Önemli rakamlar - Significant figures

önemli rakamlar (aynı zamanda önemli basamaklar veya hassas) içinde yazılı bir sayı konumsal gösterim vardır rakamlar anlamlı katkılar taşıyan ölçüm çözünürlüğü. Bu tüm rakamları içerir dışında:^[1]

Herşey önde gelen sıfırlar. Örneğin, "013" iki anlamlı rakama sahiptir: 1 ve 3
Sondaki sıfırlar sayının ölçeğini belirtmek için yalnızca yer tutucular olduklarında (kesin kurallar, önemli rakamları belirlemek )
Sahte örneğin, orijinal verilerinkinden daha yüksek hassasiyette gerçekleştirilen hesaplamalar veya ekipmanın desteklediğinden daha yüksek bir hassasiyetle rapor edilen ölçümler yoluyla girilen rakamlar.

Bir sayıdaki önemli rakamlardan en önemli en yüksek üs değerine sahip konumdur (normal ondalık gösterimde en soldaki) ve en az önemli en düşük üs değerine sahip konumdur (normal ondalık gösterimde en sağdaki). Örneğin, "123" sayısında "1", yüzlerce (10²) ve "3" birleri saydığından en önemsiz rakamdır (10⁰).

Önem aritmetiği bir hesaplama boyunca önemi kabaca korumak için bir dizi yaklaşık kuraldır. Daha karmaşık bilimsel kurallar şu şekilde bilinir: belirsizliğin yayılması.

Sayılar genellikle yuvarlak önemsiz rakamları bildirmekten kaçınmak. Örneğin, yaratırdı yanlış hassasiyet Ölçekler sadece en yakın grama göre ölçülüyorsa ve 12.345 kg (beş anlamlı rakamı vardır) verdiyse, bir ölçümü 12.34525 kg (yedi anlamlı rakamı vardır) olarak ifade etmek. Sayılar, belirli bir ölçüm hassasiyetini belirtmek yerine, örneğin haber yayınlarında daha hızlı telaffuz edilmelerini sağlamak için, yalnızca basitlik amacıyla yuvarlanabilir.

Taban Aşağıda 10 varsayılmaktadır.

Önemli rakamları belirlemek

Önemli rakamlar kuralları açıkladı

Kırmızı rakamlar önemli rakamlardır; siyah olanlar değil

Sayıları yazarken veya yorumlarken önemli rakamları belirleme kuralları aşağıdaki gibidir:^[2]

Sıfır olmayan tüm rakamlar önemli kabul edilir. Örneğin, 91'in iki anlamlı rakamı (9 ve 1), 123.45'in beş anlamlı rakamı (1, 2, 3, 4 ve 5) vardır.
İki önemli rakam arasında herhangi bir yerde görünen sıfırlar anlamlıdır: 101.1203'te yedi önemli rakam vardır: 1, 0, 1, 1, 2, 0 ve 3.
Önemli rakamların solundaki sıfırlar (önde gelen sıfırlar ) önemli değil. Örneğin, 0.00052'nin iki önemli rakamı vardır: 5 ve 2.
Sıfır olmayan rakamların sağındaki sıfırlar (sondaki sıfırlar ), ondalık ayırıcının sağındaysa anlamlıdır, çünkü bunlar yalnızca kesinliği belirtmek için gereklidir. Bununla birlikte, birler basamağında veya daha yukarısında bulunan sondaki sıfırlar, ölçümün hassasiyetine bağlı olarak önemli olabilir veya olmayabilir. Dolayısıyla, 1.20 ve 0.0980'de üç anlamlı rakam varken 45.600'ün 3, 4 veya 5 anlamlı rakamı olabilir. 120.00'ın beş anlamlı rakamı olacağını unutmayın - ondalığın solundaki sıfır önemlidir, çünkü iki anlamlı rakam arasındadır (ondalık ayırıcının sağındaki 2 ve sıfırlar).

Ondalık nokta içermeyen bir sayının sonundaki sıfırların anlamı belirsiz olabilir. Örneğin, 1300 sayısının en yakın birim için kesin olması (ve tesadüfen yüzün tam katı olması) ya da yuvarlama veya belirsizlik nedeniyle yalnızca en yakın yüzler için gösterilmesi her zaman net olmayabilir. Bu sorunu ele almak için birçok sözleşme mevcuttur. Bununla birlikte, bunlar evrensel olarak kullanılmaz ve yalnızca okuyucu sözleşmeye aşina ise etkili olur:

Bir üst çizgi, bazen üst çubuk olarak da adlandırılır veya daha az doğru olarak bağ, son önemli rakamın üzerine yerleştirilebilir; bunu takip eden sıfırlar önemsizdir. Örneğin, 1300'ın üç önemli rakamı vardır (ve bu nedenle, sayının en yakın on için kesin olduğunu gösterir).

Daha seyrek olarak, yakından ilişkili bir konvansiyon kullanarak, bir sayının son önemli rakamı altı çizili; örneğin, "1300 "iki önemli rakama sahiptir.

Rakamdan sonra bir ondalık nokta konulabilir; örneğin "1300." özellikle sondaki sıfırların anlamlı olduğunu belirtir.^[3]

Yukarıdaki kurallar genel kullanımda olmadığından, sayının önemini sondaki sıfırlarla belirtmek için aşağıdaki daha yaygın olarak tanınan seçenekler mevcuttur:

Belirsiz veya anlamlı olmayan sıfırları, birim öneki bir sayı ile ölçü birimi. Örneğin, 1300 g olarak belirtilen ölçüm hassasiyeti belirsizken, 1,30 kg olarak belirtilirse belirsizdir. Aynı şekilde 0,0123 L, 12,3 mL olarak yeniden yazılabilir

Bilimsel Gösterimi kullanarak belirsiz veya anlamlı olmayan sıfırları ortadan kaldırın: Örneğin, üç anlamlı rakamla 1300 1.30×10³. Aynı şekilde, 0,0123 olarak yeniden yazılabilir 1.23×10⁻². Temsilin önemli rakamları (1.30 veya 1.23) içeren kısmı, anlam veya mantis. Tabandaki ve üslerdeki rakamlar (10³ veya 10⁻²) tam sayılar olarak kabul edildiğinden, bu rakamlar için önemli rakamlar önemsizdir.

Önemli rakamların sayısını açıkça belirtin (bazen s.f. kısaltması kullanılır): Örneğin "20000 - 2 s.f." veya "20 000 (2 sf)".

Beklenen değişkenliği (kesinliği) bir artı eksi işareti 20000 ±% 1'deki gibi. Bu aynı zamanda on'un kuvvetleri arasında bir hassasiyet aralığı belirlemeye de izin verir.

Yuvarlama ve ondalık basamaklar

Önemli rakamların temel kavramı genellikle aşağıdakilerle bağlantılı olarak kullanılır: yuvarlama. Önemli rakamlara yuvarlama, yuvarlamadan daha genel amaçlı bir tekniktir. n ondalık basamaklar, çünkü farklı ölçekleri tek tip bir şekilde ele alır. Örneğin, bir şehrin nüfusu yalnızca en yakın bin kişi olarak bilinebilir ve 52.000 olarak belirtilebilirken, bir ülkenin nüfusu yalnızca en yakın milyon olarak bilinip 52.000.000 olarak belirtilebilir. İlki yüzlerce hata olabilir ve ikincisi yüzbinlerce hatalı olabilir, ancak her ikisinin de iki önemli rakamı vardır (5 ve 2). Bu, ölçülen miktarın büyüklüğüne göre her iki durumda da hatanın öneminin aynı olduğu gerçeğini yansıtır.

Yuvarlamak n önemli rakamlar:^[4]^[5]

Yuvarlamadan önce önemli rakamları belirleyin. Bunlar n ilk sıfır olmayan rakamla başlayan ardışık rakamlar.
Son anlamlı rakamın hemen sağındaki rakam 5'ten büyükse veya 5'ten sonra sıfır olmayan başka rakamlar varsa, son anlamlı rakama 1 ekleyin. Örneğin, sadece 3 anlamlı rakama izin veren bir hesaplama veya ölçüm sonucu 1.2459 yazılmalıdır. 1.25.
Son anlamlı rakamın hemen sağındaki rakam 5'ten sonra başka bir rakam gelmiyorsa veya sadece sıfırlar takip ediyorsa, yuvarlama için bir kravat bozma kural. Örneğin, 1,25 ila 2 anlamlı rakamı yuvarlamak için:
- Sıfırdan yarım yuvarla ("5/4" olarak da bilinir)^{[kaynak belirtilmeli ]} 1.3'e kadar yuvarlar. Bu, birçok disiplinde ima edilen varsayılan yuvarlama yöntemidir^{[kaynak belirtilmeli ]} belirtilmemişse.
- Yarım yuvarla en yakın çift sayıya yuvarlayan, bu durumda 1,2'ye yuvarlanır. 1,35'e uygulanan aynı strateji bunun yerine 1,4'e yuvarlanacaktır. Bu, birçok bilimsel disiplinin tercih ettiği yöntemdir, çünkü örneğin, uzun bir değerler listesinin ortalama değerinin yukarı doğru çarpıtılmasını önler.
Ondalık ayırıcının önündeki anlamlı olmayan rakamları sıfırlarla değiştirin.
Ondalık noktadan sonraki tüm rakamları anlamlı rakamların sağına bırakın (sıfırlarla değiştirmeyin).

Finansal hesaplamalarda, bir sayı genellikle belirli bir sayıdaki basamağa yuvarlanır (örneğin, ondalık ayırıcı birçok dünya para birimi için). Bu yapılır çünkü daha fazla hassasiyet önemsizdir ve genellikle en küçük para biriminden daha düşük bir borcu kapatmak mümkün değildir.

Birleşik Krallık'ta kişisel vergi beyannameleri geliri en yakın pound'a yuvarlanırken ödenen vergi en yakın kuruşa göre hesaplanır.

Örnek olarak, ondalık miktar 12.345 çeşitli sayılarda anlamlı basamak veya ondalık basamakla ifade edilebilir. Yetersiz hassasiyet mevcutsa, sayı yuvarlak mevcut hassasiyete uyacak şekilde. Aşağıdaki tablo, çeşitli toplam hassasiyetler ve ondalık basamaklar için sonuçları göstermektedir.

Hassas	Yuvarlandı önemli rakamlar	Yuvarlandı ondalık
6	12.3450	12.345000
5	12.345	12.34500
4	12.34 veya 12.35	12.3450
3	12.3	12.345
2	12	12.34 veya 12.35
1	10	12.3
0	Yok	12

İçin başka bir örnek 0.012345:

Hassas	Yuvarlandı önemli rakamlar	Yuvarlandı ondalık
7	0.01234500	0.0123450
6	0.0123450	0.012345
5	0.012345	0,01234 veya 0,01235
4	0,01234 veya 0,01235	0.0123
3	0.0123	0.012
2	0.012	0.01
1	0.01	0.0
0	Yok	0

Sıfır olmayan bir sayının temsili x kesinlikle p önemli basamaklar, aşağıdaki formülle verilen sayısal bir değere sahiptir:^{[kaynak belirtilmeli ]}

{ displaystyle 10 ^ {n} cdot operatöradı {yuvarlak} sol ({ frac {x} {10 ^ {n}}} sağ)}

nerede

{ displaystyle n = lfloor log _ {10} (| x |) rfloor + 1-p}

ayrıntılı olarak belirli bir işaretleme ile yazılması gerekebilir yukarıda sondaki önemli sıfırların sayısını belirtmek için.

Aritmetik

Doğrudan önemli rakamların sayısını belirleme kuralları olduğu için ölçülen miktarlar, miktarlardaki önemli rakamların sayısını belirlemek için kurallar vardır hesaplandı bunlardan ölçülen miktarları.

Sadece ölçülen miktarlar rakamları, içindeki anlamlı rakamların sayısının belirlenmesinde hesaplanan miktarlar. Gibi tam matematiksel nicelikler $π$ formülünde bir dairenin alanı yarıçaplı $r$ , $π r 2$ Nihai hesaplanan alandaki önemli rakamların sayısı üzerinde hiçbir etkisi yoktur. Benzer şekilde $½$ formülünde kinetik enerji bir kütlenin $m$ hız ile $v$ , $½ mv 2$ son hesaplanan kinetik enerjideki anlamlı rakamların sayısı ile ilgisi yoktur. Sabitler $π$ ve $½$ bu amaçla bir sonsuz önemli rakamların sayısı.

Ölçülen miktarlardan oluşturulan miktarlar için çarpma işlemi ve bölünme, hesaplanan sonuçta olduğu kadar önemli rakamlar olmalıdır. ölçülen ile numara en az önemli rakamların sayısı.^[6] Örneğin,

1.234 × 2.0 = 2.468... ≈ 2.5,

sadece iki önemli rakamlar. İlk faktörün dört anlamlı rakamı vardır ve ikincinin iki anlamlı rakamı vardır. En az sayıda anlamlı rakama sahip faktör, yalnızca iki olan ikinci faktördür, bu nedenle nihai hesaplanan sonuçta toplam iki anlamlı rakam olmalıdır. Ancak ara sonuçlarla ilgili olarak aşağıya bakın.

Ölçülen miktarlardan oluşturulan miktarlar için ilave ve çıkarma, son önemli ondalık basamak Hesaplanan sonuçtaki (yüzlerce, onluk, bir, onda bir vb.) en soldaki veya en büyüğü ondalık basamak son önemli rakamdan ölçülen toplam cinsinden miktarlar. Örneğin,

100.0 + 1.234 = 101.234... ≈ 101.2

son önemli rakam ile onda biri yer. İlk dönem son önemli rakamı onuncu sıradadır ve ikinci dönem son önemli rakamı bininci sıradadır. Toplamın tüm terimleri içinde son önemli rakamın ondalık basamaklarından en solu, ilk terimden itibaren ondalık basamaktır, bu nedenle hesaplanan sonuçta son önemli rakamı da onda olmalıdır.

Çarpma ve bölme için önemli rakamları hesaplama kuralları, toplama ve çıkarma kurallarının tersidir. Çarpma ve bölme için, sadece faktörlerin her birindeki anlamlı rakamların toplam sayısı önemlidir; her faktördeki son anlamlı rakamın ondalık basamağı ilgisizdir. Toplama ve çıkarma için, terimlerin her birinde yalnızca son anlamlı rakamın ondalık basamağı önemlidir; her terimdeki toplam anlamlı rakam sayısı konu dışıdır.^{[kaynak belirtilmeli ]} Ancak, sonraki hesaplamalarda kullanılan ara sonuçlarda bazı önemli olmayan basamaklar korunursa, genellikle daha fazla doğruluk elde edilecektir.^{[kaynak belirtilmeli ]}

İçinde temel 10 logaritma bir normalleştirilmiş sayı sonuç, normalleştirilmiş sayıdaki anlamlı rakamların sayısına yuvarlanmalıdır. Örneğin, log₁₀(3.000×10⁴) = günlük₁₀(10⁴) + günlük₁₀(3.000) ≈ 4 + 0.47712125472, 4.4771'e yuvarlanmalıdır.

Antilogaritmalar alırken, ortaya çıkan sayı, mantis logaritmada.

Bir hesaplama yaparken, ara sonuçlar için bu yönergeleri takip etmeyin; Kümülatif yuvarlama hatalarını önlemek için hesaplamanın sonuna kadar pratikte mümkün olduğu kadar çok basamak (nihai sonucun kesinliğinin gerektirdiğinden en az 1 fazla) tutun.^[7]

Onda biri tahmin ediliyor

Bir cetvel kullanırken, ilk tahmini rakam olarak ilk olarak en küçük işareti kullanın. Örneğin, bir cetvelin en küçük işareti 0,1 cm ise ve 4,5 cm okunursa 4,5 (± 0,1 cm) veya 4,4 - 4,6 cm'dir. Bununla birlikte, pratikte bir ölçüm genellikle gözle cetvelin en küçük işareti arasındaki aralıktan daha yakın tahmin edilebilir, örn. yukarıdaki durumda 4.51 cm ile 4.53 cm arasında olduğu tahmin edilebilir (aşağıya bakınız).

Bir cetvelin toplam uzunluğunun en küçük işaretin derecesine kadar doğru olmaması da mümkündür ve işaretler, her birim içinde kusurlu bir şekilde aralıklı olabilir. Bununla birlikte, normal, iyi kalitede bir cetvel varsayılırsa, fazladan bir ondalık doğruluk basamağı elde etmek için en yakın iki işaret arasındaki onda birini tahmin etmek mümkün olmalıdır.^[8] Bunun yapılmaması, cetvelin kalibrasyonundaki herhangi bir hataya cetvelin okunmasındaki hatayı ekler.^[9]

Tahmin

Bir popülasyonda belirli bir özelliği taşıyan bireylerin oranını o popülasyonun rastgele bir örneğinden tahmin ederken, anlamlı rakamların sayısı o örneklem büyüklüğünün izin verdiği maksimum kesinliği aşmamalıdır.

Ölçümde doğruluk ve kesinlik ile ilişki

Geleneksel olarak, çeşitli teknik alanlarda "doğruluk", belirli bir ölçümün gerçek değerine yakınlığı anlamına gelir; "kesinlik", birçok kez tekrarlandığında bu ölçümün kararlılığını ifade eder. Bilim dünyasında "doğruluk" teriminin gerçekte nasıl kullanıldığını yansıtmak umuduyla, aynı kesinlik tanımını koruyan ancak "doğruluk" terimini belirli bir ölçümün yakınlığı olarak tanımlayan daha yeni bir ISO 5725 standardı vardır. gerçek değeri ve doğruluk ile kesinliğin birleşimi olarak "doğruluk" terimini kullanır. (Bkz. Doğruluk ve hassasiyet Daha ayrıntılı bir tartışma için makale.) Her iki durumda da, önemli rakamların sayısı kabaca hassas, ne doğruluk kelimesinin kullanılması ne de daha yeni gerçeklik kavramı için.

Hesaplamada

Kayan noktalı sayıların bilgisayar temsilleri, genel olarak önemli rakamlara bir yuvarlama biçimi kullanır. ikili sayılar. Doğru anlamlı rakamların sayısı, şu kavramla yakından ilgilidir: göreceli hata (daha doğru bir hassasiyet ölçüsü olma avantajına sahiptir ve kök, kullanılan sayı sisteminin tabanı olarak da bilinir).

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ Toplulukta Kimya; Kendall-Hunt: Dubuque, IA 1988
^ Doğru anlamlı basamakların sayısı için kesin bir tanım vermek şaşırtıcı derecede inceliklidir, bkz. Higham Nicholas (2002). Sayısal Algoritmaların Doğruluğu ve Kararlılığı (PDF) (2. baskı). SIAM. s. 3–5.
^ Myers, R. Thomas; Oldham, Keith B .; Tocci, Salvatore (2000). Kimya. Austin, Teksas: Holt Rinehart Winston. s.59. ISBN 0-03-052002-9.
^ Engelbrecht, Nancy; et al. (1990). "Ondalık Sayıları Belirlenmiş Bir Kesinliğe Yuvarlama" (PDF). Washington, D.C .: ABD Eğitim Bakanlığı.
^ Sayısal Matematik ve Hesaplama, Cheney ve Kincaid.
^ "Önemli Şekil Kuralları". Penn Eyalet Üniversitesi.
^ de Oliveira Sannibale, Virgínio (2001). "Ölçümler ve Önemli Rakamlar (Taslak)" (PDF). Birinci Sınıf Fizik Laboratuvarı. California Teknoloji Enstitüsü, Fizik Matematik ve Astronomi Bölümü. Arşivlenen orijinal (PDF) 2013-06-18 tarihinde.
^ Deneysel Elektrik Testi. Newark, NJ: Weston Electrical Instruments Co. 1914. s.9. Alındı 2019-01-14. Deneysel Elektrik Testi ..
^ "Ölçümler". slc.umd.umich.edu. Michigan üniversitesi. Alındı 2017-07-03.

Dış bağlantılar

[1] Toplulukta Kimya; Kendall-Hunt: Dubuque, IA 1988

[2] Doğru anlamlı basamakların sayısı için kesin bir tanım vermek şaşırtıcı derecede inceliklidir, bkz. Higham Nicholas (2002). Sayısal Algoritmaların Doğruluğu ve Kararlılığı (PDF) (2. baskı). SIAM. s. 3–5.

[Chemistry_Significant_Figures-3] Myers, R. Thomas; Oldham, Keith B .; Tocci, Salvatore (2000). Kimya. Austin, Teksas: Holt Rinehart Winston. s.59. ISBN 0-03-052002-9.

[4] Engelbrecht, Nancy; et al. (1990). "Ondalık Sayıları Belirlenmiş Bir Kesinliğe Yuvarlama" (PDF). Washington, D.C .: ABD Eğitim Bakanlığı.

[Numerical_Mathematics_and_Computing,_by_Cheney_and_Kincaid-5] Sayısal Matematik ve Hesaplama, Cheney ve Kincaid.

[6] "Önemli Şekil Kuralları". Penn Eyalet Üniversitesi.

[7] Oliveira Sannibale, Virgínio (2001). "Ölçümler ve Önemli Rakamlar (Taslak)" (PDF). Birinci Sınıf Fizik Laboratuvarı. California Teknoloji Enstitüsü, Fizik Matematik ve Astronomi Bölümü. Arşivlenen orijinal (PDF) 2013-06-18 tarihinde.

[Weston-8] Deneysel Elektrik Testi. Newark, NJ: Weston Electrical Instruments Co. 1914. s.9. Alındı 2019-01-14. Deneysel Elektrik Testi ..

[UMmeasurements-9] "Ölçümler". slc.umd.umich.edu. Michigan üniversitesi. Alındı 2017-07-03.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]