Reaksiyon-difüzyon sistemi - Reaction–diffusion system

Torus üzerinde tepkimeye giren ve yayılan iki sanal kimyasalın simülasyonunu kullanarak Gray-Scott modeli

Reaksiyon-difüzyon sistemleri birkaç fiziksel fenomene karşılık gelen matematiksel modellerdir. En yaygın olanı, bir veya daha fazla kimyasal maddenin konsantrasyonunun uzay ve zamanındaki değişimdir: yerel kimyasal reaksiyonlar Maddelerin birbirine dönüştüğü ve yayılma Bu, maddelerin uzayda bir yüzeye yayılmasına neden olur.

Reaksiyon-difüzyon sistemleri doğal olarak kimya. Bununla birlikte, sistem kimyasal olmayan yapıdaki dinamik süreçleri de tanımlayabilir. Örnekler bulunur Biyoloji, jeoloji ve fizik (nötron difüzyon teorisi) ve ekoloji. Matematiksel olarak, reaksiyon-difüzyon sistemleri yarı doğrusal şeklini alır parabolik kısmi diferansiyel denklemler. Genel formda temsil edilebilirler

${ displaystyle kısmi _ {t} { boldsymbol {q}} = { underline { underline { boldsymbol {D}}}} , nabla ^ {2} { boldsymbol {q}} + { kalın sembol {R}} ({ kalın sembol {q}}),}$

nerede q(x, t) bilinmeyen vektör fonksiyonunu temsil eder, D bir Diyagonal matris nın-nin difüzyon katsayıları, ve R tüm yerel reaksiyonları açıklar. Tepkime-difüzyon denklemlerinin çözümleri geniş bir davranış yelpazesi sergiler. seyahat eden dalgalar ve dalga benzeri fenomenler ve diğerleri kendi kendine organize desenler şeritler, altıgenler veya daha karmaşık yapı gibi tüketen solitonlar. Bu tür desenler "Turing desenleri ".^[1] Bir reaksiyon difüzyon diferansiyel denkleminin tuttuğu her fonksiyon, aslında bir konsantrasyon değişkeni.

Tek bileşenli reaksiyon-difüzyon denklemleri

En basit reaksiyon-difüzyon denklemi, düzlem geometrisinde tek bir uzaysal boyuttadır,

${ displaystyle kısmi _ {t} u = D kısmi _ {x} ^ {2} u + R (u),}$

olarak da anılır Kolmogorov – Petrovsky – Piskunov denklemi.^[2] Reaksiyon terimi kaybolursa, denklem saf bir difüzyon sürecini temsil eder. Karşılık gelen denklem Fick'in ikinci yasası. Seçim R(sen) = sen(1 − sen) verim Fisher denklemi başlangıçta biyolojik oluşumun yayılmasını tanımlamak için kullanılmıştır. popülasyonlar,^[3] Newell-Whitehead-Segel denklemi ile R(sen) = sen(1 − sen²) tarif etmek Rayleigh-Bénard konveksiyonu,^[4][5] daha genel Zeldoviç ile denklem R(sen) = sen(1 − sen)(sen − α) ve 0 < α < 1 ortaya çıkan yanma teori^[6] ve özel dejenere durumu R(sen) = sen² − sen³ buna bazen Zeldovich denklemi de denir.^[7]

Tek bileşenli sistemlerin dinamikleri, evrim denklemi varyasyonel formda da yazılabildiğinden, belirli kısıtlamalara tabidir.

${ displaystyle kısmi _ {t} u = - { frac { delta { mathfrak {L}}} { delta u}}}$

ve bu nedenle "serbest enerji" nin kalıcı olarak azalmasını tanımlar ${ displaystyle { mathfrak {L}}}$ fonksiyonel tarafından verilen

${ displaystyle { mathfrak {L}} = int _ {- infty} ^ { infty} sol [{ tfrac {D} {2}} sol ( kısmi _ {x} u sağ) ^ {2} -V (u) sağ] , { text {d}} x}$

potansiyeli olan V(sen) öyle ki R(sen) = dV(sen)/dsen.

Fisher denklemi için bir gezici dalga cephesi çözümü.

Birden fazla sabit homojen çözüme sahip sistemlerde, homojen durumları birbirine bağlayan gezici cepheler ile tipik bir çözüm verilmektedir. Bu çözümler şekillerini değiştirmeden sabit hızla hareket eder ve formdadır. sen(x, t) = û(ξ) ile ξ = x − ct, nerede c seyahat eden dalganın hızıdır. Gezici dalgalar genel olarak kararlı yapılar olsa da, monoton olmayan tüm sabit çözümlerin (örneğin bir ön-ön-ön çiftinden oluşan yerelleştirilmiş alanlar) kararsız olduğuna dikkat edin. İçin c = 0Bu ifadenin basit bir kanıtı var:^[8] Eğer sen₀(x) sabit bir çözümdür ve sen = sen₀(x) + ũ(x, t) sonsuz derecede karışık bir çözümdür, doğrusal kararlılık analizi denklemi verir

${ displaystyle kısmi _ {t} { tilde {u}} = D kısmi _ {x} ^ {2} { tilde {u}} - U (x) { tilde {u}}, qquad U (x) = - R ^ { prime} (u) { Büyük |} _ {u = u_ {0} (x)}.}$

Ansatz ile ũ = ψ(x) exp (-λt) özdeğer problemine varıyoruz

${ displaystyle { hat {H}} psi = lambda psi, qquad { hat {H}} = - D kısmi _ {x} ^ {2} + U (x),}$

nın-nin Schrödinger türü burada negatif özdeğerler çözümün kararsızlığına neden olur. Dönüşümsel değişmezlik nedeniyle ψ = ∂_x sen₀(x) tarafsız özfonksiyon ile özdeğer λ = 0ve diğer tüm özfonksiyonlar, artan düğüm sayısına göre sıralanabilir ve karşılık gelen gerçek özdeğerin büyüklüğü sıfırların sayısı ile monoton olarak artar. Özfonksiyon ψ = ∂_x sen₀(x) en az bir sıfıra sahip olmalı ve monoton olmayan bir durağan çözüm için karşılık gelen özdeğer λ = 0 en düşük olan olamaz, dolayısıyla istikrarsızlık anlamına gelir.

Hızı belirlemek için c Hareketli bir cephenin, hareketli bir koordinat sistemine gidip sabit çözümlere bakılabilir:

${ displaystyle D kısmi _ { xi} ^ {2} { hat {u}} ( xi) + c kısmi _ { xi} { hat {u}} ( xi) + R ({ hat {u}} ( xi)) = 0.}$

Bu denklem, bir kütlenin hareketi olarak güzel bir mekanik analoğa sahiptir. D pozisyon ile û "zaman" boyunca ξ kuvvet altında R Sönümleme katsayısı c ile farklı çözüm türlerinin yapımına oldukça açıklayıcı bir erişim ve c.

Bir uzay boyutundan daha fazla boyuta giderken, tek boyutlu sistemlerden bir dizi ifade hala uygulanabilir. Düzlemsel veya kavisli dalga cepheleri tipik yapılardır ve kavisli bir cephenin yerel hızı yerel düzeye bağımlı hale geldikçe yeni bir etki ortaya çıkar. Eğri yarıçapı (bu, şuraya giderek görülebilir kutupsal koordinatlar ). Bu fenomen, eğriliğe bağlı dengesizliğe yol açar.^[9]

İki bileşenli reaksiyon-difüzyon denklemleri

İki bileşenli sistemler, tek bileşenli emsallerine göre çok daha geniş bir olası fenomen yelpazesine izin verir. İlk önce tarafından önerilen önemli bir fikir Alan Turing yerel sistemde istikrarlı olan bir durumun, şu durumlarda istikrarsız hale gelebilmesidir. yayılma.^[10]

Doğrusal bir kararlılık analizi, bununla birlikte, genel iki bileşenli sistemi doğrusallaştırırken

${ displaystyle { begin {pmatrix} kısmi _ {t} u kısmi _ {t} v end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} D_ {u} & 0 0 & D_ {v} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} kısmi _ {xx} u kısmi _ {xx} v end {pmatrix}} + { begin {pmatrix} F (u, v) G ( u, v) end {pmatrix}}}$

a düzlem dalga tedirginlik

${ displaystyle { tilde { boldsymbol {q}}} _ { boldsymbol {k}} ({ boldsymbol {x}}, t) = { begin {pmatrix} { tilde {u}} (t) { tilde {v}} (t) end {pmatrix}} e ^ {i { boldsymbol {k}} cdot { boldsymbol {x}}}}$

Sabit homojen çözümün tatmin edeceği

${ displaystyle { begin {pmatrix} kısmi _ {t} { tilde {u}} _ { boldsymbol {k}} (t) kısmi _ {t} { tilde {v}} _ { boldsymbol {k}} (t) end {pmatrix}} = - k ^ {2} { begin {pmatrix} D_ {u} { tilde {u}} _ { boldsymbol {k}} (t) D_ {v} { tilde {v}} _ { boldsymbol {k}} (t) end {pmatrix}} + { boldsymbol {R}} ^ { prime} { begin {pmatrix} { tilde {u}} _ { boldsymbol {k}} (t) { tilde {v}} _ { boldsymbol {k}} (t) end {pmatrix}}.}$

Turing'in fikri ancak dörtte gerçekleştirilebilir denklik sınıfları işaretleriyle karakterize edilen sistemlerin Jacobian R′ reaksiyon fonksiyonunun. Özellikle, sonlu bir dalga vektörü k en dengesiz olanı olması gerekiyordu, Jacobian'ın işaretleri olmalı

${ displaystyle { begin {pmatrix} + & - + & - end {pmatrix}}, quad { begin {pmatrix} + & + - & - end {pmatrix}}, quad { begin {pmatrix} - & + - & + end {pmatrix}}, quad { begin {pmatrix} - & - + & + end {pmatrix}}.}$

Bu sistem sınıfı aktivatör inhibitör sistemi ilk temsilcisinden sonra: temel duruma yakın bir bileşen, her iki bileşenin üretimini uyarırken diğeri büyümelerini engeller. En önemli temsilcisi, FitzHugh-Nagumo denklemi

${ displaystyle { başlama {hizalı} kısmi _ {t} u & = d_ {u} ^ {2} , nabla ^ {2} u + f (u) - sigma v, tau kısmi _ {t} v & = d_ {v} ^ {2} , nabla ^ {2} v + uv end {hizalı}}}$

ile  f (sen) = λu − sen³ − κ nasıl bir Aksiyon potansiyeli bir sinirden geçer.^[11][12] Buraya, d_sen, d_v, τ, σ ve λ pozitif sabitlerdir.

Bir aktivatör-inhibitör sistemi bir parametre değişikliğine uğradığında, homojen bir temel durumun stabil olduğu koşullardan doğrusal olarak kararsız olduğu koşullara geçilebilir. Karşılık gelen çatallanma ya bir Hopf çatallanma baskın bir dalga numarasıyla küresel olarak salınan homojen bir duruma k = 0 veya a Turing çatallanma baskın bir sonlu dalga sayısına sahip küresel modelli bir duruma. İkincisi iki uzamsal boyutta tipik olarak çizgili veya altıgen desenlere yol açar.

• Subkritik Turing çatallanma: Fitzhugh – Nagumo tipi yukarıdaki iki bileşenli reaksiyon-difüzyon sisteminde gürültülü başlangıç ​​koşullarından altıgen bir model oluşumu.
• 

  Gürültülü başlangıç ​​koşulları t = 0.

• 

  Sistemin durumu t = 10.

• 

  Neredeyse yakınsama durumu t = 100.

Fitzhugh-Nagumo örneği için, Turing ve Hopf çatallanması için doğrusal olarak kararlı bölgenin sınırını belirleyen nötr kararlılık eğrileri şu şekilde verilmiştir:

${ displaystyle { begin {align {align}} q _ { text {n}} ^ {H} (k): & {} quad { frac {1} { tau}} + left (d_ {u} ^ {2} + { frac {1} { tau}} d_ {v} ^ {2} right) k ^ {2} & = f ^ { prime} (u_ {h}), [6pt ] q _ { text {n}} ^ {T} (k): & {} quad { frac { kappa} {1 + d_ {v} ^ {2} k ^ {2}}} + d_ { u} ^ {2} k ^ {2} & = f ^ { prime} (u_ {h}). end {hizalı}}}$

Çatallanma kritik önemde değilse, genellikle lokalize yapılar (tüketen solitonlar ) içinde görülebilir histerik desenin temel durumla bir arada bulunduğu bölge. Sık karşılaşılan diğer yapılar, darbe trenlerini (aynı zamanda periyodik hareket eden dalgalar ), sarmal dalgalar ve hedef desenler. Bu üç çözüm türü, yerel dinamiklerin sabit bir sınır döngüsüne sahip olduğu iki (veya daha fazla) bileşenli reaksiyon-difüzyon denklemlerinin genel özellikleridir.^[13]

• Fitzhugh-Nagumo tipi yukarıdaki iki bileşenli reaksiyon-difüzyon sisteminde bulunan diğer modeller.
• 

  Dönen spiral.

• 

  Hedef desen.

• 

  Sabit yerelleştirilmiş darbe (dağıtıcı soliton).

Üç ve daha fazla bileşenli reaksiyon difüzyon denklemleri

Çeşitli sistemler için, ikiden fazla bileşenli reaksiyon-difüzyon denklemleri önerilmiştir, örn. düzenlenmesi için model olarak lenf damar yapımı tarafından VEGFC, MMP2, ve kolajen ben;^[14] Belousov-Zhabotinsky reaksiyonu,^[15] için kanın pıhtılaşması^[16] veya düzlemsel gaz tahliyesi sistemleri.^[17]

Daha fazla bileşene sahip sistemlerin, bir veya iki bileşenli sistemlerde mümkün olmayan çeşitli fenomenlere izin verdiği bilinmektedir (örn., Global geri bildirim olmadan birden fazla uzaysal boyutta kararlı çalışan darbeler)^[18] Altta yatan sistemin özelliklerine bağlı olarak olası fenomenlere giriş ve sistematik bir genel bakış bölümünde verilmiştir.^[19]

Çok bileşenli sistemlerin ortaya çıkardığı zorluklar, analitik olarak zorlu doğalarında yatmaktadır; çözümlerden biri, böyle bir modelin parametrik uzayını her seferinde bir nokta keşfetmek ve daha sonra modeli sayısal olarak çözmektir. lenf damar yapımı.^[14]

Uygulamalar ve evrensellik

Son zamanlarda, reaksiyon-difüzyon sistemleri, bir prototip modeli olarak büyük ilgi gördü. desen oluşumu.^[20] Yukarıda bahsedilen modeller (cepheler, spiraller, hedefler, altıgenler, şeritler ve dağıtıcı solitonlar), büyük tutarsızlıklara rağmen çeşitli reaksiyon-difüzyon sistemlerinde bulunabilir. yerel reaksiyon terimleriyle. Ayrıca, reaksiyon-difüzyon süreçlerinin, bağlantılı süreçler için temel bir temel olduğu tartışılmıştır. morfogenez biyolojide^[21] ve hatta hayvan tüyleri ve deri pigmentasyonu ile ilgili olabilir.^[22][23] Reaksiyon-difüzyon denklemlerinin diğer uygulamaları arasında ekolojik istilalar,^[24] salgın hastalıkların yayılması,^[25] tümör büyümesi^[26][27][28] ve yara iyileşmesi.^[29] Reaksiyon-difüzyon sistemlerine olan ilginin bir başka nedeni, doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler olmalarına rağmen, genellikle analitik bir işlem için olasılıkların olmasıdır.^{[8][9][30][31][32][20]}

Deneyler

Kimyasal reaksiyon-difüzyon sistemlerinde iyi kontrol edilebilir deneyler şimdiye kadar üç şekilde gerçekleştirilmiştir. İlk olarak jel reaktörler^[33] veya dolu kılcal borular^[34] Kullanılabilir. İkinci, sıcaklık darbeler katalitik yüzeyler araştırıldı.^[35][36] Üçüncüsü, çalışan sinir atımlarının yayılması reaksiyon-difüzyon sistemleri kullanılarak modellenmiştir.^[11][37]

Bu genel örneklerin yanı sıra, uygun koşullar altında plazmalar gibi elektrikli taşıma sistemlerinin^[38] veya yarı iletkenler^[39] bir reaksiyon-difüzyon yaklaşımı ile tanımlanabilir. Bu sistemler için desen oluşumu üzerine çeşitli deneyler yapılmıştır.

Sayısal tedaviler

Bir reaksiyon difüzyon sistemi aşağıdaki yöntemler kullanılarak çözülebilir: sayısal matematik. Araştırma literatüründe birkaç sayısal tedavi mevcuttur.^[40][20][41] Ayrıca karmaşık için geometriler sayısal çözüm yöntemleri önerilmiştir.^[42][43]

Ayrıca bakınız

• Otomatik dalga
• Difüzyon kontrollü reaksiyon
• Kimyasal kinetik
• Faz uzayı yöntemi
• Otokatalitik reaksiyonlar ve sipariş oluşturma
• Desen oluşumu
• Doğadaki desenler
• Periyodik seyahat dalgası
• Stokastik geometri
• MClone
• Morfojenezin Kimyasal Temelleri
• Turing deseni

Örnekler

• Fisher denklemi
• Fisher-Kolmogorov denklemi
• FitzHugh-Nagumo modeli

Referanslar

Dış bağlantılar

• Gray – Scott Modeli ile Reaksiyon – Difüzyon: Pearson parametreleştirmesi Gray – Scott reaksiyon difüzyonunun parametre uzayının görsel bir haritası.
• Alana genel bir bakış ile reaksiyon-difüzyon modelleri üzerine bir tez