Karesiz tamsayı - Square-free integer

10, 1'den büyük bölenleri 2, 5 ve 10 olduğundan karesizdir ve bunların hiçbiri tam kare değildir (ilk birkaç tam kare 1, 4, 9 ve 16'dır)

İçinde matematik, bir karesiz tam sayı (veya karesiz tam sayı) bir tamsayı hangisi bölünebilir hayır mükemmel kare 1'den başka. Yani, onun asal çarpanlara ayırma içinde görünen her asal için tam olarak bir faktöre sahiptir. Örneğin, 10 = 2 ⋅ 5 kare içermez, ancak 18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 değildir, çünkü 18 ile bölünebilir 9 = 3². En küçük pozitif karesiz sayılar

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... (sıra A005117 içinde OEIS )

Karesiz çarpanlara ayırma

Her pozitif tam sayı n benzersiz bir şekilde faktörlendirilebilir:

${displaystyle n = prod _ {i = 1} ^ {k} q_ {i} ^ {i},}$

nerede ${displaystyle q_ {i}}$ birinden farklı olan karesiz tam sayılardır ikili ortak.

Bu denir karesiz çarpanlara ayırma nın-nin n.

İzin Vermek

${displaystyle n = prod _ {j = 1} ^ {h} p_ {j} ^ {e_ {j}}}$

ol asal çarpanlara ayırma nın-nin n, nerede p_j farklı asal sayılar. Daha sonra karesiz çarpanlara ayırmanın faktörleri şu şekilde tanımlanır:

${displaystyle q_ {i} = prod _ {j: e_ {j} = i} p_ {j}.}$

Bir tamsayı karesizdir ancak ve ancak ${displaystyle q_ {i} = 1}$ hepsi için ben > 1. Birden büyük bir tamsayı kbaşka bir tamsayının kuvveti ancak ve ancak k hepsinin bölenidir ben öyle ki ${displaystyle q_ {i} eq 1.}$

Tamsayıların karesiz çarpanlara ayırmasının kullanımı, hesaplanmasının asal çarpanlara ayırmanın hesaplanması kadar zor olmasıyla sınırlıdır. Daha doğrusu her bilinen algoritma karesiz çarpanlara ayırma hesaplamak için asal çarpanlara ayırmayı da hesaplar. Bu durum ile dikkate değer bir fark polinomlar bunun için aynı tanımlar verilebilir, ancak bu durumda, karesiz çarpanlara ayırma hesaplaması yalnızca çarpanlara ayırmadan daha kolay değil, aynı zamanda tüm standart çarpanlara ayırma algoritmalarının ilk adımıdır.

Tam sayıların karesiz çarpanları

bir tamsayının radikali en büyük karesiz faktörüdür, yani ${displaystyle extstyle prod _ {i = 1} ^ {k} q_ {i}}$ önceki bölümün gösterimi ile. Bir tamsayı kare içermez ancak ve ancak radikaline eşittir.

Her pozitif tam sayı n bir ürünün ürünü olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir güçlü numara (bu, her asal çarpanın karesiyle bölünebilen bir tamsayıdır) ve karesiz bir tam sayı olan coprime. Bu çarpanlara ayırmada karesiz çarpan şöyledir: ${displaystyle q_ {1},}$ ve güçlü sayı ${displaystyle extstyle prod _ {i = 2} ^ {k} q_ {i} ^ {i}.}$

karesiz kısım nın-nin n dır-dir ${displaystyle q_ {1},}$ en büyük karesiz bölen olan k nın-nin n bununla uyumlu n/k. Bir tamsayının karesiz kısmı, karesiz bölen en büyük karesinden daha küçük olabilir; ${displaystyle extstyle prod _ {i = 1} ^ {k} q_ {i}.}$

Herhangi bir rastgele pozitif tam sayı n bir ürünün ürünü olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir Meydan ve karesiz bir tam sayı:

${displaystyle n = m ^ {2} k}$

Bu çarpanlara ayırmada, m en büyük bölen n öyle ki m² bölen n.

Özetle, her tamsayı ile doğal olarak ilişkili olan üç karesiz faktör vardır: karesiz kısım, yukarıdaki faktör kve en büyük karesiz faktör. Her biri, bir sonrakinin bir faktörüdür. Hepsi kolayca asal çarpanlara ayırma veya karesiz çarpanlara ayırma: if

${displaystyle n = prod _ {i = 1} ^ {h} p_ {i} ^ {e_ {i}} = prod _ {i = 1} ^ {k} q_ {i} ^ {i}}$

asal çarpanlara ayırma ve karesiz çarpanlara ayırma n, nerede ${displaystyle p_ {1}, ldots, p_ {h}}$ farklı asal sayılardır, bu durumda karesiz kısım

${displaystyle prod _ {e_ {i} = 1} p_ {i} = q_ {1},}$

Bölümün kare olduğu kareden bağımsız faktör,

${displaystyle prod _ {e_ {i} {ext {odd}}} p_ {i} = prod _ {i {ext {odd}}} q_ {i},}$

ve en büyük karesiz faktör

${displaystyle prod _ {i = 1} ^ {h} p_ {i} = prod _ {i = 1} ^ {k} q_ {i}.}$

Örneğin, eğer ${displaystyle n = 75600 = 2 ^ {4} cdot 3 ^ {3} cdot 5 ^ {2} cdot 7,}$ birinde var ${displaystyle q_ {1} = 7,; q_ {2} = 5,; q_ {3} = 3,; q_ {4} = 2.}$ Kare içermeyen kısım 7, kare bir kare olacak şekilde karesiz faktör 3 ⋅ 7 = 21ve en büyük karesiz faktör 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 210.

Tam asal çarpanlara ayırmayı hesaplamaktan daha hızlı olan bu karesiz faktörleri hesaplamak için hiçbir algoritma bilinmemektedir. Özellikle bilinmeyen polinom zamanı bir tamsayının karesiz bölümünü hesaplamak için algoritma, hatta belirleyici bir tamsayının karesiz olup olmadığı.^[1] Buna karşılık, polinom-zaman algoritmaları, asallık testi.^[2] Bu, tam sayıların aritmetiği ile aritmetiği arasındaki büyük farktır. tek değişkenli polinomlar, polinom zaman algoritmalarının bilindiği gibi karesiz çarpanlara ayırma Polinomların sayısı (kısaca, bir polinomun en büyük karesiz çarpanı, en büyük ortak böleni polinomun ve onun biçimsel türev ).^[3]

Eşdeğer karakterizasyonlar

Pozitif bir tam sayı n karesizdir ancak ve ancak asal çarpanlara ayırma nın-nin n, birden büyük üslü hiçbir asal çarpan oluşmaz. Aynı şeyi ifade etmenin başka bir yolu da her asal faktör p nın-nin n, esas olan p eşit bölünmezn / p. Ayrıca n kare içermeyen, ancak ve ancak her çarpanlara ayırmada n = ab, faktörler a ve b vardır coprime. Bu tanımın hemen bir sonucu, tüm asal sayıların karesiz olmasıdır.

Pozitif bir tam sayı n kare içermez, ancak ve ancak hepsi değişmeli gruplar nın-nin sipariş n vardır izomorf, bu, ancak ve ancak böyle bir grup döngüsel. Bu, sınıflandırılmasından kaynaklanır sonlu oluşturulmuş değişmeli gruplar.

Bir tam sayı n karesizdir ancak ve ancak faktör halkası Z / nZ (görmek Modüler aritmetik ) bir ürün nın-nin alanlar. Bu, Çin kalıntı teoremi ve formun bir yüzüğü olduğu gerçeği Z / kZ bir alandır ancak ve ancak k bir asaldır.

Her pozitif tam sayı için n, tüm pozitif bölenlerin kümesi n olur kısmen sıralı küme eğer kullanırsak bölünebilme sipariş ilişkisi olarak. Bu kısmen sıralı küme her zaman bir dağıtıcı kafes. Bu bir Boole cebri ancak ve ancak n kare içermez.

Pozitif bir tam sayı n kare içermez ancak ve ancak μ(n) ≠ 0, nerede μ gösterir Möbius işlevi.

Dirichlet serisi

Möbius işlevinin mutlak değeri, gösterge işlevi karesiz tamsayılar için - yani, |μ(n)| eğer 1'e eşittir n kare içermez ve değilse 0'dır. Dirichlet serisi bu gösterge fonksiyonunun

${displaystyle toplamı _ {n = 1} ^ {infty} {frac {| mu (n) |} {n ^ {s}}} = {frac {zeta (s)} {zeta (2s)}},}$

nerede ζ(s) ... Riemann zeta işlevi. Bu, Euler ürünü

${displaystyle {frac {zeta (s)} {zeta (2s)}} = prod _ {p} {frac {(1-p ^ {- 2s})} {(1-p ^ {- s})}} = prod _ {p} (1 + p ^ {- s}),}$

ürünlerin asal sayıların alındığı yer.

Dağıtım

İzin Vermek Q(x) 1 ile 1 arasındaki karesiz tamsayıların sayısını gösterir x (OEIS: A013928 indeksi 1) değiştirerek. Büyük için n, Pozitif tam sayıların 3 / 4'ü küçüktür n 4 ile bölünemez, bu sayıların 8 / 9'u 9'a bölünemez, vb. Çünkü bu oranlar, çarpımsal özellik (bu, Çin kalıntı teoremi ), yaklaşımı elde ederiz:

${displaystyle {egin {hizalı} Q (x) & yaklaşık xprod _ {p {ext {prime}}} left (1- {frac {1} {p ^ {2}}} ight) = xprod _ {p {ext { prime}}} {frac {1} {(1- {frac {1} {p ^ {2}}}) ^ {- 1}}} & yaklaşık xprod _ {p {ext {prime}}} {frac { 1} {1+ {frac {1} {p ^ {2}}} + {frac {1} {p ^ {4}}} + cdots}} = {frac {x} {toplam _ {k = 1} ^ {infty} {frac {1} {k ^ {2}}}}} = {frac {x} {zeta (2)}} = {frac {6x} {pi ^ {2}}}. end {hizalı }}}$

Bu argüman, tahmini elde etmek için titiz yapılabilir (kullanılarak büyük O notasyonu )

${displaystyle Q (x) = {frac {6x} {pi ^ {2}}} + Eksik ({sqrt {x}} ight).}$

Bir kanıtın taslağı: yukarıdaki karakterizasyon verir

${displaystyle Q (x) = toplam _ {nleq x} toplam _ {d ^ {2} orta n} mu (d) = toplam _ {dleq x} mu (d) toplam _ {nleq x, d ^ {2} orta n} 1 = toplam _ {dleq x} mu (d) sol kat {frac {x} {d ^ {2}}} ightfloor;}$

son toplamın sıfır olduğunu gözlemlemek ${displaystyle d> {sqrt {x}}}$, sonuç olarak

${displaystyle {egin {align} Q (x) & = sum _ {dleq {sqrt {x}}} mu (d) leftlfloor {frac {x} {d ^ {2}}} ightfloor = sum _ {dleq {sqrt {x}}} {frac {xmu (d)} {d ^ {2}}} + O (toplam _ {dleq {sqrt {x}}} 1) = xsum _ {dleq {sqrt {x}}} { frac {mu (d)} {d ^ {2}}} + O ({sqrt {x}}) & = xsum _ {d} {frac {mu (d)} {d ^ {2}}} + Oleft (xsum _ {d> {sqrt {x}}} {frac {1} {d ^ {2}}} + {sqrt {x}} ight) = {frac {x} {zeta (2)}} + O ({sqrt {x}}). Son {hizalı}}}$

Riemann zeta fonksiyonunun bilinen en büyük sıfır içermeyen bölgesini kullanarak Arnold Walfisz yaklaşımı geliştirdi^[4]

${displaystyle Q (x) = {frac {6x} {pi ^ {2}}} + Oleft (x ^ {1/2} exp left (-c {frac {(log x) ^ {3/5}} { (günlük x) ^ {1/5}}} ight) ight),}$

bazı pozitif sabitler için c.

Altında Riemann hipotezi hata terimi,^[5]

${displaystyle Q (x) = {frac {x} {zeta (2)}} + Oleft (x ^ {17/54 + varepsilon} ight) = {frac {6} {pi ^ {2}}} x + Oleft (x ^ {17/54 + varepsilon} ight).}$

Son zamanlarda (2015) hata terimi daha da azaltıldı.^[6]

${displaystyle Q (x) = {frac {6} {pi ^ {2}}} x + Oleft (x ^ {11/35 + varepsilon} ight).}$

Asimptotik /doğal yoğunluk karesiz sayılar bu nedenle

${displaystyle lim _ {x o infty} {frac {Q (x)} {x}} = {frac {6} {pi ^ {2}}} yaklaşık 0.6079}$

Bu nedenle, tam sayıların 3 / 5'inden fazlası kare içermez.

Aynı şekilde, eğer Q(x,n) sayısını gösterir n-ücretsiz tamsayılar (ör. 3-serbest tamsayılar küpsüz tam sayılardır) 1 ile xbiri gösterebilir

${displaystyle Q (x, n) = {frac {x} {toplam _ {k = 1} ^ {infty} {frac {1} {k ^ {n}}}} + Eksik ({sqrt [{n} ] {x}} ight) = {frac {x} {zeta (n)}} + Oluk ({sqrt [{n}] {x}} ight).}$

4'ün katı 4 = 2 kare faktörü olması gerektiğinden², dört ardışık tamsayının tümünün karesiz olması gerçekleşemez. Öte yandan, sonsuz sayıda tam sayı vardır n hangi 4 içinn +1, 4n +2, 4n +3 kare içermez. Aksi takdirde, 4n ve en az biri 4n +1, 4n +2, 4n Dört kişiden + 3'ü yeterince büyük için karesiz olabilir n, tüm pozitif tam sayıların yarısı eksi sonlu çok sayıların yarısı karesiz olmalıdır ve bu nedenle

${displaystyle Q (x) leq {frac {x} {2}} + C}$ bazı sabitler için C,

yukarıdaki asimptotik tahminin aksine ${displaystyle Q (x)}$.

Rasgele uzunlukta ardışık kare olmayan tamsayı dizileri vardır. Gerçekten, eğer n eşzamanlı bir uyumu karşılar

${displaystyle nequiv -i {pmod {p_ {i} ^ {2}}} qquad (i = 1,2, ldots, l)}$

farklı asal sayılar için ${displaystyle p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {l}}$sonra her biri ${displaystyle n + i}$ ile bölünebilir p_ben ².^[7] Öte yandan, yukarıda belirtilen tahmin ${displaystyle Q (x) = 6x / pi ^ {2} + Eksik ({sqrt {x}} ight)}$ bazı sabitler için carasında her zaman karesiz bir tamsayı vardır x ve ${displaystyle x + c {sqrt {x}}}$ pozitif için x. Dahası, temel bir argüman, ${displaystyle x + c {sqrt {x}}}$ tarafından ${displaystyle x + cx ^ {1/5} log x.}$^[8] ABC varsayımı izin verirdi ${displaystyle x + x ^ {o (1)}}$.^[9]

Masası ${displaystyle Q (x), {frac {6} {pi ^ {2}}} x}$ ve ${displaystyle R (x)}$

Tablo nasıl olduğunu gösterir ${displaystyle Q (x)}$ ve ${displaystyle {frac {6} {pi ^ {2}}} x}$ 10'un katlarında karşılaştırın.

${displaystyle R (x) = Q (x) - {frac {6} {pi ^ {2}}} x}$ , aynı zamanda ${displaystyle Delta (x)}$.

${displaystyle x}$	${displaystyle Q (x)}$	${displaystyle {frac {6} {pi ^ {2}}} x}$	${displaystyle R (x)}$
10	7	6.1	0.9
102	61	60.8	0.2
103	608	607.9	0.1
104	6,083	6,079.3	3.7
105	60,794	60,792.7	1.3
106	607,926	607,927.1	- 1.3
107	6,079,291	6,079,271.0	20.0
108	60,792,694	60,792,710.2	- 16.2
109	607,927,124	607,927,101.9	22.1
1010	6,079,270,942	6,079,271,018.5	- 76.5
1011	60,792,710,280	60,792,710,185.4	94.6
1012	607,927,102,274	607,927,101,854.0	420.0
1013	6,079,271,018,294	6,079,271,018,540.3	- 246.3
1014	60,792,710,185,947	60,792,710,185,402.7	544.3
1015	607,927,101,854,103	607,927,101,854,027.0	76.0

${displaystyle R (x)}$ işaretini sonsuz sıklıkta değiştirir ${displaystyle x}$ sonsuzluğa meyillidir.^[10]

Mutlak değeri ${displaystyle R (x)}$ ile karşılaştırıldığında şaşırtıcı derecede küçük ${displaystyle x}$.

İkili sayılar olarak kodlama

Sonsuz çarpım olarak karesiz bir sayıyı temsil edersek

${displaystyle prod _ {n = 0} ^ {infty} (p_ {n + 1}) ^ {a_ {n}}, a_ {n} in lbrace 0,1brace, {ext {and}} p_ {n} { ext {is the}} n {ext {th prime}},}$

o zaman bunları alabiliriz ${displaystyle a_ {n}}$ ve bunları kodlama ile ikili sayıdaki bitler olarak kullanın

${displaystyle toplamı _ {n = 0} ^ {infty} {a_ {n}} cdot 2 ^ {n}.}$

Kare içermeyen 42 sayısı, 2 × 3 × 7 çarpanlarına sahiptir veya sonsuz ürün olarak 2¹ · 3¹  · 5⁰ · 7¹ · 11⁰ · 13⁰ ··· Böylece 42 sayısı ikili dizi olarak kodlanabilir ...001011 veya 11 ondalık. (İkili rakamlar, sonsuz üründeki sıralamadan tersine çevrilir.)

Her sayının asal çarpanlara ayırması benzersiz olduğundan, karesiz tamsayıların her ikili kodlaması da aynıdır.

Sohbet de doğrudur. Her pozitif tamsayının benzersiz bir ikili gösterimi olduğundan, bu kodlamayı tersine çevirmek mümkündür, böylece benzersiz bir kare içermeyen tamsayı olarak kodu çözülebilir.

Yine, örneğin, 42 sayısıyla başlarsak, bu sefer sadece pozitif bir tamsayı olarak, onun ikili temsiline sahibiz 101010. Bu 2'ye kod çözer⁰ · 3¹ · 5⁰ · 7¹ · 11⁰ · 13¹ = 3 × 7 × 13 = 273.

Böylece karesiz sayıların ikili kodlaması bir birebir örten negatif olmayan tamsayılar ile pozitif karesiz tamsayılar kümesi arasında.

(Sıralara bakın A019565, A048672 ve A064273 içinde OEIS.)

Erdős karesiz varsayımı

merkezi binom katsayısı

${displaystyle {2n select n}}$

asla kararsız değildir n > 4. Bu, 1985'te yeterince büyük tüm tamsayılar için şu şekilde kanıtlanmıştır: András Sárközy,^[11] ve tüm tamsayılar için 1996'da> 4 Olivier Ramaré ve Andrew Granville.^[12]

Karesiz çekirdek

çarpımsal işlev ${displaystyle mathrm {çekirdek} _ {t} (n)}$ pozitif tamsayıları eşlemek için tanımlanır n -e t-Asal güç gösterimi modülündeki üstleri azaltarak ücretsiz sayılar t:

${displaystyle mathrm {çekirdek} _ {t} (p ^ {e}) = p ^ {e {mod {t}}}.}$

Değer kümesi ${displaystyle mathrm {core} _ {2}}$özellikle karesiz tamsayılardır. Onların Dirichlet üreten fonksiyonlar vardır

${displaystyle sum _ {ngeq 1} {frac {mathrm {core} _ {t} (n)} {n ^ {s}}} = {frac {zeta (ts) zeta (s-1)} {zeta (ts -t)}}}$.

OEIS temsilciler OEIS: A007913 (t=2), OEIS: A050985 (t= 3) ve OEIS: A053165 (t=4).

Notlar

Referanslar

• Shapiro Harold N. (1983). Sayılar teorisine giriş. Oxford University Press Dover Yayınları. ISBN  978-0-486-46669-9.
• Granville, Andrew; Ramaré, Olivier (1996). "Üstel toplamlar üzerindeki açık sınırlar ve karesiz iki terimli katsayıların azlığı". Mathematika. 43: 73–107. CiteSeerX  10.1.1.55.8. doi:10.1112 / S0025579300011608. BAY  1401709. Zbl  0868.11009.
• Guy, Richard K. (2004). Sayı teorisinde çözülmemiş problemler (3. baskı). Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001.