Diffeomorfizm gruplarının temsil teorisi - Representation theory of diffeomorphism groups

İçinde matematik için bir kaynak temsil teorisi of grup nın-nin diffeomorfizmler bir pürüzsüz manifold M ilk gözlem (için M bağlı) bu grup geçişli olarak hareket eder M.

Tarih

Konuyla ilgili 1975 tarihli bir anket makalesi Anatoly Vershik, İsrail Gelfand ve M. I. Graev konuyla ilgili asıl ilgiyi araştırmaya atfeder teorik fizik of yerel akım cebiri, önceki yıllarda. Üzerinde araştırma sonlu konfigürasyon temsiller kağıtlarında idi R. S. Ismagilov (1971) ve A. A. Kirillov (1974). Fiziğe ilgi duyulan temsiller, Çapraz ürün C(M) · Farklı (M).

İnşaatlar

Öyleyse izin ver M olmak n-boyutlu bağlı türevlenebilir manifold, ve x üzerinde herhangi bir nokta olabilir. Diff edelim (M) oryantasyonu koruyan diffeomorfizm grubu nın-nin M (sadece kimlik bileşeni eşlemelerin homotopik kimlik diffeomorfizma dilerseniz) ve Diffx1(M) stabilizatör nın-nin x. Sonra, M olarak tanımlanır homojen uzay

Diff (M) / Farklıx1(M).

Cebirsel bakış açısından bunun yerine, ... cebir nın-nin pürüzsüz fonksiyonlar bitmiş M ve ... ideal Düzgün işlevlerin kaybolması x. İzin Vermek n-1'e kadar yok olan pürüzsüz fonksiyonlar için ideal olun kısmi türev -de x. Diff grubu altında değişmezx1(M) x sabitleyen diffeomorfizmler. İçin n > 0 Diff grubuxn(M) olarak tanımlanır alt grup Diffx1(M) üzerinde kimlik görevi gören . Yani, azalan bir zincirimiz var

Diff (M) ⊃ Farklıx1(M) ⊃ ... ⊃ Farklıxn(M) ⊃ ...

İşte Diffxn(M) bir normal alt grup Diffx1(M), bu da şu anlama gelir: bölüm grubu

Diffx1(M) / Farklıxn(M).

Kullanma harmonik analiz diffeomorfizm grubu üzerinde gerçek veya karmaşık değerli bir fonksiyon (yeterince güzel bazı topolojik özelliklere sahip) olabilir ayrışmış Diff'ex1(M) temsil değerli fonksiyonlar üzerinden M.

Temsillerin temini

Peki Diff'in temsilleri nelerdirx1(M)? Şunu kullanalım: eğer sahipsek grup homomorfizmi φ:GHo zaman eğer sahipsek Htemsil, kısıtlı bir G- temsil. Yani, bir temsilimiz varsa

Diffx1(M) / Farklıxn(M),

bir Diff temsilcisi alabilirizx1(M).

Şuna bakalım

Diffx1(M) / Farklıx2(M)

ilk. Bu izomorf için genel doğrusal grup GL+(n, R) (ve sadece diffeomorfizmleri koruyan yönelimi düşündüğümüz için belirleyici pozitiftir). GL'nin temsilcileri nelerdir+(n, R)?

.

SL temsilcilerini biliyoruz (n, R) basitçe tensörler bitmiş n boyutlar. Peki ya R+ Bölüm? Bu karşılık gelir yoğunlukveya başka bir deyişle, tensörün nasıl belirleyici of Jacobian diffeomorfizmin x. (Bunu şu şekilde düşünün konformal ağırlık eğer isterseniz, burada uyumlu bir yapı olmaması dışında). (Bu arada, karmaşık bir yoğunluğa sahip olmamızı engelleyen hiçbir şey yoktur).

Yani, diffeomorfizm grubunun tensör tekrarlarını (yoğunluklu) keşfettik.

Şuna bakalım

Diffx1(M) / Farklıxn(M).

Bu sonlu boyutlu bir gruptur. Zincir bizde

Diffx1(M) / Farklıx1(M) ⊂ ... ⊂ Farklıx1(M) / Farklıxn(M) ⊂ ...

Burada, "⊂" işaretleri gerçekten enjekte edici bir homomorfizmi ifade edecek şekilde okunmalıdır, ancak kanonik olduğu için, bu bölüm gruplarının birbiri içine gömülü olduğunu varsayabiliriz.

Herhangi bir temsilcisi

Diffx1(M) / Farklıxm(M)

otomatik olarak bir temsilcisine dönüştürülebilir

Diffx1/ Farklıxn(M)

Eğer n > m. Diyelim ki bir temsilimiz var

Diffx1/ Farklıxp + 2

bir temsilcisinden kaynaklanmayan

Diffx1/ Farklıxp + 1.

Sonra ararız lif demeti o rep ile lif (yani Diffx1/ Farklıxp + 2 ... yapı grubu ) bir jet bohça düzenin p.

Yan not: Bu gerçekten indüklenmiş temsiller daha küçük grup Diffx1(M) ve daha büyük grup Diff (M).

İç içe geçmiş yapı

Genel olarak, tensör ve jet demetlerinin bölümlerinin uzayı indirgenemez bir temsil olacaktır ve genellikle bunların bir alt temsiline bakarız. Bu temsilcilerin yapısını, iç içe geçmişler onların arasında.

Fiber, Diff'in indirgenemez bir temsili değilsex1(M), o zaman her bir fiberi noktasal olarak daha küçük bir bölüm gösterimi. Ayrıca dış türev uzaydan gelen iç içe geçmiş bir kişidir diferansiyel formlar yüksek mertebeden bir başkasına. (Diğer türevler değildir, çünkü bağlantıları diffeomorfizmler altında değişmez değiller, ortak değişken.) kısmi türev diffeomorphism değişmez değildir. Bir jet demetinin bölümlerini alan bir türev intertwiner var. p düzenin bir jet demetinin bölümlerine p + 1.