Bir idealin radikal - Radical of an ideal

Değişmeli olarak halka teorisi bir dalı matematik, idealin kökeni ${ displaystyle I}$ bir ideal öyle ki bir eleman ${ displaystyle x}$ radikaldir ancak ve ancak bir miktar güç ${ displaystyle x}$ içinde ${ displaystyle I}$ (radikal almaya denir radikalleşme). Bir radikal ideal (veya yarı suçlu ideal) kendi radikaline eşit bir idealdir. Bir radikal birincil ideal temel bir ideal.

Bu kavram, değişmeyen halkalara genelleştirilmiştir. Yarı suçlu yüzük makale.

Tanım

radikal ideal ${ displaystyle I}$ içinde değişmeli halka ${ displaystyle R}$ile gösterilir ${ displaystyle operatöradı {rad} (I)}$ veya ${ displaystyle { sqrt {I}}}$, olarak tanımlanır

${ displaystyle { sqrt {I}} = {r in R mid r ^ {n} in I { hbox {for some}} n in mathbb {Z} ^ {+} ! },}$

(Bunu not et ${ displaystyle I alt küme { sqrt {I}}}$Sezgisel olarak, ${ displaystyle { sqrt {I}}}$ öğelerinin tüm kökleri alınarak elde edilir ${ displaystyle I}$ halka içinde ${ displaystyle R}$. Eşdeğer olarak, ${ displaystyle { sqrt {I}}}$ üstelsıfır elemanların idealinin ön görüntüsüdür ( radikal olmayan ) içinde bölüm halkası ${ displaystyle R / I}$ (doğal harita üzerinden ${ displaystyle pi iki nokta üst üste R ila R / I}$). İkincisi gösterir ${ displaystyle { sqrt {I}}}$ kendisi bir idealdir.^{[Not 1]}

Radikal ise ${ displaystyle I}$ sonlu olarak üretilir, sonra biraz güç ${ displaystyle { sqrt {I}}}$ içinde bulunur ${ displaystyle I}$.^[1] Özellikle, eğer ${ displaystyle I}$ ve ${ displaystyle J}$ idealler noetherian yüzük, sonra ${ displaystyle I}$ ve ${ displaystyle J}$ aynı radikal, ancak ve ancak ${ displaystyle I}$ biraz güç içerir ${ displaystyle J}$ ve ${ displaystyle J}$ biraz güç içerir ${ displaystyle I}$.

İdeal ise ${ displaystyle I}$ kendi radikaliyle çakışır, o zaman ${ displaystyle I}$ denir radikal ideal veya yarı suçlu ideal.

Örnekler

• Yüzüğü düşünün ${ displaystyle mathbb {Z}}$ nın-nin tamsayılar.

1. İdeal olanın kökeni ${ displaystyle 4 mathbb {Z}}$ tam sayı katları ${ displaystyle 4}$ dır-dir ${ displaystyle 2 mathbb {Z}}$.
2. Radikal ${ displaystyle 5 mathbb {Z}}$ dır-dir ${ displaystyle 5 mathbb {Z}}$.
3. Radikal ${ displaystyle 12 mathbb {Z}}$ dır-dir ${ displaystyle 6 mathbb {Z}}$.
4. Genel olarak, radikal ${ displaystyle m mathbb {Z}}$ dır-dir ${ displaystyle r mathbb {Z}}$, nerede ${ displaystyle r}$ her şeyin ürünüdür asal faktörler nın-nin ${ displaystyle m}$, en büyük karesiz faktörü ${ displaystyle m}$ (görmek bir tamsayının radikali ). Aslında, bu keyfi bir ideale genelleşir (bkz. Özellikler bölümü ).

• İdeal olanı düşünün ${ displaystyle I = (y ^ {4}) altküme mathbb {C} [x, y].}$ Göstermek önemsiz ${ displaystyle { sqrt {I}} = (y)}$ (temel özelliği kullanarak ${ displaystyle { sqrt {I ^ {n}}} = { sqrt {I}}}$), ancak bazı alternatif yöntemler veriyoruz.^{[açıklama gerekli ]} Radikal ${ displaystyle { sqrt {I}}}$ karşılık gelir radikal olmayan ${ displaystyle { sqrt {0}}}$ bölüm halkasının ${ displaystyle R = mathbb {C} [x, y] / (y ^ {4}),}$ bölüm halkasının tüm asal ideallerinin kesişim noktasıdır. Bu, Jacobson radikal alanlara homomorfizmlerin çekirdekleri olan tüm maksimal ideallerin kesişim noktasıdır. Herhangi bir halka morfizmi ${ displaystyle R - mathbb {C}}$ sahip olmalı ${ displaystyle y}$ iyi tanımlanmış bir morfizme sahip olmak için çekirdekte (örneğin, çekirdeğin ${ displaystyle (x, y-1)}$ bileşimi ${ displaystyle mathbb {C} [x, y] - R - mathbb {C}}$ olabilir ${ displaystyle (x, y ^ {4}, y-1)}$ bu zorlamaya çalışmakla aynı şey ${ displaystyle 1 = 0}$). Dan beri ${ displaystyle mathbb {C}}$ cebirsel olarak kapalı, her morfizm ${ displaystyle R - mathbb {F}}$ faktör olmalı ${ displaystyle mathbb {C},}$ bu yüzden sadece kesişme noktasını hesapladık ${ displaystyle { ker ( Phi): Phi içinde { text {Hom}} (R, mathbb {C}) }}$ radikalini hesaplamak için ${ displaystyle (0).}$ Sonra onu buluruz ${ displaystyle { sqrt {0}} = (y) alt küme R.}$

Özellikleri

Bu bölüm sözleşmeye devam edecek ben değişmeli bir halka için idealdir ${ displaystyle R}$:

• Her zaman doğrudur ${ displaystyle { sqrt { sqrt {I}}} = { sqrt {I}}}$yani radikalleşme bir etkisiz operasyon. Dahası, ${ displaystyle { sqrt {I}}}$ en küçük radikal ideal içeren ${ displaystyle I}$.
• ${ displaystyle { sqrt {I}}}$ tümünün kesişimi ana idealler nın-nin ${ displaystyle R}$ içeren ${ displaystyle I}$

  ${ displaystyle { sqrt {I}} = bigcap _ { scriptscriptstyle { begin {array} {c} { mathfrak {p}} { text {prime}} R supsetneq { mathfrak {p }} supseteq I end {dizi}}} { mathfrak {p}},}$

  ve dolayısıyla bir asal idealin radikali kendisine eşittir. Kanıt: Bir yandan, her asal ideal radikaldir ve bu nedenle bu kesişme, ${ displaystyle { sqrt {I}}}$. Varsayalım ${ displaystyle r}$ bir unsurdur ${ displaystyle R}$ içinde olmayan ${ displaystyle { sqrt {I}}}$ve izin ver ${ displaystyle S}$ set ol ${ displaystyle {r ^ {n} orta n = 0,1,2, ... }.}$ Tanımına göre ${ displaystyle { sqrt {I}}}$, ${ displaystyle S}$ ayrık olmalı ${ displaystyle I}$. ${ displaystyle S}$ aynı zamanda çarpımsal olarak kapalı. Böylece, bir varyantı ile Krull teoremi bir asal ideal vardır ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ içeren ${ displaystyle I}$ ve hala ayrık ${ displaystyle S}$ (görmek birincil ideal ). Dan beri ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ içerir ${ displaystyle I}$, Ama değil ${ displaystyle r}$bu gösteriyor ki ${ displaystyle r}$ içeren birincil ideallerin kesişme noktasında değildir ${ displaystyle I}$. Bu ispatı bitirir. Açıklama biraz güçlendirilebilir: ${ displaystyle I}$ tüm temel ideallerin kesişimidir ${ displaystyle R}$ bunlar en az içerenler arasında ${ displaystyle I}$.
• Son noktada uzmanlaşan radikal olmayan (tüm üstelsıfır elemanların kümesi), tüm temel ideallerin kesişimine eşittir ${ displaystyle R}$^{[Not 2]}

  ${ displaystyle { sqrt {0}} = { mathfrak {N}} _ {R} = bigcap _ { scriptscriptstyle { mathfrak {p}} subsetneq R { text {prime}}} { mathfrak {p}}.}$

  Bu özelliğin doğal harita üzerinden eskisine eşdeğer olduğu görülüyor ${ displaystyle pi iki nokta üst üste R ila R / I}$ bir önyargı veren ${ displaystyle u}$

  ${ displaystyle { begin {dizi} {ccc} & left lbrace { text {ideal}} J mid R supseteq J supseteq I right rbrace & { overset {u} { rightleftharpoons}} & left lbrace { text {ideal}} J mid J subseteq R / I right rbrace, end {dizi}}}$

  tarafından tanımlandı ${ displaystyle u kolon J , J rbrace'de J / I = lbrace r + I mid r ile eşleşir.}$^{[2][Not 3]}
• İdeal ${ displaystyle I}$ bir yüzükte ${ displaystyle R}$ radikal ise ancak ve ancak bölüm halkası ${ displaystyle R / I}$ dır-dir indirgenmiş.
• Homojen bir idealin kökü homojendir.
• İdeallerin kesişim noktasının kökeni, onların radikallerinin kesişme noktasına eşittir: ${ displaystyle { sqrt {I cap J}} = { sqrt {I}} cap { sqrt {J}}}$.
• Bir radikal birincil ideal asal. Bir idealin radikaliyse ${ displaystyle I}$ maksimal ise ${ displaystyle I}$ birincildir.^[3]
• Eğer ${ displaystyle I}$ ideal ${ displaystyle { sqrt {I ^ {n}}} = { sqrt {I}}}$. Asal idealler radikal idealler olduğu için, ${ displaystyle { sqrt {{ mathfrak {p}} ^ {n}}} = { mathfrak {p}}}$ herhangi bir asal ideal için ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$.
• İzin Vermek ${ displaystyle I, J}$ bir yüzüğün idealleri olmak ${ displaystyle R}$. Eğer ${ displaystyle { sqrt {I}}, { sqrt {J}}}$ vardır eşzamanlı, sonra ${ displaystyle I, J}$ komaksimaldir.^{[Not 4]}
• İzin Vermek ${ displaystyle M}$ üzerinde sonlu üretilmiş bir modül olmak noetherian yüzük ${ displaystyle R}$. Sonra

${ displaystyle { sqrt { operatorname {ann} _ {R} (M)}} = bigcap _ {{ mathfrak {p}} in operatorname {supp} M} { mathfrak {p}} = bigcap _ {{ mathfrak {p}} in operatorname {ass} M} { mathfrak {p}}}$ ^[4]

nerede ${ displaystyle operatorname {supp} M}$ ... destek nın-nin ${ displaystyle M}$ ve ${ displaystyle operatöradı {eşek} M}$ kümesidir ilişkili asal nın-nin ${ displaystyle M}$.

Başvurular

Radikaller üzerinde çalışmadaki birincil motivasyon, Hilbert's Nullstellensatz içinde değişmeli cebir. Bu ünlü teoremin bir versiyonu, herhangi bir ideal için ${ displaystyle J}$ içinde polinom halkası ${ displaystyle Bbbk [x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}]}$ bir cebirsel olarak kapalı alan ${ displaystyle Bbbk}$, birinde var

${ displaystyle operatöradı {I} ( operatöradı {V} (J)) = { sqrt {J}}}$

nerede

${ displaystyle operatorname {V} (J) = {x in Bbbk ^ {n} | f (x) = 0 { mbox {hepsi için}} f J }}$

ve

${ displaystyle operatorname {I} (V) = {f in Bbbk [x_ {1}, x_ {2}, ldots x_ {n}] | f (x) = 0 { mbox { tümü için}} x , V }.}$

Geometrik olarak bu, eğer bir Çeşitlilik ${ displaystyle V}$ polinom denklemleri tarafından kesilir ${ displaystyle f_ {1} = 0, ldots, f_ {r} = 0}$, sonra kaybolan diğer tek polinomlar ${ displaystyle V}$ idealin radikalinde olanlar ${ displaystyle (f_ {1}, ldots, f_ {r})}$.

Başka bir ifade şekli: kompozisyon ${ displaystyle operatöradı {I} ( operatöradı {V} (-)) = { sqrt {-}}}$ bir kapatma operatörü bir yüzüğün idealleri setinde.

Ayrıca bakınız

• Jacobson radikal
• Bir yüzüğün radikal
• Gerçek radikal

Notlar

Alıntılar

Referanslar

• M. Atiyah, I.G. Macdonald, Değişmeli Cebire Giriş, Addison-Wesley, 1994. ISBN  0-201-40751-5
• Eisenbud, David, Cebirsel Geometriye Yönelik Değişmeli Cebir, Matematik Yüksek Lisans Metinleri, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8.
• Lang, Serge (2002), Cebir, Matematikte Lisansüstü Metinler, 211 (Üçüncü baskı gözden geçirildi), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, BAY  1878556, Zbl  0984.00001