Göreli Euler denklemleri - Relativistic Euler equations

Bu makale için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. Kaynakları bulun: "Göreli Euler denklemleri"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Nisan 2020) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

İçinde akışkanlar mekaniği ve astrofizik, göreli Euler denklemleri bir genellemedir Euler denklemleri Bunun etkilerini hesaba katmak Genel görelilik İçinde uygulamaları var yüksek enerjili astrofizik ve sayısal görelilik gibi fenomenleri açıklamak için yaygın olarak kullanıldıkları yerlerde gama ışını patlamaları, büyüme fenomeni, ve nötron yıldızları, genellikle bir manyetik alan.^[1] Not: Literatürle tutarlılık sağlamak için bu makale, doğal birimler yani ışık hızı ${ displaystyle c = 1}$ ve Einstein toplama kuralı.

Motivasyon

Yeryüzünde gözlemlenebilen çoğu sıvı için Newton mekaniğine dayalı geleneksel akışkanlar mekaniği yeterlidir. Bununla birlikte, akışkan hızı ışık hızına yaklaştıkça veya güçlü yerçekimi alanlarından geçerken veya basınç enerji yoğunluğuna${ displaystyle P sim rho}$), bu denklemler artık geçerli değildir.^[2] Bu tür durumlar astrofiziksel uygulamalarda sıklıkla meydana gelir. Örneğin, gama ışını patlamaları genellikle yalnızca ${ displaystyle 0.01 \%}$ ışık hızından daha az,^[3] ve nötron yıldızları, kütleçekim alanlarına sahiptir. ${ displaystyle 10 ^ {11}}$ Dünya'nınkinden kat daha güçlü.^[4] Bu aşırı koşullar altında, yalnızca akışkanların göreceli olarak işlenmesi yeterli olacaktır.

Giriş

hareket denklemleri içinde bulunur Süreklilik denklemi of stres-enerji tensörü ${ displaystyle T ^ { mu nu}}$:

${ displaystyle nabla _ { mu} T ^ { mu nu} = 0,}$

nerede ${ displaystyle nabla _ { mu}}$ ... kovaryant türev.^[5] Bir mükemmel sıvı,

${ displaystyle T ^ { mu nu} , = (e + p) u ^ { mu} u ^ { nu} + pg ^ { mu nu}.}$

Buraya ${ displaystyle e}$ sıvının toplam kütle-enerji yoğunluğu (hem durgun kütle hem de iç enerji yoğunluğu dahil), ${ displaystyle p}$ ... sıvı basıncı, ${ displaystyle u ^ { mu}}$ ... dört hız sıvının ve ${ displaystyle g ^ { mu nu}}$ ... metrik tensör.^[2] Yukarıdaki denklemlere bir koruma beyanı genellikle eklenir, genellikle korunması baryon numarası. Eğer ${ displaystyle n}$ ... sayı yoğunluğu nın-nin Baryonlar bu ifade edilebilir

${ displaystyle nabla _ { mu} (nu ^ { mu}) = 0.}$

Akışkan üç hızı ise bu denklemler klasik Euler denklemlerine indirgenir. daha az ışık hızından çok daha az, basınç enerji yoğunluğu ve ikincisinde durgun kütle yoğunluğu hakimdir.Bu sistemi kapatmak için, Devlet denklemi gibi Ideal gaz veya a Fermi gazı, ayrıca eklenir.^[1]

Düz Uzayda Hareket Denklemleri

Düz alan durumunda, yani ${ displaystyle nabla _ { mu} = kısmi _ { mu}}$ ve kullanarak metrik imza nın-nin ${ displaystyle (-, +, +, +)}$hareket denklemleri^[6],

${ displaystyle (e + p) u ^ { mu} kısmi _ { mu} u ^ { nu} = - kısmi ^ { nu} pu ^ { nu} u ^ { mu} kısmi _ { mu} p}$

Nerede ${ displaystyle e = gamma rho c ^ {2} + rho epsilon}$ sistemin enerji yoğunluğu ${ displaystyle p}$ baskı olmak ve ${ displaystyle u ^ { mu} = gama (1, { frac { mathbf {v}} {c}})}$ olmak dört hız sistemin.

Elimizdeki toplamları ve denklemleri genişletiyoruz (kullanarak ${ displaystyle { frac {d} {dt}}}$ olarak malzeme türevi )

${ displaystyle (e + p) { frac { gamma} {c}} { frac {du ^ { mu}} {dt}} = - kısmi ^ { mu} p - { frac { gama} {c}} { frac {dp} {dt}} u ^ { mu}}$

Sonra, toplama ${ displaystyle u ^ { nu} = u ^ {i} = { frac { gamma} {c}} v_ {i}}$ hızın kendisinin davranışını gözlemlemek için, hareket denklemlerinin

${ displaystyle (e + p) { frac { gamma} {c ^ {2}}} { frac {d} {dt}} ( gamma v_ {i}) = - kısmi _ {i} p - { frac { gamma ^ {2}} {c ^ {2}}} { frac {dp} {dt}} v_ {i}}$

Göreli olmayan sınırı aldığımızda, ${ displaystyle { frac {1} {c ^ {2}}} (e + p) = gamma rho + { frac {1} {c ^ {2}}} rho epsilon + { frac {1} {c ^ {2}}} p yaklaşık rho}$. Bu diyor ki^{[açıklama gerekli ]} Sistemin, söz konusu sıvının geri kalan enerjisi hakimdir.

Bu sınırda biz var ${ displaystyle gamma rightarrow 1}$ ve ${ displaystyle c rightarrow infty}$ve Euler Denklemini döndürdüğümüzü görebiliriz ${ displaystyle rho { frac {dv_ {i}} {dt}} = - kısmi _ {i} p}$.

Hareket Denklemlerinin Çıkarılması

Hareket denklemlerini belirlemek için aşağıdaki kimlikten yararlanıyoruz:

${ displaystyle kısmi _ { mu} T ^ { mu nu} + u _ { alpha} u ^ { nu} kısmi _ { mu} T ^ { mu alpha} = 0}$

Bunu bakarak kanıtlıyoruz ${ displaystyle kısmi _ { mu} T ^ { mu nu} + u _ { alpha} u ^ { nu} kısmi _ { mu} T ^ { mu alpha}}$ ve sonra her iki tarafı da ${ displaystyle u _ { nu}}$. Bunu yaptıktan sonra ve bunu not ederek ${ displaystyle u ^ { mu} u _ { mu} = - 1}$, sahibiz ${ displaystyle u _ { nu} kısmi _ { mu} T ^ { mu nu} -u _ { alpha} kısmi _ { mu} T ^ { mu alpha}}$. Endeksleri yeniden etiketleme ${ displaystyle alpha}$ gibi ${ displaystyle nu}$ ikisinin tamamen iptal edildiğini gösterir.

Şimdi, bunu not ettiğimizde

${ displaystyle T ^ { mu nu} = wu ^ { mu} u ^ { nu} + pg ^ { mu nu}}$

Bunu örtük olarak tanımladığımız yer ${ displaystyle w equiv e + p}$.

Bunu hesaplayabiliriz

${ displaystyle { başla {hizalı} kısmi _ { mu} T ^ { mu nu} & = ( kısmi _ { mu} w) u ^ { mu} u ^ { nu} + w ( kısmi _ { mu} u ^ { mu}) u ^ { nu} + wu ^ { mu} kısmi _ { mu} u ^ { nu} + kısmi ^ { nu} p kısmi _ { mu} T ^ { mu alpha} & = ( kısmi _ { mu} w) u ^ { mu} u ^ { alpha} + w ( kısmi _ { mu } u ^ { mu}) u ^ { alpha} + wu ^ { mu} kısmi _ { mu} u ^ { alpha} + kısmi ^ { alpha} p end {hizalı}}}$

Ve böylece

${ displaystyle u ^ { nu} u _ { alpha} kısmi _ { mu} T ^ { mu alpha} = ( kısmi _ { mu} w) u ^ { mu} u ^ { nu} u ^ { alpha} u _ { alpha} + w ( kısmi _ { mu} u ^ { mu}) u ^ { nu} u ^ { alpha} u _ { alpha} + wu ^ { mu} u ^ { nu} u _ { alpha} kısmi _ { mu} u ^ { alpha} + u ^ { nu} u _ { alpha} kısmi ^ { alpha} p}$

O halde şunu not edelim ki ${ displaystyle u ^ { alpha} u _ { alpha} = - 1}$ ve ${ displaystyle u ^ { alpha} kısmi _ { nu} u _ { alpha} = 0}$. İkinci kimliğin ilkinden geldiğine dikkat edin. Bu basitleştirmeler altında şunu buluyoruz:

${ displaystyle u ^ { nu} u _ { alpha} kısmi _ { mu} T ^ { mu alpha} = - ( kısmi _ { mu} w) u ^ { mu} u ^ { nu} -w ( kısmi _ { mu} u ^ { mu}) u ^ { nu} + u ^ { nu} u ^ { alpha} kısmi _ { alpha} p}$

Ve böylece ${ displaystyle kısmi _ { mu} T ^ { mu nu} + u _ { alpha} u ^ { nu} kısmi _ { mu} T ^ { mu alpha} = 0}$, sahibiz

${ displaystyle ( kısmi _ { mu} w) u ^ { mu} u ^ { nu} + w ( kısmi _ { mu} u ^ { mu}) u ^ { nu} + wu ^ { mu} kısmi _ { mu} u ^ { nu} + kısmi ^ { nu} p - ( kısmi _ { mu} w) u ^ { mu} u ^ { nu} -w ( kısmi _ { mu} u ^ { mu}) u ^ { nu} + u ^ { nu} u ^ { alpha} kısmi _ { alpha} p = 0}$

İki iptalimiz var ve bu nedenle

${ displaystyle (e + p) u ^ { mu} kısmi _ { mu} u ^ { nu} = - kısmi ^ { nu} pu ^ { nu} u ^ { alpha} kısmi _ { alpha} p = 0}$

Ayrıca bakınız

• Göreli ısı iletimi
• Durum denklemi (kozmoloji)

Referanslar