtı genellikle ikinci dereceden bir sistem tarafından iyi modellenir. faz marjı açık döngü sisteminin kalite faktörünü belirler Q kapalı döngü sisteminin; Faz marjı azaldıkça, yaklaşık ikinci dereceden kapalı döngü sistemi daha salınımlı hale getirilir (yani, daha yüksek bir kalite faktörüne sahiptir).

Ortak sistemlerin kalite faktörleri

• Bir birlik kazanımı Sallen – Anahtar alçak geçiren filtre topolojisi eşit kapasitörler ve eşit dirençler ile kritik olarak sönümlenir (yani, Q = ​¹⁄₂).
• İkinci dereceden Butterworth filtresi (yani, en düz geçiş bandı frekans yanıtına sahip sürekli zaman filtresi), düşük sönümlü Q = ​¹⁄_√2.^[11]
• Bir Bessel filtresi (ör. düz testli sürekli zaman filtresi grup gecikmesi ) düşük sönümlü Q = ​¹⁄_√3.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Fiziksel yorumlama

Fiziksel olarak konuşursak, Q yaklaşık olarak, depolanan enerjinin salınımın bir radyanında dağıtılan enerjiye oranıdır; veya neredeyse eşdeğer, yeterince yüksek Q değerler, 2π tek bir döngüde depolanan toplam enerji ile kaybedilen enerji oranının çarpımı.^[12]

Bu, boyutsuz bir parametredir. üstel zaman sabiti τ çürümesi için salınımlı fiziksel sistem genlik salınımına dönem. Aynı şekilde, bir sistemin salındığı frekansı, enerjisini dağıttığı hız ile karşılaştırır. Daha kesin olarak, kullanılan sıklık ve süre, sistemin düşük seviyede olan doğal frekansına dayanmalıdır. Q değerler, sıfır geçişlerle ölçülen salınım frekansından biraz daha yüksektir.

Eşdeğer olarak (büyük değerler için Q), Q faktör yaklaşık olarak, serbestçe salınan bir sistemin enerjisinin düşmesi için gereken salınım sayısıdır. e^−2πveya hakkında¹⁄₅₃₅ veya orijinal enerjisinin% 0.2'si.^[13] Bu, genliğin yaklaşık olarak düştüğü anlamına gelir. e^−π veya orijinal genliğinin% 4'ü.^[14]

Rezonansın genişliği (bant genişliği) şu şekilde verilir (yaklaşık olarak):

${ displaystyle Delta f = { frac {f _ { mathrm {N}}} {Q}}, ,}$

nerede f_N ... doğal frekans ve Δf, Bant genişliği, enerjinin tepe değerinin en az yarısı olduğu frekanslar aralığının genişliğidir.

Rezonans frekansı, genellikle doğal birimlerle (saniye başına radyan) ifade edilir. f_N içinde hertz, gibi

${ displaystyle omega _ { mathrm {N}} = 2 pi f _ { mathrm {N}}.}$

Faktörler Q, sönümleme oranı ζ, doğal frekans ω_N, zayıflama oranı α, ve üstel zaman sabiti τ şu şekilde ilişkilidir:^[15]

${ displaystyle Q = { frac {1} {2 zeta}} = { omega _ { mathrm {N}} 2'den fazla alpha} = { tau omega _ { mathrm {N}} 2} üzerinde,}$

ve sönümleme oranı şu şekilde ifade edilebilir:

${ displaystyle zeta = { frac {1} {2Q}} = { alpha over omega _ { mathrm {N}}} = {1 over tau omega _ { mathrm {N}} }.}$

Salınım zarfı, orantılı olarak azalır. e^−αt veya e^−t/τ, nerede α ve τ şu şekilde ifade edilebilir:

${ displaystyle alpha = { omega _ { mathrm {N}} over 2Q} = zeta omega _ { mathrm {N}} = {1 over tau}}$

ve

${ displaystyle tau = {2Q over omega _ { mathrm {N}}} = {1 over zeta omega _ { mathrm {N}}} = {1 over alpha}.}$

Salınım enerjisi veya güç kaybı iki kat daha hızlı bozulur, yani genliğin karesi olarak e^−2αt veya e^−2t/τ.

İki kutuplu bir alçak geçiren filtre için, transfer işlevi filtrenin^[15]

${ displaystyle H (s) = { frac { omega _ { mathrm {N}} ^ {2}} {s ^ {2} + underbrace { frac { omega _ { mathrm {N}} } {Q}} _ {2 zeta omega _ { mathrm {N}} = 2 alpha} s + omega _ { mathrm {N}} ^ {2}}} ,}$

Bu sistem için ne zaman Q > ​¹⁄₂ (yani, sistem yetersiz sönümlendiğinde), iki karmaşık eşlenik her birinin sahip olduğu kutuplar gerçek kısım / -α. Yani zayıflama parametresi α oranını temsil eder üstel bozulma salınımların (yani, bir dürtü ) sisteme. Daha yüksek bir kalite faktörü, daha düşük bir zayıflama oranı anlamına gelir ve çok yüksekQ sistemler birçok döngü boyunca salınır. Örneğin, yüksek kaliteli çanlar yaklaşık olarak saf sinüzoidal ton çekiçle vurulduktan sonra uzun bir süre.

Filtre türü (2. sıra) Transfer işlevi[16] Düşük geçiş ${ displaystyle H (s) = { frac { omega _ { mathrm {N}} ^ {2}} {s ^ {2} + { frac { omega _ { mathrm {N}}} { Q}} s + omega _ { mathrm {N}} ^ {2}}}}$ Bant geçişi ${ displaystyle H (s) = { frac {{ frac { omega _ { mathrm {N}}} {Q}} s} {s ^ {2} + { frac { omega _ { mathrm {N}}} {Q}} s + omega _ { mathrm {N}} ^ {2}}}}$ Çentik (Bandstop) ${ displaystyle H (s) = { frac {s ^ {2} + omega _ { mathrm {N}} ^ {2}} {s ^ {2} + { frac { omega _ { mathrm {N}}} {Q}} s + omega _ { mathrm {N}} ^ {2}}}}$ Yüksek geçiş ${ displaystyle H (s) = { frac {s ^ {2}} {s ^ {2} + { frac { omega _ { mathrm {N}}} {Q}} s + omega _ { mathrm {N}} ^ {2}}}}$

Elektriksel sistemler

Bir filtrenin kazanç büyüklüğünün bir grafiği, 0.707 voltaj kazancında veya yarım güç bant genişliğinde −3 dB kavramını gösterir. Bu sembolik diyagramın frekans ekseni doğrusal olabilir veya logaritmik olarak ölçekli.

Elektriksel olarak rezonant bir sistem için, Q faktör etkisini temsil eder elektrik direnci ve gibi elektromekanik rezonatörler için kuvars kristalleri, mekanik sürtünme.

Arasındaki ilişki Q ve bant genişliği

Rezonans frekansına göre 2 taraflı bant genişliği F₀ Hz F₀/Q.

Örneğin, bir antene sahip olacak şekilde ayarlanmış bir anten Q 10 değeri ve 100 kHz'lik bir merkez frekansı, 3 dB'lik bant genişliği 10 kHz olacaktır.

Seste, bant genişliği genellikle şu terimlerle ifade edilir: oktavlar. O zaman arasındaki ilişki Q ve bant genişliği

${ displaystyle Q = { frac {2 ^ { frac {BW} {2}}} {2 ^ {BW} -1}} = { frac {1} {2 sinh sol ( { frac { ln (2)} {2}} BW sağ)}},}$

nerede BW oktav cinsinden bant genişliğidir.^[17]

RLC devreler

İdeal bir seride RLC devre ve içinde ayarlanmış radyo frekansı alıcısı (TRF) Q faktör:^[18]

${ displaystyle Q = { frac {1} {R}} { sqrt { frac {L} {C}}} = { frac { omega _ {0} L} {R}} = { frac {1} { omega _ {0} RC}}}$

nerede R, L ve C bunlar direnç, indüktans ve kapasite ayarlı devrenin sırasıyla. Seri direnç ne kadar büyükse devre o kadar düşük Q.

Paralellik için RLC devre, Q faktör, seri durumunun tersidir:^[19][18]

${ displaystyle Q = R { sqrt { frac {C} {L}}} = { frac {R} { omega _ {0} L}} = omega _ {0} RC}$^[20]

Bir devre düşünün R, L ve C hepsi paraleldir. Paralel direnç ne kadar düşükse, devreyi sönümlemede o kadar fazla etkisi olur ve dolayısıyla Q. Bu, bant genişliğini belirlemek için filtre tasarımında kullanışlıdır.

Paralel olarak LC Ana kaybın indüktörün direnci olduğu devre, Rendüktans ile seri olarak, L, Q seri devrede olduğu gibidir. Bu, rezonatörler için yaygın bir durumdur, burada indüktörün direncini iyileştirmek için sınırlandırır. Q ve bant genişliğini daraltmak istenen sonuçtur.

Bireysel reaktif bileşenler

Q tek bir reaktif bileşenin değeri, değerlendirildiği frekansa bağlıdır, bu tipik olarak içinde kullanıldığı devrenin rezonans frekansıdır. Q seri kayıp direncine sahip bir indüktörün Q Bu indüktör (seri kaybı dahil) ve mükemmel bir kapasitör kullanan bir rezonans devresinin.^[21]

${ displaystyle Q_ {L} = { frac {X_ {L}} {R_ {L}}} = { frac { omega _ {0} L} {R_ {L}}}}$

nerede:

• ω₀ saniye başına radyan cinsinden rezonans frekansıdır,
• L endüktans,
• X_L ... Endüktif reaktans, ve
• R_L indüktörün seri direncidir.

Q seri kayıp direncine sahip bir kapasitörün, Q mükemmel bir indüktör ile bu kondansatörü kullanan bir rezonans devresinin:^[21]

${ displaystyle Q_ {C} = { frac {-X_ {C}} {R_ {C}}} = { frac {1} { omega _ {0} CR_ {C}}}}$

nerede:

• ω₀ saniye başına radyan cinsinden rezonans frekansıdır,
• C kapasitans,
• X_C ... kapasitif reaktans, ve
• R_C kapasitörün seri direncidir.

Genel olarak Q bir kondansatör ve bir indüktörün bir seri kombinasyonunu içeren bir rezonatörün Q Bileşenlerin değerleri, kayıpları seri dirençten veya başka bir şekilde kaynaklansın:^[21]

${ displaystyle Q = { frac {1} {{ frac {1} {Q_ {L}}} + { frac {1} {Q_ {C}}}}}}$

Mekanik sistemler

Tek bir sönümlü kütle yay sistemi için, Q faktör basitleştirilmiş etkiyi temsil eder yapışkan sönümleme veya sürüklemek, sönümleme kuvveti veya sürükleme kuvveti hız ile orantılı olduğunda. Q faktörünün formülü şöyledir:

${ displaystyle Q = { frac { sqrt {Mk}} {D}}, ,}$

nerede M kütle k yay sabiti ve D denklem tarafından tanımlanan sönümleme katsayısıdır F_sönümleme = −Dv, nerede v hızdır.^[22]

Akustik sistemler

Q bir müzik aletinin önemi; aşırı yüksek Q içinde rezonatör bir enstrümanın ürettiği çoklu frekansı eşit şekilde yükseltmez. Bu nedenle, yaylı çalgılar genellikle karmaşık şekillere sahip gövdelere sahiptir, böylece oldukça eşit bir şekilde geniş bir frekans aralığı üretirler.

Q bir pirinç alet veya nefesli çalgı Dudakların veya kamışın daha geniş spektrumlu uğultusundan bir frekans seçecek kadar yüksek olması gerekir. Vuvuzela esnek plastikten yapılmıştır ve bu nedenle çok düşük Q pirinç bir enstrüman için, ona çamurlu, nefes aldıran bir ton verir. Daha sert plastik, pirinç veya ahşaptan yapılmış aletler daha yüksek Q değerine sahiptir. Aşırı yüksek Q nota vurmayı zorlaştırabilir. Q bir enstrümanda frekanslar arasında değişebilir, ancak bu arzu edilmeyebilir.

Helmholtz rezonatörleri çok dar bir frekans aralığını seçmek için tasarlandıkları için çok yüksek bir Q'ya sahiptirler.

Optik sistemler

İçinde optik, Q faktörü rezonans boşluğu tarafından verilir

${ displaystyle Q = { frac {2 pi f_ {o} , E} {P}}, ,}$

nerede f_Ö rezonans frekansı, E boşlukta depolanan enerjidir ve P = −dE/dt harcanan güçtür. Optik Q rezonans frekansının boşluk rezonansının bant genişliğine oranına eşittir. Bir rezonansın ortalama ömrü foton boşluktaki boşluk ile orantılıdır Q. Eğer Q faktörü lazer boşluk aniden düşük bir değerden yüksek bir değere değiştiğinde, lazer bir nabız Lazerin normal sürekli çıkışından çok daha yoğun ışık. Bu teknik olarak bilinir Qanahtarlama. Q faktör özellikle önemlidir plazmonik, kaybın sönümlenmesiyle bağlantılı olduğu yüzey plazmon rezonansı.^[23] Kayıp normal olarak plazmonik cihazların geliştirilmesinde bir engel olarak kabul edilirken, yeni gelişmiş işlevsellikler sunmak için bu özellikten yararlanmak mümkündür.^[24]

Ayrıca bakınız

• Akustik rezonans
• Zayıflama
• Chu – Harrington sınırı
• Piezoelektrik malzeme özellikleri
• Faz marjı
• Q metre
• Q çarpanı
• Dağılma faktörü

Referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar

• Merkez frekansı olduğunda kesme frekanslarının hesaplanması ve Q faktör verilir
• Açıklaması Q radyo ayarlama devrelerindeki faktör