İçinde olasılık teorisi, hesaplanması normal dağıtılan rastgele değişkenlerin toplamı aritmetiğinin bir örneğidir rastgele değişkenler dayalı olarak oldukça karmaşık olabilen olasılık dağılımları ilgili rastgele değişkenler ve bunların ilişkileri.
Bu, ile karıştırılmamalıdır normal dağılımların toplamı hangi oluşturur karışım dağılımı.
Bağımsız rastgele değişkenler
İzin Vermek X ve Y olmak bağımsız rastgele değişkenler bunlar normal dağılım (ve dolayısıyla müşterek olarak da), toplamları da normal olarak dağıtılır. yani, eğer
![X sim N ( mu _ {X}, sigma _ {X} ^ {2})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc89fb1a8a0ccc98de04fbe39d29de46ad2b9c8)
![Y sim N ( mu _ {Y}, sigma _ {Y} ^ {2})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71af4fd9f42fc4c3862e430c8050debadafcaf1d)
![Z = X + Y,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddfa17681bda0dd11190d7baa5fb07f68e90a8e)
sonra
![Z sim N ( mu _ {X} + mu _ {Y}, sigma _ {X} ^ {2} + sigma _ {Y} ^ {2}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fceed1e76621f9fe87a314d3b5b30f5aace7110)
Bu, normal olarak dağıtılmış iki bağımsız rastgele değişkenin toplamının normal olduğu, ortalamasının iki aracın toplamı olduğu ve varyansının iki varyansın toplamı olduğu anlamına gelir (yani, standart sapmanın karesi, standart sapmaların kareleri).[1]
Bu sonucun geçerli olması için, varsayım X ve Y bağımsızdırlar, bırakılamaz, ancak bu varsayımla zayıflatılabilir X ve Y vardır birlikte ayrı ayrı değil, normal olarak dağıtılır.[2] (Görmek burada bir örnek için.)
Ortalamayla ilgili sonuç her durumda geçerlidir, varyansın sonucu ise ilişkisizliği gerektirir, ancak bağımsızlık gerektirmez.
Kanıtlar
Karakteristik fonksiyonları kullanarak ispat
karakteristik fonksiyon
![varphi _ {X + Y} (t) = operatöradı {E} left (e ^ {it (X + Y)} sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c8690b75dc98fa11908f7941adc6e2b42ded1fd)
iki bağımsız rastgele değişkenin toplamının X ve Y sadece iki ayrı karakteristik fonksiyonun ürünüdür:
![varphi _ {X} (t) = operatöradı {E} left (e ^ {itX} right), qquad varphi _ {Y} (t) = operatöradı {E} left (e ^ { itY} sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/691b3619679b99d61e9c8eedd7c12f8e199c1233)
nın-nin X ve Y.
Normal dağılımın beklenen değer μ ve varyans σ ile karakteristik fonksiyonu2 dır-dir
![varphi (t) = exp left (it mu - { sigma ^ {2} t ^ {2} over 2} right).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10b2902fdcf2c3d277828d75f2e0e8cab273e07a)
Yani
![{ displaystyle { başla {hizalı} varphi _ {X + Y} (t) = varphi _ {X} (t) varphi _ {Y} (t) & = exp sol (it mu _ {X} - { sigma _ {X} ^ {2} t ^ {2} over 2} right) exp left (it mu _ {Y} - { sigma _ {Y} ^ {2 } t ^ {2} over 2} right) [6pt] & = exp left (it ( mu _ {X} + mu _ {Y}) - {( sigma _ {X} ^ {2} + sigma _ {Y} ^ {2}) t ^ {2} over 2} right). End {hizalı}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/792f3b62b260ba1f24635f05e02bda984ee0f811)
Bu, beklenen değerle normal dağılımın karakteristik fonksiyonudur
ve varyans ![sigma _ {X} ^ {2} + sigma _ {Y} ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baade7e6682067691fc286c52b696636f2943489)
Son olarak, iki farklı dağılımın aynı karakteristik işleve sahip olamayacağını hatırlayın, bu nedenle dağılım X + Y sadece bu normal dağılım olmalı.
Evrişimler kullanarak ispat
Bağımsız rastgele değişkenler için X ve Y, dağıtım fZ nın-nin Z = X + Y evrişime eşittir fX ve fY:
![{ displaystyle f_ {Z} (z) = int _ {- infty} ^ { infty} f_ {Y} (z-x) f_ {X} (x) , dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e972c78bd3002bf1d85fb67cc9236040413cbfdf)
Verilen fX ve fY normal yoğunluklardır,
![{ displaystyle { begin {align} f_ {X} (x) = { mathcal {N}} (x; mu _ {X}, sigma _ {X} ^ {2}) = { frac { 1} {{ sqrt {2 pi}} sigma _ {X}}} e ^ {- (x- mu _ {X}) ^ {2} / (2 sigma _ {X} ^ {2 })} [5pt] f_ {Y} (y) = { mathcal {N}} (y; mu _ {Y}, sigma _ {Y} ^ {2}) = { frac {1 } {{ sqrt {2 pi}} sigma _ {Y}}} e ^ {- (y- mu _ {Y}) ^ {2} / (2 sigma _ {Y} ^ {2} )} end {hizalı}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dcd3e5a52c418e5ded5437ab6db1f291794c4aa)
Evrişime ikame etmek:
![{ displaystyle { begin {align} f_ {Z} (z) & = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} sigma _ {Y}}} exp left [- {(zx- mu _ {Y}) ^ {2} over 2 sigma _ {Y} ^ {2}} right] { frac {1} { { sqrt {2 pi}} sigma _ {X}}} exp left [- {(x- mu _ {X}) ^ {2} over 2 sigma _ {X} ^ {2 }} right] , dx [6pt] & = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} { sqrt {2 pi}} sigma _ {X} sigma _ {Y}}} exp left [- { frac { sigma _ {X} ^ {2} (zx- mu _ {Y}) ^ {2 } + sigma _ {Y} ^ {2} (x- mu _ {X}) ^ {2}} {2 sigma _ {X} ^ {2} sigma _ {Y} ^ {2}} } right] , dx [6pt] & = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} { sqrt {2 pi }} sigma _ {X} sigma _ {Y}}} exp left [- { frac { sigma _ {X} ^ {2} (z ^ {2} + x ^ {2} + mu _ {Y} ^ {2} -2xz-2z mu _ {Y} + 2x mu _ {Y}) + sigma _ {Y} ^ {2} (x ^ {2} + mu _ { X} ^ {2} -2x mu _ {X})} {2 sigma _ {Y} ^ {2} sigma _ {X} ^ {2}}} sağ] , dx [6pt ] & = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} { sqrt {2 pi}} sigma _ {X} sigma _ {Y}}} exp sol [- { frac {x ^ {2} ( sigma _ {X} ^ {2} + sigma _ {Y} ^ {2}) - 2x ( sigma _ { X} ^ {2} (z- mu _ {Y}) + sigma _ {Y} ^ {2} mu _ {X}) + si gma _ {X} ^ {2} (z ^ {2} + mu _ {Y} ^ {2} -2z mu _ {Y}) + sigma _ {Y} ^ {2} mu _ { X} ^ {2}} {2 sigma _ {Y} ^ {2} sigma _ {X} ^ {2}}} sağ] , dx [6pt] end {hizalı}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a6f97fa2dc470b8915abace27535348dfc8b670)
Tanımlama
, ve kareyi tamamlamak:
![{ displaystyle { begin {align} f_ {Z} (z) & = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} sigma _ {Z}}} { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} { frac { sigma _ {X} sigma _ {Y}} { sigma _ {Z}}}}} exp left [- { frac {x ^ {2} -2x { frac { sigma _ {X} ^ {2} (z- mu _ {Y}) + sigma _ {Y} ^ {2 } mu _ {X}} { sigma _ {Z} ^ {2}}} + { frac { sigma _ {X} ^ {2} (z ^ {2} + mu _ {Y} ^ {2} -2z mu _ {Y}) + sigma _ {Y} ^ {2} mu _ {X} ^ {2}} { sigma _ {Z} ^ {2}}}} {2 left ({ frac { sigma _ {X} sigma _ {Y}} { sigma _ {Z}}} sağ) ^ {2}}} sağ] , dx [6pt] & = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} sigma _ {Z}}} { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} { frac { sigma _ {X} sigma _ {Y}} { sigma _ {Z}}}}} exp left [- { frac { left (x - { frac { sigma _ {X} ^ {2} (z- mu _ {Y}) + sigma _ {Y} ^ {2} mu _ {X}} { sigma _ {Z} ^ {2} }} sağ) ^ {2} - left ({ frac { sigma _ {X} ^ {2} (z- mu _ {Y}) + sigma _ {Y} ^ {2} mu _ {X}} { sigma _ {Z} ^ {2}}} sağ) ^ {2} + { frac { sigma _ {X} ^ {2} (z- mu _ {Y}) ^ {2} + sigma _ {Y} ^ {2} mu _ {X} ^ {2}} { sigma _ {Z} ^ {2}}}} {2 left ({ frac { sigma _ {X} sigma _ {Y}} { sigma _ {Z}}} sağ) ^ {2}}} sağ] , dx [6pt] & = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} sigma _ {Z}}} exp left [- { frac { sigma _ { Z} ^ {2} left ( sigma _ {X} ^ {2} (z- mu _ {Y}) ^ {2} + sigma _ {Y} ^ {2} mu _ {X} ^ {2} sağ) - sol ( sigma _ {X} ^ {2} (z- mu _ {Y}) + sigma _ {Y} ^ {2} mu _ {X} sağ ) ^ {2}} {2 sigma _ {Z} ^ {2} left ( sigma _ {X} sigma _ {Y} sağ) ^ {2}}} sağ] { frac {1 } {{ sqrt {2 pi}} { frac { sigma _ {X} sigma _ {Y}} { sigma _ {Z}}}}} exp left [- { frac { sol (x - { frac { sigma _ {X} ^ {2} (z- mu _ {Y}) + sigma _ {Y} ^ {2} mu _ {X}} { sigma _ {Z} ^ {2}}} sağ) ^ {2}} {2 left ({ frac { sigma _ {X} sigma _ {Y}} { sigma _ {Z}}} sağ ) ^ {2}}} right] , dx [6pt] & = { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} sigma _ {Z}}} exp left [- {(z - ( mu _ {X} + mu _ {Y})) ^ {2} over 2 sigma _ {Z} ^ {2}} right] int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} { frac { sigma _ {X} sigma _ {Y}} { sigma _ {Z}}}}} exp sol [- { frac { left (x - { frac { sigma _ {X} ^ {2} (z- mu _ {Y}) + sigma _ {Y} ^ {2} mu _ {X}} { sigma _ {Z} ^ {2}}} sağ) ^ {2}} {2 left ({ frac { sigma _ {X} sigma _ {Y}} { sigma _ {Z}}} sağ) ^ {2}}} sağ] , dx end {hizalı} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c35a97871d3114ec282ca86ac391c71bdef6c4e)
İntegraldeki ifade, normal yoğunluk dağılımıdır. xve böylece integral 1 olarak değerlendirilir. İstenen sonuç şu şekildedir:
![{ displaystyle f_ {Z} (z) = { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} sigma _ {Z}}} exp sol [- {(z - ( mu _ { X} + mu _ {Y})) ^ {2} 2'den fazla sigma _ {Z} ^ {2}} sağ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28fde9228892de26aee49621c14713fd9f15bfde)
Gösterilebilir ki Fourier dönüşümü bir Gauss'lu
, dır-dir[3]
![{ displaystyle { mathcal {F}} {f_ {X} } = F_ {X} ( omega) = exp sol [-j omega mu _ {X} sağ] exp sol [- { tfrac { sigma _ {X} ^ {2} omega ^ {2}} {2}} sağ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68ab6af95ff6e148b2fc3286c61daf71847d036)
Tarafından evrişim teoremi:
![{ displaystyle { begin {align} f_ {Z} (z) & = (f_ {X} * f_ {Y}) (z) [5pt] & = { mathcal {F}} ^ {- 1 } { big {} { mathcal {F}} {f_ {X} } cdot { mathcal {F}} {f_ {Y} } { big }} [5pt] & = { mathcal {F}} ^ {- 1} { big {} exp left [-j omega mu _ {X} right] exp left [- { tfrac { sigma _ {X} ^ {2} omega ^ {2}} {2}} right] exp left [-j omega mu _ {Y} right] exp left [- { tfrac { sigma _ {Y} ^ {2} omega ^ {2}} {2}} right] { big }} [5pt] & = { mathcal {F}} ^ {- 1} { big {} exp left [-j omega ( mu _ {X} + mu _ {Y}) right] exp left [- { tfrac {( sigma _ {X} ^ {2} + sigma _ {Y} ^ {2}) omega ^ {2}} {2}} sağ] { big }} [5pt] & = { mathcal {N}} (z; mu _ {X} + mu _ {Y}, sigma _ {X} ^ {2} + sigma _ {Y} ^ {2}) end {hizalı}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c825798efcf5ad961bbbea15f8bdce8e8ca911)
Geometrik kanıt
İlk önce normalleştirilmiş durumu düşünün X, Y ~ N(0, 1), böylece onların PDF'ler vardır
![{ displaystyle f (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi ,}}} e ^ {- x ^ {2} / 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83bac1f90ce18cc0accafe06bdf3ff95069b71fc)
ve
![{ displaystyle g (y) = { frac {1} { sqrt {2 pi ,}}} e ^ {- y ^ {2} / 2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fa8e4cbb9d43c2b665fa1634c5e1b426cae8a70)
İzin Vermek Z = X + Y. Sonra CDF için Z olacak
![z mapsto int _ {x + y leq z} f (x) g (y) , dx , dy.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9145ce20f65898ddd50c65afa508e18c6e67dfe)
Bu integral, doğrunun altında kalan yarı düzlemin üzerindedir. x+y = z.
Temel gözlem, işlevin
![{ displaystyle f (x) g (y) = { frac {1} {2 pi}} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2}) / 2} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1967192c1ef04cf618313826dd15cf0cb5a4da)
radyal olarak simetriktir. Bu yüzden koordinat düzlemini başlangıç noktasına göre döndürerek yeni koordinatlar seçiyoruz
öyle ki çizgi x+y = z denklem ile tanımlanır
nerede
geometrik olarak belirlenir. Radyal simetri nedeniyle,
ve CDF için Z dır-dir
![int _ {x ' leq c, y' in mathbb {R}} f (x ') g (y') , dx ', dy'.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4fa1d94eaff13d43ab39df6851b40189b65246f)
Bu entegrasyonu kolaydır; CDF'nin Z dır-dir
![int _ {- infty} ^ {c (z)} f (x ') , dx' = Phi (c (z)).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeaf37fa372342c02ac4da74926730273758b1ed)
Değeri belirlemek için
, düzlemi doğru x+y = z şimdi dikey olarak çalışıyor xeşittir c. Yani c sadece başlangıçtan çizgiye olan mesafedir x+y = z doğruyu orijine en yakın noktasında karşılayan dikey açıortay boyunca, bu durumda
. Yani mesafe
ve CDF için Z dır-dir
yani ![Z = X + Y sim N (0,2).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148c6a1f674296021b5c25fa0083b08ec673f06b)
Şimdi eğer a, b herhangi bir gerçek sabittir (her ikisi de sıfır değil!)
yukarıdaki ile aynı integralde bulunur, ancak sınır çizgisi ile
. Aynı döndürme yöntemi işe yarar ve bu daha genel durumda, doğrudaki orijine en yakın noktanın bir (işaretli) mesafede olduğunu buluruz.
![{ frac {z} { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915788a0bd1637a562aec31ef4b150dce41adda4)
uzakta, böylece
![aX + bY sim N (0, a ^ {2} + b ^ {2}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c7e74238f1f156ee4ac12f5a2f3f780fbb31ad3)
Daha yüksek boyutlardaki aynı argüman şunu gösterir:
![X_ {i} sim N (0, sigma _ {i} ^ {2}), qquad i = 1, dots, n,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/186e7138633e77d4203fe0c64e34f657d44988fa)
sonra
![X_ {1} + cdots + X_ {n} sim N (0, sigma _ {1} ^ {2} + cdots + sigma _ {n} ^ {2}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae3b57223e98bc7a046aa832bbf7bd0f3f96b4c)
Şimdi esasen bitirdik çünkü
![X sim N ( mu, sigma ^ {2}) Leftrightarrow { frac {1} { sigma}} (X- mu) sim N (0,1).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63fffb63ac235e01f65cc299cc6c0b1c4e9598f5)
Yani genel olarak, eğer
![X_ {i} sim N ( mu _ {i}, sigma _ {i} ^ {2}), qquad i = 1, dots, n,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f97a8754eabba0b66d29dcc816006bcfa72fc1)
sonra
![sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} X_ {i} sim N left ( sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} mu _ {i}, toplam _ {i = 1} ^ {n} (a_ {i} sigma _ {i}) ^ {2} sağ).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac382eee6f8cd5c115a37f3ceb21bd6b4edd7e8)
İlişkili rastgele değişkenler
Değişkenlerin X ve Y birlikte normal olarak dağıtılmış rastgele değişkenlerdir, bu durumda X + Y hala normal dağıtılır (bkz. Çok değişkenli normal dağılım ) ve ortalama, araçların toplamıdır. Bununla birlikte, varyanslar korelasyon nedeniyle toplamsal değildir. Aslında,
![sigma _ {X + Y} = { sqrt { sigma _ {X} ^ {2} + sigma _ {Y} ^ {2} +2 rho sigma _ {X} sigma _ {Y} }},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6882e65c0042f15960e0aa6e2d0d9c75a783fc)
ρ nerede ilişki. Özellikle, ρ <0 olduğunda, varyans, varyansların toplamından küçüktür. X ve Y.
Bu sonucun uzantıları kullanılarak ikiden fazla rastgele değişken için yapılabilir kovaryans matrisi.
Kanıt
Bu durumda (ile X ve Y sıfır ortalamaya sahip olmak), dikkate alınması gereken
![{ displaystyle { frac {1} {2 pi sigma _ {x} sigma _ {y} { sqrt {1- rho ^ {2}}}}} iint _ {x , y} exp left [- { frac {1} {2 (1- rho ^ {2})}} left ({ frac {x ^ {2}} { sigma _ {x} ^ {2} }} + { frac {y ^ {2}} { sigma _ {y} ^ {2}}} - { frac {2 rho xy} { sigma _ {x} sigma _ {y}} } right) right] delta (z- (x + y)) , mathrm {d} x , mathrm {d} y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd92be08ee723e21a0955f75f2b7ecc1ccef06b)
Yukarıdaki gibi, oyuncu değişikliği yapar ![y rightarrow z-x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe74ce372876515868142fd5720238508f2387c3)
Bu integral analitik olarak basitleştirmek için daha karmaşıktır, ancak sembolik bir matematik programı kullanılarak kolayca yapılabilir. Olasılık dağılımı fZ(z) bu durumda verilir
![f_ {Z} (z) = { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} sigma _ {+}}} exp left (- { frac {z ^ {2}} {2 sigma _ {+} ^ {2}}} sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93b2d292f2acd54250f14b0c458533a745b61a4)
nerede
![sigma _ {+} = { sqrt { sigma _ {x} ^ {2} + sigma _ {y} ^ {2} +2 rho sigma _ {x} sigma _ {y}}} .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b07d64974c4ef865525a8a4e2909597aa8379ba)
Bunun yerine düşünürsek Z = X − Ysonra elde edilir
![f_ {Z} (z) = { frac {1} { sqrt {2 pi ( sigma _ {x} ^ {2} + sigma _ {y} ^ {2} -2 rho sigma _ {x} sigma _ {y})}}} exp left (- { frac {z ^ {2}} {2 ( sigma _ {x} ^ {2} + sigma _ {y} ^ {2} -2 rho sigma _ {x} sigma _ {y})}} sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e13f83952f6b775a2f682c722f0a5ce53682d7e)
ile yeniden yazılabilir
![sigma _ {-} = { sqrt { sigma _ {x} ^ {2} + sigma _ {y} ^ {2} -2 rho sigma _ {x} sigma _ {y}}} .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122fcdf2654cddc7f360e148c8f66504e00394dd)
Her dağılımın standart sapmaları, standart normal dağılıma kıyasla açıktır.
Referanslar
Ayrıca bakınız