Singleton (matematik) - Singleton (mathematics)

İçinde matematik, bir Singletonolarak da bilinir birim seti,^[1] bir Ayarlamak ile tam olarak bir öğesi. Örneğin, {boş }, öğesini içeren bir tekildir boş.

Terim aynı zamanda 1- için de kullanılır.demet (bir sıra bir üye ile).

Özellikleri

Çerçevesinde Zermelo – Fraenkel küme teorisi, düzenlilik aksiyomu hiçbir setin kendisinin bir unsuru olmadığını garanti eder. Bu, bir singletonun içerdiği öğeden zorunlu olarak farklı olduğu anlamına gelir,^[1] dolayısıyla 1 ve {1} aynı şey değildir ve boş küme sadece boş küme içeren kümeden farklıdır. {{1, 2, 3}} gibi bir küme, tek bir öğe içerdiğinden (kendisi bir kümedir, ancak bir tekil değildir) tekildir.

Bir set bir singleton'dur ancak ve ancak onun kardinalite dır-dir 1. İçinde von Neumann'ın doğal sayıların küme teorik inşası 1 numara tanımlı singleton olarak {0}.

İçinde aksiyomatik küme teorisi tekillerin varlığı, eşleştirme aksiyomu: herhangi bir set için Biraksiyom, Bir ve Bir {varlığını iddia ediyorBir, Bir}, singleton ile aynıdır {Bir} (içerdiği için Birve bir öğe olarak başka hiçbir set yok).

Eğer Bir herhangi bir set ve S herhangi bir singleton varsa, o zaman tam olarak bir tane var işlevi itibaren Bir -e Sişlevin her öğesini göndermesi Bir tek unsuruna S. Böylece her singleton bir terminal nesnesi içinde kümeler kategorisi.

Bir singleton, kendisinden herhangi bir rastgele kümeye kadar her işlevin enjekte edici olma özelliğine sahiptir. Bu özelliğe sahip tek olmayan tek küme, boş küme.

Çan numarası tamsayı dizisi sayısını sayar bir setin bölümleri (OEIS: A000110), tekil hariç tutulursa sayılar daha küçüktür (OEIS: A000296).

Kategori teorisinde

Tekil üzerine inşa edilen yapılar genellikle terminal nesneleri veya sıfır nesne çeşitli kategoriler:

Yukarıdaki ifade, tekil kümelerin tam olarak kategorideki uç nesneler olduğunu gösterir. Ayarlamak nın-nin setleri. Başka hiçbir set terminal değildir.
Herhangi bir singleton benzersiz bir topolojik uzay yapı (her iki alt küme de açık). Bu singleton topolojik uzaylar, topolojik uzaylar kategorisindeki terminal nesnelerdir ve sürekli fonksiyonlar. Bu kategoride başka hiçbir boşluk terminal değildir.
Herhangi bir singleton benzersiz bir grup yapı (benzersiz öğe, kimlik öğesi ). Bu tekli gruplar sıfır nesne gruplar kategorisinde ve grup homomorfizmleri. Bu kategoride başka hiçbir grup terminal değildir.

Gösterge işlevlerine göre tanım

İzin Vermek ${ displaystyle S}$ olmak sınıf tarafından tanımlanmış gösterge işlevi

{ displaystyle b: X - {0,1 }.}

Sonra ${ displaystyle S}$ denir Singleton eğer ve sadece varsa $y \in X$ öyle ki herkes için $x \in X$ ,

{ displaystyle b (x) = (x = y).}

Tanımı Principia Mathematica

Aşağıdaki tanım, Whitehead ve Russell^[2]

{ displaystyle iota}

‘

{ displaystyle x = { şapka {y}} (y ​​= x)}

Df.

Sembol ${ displaystyle iota}$ ‘ ${ displaystyle x}$ singletonu belirtir ${ displaystyle {x }}$ ve ${ displaystyle { şapka {y}} (y = x)}$ ile özdeş nesnelerin sınıfını belirtir ${ displaystyle x}$ diğer adıyla ${ displaystyle {y: y = x }}$ . Bu, girişte bir tanım olarak ortaya çıkar ve yer yer, 51.01 önermesi olarak ortaya çıktığı ana metindeki argümanı basitleştirir (s. 357 ibid.).

{ displaystyle 1 = { şapka { alpha}} (( x var) alpha = iota}

‘

{ displaystyle x)}

Df.

Yani, 1, tekillerin sınıfıdır. Bu tanım 52.01'dir (s.363 aynı yerde)

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ ^a ^b Stoll, Robert (1961). Kümeler, Mantık ve Aksiyomatik Teoriler. W. H. Freeman ve Şirketi. s. 5–6.
^ Whitehead, Alfred North; Bertrand Russell (1910). Principia Mathematica. Cilt I. s. 37.

[Stoll-1] Stoll, Robert (1961). Kümeler, Mantık ve Aksiyomatik Teoriler. W. H. Freeman ve Şirketi. s. 5–6.

[2] Whitehead, Alfred North; Bertrand Russell (1910). Principia Mathematica. Cilt I. s. 37.

[1]

[2]