Uzay-zaman cebiri - Spacetime algebra

İçinde matematiksel fizik, uzay-zaman cebiri (STA), Clifford cebiri Cl_1,3(R) veya eşdeğer olarak geometrik cebir G (M⁴ ). Göre David Hestenes, uzay-zaman cebiri özellikle aşağıdaki geometriyle yakından ilişkilendirilebilir: Özel görelilik ve göreceli boş zaman.

Bu bir vektör alanı bu sadece izin vermez vektörler, ama aynı zamanda bivektörler (alanlar veya rotasyonlar gibi belirli düzlemlerle ilişkili yönlendirilmiş miktarlar) veya bıçaklar (belirli hiper hacimlerle ilişkili miktarlar) birleştirilecek ve döndürülmüş, yansıyan veya Lorentz güçlendirildi. Aynı zamanda doğal ana cebirdir. Spinors özel görelilikte. Bu özellikler, fizikteki en önemli denklemlerin birçoğunun özellikle basit formlarda ifade edilmesine izin verir ve anlamlarının daha geometrik bir şekilde anlaşılmasına çok yardımcı olabilir.

Yapısı

Uzay-zaman cebiri, bir zaman benzeri vektörün ortogonal bir temelinden inşa edilebilir. ${displaystyle gama _ {0}}$ ve üç boşluk benzeri vektör, ${displaystyle {gama _ {1}, gama _ {2}, gama _ {3}}}$, çarpma kuralı ile

${displaystyle gama _ {mu} gama _ {u} + gama _ {u} gama _ {mu} = 2eta _ {mu u}}$

nerede ${displaystyle eta _ {mu u}}$ ... Minkowski metriği imza ile (+ − − −).

Böylece, ${displaystyle gama _ {0} ^ {2} = {+ 1}}$, ${displaystyle gama _ {1} ^ {2} = gama _ {2} ^ {2} = gama _ {3} ^ {2} = {- 1}}$, aksi takdirde ${displaystyle gama _ {mu} gama _ {u} = - gama _ {u} gama _ {mu}}$.

Temel vektörler ${displaystyle gamma _ {k}}$ bu mülkleri ile paylaşın Dirac matrisleri, ancak STA'da açık matris gösteriminin kullanılmasına gerek yoktur.

Bu, bir temel oluşturur skaler ${displaystyle {1}}$, dört vektörler ${displaystyle {gama _ {0}, gama _ {1}, gama _ {2}, gama _ {3}}}$, altı bivektörler ${displaystyle {gamma _ {0} gamma _ {1} ,, gamma _ {0} gamma _ {2} ,, gamma _ {0} gamma _ {3} ,, gamma _ {1} gamma _ {2}, , gama _ {2} gama _ {3} ,, gama _ {3} gama _ {1}}}$, dört takma adlar ${displaystyle {igamma _ {0}, igamma _ {1}, igamma _ {2}, igamma _ {3}}}$ ve bir sözde skalar ${displaystyle {i}}$, nerede ${displaystyle i = gamma _ {0} gamma _ {1} gamma _ {2} gamma _ {3}}$.

Karşılıklı çerçeve

Ortogonal temel ile ilişkili ${displaystyle {gamma _ {mu}}}$ karşılıklı temeldir ${displaystyle {gama ^ {mu} = {gama _ {mu}} ^ {- 1}}}$ için ${displaystyle mu = 0, noktalar, 3}$ilişkiyi tatmin etmek

${displaystyle gama _ {mu} cdot gama ^ {u} = {delta _ {mu}} ^ {u}.}$

Bu karşılıklı çerçeve vektörleri yalnızca bir işaret ile farklılık gösterir. ${displaystyle gama ^ {0} = gama _ {0}}$, ve ${displaystyle gama ^ {k} = - gama _ {k}}$ için ${displaystyle k = 1, noktalar, 3}$.

Bir vektör, üst veya alt dizin koordinatlarında gösterilebilir ${displaystyle a = a ^ {mu} gamma _ {mu} = a_ {mu} gamma ^ {mu}}$ toplamı bitti ${displaystyle mu = 0, noktalar, 3}$, göre Einstein gösterimi koordinatların, taban vektörleri veya bunların karşıtları ile nokta çarpımları alınarak çıkarılabileceği durumlarda.

${displaystyle {egin {hizalı} acdot gama ^ {u} & = a ^ {u} acdot gamma _ {u} & = a_ {u} .son {hizalı}}}$

Uzay-zaman gradyanı

Uzayzaman gradyan, bir Öklid uzayındaki gradyan gibi, şu şekilde tanımlanır: Yönlü türev ilişki sağlandı:

${displaystyle acdot abla F (x) = lim _ {au ightarrow 0} {frac {F (x + a au) -F (x)} {au}}.}$

Bu, gradyanın tanımının olmasını gerektirir

${displaystyle abla = gama ^ {mu} {frac {kısmi} {kısmi x ^ {mu}}} = gama ^ {mu} kısmi _ {mu}.}$

Açıkça yazılmıştır ${displaystyle x = ctgamma _ {0} + x ^ {k} gama _ {k}}$, bu parçalar

${displaystyle kısmi _ {0} = {frac {1} {c}} {frac {kısmi} {kısmi t}}, dörtlü kısmi _ {k} = {frac {kısmi} {kısmi {x ^ {k}}} }}$

Uzay-zaman ayrımı

Uzay-zaman bölünmesi - örnekler:

${displaystyle xgamma _ {0} = x ^ {0} + mathbf {x}}$

${displaystyle pgamma _ {0} = E + mathbf {p}}$[1]

${displaystyle vgamma _ {0} = gama (1 + mathbf {v})}$[1]

nerede ${displaystyle gamma}$ ... Lorentz faktörü

${displaystyle abla gamma _ {0} = kısmi _ {t} -abla}$[2]

Uzay-zaman cebirinde, a uzay-zaman ayrımı aşağıdaki iki işlemle seçilen bir referans çerçevesi ile dört boyutlu uzaydan (3 + 1) boyutlu uzaya bir projeksiyondur:

• bölücüler tarafından yayılan bir 3B alan sağlayan, seçilen zaman ekseninin çökmesi ve
• 4 Boyutlu uzayın seçilen zaman eksenine izdüşümü, 1 Boyutlu skaler uzay verir.^[3]

Bu, zaman benzeri temel vektör ile ön veya son çarpma ile elde edilir. ${displaystyle gama _ {0}}$, dört vektörü skaler zaman benzeri ve iki vektörlü uzay benzeri bileşene bölmeye yarar. İle ${displaystyle x = x ^ {mu} gama _ {mu}}$ sahibiz

${displaystyle {egin {hizalı} xgamma _ {0} & = x ^ {0} + x ^ {k} gamma _ {k} gamma _ {0} gamma _ {0} x & = x ^ {0} -x ^ {k} gama _ {k} gama _ {0} uç {hizalı}}}$

Bu çiftçiler gibi ${displaystyle gama _ {k} gama _ {0}}$ birliğe kare, mekansal bir temel olarak hizmet ederler. Kullanma Pauli matrisi notasyon, bunlar yazılır ${displaystyle sigma _ {k} = gama _ {k} gama _ {0}}$. STA'daki uzamsal vektörler kalın harflerle gösterilmiştir; sonra ${displaystyle mathbf {x} = x ^ {k} sigma _ {k}}$ ${displaystyle gama _ {0}}$uzay-zaman ayrımı ${displaystyle xgamma _ {0}}$ ve tersi ${displaystyle gama _ {0} x}$ şunlardır:

${displaystyle {egin {hizalı} xgamma _ {0} & = x ^ {0} + x ^ {k} sigma _ {k} = x ^ {0} + mathbf {x} gamma _ {0} x & = x ^ {0} -x ^ {k} sigma _ {k} = x ^ {0} -mathbf {x} uç {hizalı}}}$

Çok vektörlü bölme

Uzay-zaman cebiri bir bölme cebiri çünkü içerir idempotent elemanlar ${displaystyle {frac {1} {2}} (1pm gamma _ {0} gamma _ {i})}$ ve sıfır olmayan sıfır bölen: ${displaystyle (1 + gama _ {0} gama _ {i}) (1-gama _ {0} gama _ {i}) = 0}$. Bunlar, üzerinde projektörler olarak yorumlanabilir. ışık konisi bu tür projektörler için sırasıyla diklik ilişkileri. Ama bazı durumlarda dır-dir bir çok vektörlü niceliği diğerine bölmek ve sonucu anlamlandırmak mümkündür: yani, örneğin, aynı düzlemde bir vektör tarafından bölünen yönlendirilmiş bir alan, birincisine ortogonal olan başka bir vektör verir.

Göreli olmayan fiziğin uzay-zaman cebir tanımı

Göreli olmayan kuantum mekaniği

Uzay-zaman cebiri, Pauli parçacığı açısından gerçek matris teorisi yerine teori. Pauli parçacığının matris teorisi açıklaması şöyledir:^[4]

${displaystyle ihbar, kısmi _ {t} Psi = H_ {S} Psi - {frac {ehbar} {2mc}}, {hat {sigma}} cdot mathbf {B} Psi,}$

nerede ${displaystyle i}$ geometrik yorumu olmayan hayali birimdir, ${displaystyle {hat {sigma}} _ {i}}$ Pauli matrisleridir ('hat' notasyonu ile ${displaystyle {hat {sigma}}}$ bir matris operatörüdür ve geometrik cebirde bir öğe değildir) ve ${displaystyle H_ {S}}$ Schrödinger Hamiltoniyen. Uzay-zaman cebirinde Pauli parçacığı şu şekilde tanımlanır: gerçek Pauli-Schrödinger denklemi:^[4]

${displaystyle kısmi _ {t} psi, isigma _ {3}, hbar = H_ {S} psi - {frac {ehbar} {2mc}}, mathbf {B} psi sigma _ {3},}$

Şimdi nerde ${displaystyle i}$ birim pseudoscalar mı ${displaystyle i = sigma _ {1} sigma _ {2} sigma _ {3}}$, ve ${displaystyle psi}$ ve ${displaystyle sigma _ {3}}$ geometrik cebirin öğeleridir, ${displaystyle psi}$ eşit bir çoklu vektör; ${displaystyle H_ {S}}$ yine Schrödinger Hamiltoniyen. Hestenes bunu şu şekilde ifade eder: gerçek Pauli-Schrödinger teorisi manyetik alanı içeren terim kaldırılırsa bu teorinin Schrödinger teorisine indirgendiğini vurgulamak için.

Göreli fiziğin uzay-zaman cebiri açıklaması

Göreli kuantum mekaniği

Göreli kuantum dalga işlevi bazen bir spinor alanı yani^{[kaynak belirtilmeli ]}

${displaystyle psi = e ^ {{frac {1} {2}} (mu + eta i + phi)},}$

nerede ${displaystyle phi}$ bir çiftçidir ve^[5][6]

${displaystyle psi = R (ho e ^ {i eta}) ^ {frac {1} {2}},}$

nerede, türetilmesine göre David Hestenes, ${displaystyle psi = psi (x)}$ uzay-zamanda çok değişken değerli bir fonksiyondur, ${ekran stili R = R (x)}$ modüler olmayan bir spinördür (veya "rotor")^[7]), ve ${displaystyle ho = ho (x)}$ ve ${displaystyle eta = eta (x)}$ skaler değerli fonksiyonlardır.^[5]

Bu denklem, spini hayali psödoskalar ile birleştirmek olarak yorumlanır.^[8] ${displaystyle R}$ bir vektör çerçevesi olan bir Lorentz dönüşü olarak görülür. ${displaystyle gama _ {mu}}$ başka bir vektör çerçevesine ${displaystyle e_ {mu}}$ operasyon tarafından ${displaystyle e_ {mu} = Rgamma _ {mu} {ilde {R}}}$,^[7] dalga işaretinin gösterdiği yerde tersine çevirmek (tersi genellikle hançer sembolü ile de gösterilir, ayrıca bkz. Geometrik cebirde dönmeler ).

Bu, yerel olarak değişen vektör ve skaler değerli gözlemlenebilirler için bir çerçeve sağlamak ve Zitterbewegung orijinal olarak önerilen kuantum mekaniğinin yorumlanması Schrödinger.

Hestenes ifadesini karşılaştırdı: ${displaystyle psi}$ yol integral formülasyonunda Feynman'ın ifadesi ile:

${displaystyle psi = e ^ {iPhi _ {lambda} / hbar},}$

nerede ${displaystyle Phi _ {lambda}}$ boyunca klasik eylem ${displaystyle lambda}$-yol.^[5]

Uzay-zaman cebiri, Dirac parçacığı açısından gerçek matris teorisi yerine teori. Dirac parçacığının matris teorisi açıklaması şöyledir:^[9]

${displaystyle {hat {gamma}} ^ {mu} (mathbf {j} kısmi _ {mu} -emathbf {A} _ {mu}) | psi açısı = m | psi açısı,}$

nerede ${displaystyle {hat {gamma}}}$ Dirac matrisleridir. Uzay-zaman cebirinde Dirac parçacığı aşağıdaki denklemle tanımlanır:^[9]

${displaystyle abla psi, isigma _ {3} -mathbf {A} psi = mpsi gamma _ {0}}$

Buraya, ${displaystyle psi}$ ve ${displaystyle sigma _ {3}}$ geometrik cebirin öğeleridir ve ${displaystyle abla = gamma ^ {mu} kısmi _ {mu}}$ uzay-zaman vektör türevidir.

Genel göreliliğin yeni bir formülasyonu

Lasenby, Doran ve Cambridge Üniversitesi'nden Gull, yeni bir yerçekimi formülasyonu önerdi. ayar teorisi yerçekimi (GTG), burada uzay-zaman cebiri, eğriliği indüklemek için kullanılır. Minkowski alanı kabul ederken ölçü simetrisi "olayların uzay-zaman üzerine rastgele düzgün eşleştirilmesi" altında (Lasenby, vd.); önemsiz bir türetme daha sonra jeodezik denkleme yol açar,

${displaystyle {frac {d} {d au}} R = {frac {1} {2}} (Omega -omega) R}$

ve kovaryant türev

${displaystyle D_ {au} = kısmi _ {au} + {frac {1} {2}} omega,}$

nerede ${displaystyle omega}$ yerçekimi potansiyeli ile ilişkili bağlantıdır ve ${displaystyle Omega}$ elektromanyetik alan gibi harici bir etkileşimdir.

Teori, kara deliklerin tedavisi için bazı umutlar vaat ediyor. Schwarzschild çözümü tekilliklerde bozulmaz; sonuçlarının çoğu Genel görelilik matematiksel olarak yeniden üretildi ve göreceli formülasyonu klasik elektrodinamik genişletildi Kuantum mekaniği ve Dirac denklemi.

Ayrıca bakınız

• Geometrik cebir
• Dirac cebiri
• Dirac denklemi
• Genel görelilik

Referanslar

• Lasenby, A .; Doran, C .; Gull, S. (1998), "Yerçekimi, ölçü teorileri ve geometrik cebir", Phil. Trans. R. Soc. Lond. Bir, 356 (1737): 487–582, arXiv:gr-qc / 0405033, Bibcode:1998RSPTA.356..487L, doi:10.1098 / rsta.1998.0178
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003), Fizikçiler için Geometrik Cebir, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-48022-2
• Hestenes, David (2015) [1966], Uzay-Zaman Cebiri (2. baskı), Birkhäuser
• Hestenes, David; Sobczyk (1984), Clifford Cebirden Geometrik Hesaplamaya, Springer Verlag, ISBN  978-90-277-1673-6
• Hestenes, David (1973), "Dirac teorisinde yerel gözlemlenebilirler", Matematiksel Fizik Dergisi, 14 (7): 893–905, Bibcode:1973 JMP .... 14..893H, CiteSeerX  10.1.1.412.7214, doi:10.1063/1.1666413
• Hestenes, David (1967), "Gerçek Spinor Tarlaları", Matematiksel Fizik Dergisi, 8 (4): 798–808, Bibcode:1967JMP ..... 8..798H, doi:10.1063/1.1705279

Dış bağlantılar

• Hayali sayılar gerçek değildir - uzay-zamanın geometrik cebiri, geometrik cebir fikirlerine öğretici bir giriş, S. Gull, A.Lasenby, C. Doran
• Geometrik Cebirin Fiziksel Uygulamaları ders notları, özellikle 2. bölüme bakınız.
• Cambridge Üniversitesi Geometrik Cebir grubu
• Geometric Calculus araştırma ve geliştirme