Bir idealin sembolik gücü - Symbolic power of an ideal

İçinde cebir ve cebirsel geometri verilen değişmeli Noetherian yüzük ${ displaystyle R}$ ve bir ideal ${ displaystyle I}$ içinde nsembolik güç nın-nin ${ displaystyle I}$ ideal

${ displaystyle I ^ {(n)} = R cap bigcap _ {P in operatorname {Ass} (I)} I ^ {n} R_ {P}}$

nerede ${ displaystyle R_ {P}}$ ... yerelleştirme nın-nin ${ displaystyle R}$ -e ${ displaystyle P}$ ve kavşak, tüm ilişkili asal nın-nin ${ displaystyle R / I}$

Bu tanım gerektirmese de ${ displaystyle I}$ olmak önemli, bu varsayımla genellikle çalışılır, çünkü bir birincil ideal, sembolik güç eşit olarak tanımlanabilir ${ displaystyle I}$-birincil bileşen nın-nin ${ displaystyle I ^ {n}}$. Çok kabaca, sıra sıfırları olan işlevlerden oluşur n tarafından tanımlanan çeşitlilik boyunca ${ displaystyle I}$. Sahibiz: ${ displaystyle I ^ {(1)} = I}$ ve eğer bir maksimum ideal, sonra ${ displaystyle I ^ {(n)} = I ^ {n}}$.

Sembolik güçler aşağıdaki idealler zincirini doğurur:

${ displaystyle I ^ {(0)} = R supset I = I ^ {(1)} supset I ^ {(2)} supset I ^ {(3)} supset I ^ {(4)} supset cdots}$

Kullanımlar

Sembolik güçlerin incelenmesi ve kullanılması, uzun bir geçmişe sahiptir. değişmeli cebir. Krull's onun ünlü kanıtı temel ideal teorem bunları temel bir şekilde kullanır. İlk önce ortaya çıktılar birincil ayrışmalar kanıtlandı Noetherian yüzükler. Zariski analitik çalışmalarında sembolik güçler kullandı normallik nın-nin cebirsel çeşitler. Chevalley ünlü lemma karşılaştırması topolojiler belirtir ki tam yerel alan sembolik güçler topoloji herhangi bir önemli dır-dir daha ince den m-adik topoloji. Kaybolan teoremde çok önemli bir adım yerel kohomoloji Hartshorne ve Lichtenbaum, bunu birinci sınıf ${ displaystyle I}$ tanımlayan eğri içinde tam yerel alan güçleri ${ displaystyle I}$ vardır eş final sembolik güçleri ile ${ displaystyle I}$. Olmanın bu önemli özelliği eş final 1970'lerde Schenzel tarafından daha da geliştirildi.^[1]

Cebirsel geometride

Rağmen jeneratörler için sıradan güçler nın-nin ${ displaystyle I}$ ne zaman iyi anlaşıldı ${ displaystyle I}$ jeneratörleri açısından şu şekilde verilmiştir: ${ displaystyle I = (f_ {1}, ldots, f_ {k})}$birçok durumda sembolik güçlerin üreteçlerini belirlemek hala çok zordur. ${ displaystyle I}$. Ama içinde geometrik ayar, şu durumlarda net bir geometrik yorum vardır: ${ displaystyle I}$ bir radikal ideal bir cebirsel olarak kapalı alan nın-nin karakteristik sıfır.

Eğer ${ displaystyle X}$ bir indirgenemez Çeşitlilik kimin ideali yok olmak ${ displaystyle I}$, sonra diferansiyel güç nın-nin ${ displaystyle I}$ hepsinden oluşur fonksiyonlar içinde ${ displaystyle R}$ bu kaybolur ≥ n açık ${ displaystyle X}$yani

${ displaystyle I ^ { langle n rangle}: = {f in R mid f { text {sırayla kaybolur}} geq n { text {tüm}} X } üzerinde.}$

Veya eşdeğer olarak, eğer ${ displaystyle mathbf {m} _ {p}}$ ... maksimum ideal bir nokta için $X'te { displaystyle p }$, ${ displaystyle I ^ { langle n rangle} = bigcap _ {p in X} mathbf {m} _ {p} ^ {n}}$.

Teorem (Nagata, Zariski)^[2] İzin Vermek ${ displaystyle I}$ ana ideal olmak polinom halkası ${ displaystyle K [x_ {1}, ldots, x_ {N}]}$ cebirsel olarak kapalı bir alan üzerinde. Sonra

${ displaystyle I ^ {(m)} = I ^ { langle m rangle}}$

Bu sonuç herhangi bir radikal ideal.^[3] Bu formülasyon çok faydalıdır çünkü karakteristik sıfır, jeneratörler açısından diferansiyel güçleri şu şekilde hesaplayabiliriz:

${ displaystyle I ^ { langle m rangle} = sol langle f orta { frac { kısmi ^ { mathbf {a}} f} { kısmi x ^ { mathbf {a}}}} I { text {tümü için}} mathbf {a} in mathbb {N} ^ {N} { text {nerede}} | mathbf {a} | = sum _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} leq m-1 sağ rangle}$

Başka bir formülasyon için, temelin yüzük bir polinom halkası üzerinde alan. Bu durumda yorumlayabiliriz n-th sembolik güç olarak demet tüm işlevlerin mikroplar bitmiş ${ displaystyle X = operatorname {Spec} (R) { text {sıraya göre kayboluyor}} geq n { text {at}} Z = V (I)}$Aslında, eğer ${ displaystyle X}$ bir pürüzsüz çeşitlilik üzerinde mükemmel alan, sonra

${ displaystyle I ^ {(n)} = {f R orta f içinde mathbf {m} ^ {n} { text {her kapalı nokta için}} mathbf {m} Z }}$^[1]

Kaplar

Sembolik güçlerin sıradan güçlerle hemfikir olup olmadığını düşünmek doğaldır, yani ${ displaystyle I ^ {n} = I ^ {(n)}}$ ambar? Genel olarak durum bu değildir. Bunun bir örneği, ana ideal ${ displaystyle P = (x ^ {4} -yz, , y ^ {2} -xz, , x ^ {3} y-z ^ {2}) subseteq K [x, y, z]}$. İşte buna sahibiz ${ displaystyle P ^ {2} neq P ^ {(2)}}$.^[1] Ancak, ${ displaystyle P ^ {2} alt küme P ^ {(2)}}$ tutuyor ve bunun genellemesi dahil etme iyi anlaşılmıştır. Gerçekten, çevreleme ${ displaystyle I ^ {n} subseteq I ^ {(n)}}$tanımdan izler. Dahası, bilinmektedir ki ${ displaystyle I ^ {r} subseteq I ^ {(m)}}$ ancak ve ancak ${ displaystyle m leq r}$. Kanıt aşağıdaki gibidir Nakayama'nın lemması.^[4]

Sembolik güçler, Sınırlama Problemi olarak adlandırılan, ideallerin sıradan güçlerine dahil edildiğinde, diğer sınırlama üzerine kapsamlı bir çalışma yapılmıştır. Bir kez daha bu, aşağıdaki teoremde özetlenen, kolayca ifade edilen bir cevaba sahiptir. Ein, Lazarfeld ve Smith tarafından karakteristik sıfır olarak geliştirilmiştir. ^[5] ve genişletildi olumlu özellik Hochster ve Huneke tarafından.^[6] Her ikisi de makalelerinin sonuçlarına dayanıyor Irena Swanson içinde İdeal Topolojilerin Doğrusal Eşdeğeri (2000).^[7]

Teorem (Ein, Lazarfeld, Smith; Hochster, Huneke) İzin Vermek ${ displaystyle I alt küme K [x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {N}]}$ olmak homojen ideal. Sonra dahil etme

${ displaystyle I ^ {(m)} altküme I ^ {r}}$ herkes için geçerli ${ displaystyle m geq Nr.}$

Daha sonra doğrulandı ciltli nın-nin ${ displaystyle N}$ teoremde genel idealler için sıkılaştırılamaz.^[8] Ancak, sorulan bir soruyu takiben^[8] Bocci, Harbourne ve Huneke tarafından, bazı durumlarda daha iyi bir sınırın var olduğu keşfedildi.

Teoremi Dahil etme ${ displaystyle I ^ {(m)} subseteq I ^ {r}}$ hepsi için ${ displaystyle m geq Nr-N + 1}$ tutar

1. karakteristik 2'deki keyfi idealler için;^[9]
2. için tek terimli idealler keyfi karakterde^[4]
3. idealleri için d-yıldızlar^[8]
4. genel noktaların idealleri için ${ displaystyle mathbb {P} ^ {2} { text {ve}} mathbb {P} ^ {3}}$^[10][11]

Referanslar

Soldan: Brian Harbourne, Sandra Di Rocco, Tomasz Szemberg [pl ]ve Thomas Bauer MFO mini atölye Cebirsel Çeşitler Üzerine Doğrusal Seriler, 2010

Dış bağlantılar

• Melvin Hochster, Math 711: 7 Eylül 2007 Konferansı