Zermelo – Fraenkel küme teorisi - Zermelo–Fraenkel set theory

İçinde küme teorisi, Zermelo – Fraenkel küme teorisimatematikçilerin adını taşıyan Ernst Zermelo ve Abraham Fraenkel, bir aksiyomatik sistem yirminci yüzyılın başlarında bir kümeler teorisi gibi paradokslar içermez Russell paradoksu. Bugün, Zermelo-Fraenkel, tarihsel olarak tartışmalı seçim aksiyomu (AC) dahil, standart biçimdir aksiyomatik küme teorisi ve bu nedenle en yaygın olanı matematiğin temeli. Zermelo – Fraenkel küme teorisi, seçim aksiyomu dahil edilerek kısaltılmıştır ZFC, C "seçim" anlamına gelir,^[1] ve ZF Zermelo – Fraenkel küme teorisinin aksiyomlarını, seçim aksiyomu hariç tutarak ifade eder.

Zermelo – Fraenkel küme teorisinin amacı, tek bir ilkel kavramı, bir kalıtsal sağlam temelli Ayarlamak, böylece hepsi varlıklar içinde söylem evreni böyle setlerdir. Böylece aksiyomlar Zermelo – Fraenkel küme teorisinin sadece saf setler ve önleyin modeller içeren urelementler (kendileri küme olmayan kümelerin öğeleri). Ayrıca, uygun sınıflar (koleksiyonları matematiksel nesneler koleksiyonların set edilemeyecek kadar büyük olduğu, üyeleri tarafından paylaşılan bir mülk tarafından tanımlanan) yalnızca dolaylı olarak ele alınabilir. Spesifik olarak, Zermelo – Fraenkel küme teorisi, bir Evrensel set (tüm setleri içeren bir set) ne için sınırsız anlama, böylece Russell'ın paradoksundan kaçınıyor. Von Neumann – Bernays – Gödel küme teorisi (NBG) yaygın olarak kullanılan bir muhafazakar uzantı Zermelo – Fraenkel'in uygun sınıfların açık bir şekilde ele alınmasına izin veren küme teorisi.

Zermelo-Fraenkel küme teorisinin aksiyomlarının birçok eşdeğer formülasyonu vardır. Aksiyomların çoğu, diğer kümelerden tanımlanan belirli kümelerin varlığını belirtir. Örneğin, eşleştirme aksiyomu herhangi iki set verildiğini söylüyor ${ displaystyle a}$ ve ${ displaystyle b}$ yeni bir set var ${ displaystyle {a, b }}$ tam olarak içeren ${ displaystyle a}$ ve ${ displaystyle b}$. Diğer aksiyomlar, küme üyeliğinin özelliklerini açıklar. Aksiyomların amacı, her aksiyomun, içindeki tüm kümelerin toplanmasıyla ilgili bir ifade olarak yorumlanması durumunda doğru olması gerektiğidir. von Neumann evreni (kümülatif hiyerarşi olarak da bilinir). Resmi olarak, ZFC bir tek sıralı teori içinde birinci dereceden mantık. imza eşitlik ve tek bir ilkel var ikili ilişki, üyelik ayarla, genellikle belirtilen ${ displaystyle in}$. formül ${ displaystyle a in b}$ demek ki set ${ displaystyle a}$ setin bir üyesidir ${ displaystyle b}$ (aynı zamanda okunur "${ displaystyle a}$ bir unsurdur ${ displaystyle b}$"veya"${ displaystyle a}$ içinde ${ displaystyle b}$").

metamatematik Zermelo – Fraenkel küme teorisi kapsamlı bir şekilde incelenmiştir. Bu alandaki önemli sonuçlar, mantıksal bağımsızlık geri kalan Zermelo-Fraenkel aksiyomlarından seçim aksiyomunun (bkz. Seçim aksiyomu # Bağımsızlık ) ve süreklilik hipotezi ZFC'den. tutarlılık ZFC gibi bir teorinin gösterdiği gibi, teorinin kendi içinde kanıtlanamaz. Gödel'in ikinci eksiklik teoremi.

Tarih

Modern çalışma küme teorisi tarafından başlatıldı Georg Cantor ve Richard Dedekind 1870'lerde. Ancak, keşfi paradokslar içinde saf küme teorisi, gibi Russell paradoksu, bu paradokslardan arınmış daha katı bir küme teorisi arzusuna yol açtı.

1908'de, Ernst Zermelo ilk önerdi aksiyomatik küme teorisi, Zermelo küme teorisi. Ancak, ilk olarak belirttiği gibi Abraham Fraenkel 1921'de Zermelo'ya yazılan bir mektupta, bu teori belirli kümelerin varlığını kanıtlayamıyordu ve Kardinal sayılar varoluşu, zamanın en set teorisyenleri tarafından, özellikle de kardinal sayı olarak kabul edildi. ${ displaystyle aleph _ { omega}}$ ve set ${ displaystyle {Z_ {0}, { mathcal {P}} (Z_ {0}), { mathcal {P}} ({ mathcal {P}} (Z_ {0})), { mathcal {P}} ({ mathcal {P}} ({ mathcal {P}} (Z_ {0}))), ... },}$ nerede ${ displaystyle Z_ {0}}$ herhangi bir sonsuz kümedir ve ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ ... Gücü ayarla operasyon.^[2] Dahası, Zermelo'nun aksiyomlarından biri, operasyonel anlamı net olmayan "belirli" bir mülkiyet kavramına başvurdu. 1922'de Fraenkel ve Thoralf Skolem bağımsız olarak önerilen bir "belirli" mülkün, iyi biçimlendirilmiş bir formül olarak formüle edilebilecek bir mülk olarak operasyonel hale getirilmesi birinci dereceden mantık kimin atomik formüller üyelik ve kimlik belirlemekle sınırlıydı. Ayrıca bağımsız olarak şartname aksiyom şeması ile aksiyom değiştirme şeması. Bu şemanın yanı sıra düzenlilik aksiyomu (ilk öneren John von Neumann ),^[3] Zermelo'ya göre küme teorisi, ZF. ZF'ye ekleyerek seçim aksiyomu (AC) veya ona eşdeğer bir ifade ZFC verir.

Aksiyomlar

ZFC aksiyomlarının birçok eşdeğer formülasyonu vardır; bunun bir tartışması için bkz. Fraenkel, Bar-Hillel ve Lévy 1973. Aşağıdaki belirli aksiyom seti Kunen (1980). Aksiyomlar kendi başına şu sembolizmde ifade edilir: birinci dereceden mantık. İlişkili İngilizce düzyazı sadece sezgiye yardımcı olmayı amaçlamaktadır.

ZFC'nin tüm formülasyonları, en az bir setin mevcut olduğu anlamına gelir. Kunen, aşağıda verilen aksiyomlara ek olarak, doğrudan bir kümenin varlığını öne süren bir aksiyom içerir (bunu yalnızca "vurgulamak için" yaptığını belirtmesine rağmen).^[4] Buradaki ihmal iki şekilde gerekçelendirilebilir. İlk olarak, ZFC'nin tipik olarak biçimlendirildiği birinci dereceden mantığın standart anlambiliminde, söylem alanı boş olmamalıdır. Dolayısıyla, bir şeyin var olduğu birinci dereceden mantığın mantıksal bir teoremidir - genellikle bir şeyin kendisiyle aynı olduğu iddiası olarak ifade edilir, ${ displaystyle var x (x = x)}$. Sonuç olarak, bir şeyin var olduğu her birinci dereceden teorinin bir teoremidir. Bununla birlikte, yukarıda belirtildiği gibi, ZFC'nin amaçlanan anlambiliminde sadece kümeler olduğu için, bu mantıksal teoremin ZFC bağlamında yorumlanması şu şekildedir: Ayarlamak var. Bu nedenle, bir kümenin var olduğunu iddia eden ayrı bir aksiyoma gerek yoktur. İkincisi, ZFC sözde formüle edilmiş olsa bile ücretsiz mantık bir şeyin var olduğunun yalnızca mantıkla kanıtlanamadığı durumlarda, sonsuzluk aksiyomu (aşağıda) bir sonsuz set var. Bu şu anlama gelir a küme vardır ve bu nedenle bir kez daha iddia eden bir aksiyomu dahil etmek gereksizdir.

1. Genişlemenin aksiyomu

Aynı öğelere sahiplerse iki küme eşittir (aynı küme).

${ displaystyle forall x forall y [ forall z (z in x Leftrightarrow z y içinde) Rightarrow x = y].}$

Bu aksiyomun tersi, ikame özelliğinden kaynaklanır. eşitlik. Arka plan mantığı eşitliği içermiyorsa "${ displaystyle =}$", ${ displaystyle x = y}$ aşağıdaki formül için bir kısaltma olarak tanımlanabilir:^[5] ${ displaystyle forall z [z in x Leftrightarrow z y] land forall w [x in w Leftrightarrow y w içinde].}$

Bu durumda, genişlemenin aksiyomu şu şekilde yeniden formüle edilebilir:

${ displaystyle forall x forall y [ forall z (z içinde x Leftrightarrow z y içinde) Rightarrow forall w (x içinde w Leftrightarrow y içinde w)],}$

ki diyor ki eğer ${ displaystyle x}$ ve ${ displaystyle y}$ aynı öğelere sahipse, aynı kümelere aittirler.^[6]

2. Düzenlilik aksiyomu (temelin aksiyomu olarak da adlandırılır)

Boş olmayan her set ${ displaystyle x}$ üye içerir ${ displaystyle y}$ öyle ki ${ displaystyle x}$ ve ${ displaystyle y}$ vardır ayrık kümeler.

${ displaystyle forall x [ bir (x'te bir ) var Sağ ok var y (y x land lnot var z (y land z içinde x))].}$^[7]

veya modern gösterimde:${ displaystyle forall x , (x neq varnothing Rightarrow x içinde y var, (y cap x = varnothing)).}$

Bu (Eşleştirme Aksiyomu ile birlikte), örneğin, hiçbir setin kendisinin bir öğesi olmadığını ve her setin bir sıra sıra.

3. Şartname aksiyom şeması (aynı zamanda ayrımın aksiyom şeması veya sınırlı kavrayış olarak da adlandırılır)

Alt kümeler genellikle kullanılarak oluşturulur oluşturucu gösterimi ayarla. Örneğin, çift tamsayılar tamsayıların alt kümesi olarak oluşturulabilir. ${ displaystyle mathbb {Z}}$ tatmin edici uyum modülü yüklem ${ displaystyle x eşdeğeri 0 { pmod {2}}}$:

${ displaystyle {x in mathbb {Z}: x eşdeğeri 0 { pmod {2}} }.}$

Genel olarak, bir kümenin alt kümesi ${ displaystyle z}$ bir formüle uymak ${ displaystyle phi (x)}$ bir serbest değişken ile ${ displaystyle x}$ şu şekilde yazılabilir:

${ displaystyle {x in z: phi (x) }.}$

Spesifikasyonun aksiyom şeması, bu alt kümenin her zaman var olduğunu belirtir (bu bir aksiyom şema çünkü her biri için bir aksiyom var ${ displaystyle phi}$). Resmen izin ver ${ displaystyle phi}$ ZFC dilinde tüm serbest değişkenlerle herhangi bir formül olabilir ${ displaystyle x, z, w_ {1}, ldots, w_ {n}}$ (${ displaystyle y}$ serbest değil ${ displaystyle phi}$). Sonra:

${ displaystyle forall z forall w_ {1} forall w_ {2} ldots forall w_ {n} var y forall x [x y Leftrightarrow ((x içinde z) land phi )].}$

Belirtim aksiyom şemasının yalnızca alt kümeleri oluşturabileceğini ve daha genel formdaki varlıkların oluşturulmasına izin vermediğini unutmayın:

${ displaystyle {x: phi (x) }.}$

Bu kısıtlama önlemek için gereklidir Russell paradoksu ve naif küme teorisine eşlik eden çeşitleri sınırsız anlama.

ZF'nin diğer bazı aksiyomatizasyonlarında, bu aksiyom, aksiyom değiştirme şeması ve boş kümenin aksiyomu.

Öte yandan, şartname aksiyomu, boş küme, belirtilen ${ displaystyle varnothing}$, en az bir setin var olduğu bilindiğinde (yukarıya bakın). Bunu yapmanın bir yolu, bir mülk kullanmaktır ${ displaystyle phi}$ hiçbir sette olmayan. Örneğin, eğer ${ displaystyle w}$ mevcut herhangi bir kümedir, boş küme şu şekilde yapılandırılabilir:

${ displaystyle varnothing = {u in w mid (u in u) land lnot (u u içinde) }.}$

Böylece boş kümenin aksiyomu burada sunulan dokuz aksiyomla ima edilmektedir. Genişletme aksiyomu, boş kümenin benzersiz olduğunu ima eder (bağlı değildir ${ displaystyle w}$). Bir yapmak yaygındır tanımsal uzantı sembolü ekler "${ displaystyle varnothing}$"ZFC'nin diline.

4. Eşleştirme aksiyomu

Eğer ${ displaystyle x}$ ve ${ displaystyle y}$ kümelerdir, daha sonra içeren bir küme vardır ${ displaystyle x}$ ve ${ displaystyle y}$ elemanlar olarak.

${ displaystyle forall x forall y vardır z ((x in z) land (y z)).}$

Bunu tam olarak bu iki öğeye sahip bir kümeye indirgemek için şartname aksiyom şeması kullanılmalıdır. Eşleştirme aksiyomu Z'nin bir parçasıdır, ancak ZF'de fazlalıktır çünkü eğer bize en az iki elemanlı bir küme verilirse, değiştirme aksiyom şemasını takip eder. En az iki öğeli bir kümenin varlığı, sonsuzluk aksiyomu veya şartname aksiyom şeması ve güç kümesinin aksiyomu herhangi bir sete iki kez uygulanır.

5. Birlik aksiyomu

Birlik bir kümenin öğeleri üzerinde var. Örneğin, setin öğeleri üzerindeki birleşim ${ displaystyle { {1,2 }, {2,3 } }}$ dır-dir ${ displaystyle {1,2,3 }.}$

Birliğin aksiyomu, herhangi bir set kümesi için ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ bir set var ${ displaystyle A}$ üyelerinden birinin üyesi olan her öğeyi içeren ${ displaystyle { mathcal {F}}}$:

${ displaystyle forall { mathcal {F}} , var A , forall Y , forall x [(x Y land Y { mathcal {F}}) Rightarrow x içinde].}$

Bu formül doğrudan varlığını iddia etmese de ${ displaystyle cup { mathcal {F}}}$, set ${ displaystyle cup { mathcal {F}}}$ inşa edilebilir ${ displaystyle A}$ şartname aksiyom şemasını kullanarak yukarıda:

${ displaystyle cup { mathcal {F}}: = {x A: içinde Y (x Y land Y içinde { mathcal {F}}) } var.}$

6. Aksiyom değiştirme şeması

Aksiyom yerine koyma şeması, görüntü tanımlanabilir herhangi bir kümenin işlevi ayrıca bir setin içine düşecek.

Resmen izin ver ${ displaystyle phi}$ herhangi biri ol formül ZFC dilinde serbest değişkenler Aralarında ${ displaystyle x, y, A, w_ {1}, dotsc, w_ {n},}$ böylece özellikle ${ displaystyle B}$ serbest değil ${ displaystyle phi}$. Sonra:

${ displaystyle forall A forall w_ {1} forall w_ {2} ldots forall w_ {n} { bigl [} forall x (A Rightarrow içinde x var! y , phi) Rightarrow var B forall x { bigl (} x in A Rightarrow var y (y B land phi) { bigr)} { bigr]}.}$

Anlamı için ${ displaystyle var!}$, görmek benzersiz nicelik.

Başka bir deyişle, eğer ilişki ${ displaystyle phi}$ tanımlanabilir bir işlevi temsil eder ${ displaystyle f}$, ${ displaystyle A}$ temsil eder alan adı, ve ${ displaystyle f (x)}$ her biri için bir set ${ displaystyle x A'da}$ sonra Aralık nın-nin ${ displaystyle f}$ bazı kümelerin alt kümesidir ${ displaystyle B}$. Burada belirtilen form, ${ displaystyle B}$ kesinlikle gerekenden daha büyük olabilir, bazen koleksiyonun aksiyom şeması.

7. Sonsuzluk aksiyomu

İzin Vermek ${ displaystyle S (w)}$ kısaltmak ${ displaystyle w fincan {w },}$ nerede ${ displaystyle w}$ bazı set. (Bunu görebiliriz ${ displaystyle {w }}$ Eşleştirme Aksiyomunu uygulayarak geçerli bir settir ${ displaystyle x = y = w}$ böylece set ${ displaystyle z}$ dır-dir ${ displaystyle {w }}$). Sonra bir set var ${ displaystyle X}$ öyle ki boş küme ${ displaystyle varnothing}$ üyesidir ${ displaystyle X}$ ve ne zaman bir set ${ displaystyle y}$ üyesidir ${ displaystyle X}$ sonra ${ displaystyle S (y)}$ aynı zamanda üyesidir ${ displaystyle X}$.

${ displaystyle var X sol [ varnothing X land forall y (y X Rightarrow S (y) X) sağ].}$

Daha çok konuşma dilinde bir set var ${ displaystyle X}$ sonsuz sayıda üyeye sahip. (Bununla birlikte, bu üyelerin hepsinin farklı olduğu tespit edilmelidir, çünkü eğer iki eleman aynı ise, dizi sonlu bir kümeler döngüsü içinde dönecektir. Düzenlilik aksiyomu bunun olmasını engeller.) ${ displaystyle X}$ sonsuzluğun aksiyomunu tatmin etmek, von Neumann sıra ${ displaystyle omega,}$ bu aynı zamanda bir dizi olarak da düşünülebilir doğal sayılar ${ displaystyle mathbb {N}.}$

8. Güç seti aksiyomu

Tanım olarak bir küme ${ displaystyle z}$ bir alt küme bir setin ${ displaystyle x}$ ancak ve ancak her unsuru ${ displaystyle z}$ aynı zamanda bir unsurdur ${ displaystyle x}$:

${ displaystyle (z subseteq x) Leftrightarrow ( forall q (x içinde z Rightarrow q içinde q )).}$

Güç Kümesi Aksiyomu, herhangi bir set için ${ displaystyle x}$bir set var ${ displaystyle y}$ her alt kümesini içeren ${ displaystyle x}$:

${ displaystyle forall x var y forall z [z subseteq x Rightarrow z y].}$

Spesifikasyon aksiyom şeması daha sonra aşağıdakileri tanımlamak için kullanılır. Gücü ayarla ${ displaystyle { mathcal {P}} (x)}$ böyle bir alt kümesi olarak ${ displaystyle y}$ alt kümelerini içeren ${ displaystyle x}$ kesinlikle:

${ displaystyle P (x) = {z y içinde: z subseteq x }.}$

Aksiyomlar 1–8 ZF'yi tanımlar. Bu aksiyomların alternatif biçimleriyle sık sık karşılaşılır ve bunlardan bazıları aşağıda listelenmiştir. Jech (2003). Bazı ZF aksiyomatizasyonları, boş küme var. Eşleştirme, birleştirme, değiştirme ve güç setinin aksiyomları, genellikle setin üyelerinin ${ displaystyle x}$ varlığı iddia edilenler, aksiyomun iddia ettiği kümelerdir ${ displaystyle x}$ içermek zorundadır.

ZF'yi ZFC'ye dönüştürmek için aşağıdaki aksiyom eklenmiştir:

9. İyi sıralama teoremi

Herhangi bir set için ${ displaystyle X}$, var ikili ilişki ${ displaystyle R}$ hangi iyi siparişler ${ displaystyle X}$. Bunun anlamı ${ displaystyle R}$ bir doğrusal sıra açık ${ displaystyle X}$ öyle ki her boş olmayan alt küme nın-nin ${ displaystyle X}$ asgari düzeyde bir üyeye sahip ${ displaystyle R}$.

${ displaystyle forall X var R (R ; { mbox {iyi siparişler}} ; X).}$

Aksiyomlar verildi 1 – 8aksiyoma kanıtlanabilir şekilde eşdeğer birçok ifade vardır 9, en iyi bilineni seçim aksiyomu (AC), aşağıdaki gibidir. İzin Vermek ${ displaystyle X}$ tüm üyeleri boş olmayan bir küme. Sonra bir fonksiyon var ${ displaystyle f}$ itibaren ${ displaystyle X}$ üyelerinin birliğine ${ displaystyle X}$, deniliyor "seçim işlevi "öyle ki herkes için $X'te { displaystyle Y }$ birinde var ${ displaystyle f (Y) Y olarak}$. Bir seçim fonksiyonunun varlığından beri ${ displaystyle X}$ bir Sınırlı set aksiyomlardan kolayca kanıtlanır 1–8, AC yalnızca kesin olarak önemlidir sonsuz kümeler. AC şu şekilde karakterize edilir: yapıcı olmayan çünkü bir seçim kümesinin varlığını iddia ediyor ama seçim kümesinin nasıl "inşa edileceği" konusunda hiçbir şey söylemiyor. Çok araştırma^{[belirsiz ]} belirli kümelerin tanımlanabilirliğini (veya eksikliğini) karakterize etmeye çalıştı^{[örnek gerekli ]} kimin varlığını iddia ediyor.

Kümülatif hiyerarşi aracılığıyla motivasyon

ZFC aksiyomları için bir motivasyon: kümülatif hiyerarşi tarafından sunulan setlerin John von Neumann.^[8] Bu bakış açısına göre, küme teorisi evreni, her biri için bir aşama olacak şekilde aşamalar halinde inşa edilmiştir. sıra numarası. 0. aşamada henüz set yok. Sonraki her aşamada, tüm unsurları önceki aşamalarda eklenmişse, evrene bir küme eklenir. Böylece 1. aşamada boş küme eklenir ve 2. aşamada boş kümeyi içeren küme eklenir.^[9] Tüm aşamalarda bu şekilde elde edilen tüm kümelerin toplanması V olarak bilinir. V'deki kümeler, her kümeye, kümenin V'ye eklendiği ilk aşama atanarak bir hiyerarşi halinde düzenlenebilir.

Bir kümenin V'de olduğu kanıtlanabilir ancak ve ancak küme saf ve sağlam temelli; ve eğer sıra sınıfları uygun yansıma özelliklerine sahipse, V'nin ZFC'nin tüm aksiyomlarını karşıladığı kanıtlanabilir. Örneğin, bir setin x α aşamasında eklenir, bu da x α'dan önceki bir aşamada eklendi. Sonra her alt kümesi x α aşamasında da eklenir çünkü herhangi bir alt kümenin tüm öğeleri x a aşamasından önce de eklenmiştir. Bu, herhangi bir alt kümesinin x hangi aksiyomun oluşturabileceği a aşamasında eklenir ve güç kümesi x α'dan sonraki aşamada eklenecektir. V'nin ZFC'yi karşıladığına dair eksiksiz bir argüman için bkz. Shoenfield (1977).

Kümülatif hiyerarşiye katmanlandırılmış kümeler evreninin resmi, ZFC'nin ve aşağıdaki gibi ilgili aksiyomatik küme teorilerinin karakteristiğidir. Von Neumann – Bernays – Gödel küme teorisi (genellikle NBG olarak adlandırılır) ve Morse-Kelley küme teorisi. Kümülatif hiyerarşi, aşağıdaki gibi diğer küme teorileriyle uyumlu değildir. Yeni Vakıflar.

Tanımını değiştirmek mümkündür V böylece her aşamada, önceki aşamaların birleşiminin tüm alt kümelerini eklemek yerine, alt kümeler yalnızca belirli bir anlamda tanımlanabilirlerse eklenir. Bu, daha "dar" bir hiyerarşi ile sonuçlanır ve inşa edilebilir evren L, seçim aksiyomu da dahil olmak üzere ZFC'nin tüm aksiyomlarını da karşılamaktadır. ZFC aksiyomlarından bağımsızdır. V = L. Yapısı olmasına rağmen L daha düzenli ve iyi davranıyorV, birkaç matematikçi şunu savunuyor:V = L ZFC'ye ek olarak eklenmelidir "inşa edilebilirlik aksiyomu ".

Metamatematik

Sanal sınıflar

Bu makale için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. Kaynakları bulun: "Zermelo – Fraenkel küme teorisi"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Mart 2019) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Daha önce belirtildiği gibi, uygun sınıflar (kendi üyeleri tarafından paylaşılan, kümeler olamayacak kadar büyük olan bir özellik tarafından tanımlanan matematiksel nesnelerin koleksiyonları) sadece dolaylı olarak ZF'de (ve dolayısıyla ZFC'de) ele alınabilir. ZF içinde kalırken uygun sınıflara bir alternatif ve ZFC, sanal sınıf tarafından sunulan notasyonel yapı Quine (1969), tüm yapının y ∈ { x | Fx } basitçe F olarak tanımlanıry.^[10] Bu, kümeler içerebilen ancak kendilerinin küme olması gerekmeyen sınıflar için basit bir gösterim sağlar, ancak sınıfların ontolojisine bağlı kalmaz (çünkü gösterim sözdizimsel olarak yalnızca kümeleri kullanan birine dönüştürülebilir). Quine'in yaklaşımı, önceki yaklaşım üzerine inşa edilmiştir. Bernays ve Fraenkel (1958). Sanal sınıflar da kullanılır Levy (2002), Takeuti ve Zaring (1982), Ve içinde Metamath ZFC'nin uygulanması.

Von Neumann – Bernays – Gödel küme teorisi

Değiştirme ve ayırmanın aksiyom şemalarının her biri sonsuz sayıda örnek içerir. Montague (1961) ilk olarak 1957 Doktora programında kanıtlanmış bir sonuç içeriyordu. tez: ZFC tutarlıysa, ZFC'yi yalnızca sonlu sayıda aksiyom kullanarak aksiyomatize etmek imkansızdır. Diğer taraftan, von Neumann – Bernays – Gödel küme teorisi (NBG) sonlu olarak aksiyom haline getirilebilir. NBG'nin ontolojisi şunları içerir: uygun sınıflar setlerin yanı sıra; küme, başka bir sınıfın üyesi olabilen herhangi bir sınıftır. NBG ve ZFC, herhangi biri anlamında eşdeğer küme teorileridir. teorem sınıflardan bahsetmemek ve bir teoride kanıtlanabilir, diğerinde kanıtlanabilir.

Tutarlılık

Gödel'in ikinci eksiklik teoremi yorumlayabilen özyinelemeli aksiyomatize edilebilir bir sistem olduğunu söylüyor Robinson aritmetiği kendi tutarlılığını ancak tutarsızsa kanıtlayabilir. Ayrıca, Robinson aritmetiği şu şekilde yorumlanabilir: genel küme teorisi, küçük bir ZFC parçası. Dolayısıyla tutarlılık ZFC, ZFC'nin kendi içinde kanıtlanamaz (aslında tutarsız olmadığı sürece). Bu nedenle, ZFC'nin sıradan matematikle tanımlandığı ölçüde, ZFC'nin tutarlılığı sıradan matematikte gösterilemez. ZFC'nin tutarlılığı, zayıf bir erişilemez kardinal, ZFC tutarlıysa ZFC'de kanıtlanamaz. Bununla birlikte, ZFC'nin beklenmedik bir çelişki barındırması olası değildir; Yaygın olarak, ZFC tutarsız olsaydı, bu gerçeğin şimdiye kadar ortaya çıkarılacağına inanılıyor. Bu kesin - ZFC, klasik paradokslara karşı bağışıktır. saf küme teorisi: Russell paradoksu, Burali-Forti paradoksu, ve Cantor paradoksu.

Abian ve LaMacchia (1978) okudu alt teori Genişletme, birleşim, güç kümesi, değiştirme ve seçim aksiyomlarından oluşan ZFC. Kullanma modeller, bu alt kuramın tutarlı olduğunu kanıtladılar ve genişleme, değiştirme ve iktidar kümesinin her bir aksiyomunun bu alt kuramın kalan dört aksiyomundan bağımsız olduğunu kanıtladılar. Bu alt teori sonsuzluk aksiyomuyla güçlendirilirse, birlik, seçim ve sonsuzluğun aksiyomlarının her biri, kalan beş aksiyomdan bağımsızdır. Düzenlilik aksiyomu dışında ZFC'nin her aksiyomunu karşılayan sağlam temeli olmayan modeller olduğundan, bu aksiyom diğer ZFC aksiyomlarından bağımsızdır.

Tutarlıysa ZFC, erişilemez kardinaller o kategori teorisi gerektirir. Bu türden devasa setler, ZF ile artırılırsa mümkündür. Tarski'nin aksiyomu.^[11] Aksiyomun aksiyomlarını değiştirdiğini varsayarsak sonsuzluk, Gücü ayarla, ve tercih (7 – 9 yukarıda) teoremlere.

Bağımsızlık

Birçok önemli ifade bağımsız ZFC (bkz. ZFC'de karar verilemeyen ifadelerin listesi ). Bağımsızlık genellikle zorlama sayılabilir her geçişin model ZFC'nin (bazen büyük ana aksiyomlar ) söz konusu ifadeyi tatmin edecek şekilde genişletilebilir. Daha sonra, ifadenin olumsuzlamasını tatmin etmek için farklı bir genişleme gösterilir. Zorlayarak bağımsızlık ispatı otomatik olarak aritmetik ifadelerden, diğer somut ifadelerden ve büyük ana aksiyomlardan bağımsızlığı kanıtlar. ZFC'den bağımsız bazı ifadelerin özellikle geçerli olduğu kanıtlanabilir iç modeller olduğu gibi inşa edilebilir evren. Bununla birlikte, inşa edilebilir kümeler hakkında doğru olan bazı ifadeler, varsayılmış büyük kardinal aksiyomlarla tutarlı değildir.

Zorlama, aşağıdaki ifadelerin ZFC'den bağımsız olduğunu kanıtlar:

• Süreklilik hipotezi
• Elmas prensibi
• Suslin hipotezi
• Martin'in aksiyomu (ki bu bir ZFC aksiyomu değildir)
• Yapılandırılabilirlik Aksiyomu (V = L) (ki bu da bir ZFC aksiyomu değildir).

Uyarılar:

• V = L'nin tutarlılığı şu şekilde kanıtlanabilir: iç modeller ancak zorlama değil: ZF'nin her modeli, ZFC + V = L'nin bir modeli olacak şekilde kırpılabilir.
• Elmas İlkesi, Süreklilik Hipotezini ve Suslin Hipotezinin olumsuzlamasını ima eder.
• Martin'in aksiyomu artı Süreklilik Hipotezinin olumsuzlanması Suslin Hipotezini ima eder.
• inşa edilebilir evren tatmin eder Genelleştirilmiş Süreklilik Hipotezi Elmas İlkesi, Martin'in Aksiyomu ve Kurepa Hipotezi.
• Başarısızlığı Kurepa hipotezi varlığıyla eşittir kesinlikle erişilemez kardinal.

Yönteminin bir varyasyonu zorlama tutarlılığını ve kanıtlanamazlığını göstermek için de kullanılabilir. seçim aksiyomu yani, seçim aksiyomu ZF'den bağımsızdır. Seçim tutarlılığı, iç model L'nin seçimi karşıladığı kanıtlanarak (nispeten) kolayca doğrulanabilir. (Bu nedenle, ZF'nin her modeli bir ZFC alt modeli içerir, böylece Con (ZF), Con (ZFC) anlamına gelir.) Zorlama seçeneği koruduğu için, seçimi tatmin eden bir modelden doğrudan doğruya çelişen bir model üretemeyiz. Bununla birlikte, uygun bir alt model, yani tatmin edici bir ZF, ancak C'yi içermeyen bir model oluşturmak için zorlamayı kullanabiliriz.

Bağımsızlığı kanıtlamanın başka bir yöntemi, zorlamaya hiçbir şey borçlu değildir, Gödel'in ikinci eksiklik teoremi. Bu yaklaşım, bir dizi ZFC modelinin varlığını kanıtlamak için bağımsızlığı incelenen ifadeyi kullanır; bu durumda Con (ZFC) doğrudur. ZFC, Gödel'in ikinci teoreminin koşullarını karşıladığından, ZFC'nin tutarlılığı ZFC'de kanıtlanamaz (ZFC'nin aslında tutarlı olması koşuluyla). Bu nedenle, böyle bir kanıta izin veren hiçbir ifade ZFC'de kanıtlanamaz. Bu yöntem, varlığını kanıtlayabilir büyük kardinaller ZFC'de kanıtlanamaz, ancak ZFC verildiğinde bu tür kardinalleri varsaymanın çelişkisiz olduğunu kanıtlayamaz.

Önerilen eklemeler

Süreklilik Hipotezini veya diğer meta-matematiksel belirsizlikleri çözmek için set teorisyenlerini ek aksiyomların arkasında birleştirme projesi bazen "Gödel'in programı" olarak bilinir.^[12] Matematikçiler şu anda hangi aksiyomların en akla yatkın veya "apaçık" olduğunu, hangi aksiyomların çeşitli alanlarda en yararlı olduğunu ve ne dereceye kadar yararlılığın akla yatkınlıkla takas edilmesi gerektiğini tartışıyorlar; biraz "çoklu evren "küme teorisyenleri, yararlılığın, geleneksel olarak benimsenmesi gereken aksiyomların tek nihai kriter olması gerektiğini savunuyorlar. Bir düşünce okulu, ilginç ve karmaşık ancak makul bir şekilde izlenebilir bir yapıya sahip bir küme-teorik evren üretmek için bir kümenin" yinelemeli "konseptini genişletmeye dayanır aksiyomları zorlayarak benimseyerek, başka bir okul daha düzenli, daha az karmaşık bir evrenin savunuculuğunu yapıyor, belki de "çekirdek" bir iç modele odaklanıyor.^[13]

Eleştiriler

Genel olarak küme teorisinin eleştirisi için bkz. Teoriyi belirlemeye itirazlar

ZFC, hem aşırı derecede güçlü olduğu hem de aşırı derecede zayıf olduğu ve uygun sınıflar gibi nesneleri yakalayamadığı için eleştirildi. Evrensel set.

Birçok matematiksel teorem, ZFC'den çok daha zayıf sistemlerde kanıtlanabilir, örneğin Peano aritmetiği ve ikinci dereceden aritmetik (programı tarafından araştırıldığı gibi ters matematik ). Saunders Mac Lane ve Solomon Feferman ikisi de bu noktaya değindi. "Ana akım matematiğin" bir kısmı (aksiyomatik küme teorisi ile doğrudan bağlantılı olmayan matematik) Peano aritmetiğinin ve ikinci dereceden aritmetiğin ötesindedir, ancak yine de tüm bu tür matematikler ZC'de gerçekleştirilebilir (Zermelo küme teorisi seçim ile), ZFC'den daha zayıf başka bir teori. Düzenlilik aksiyomu ve ikame aksiyom şeması da dahil olmak üzere ZFC'nin gücünün çoğu, öncelikle küme teorisinin çalışılmasını kolaylaştırmak için dahil edilmiştir.

Öte yandan, arasında aksiyomatik küme teorileri, ZFC nispeten zayıftır. Aksine Yeni Vakıflar, ZFC evrensel bir kümenin varlığını kabul etmez. Dolayısıyla Evren ZFC altındaki kümelerin sayısı, temel işlemler kapsamında kapatılmaz. kümelerin cebiri. Aksine von Neumann – Bernays – Gödel küme teorisi (NBG) ve Morse-Kelley küme teorisi (MK), ZFC'nin varlığını kabul etmez uygun sınıflar. ZFC'nin diğer bir karşılaştırmalı zayıflığı, seçim aksiyomu ZFC'ye dahil edilen küresel seçim aksiyomu NBG ve MK'ye dahildir.

Sayısız ZFC'de karar verilemeyen matematiksel ifadeler. Bunlar şunları içerir: süreklilik hipotezi, Whitehead sorunu, ve normal Moore uzay varsayımı. Bu varsayımlardan bazıları, aksiyomların eklenmesi ile kanıtlanabilir. Martin'in aksiyomu veya büyük ana aksiyomlar ZFC'ye. Bazılarına ZF + AD'de karar verilir, burada AD belirlilik aksiyomu, seçimle bağdaşmayan güçlü bir varsayım. Büyük kardinal aksiyomların bir cazibesi, bazı büyük kardinal aksiyomlarla bitişik ZFC'de ZF + AD'den elde edilen birçok sonucun oluşturulmasını sağlamasıdır projektif belirlilik ). Mizar sistemi ve Metamath kabul etti Tarski-Grothendieck küme teorisi, ZFC'nin bir uzantısı, böylece ilgili ispatlar Grothendieck evrenler (kategori teorisi ve cebirsel geometride karşılaşılan) resmileştirilebilir.

Ayrıca bakınız

• Matematiğin temelleri
• İç model
• Büyük ana aksiyom

İlişkili aksiyomatik küme teorileri:

• Morse-Kelley küme teorisi
• Von Neumann – Bernays – Gödel küme teorisi
• Tarski-Grothendieck küme teorisi
• Yapıcı küme teorisi
• İç küme teorisi

Notlar

Çalışmalar alıntı

Dış bağlantılar

• "ZFC", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın, 2001 [1994]
• Stanford Felsefe Ansiklopedisi tarafından makaleler Thomas Jech:
  • Set Teorisi;
  • Zermelo – Fraenkel Küme Teorisinin Aksiyomları.
• ZFC aksiyomlarının metamath versiyonu - Kısa ve yedeksiz bir aksiyomatizasyon. Arkaplan birinci dereceden mantık özellikle kanıtların makine doğrulamasını kolaylaştırmak için tanımlanmıştır.
  • Bir türetme içinde Metamath Değiştirme şemasının bir sürümünden ayırma şemasının bir sürümünün.
• "Zermelo-Fraenkel Aksiyomları". PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. "Zermelo-Fraenkel Küme Teorisi". MathWorld.