Schneider-Lang teoremi - Schneider–Lang theorem

Matematikte Schneider-Lang teoremi tarafından yapılan bir iyileştirmedir Lang (1966) teoreminin Schneider (1949) hakkında aşkınlık değerlerinin meromorfik fonksiyonlar. Teorem hem Hermite – Lindemann ve Gelfond-Schneider teoremleri ve bazı değerlerin aşkınlığını ima eder eliptik fonksiyonlar ve eliptik modüler fonksiyonlar.

Beyan

Düzelt bir sayı alanı $K$ ve meromorfik $f 1,\dots, f N$ , bunlardan en az ikisi cebirsel olarak bağımsızdır ve emirler $ρ 1$ ve $ρ 2$ , ve bunun gibi $f j' \in K [f 1,\dots, f N]$ herhangi $j$ . Sonra en fazla var

{ displaystyle ( rho _ {1} + rho _ {2}) [K: mathbb {Q}]. ,}

farklı Karışık sayılar $ω 1,\dots, ω m$ öyle ki $f ben (ω j)\in K$ tüm kombinasyonları için $ben$ ve $j$ .

Örnekler

Eğer $f 1 (z) = z$ ve $f 2 (z) = e z$ o zaman teorem ima eder Hermite-Lindemann teoremi o $e α$ sıfırdan farklı cebirsel için aşkındır $α$ : aksi takdirde, $α, 2 α, 3 α, \dots$ her ikisinin de $f 1$ ve $f 2$ cebirseldir.
Benzer şekilde alma $f 1 (z) = e z$ ve $f 2 (z) = e βz$ için $β$ irrasyonel cebirsel ima eder Gelfond-Schneider teoremi Eğer $α$ ve $α β$ cebirsel, o zaman $α\in {0,1}$ : aksi takdirde, $günlük (α), 2log (α), 3log (α), \dots$ her ikisinin de $f 1$ ve $f 2$ cebirseldir.
Hatırlayın ki Weierstrass P işlevi diferansiyel denklemi karşılar

{ displaystyle wp '(z) ^ {2} = 4 wp (z) ^ {3} -g_ {2} wp (z) -g_ {3}. ,}

Üç işlevi almak

z

,

℘(αz)

,

℘' (αz)

herhangi bir cebirsel için

α

, Eğer

g 2 (α)

ve

g 3 (α)

cebirsel, o zaman

℘(α)

aşkındır.

Fonksiyonların alınması $z$ ve $e f (z)$ bir polinom için $f$ derece $ρ$ fonksiyonların tümünün cebirsel olduğu noktaların sayısının sırayla doğrusal olarak artabileceğini gösterir. $ρ = derece (f)$ .

Kanıt

Sonucu kanıtlamak için Lang, cebirsel olarak bağımsız iki fonksiyonu $f 1,\dots, f N$ , söyle, $f$ ve $g$ ve sonra bir yardımcı işlev oluşturdu $F \in K [f, g]$ . Kullanma Siegel lemması, daha sonra birinin varsayılabileceğini gösterdi $F$ yüksek bir düzende kayboldu $ω 1, ..., ω m$ . Böylece yüksek mertebeden bir türevi $F$ bunlardan birinde küçük boyutta bir değer alır $ω ben$ s, "boyut" burada bir sayının cebirsel özelliği. Kullanmak maksimum modül prensibi, Lang ayrıca türevlerinin mutlak değerleri için ayrı bir tahmin buldu $F$ . Standart sonuçlar, bir sayının boyutunu ve mutlak değerini birbirine bağlar ve birleşik tahminler, iddia edilen sınırı ifade eder $m$ .

Bombieri teoremi

Bombieri ve Lang (1970) ve Bombieri (1970) sonucu birkaç değişkenli fonksiyonlara genelleştirdi. Bombieri gösterdi ki K cebirsel bir sayı alanıdır ve f₁, ..., f_N meromorfik fonksiyonlardır d en fazla ρ bir alan oluşturan karmaşık düzen değişkenleri K( f₁, ..., f_N) en azından aşkınlık derecesi d Tüm kısmi türevler altında kapalı olan + 1, ardından tüm fonksiyonların bulunduğu noktalar kümesi f_n değerleri var K cebirsel bir hiper yüzeyde bulunur C^d en fazla derece

{ displaystyle d ((d + 1) rho [K: mathbb {Q}] +1).}

Waldschmidt (1979) teorem 5.1.1) biraz daha güçlü bir sınırla Bombieri teoreminin daha basit bir kanıtını verdi. d(ρ₁+ ... + ρ_d+1)[K:Q] derece için, burada ρ_j emirler d+1 cebirsel olarak bağımsız fonksiyonlar. Özel durum d = 1, Schneider-Lang teoremini (ρ₁+ ρ₂)[K:Q] puan sayısı için.

Misal

Eğer p tamsayı katsayıları olan bir polinomdur, sonra fonksiyonları z₁,...,z_n, e^{p(z₁,...,z_n)} hiper yüzeyin yoğun bir noktasında hepsi cebirseldir p=0.

Referanslar

Bombieri, Enrico (1970), "Meromorfik haritaların cebirsel değerleri", Buluşlar Mathematicae, 10 (4): 267–287, doi:10.1007 / BF01418775, ISSN 0020-9910, BAY 0306201, Bombieri, Enrico (1970), "Makaleme Ek:" Meromorfik haritaların cebirsel değerleri "(Invent. Math. 10 (1970), 267–287)", Buluşlar Mathematicae, 11 (2): 163–166, doi:10.1007 / BF01404610, ISSN 0020-9910, BAY 0322203
Bombieri, Enrico; Lang, Serge (1970), "Analitik grup çeşitlerinin alt grupları", Buluşlar Mathematicae, 11: 1–14, doi:10.1007 / BF01389801, ISSN 0020-9910, BAY 0296028
S. Lang, "Transandantal Sayılara Giriş, "Addison – Wesley Yayıncılık Şirketi, (1966)
Lelong, Pierre (1971), "Valeurs algébriques d'une application méromorphe (d'après E. Bombieri) Exp. No. 384", Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/1971), Matematik Ders Notları, 244, Berlin, New York: Springer-Verlag, s. 29–45, doi:10.1007 / BFb0058695, ISBN 978-3-540-05720-8, BAY 0414500
Schneider, Theodor (1949), "Ein Satz über ganzwertige Funktionen als Prinzip für Transzendenzbeweise", Mathematische Annalen, 121: 131–140, doi:10.1007 / BF01329621, ISSN 0025-5831, BAY 0031498
Waldschmidt, Michel (1979), Nombres transcendants et groupes algébriques, Astérisque, 69, Paris: Société Mathématique de France