Terminal hızı - Terminal velocity

Yerçekiminin aşağı yönlü kuvveti (F_g) sürüklemenin kısıtlayıcı kuvvetine eşittir (F_d) artı kaldırma kuvveti. Nesne üzerindeki net kuvvet sıfırdır ve sonuç, nesnenin hızının sabit kalmasıdır.

Terminal hızı bir nesnenin içinden düşerken ulaşabileceği maksimum hızdır sıvı (hava en yaygın örnektir). Toplamı olduğunda oluşur sürüklemek güç (F_d) ve kaldırma kuvveti aşağı doğru kuvvetine eşittir Yerçekimi (F_G) nesne üzerinde hareket etmek. Beri net kuvvet nesnede sıfır, nesne sıfıra sahip hızlanma.^[1]

İçinde akışkan dinamiği, bir nesne son hızında hareket ediyor ise hız içinden geçtiği sıvının uyguladığı kısıtlama kuvveti nedeniyle sabittir ^[2].

Bir nesnenin hızı arttıkça, üzerine etki eden sürükleme kuvveti de artar, bu da içinden geçtiği maddeye (örneğin hava veya su) bağlıdır. Bir hızda, direncin sürüklenmesi veya kuvveti, nesne üzerindeki yerçekimi kuvvetine eşit olacaktır (kaldırma kuvveti aşağıda ele alınmıştır). Bu noktada, nesne hızlanmayı durdurur ve son hız adı verilen sabit bir hızda düşmeye devam eder (ayrıca yerleşme hızı olarak da adlandırılır). Son hızdan aşağıya doğru daha hızlı hareket eden bir nesne (örneğin aşağıya doğru fırlatıldığı için, atmosferin daha ince bir kısmından düştüğü veya şekli değiştiği için) son hıza ulaşıncaya kadar yavaşlayacaktır. Sürükleme, projelendirilmiş alan burada nesnenin yatay düzlemdeki kesiti veya silueti. Paraşüt gibi kütlesine göre geniş bir projeksiyon alanı olan bir nesne, dart gibi kütlesine göre küçük bir projeksiyon alanı olan bir nesneden daha düşük bir terminal hızına sahiptir. Genel olarak, aynı şekil ve malzeme için, bir nesnenin son hızı boyutla birlikte artar. Bunun nedeni, aşağı doğru kuvvetin (ağırlık) doğrusal boyutun küpüyle orantılı olması, ancak hava direncinin yalnızca doğrusal boyutun karesi olarak artan kesit alanıyla yaklaşık orantılı olmasıdır. Toz ve sis gibi çok küçük nesneler için terminal hızı, yere ulaşmalarını engelleyen konveksiyon akımları ile kolayca aşılır ve dolayısıyla belirsiz süreler boyunca havada asılı kalırlar. Hava kirliliği ve sis buna örnektir.

Örnekler

Bir paraşütçünün bir terminal hıza ulaşan zamana karşı hızı grafiği.

Örneğin rüzgar direncine bağlı olarak, bir paraşütçü göbeğinden toprağa (yani, yüzüstü) serbest düşüş pozisyon yaklaşık 195km / s (120 mph; 54 Hanım ).^[3] Bu hız asimptotik Hızın sınırlayıcı değeri ve vücuda etki eden kuvvetler, terminal hıza yaklaşıldıkça birbirlerini daha da yakından dengeler. Bu örnekte, yaklaşık 3 saniye sonra terminal hızının% 50'sine ulaşılırken,% 90'a ulaşmak 8 saniye,% 99'a ulaşmak için 15 saniye vb.

Paraşütçü uzuvlarını çekerse daha yüksek hızlara ulaşılabilir (ayrıca bkz. serbest uçuş ). Bu durumda, terminal hızı yaklaşık 320 km / saate (200 mph veya 90 m / s) yükselir,^[3] neredeyse son hız Alaca şahin avına dalıyor.^[4] Aynı terminal hızına tipik bir .30-06 1920'de ABD Ordusu Ordnance çalışmasına göre, mermi aşağıya doğru düşüyor - yukarı doğru ateşlendiğinde veya bir kuleden düşürüldüğünde - yere dönerken.^[5]

Rekabet hızlı paraşütçü baş aşağı pozisyonda uçun ve 530 km / sa (330 mph; 150 m / s) hızlara ulaşabilir; mevcut rekor Felix Baumgartner 128.100 fit (39.000 m) yükseklikten atlayan ve 1.357,6 km / saate (840 mph; 380 m / s) ulaşan, havanın yoğunluğunun Dünya yüzeyinden çok daha düşük olduğu yüksek irtifada bu hıza ulaşmasına rağmen bu nedenle düşük bir sürükleme kuvveti oluşturur.

Biyolog J. B. S. Haldane yazdı

Fare ve herhangi bir küçük hayvan [yerçekimi] için pratikte hiçbir tehlike oluşturmaz. Bin yarda maden şaftına bir fare düşürebilirsiniz; ve dibe ulaştığında, hafif bir şok alır ve uzaklaşır. Bir fare öldürüldü, bir adam kırıldı, bir at sıçradı. Çünkü havanın hareketine gösterdiği direnç, hareket eden nesnenin yüzeyi ile orantılıdır.^[6]

Fizik

Matematiksel terimler kullanarak terminal hızı - dikkate alınmadan kaldırma kuvveti efektler - tarafından verilir

{ displaystyle V_ {t} = { sqrt { frac {2mg} { rho AC_ {d}}}}}

nerede

${ displaystyle V_ {t}}$ terminal hızı temsil eder,
${ displaystyle m}$ ... kitle düşen nesnenin
${ displaystyle g}$ ... yer çekiminden kaynaklanan ivme,
${ displaystyle C_ {d}}$ ... sürükleme katsayısı,
${ displaystyle rho}$ ... yoğunluk nesnenin içinden düştüğü sıvının
${ displaystyle A}$ ... projelendirilmiş alan nesnenin.

Gerçekte, bir nesne terminal hızına yaklaşır asimptotik olarak.

Çevreleyen sıvı tarafından nesne üzerindeki yukarı doğru kuvvet nedeniyle kaldırma kuvveti etkileri, kullanılarak hesaba katılabilir. Arşimet prensibi: kitle ${ displaystyle m}$ yer değiştirmiş sıvı kütlesi tarafından azaltılması gerekir ${ displaystyle rho V}$ , ile ${ displaystyle V}$ Ses nesnenin. Yani yerine ${ displaystyle m}$ indirgenmiş kütleyi kullan ${ displaystyle m_ {r} = m- rho V}$ bu ve sonraki formüllerde.

Bir nesnenin son hızı, sıvının özelliklerine, nesnenin kütlesine ve öngörülen enine kesitine bağlı olarak değişir. yüzey alanı.

Hava yoğunluğu azalan irtifa ile 80 metrede (260 ft) yaklaşık% 1 oranında artar (bkz. barometrik formül ). Atmosfere düşen nesneler için, her 160 metrelik (520 ft) düşüşte, terminal hızı% 1 azalır. Yerel terminal hızına ulaştıktan sonra, düşüşe devam ederken, hız azalır yerel terminal hızıyla değiştirmek için.

Terminal hız için türetme

Pozitif olarak tanımlayan matematiksel terimler kullanarak, Dünya yüzeyine yakın düşen bir nesneye etki eden net kuvvet ( sürükleme denklemi ):

{ displaystyle F_ {net} = ma = mg- {1 2'den fazla} rho v ^ {2} AC_ {d},}

ile v(t) zamanın bir fonksiyonu olarak nesnenin hızı t.

Şurada: denge, net kuvvet sıfırdır (F_ağ = 0) ve hız, terminal hız haline gelir $lim t \to\infty v (t) = V t$ :

{ displaystyle mg- {1 2'den fazla} rho V_ {t} ^ {2} AC_ {d} = 0.}

İçin çözme V_t verim

(5)

{ displaystyle V_ {t} = { sqrt { frac {2mg} { rho AC_ {d}}}}.}

Hız için çözümün türetilmesi v zamanın bir fonksiyonu olarak t

Sürükleme denklemi - ρ varsayılırsa, g ve C_d sabit olmak:

{ displaystyle ma = m { frac { mathrm {d} v} { mathrm {d} t}} = mg - { frac {1} {2}} rho v ^ {2} AC_ {d} .}

Bu bir Riccati denklemi bu, ikinci dereceden bir doğrusal diferansiyel denkleme indirgenerek çözülebilir, daha kolay ayrı değişkenler.

Bu denklemin daha pratik bir formu ikame yapılarak elde edilebilir. $α 2 = ρAC d / 2 mg$ .

Her iki tarafı da bölerek m verir

{ displaystyle { frac { mathrm {d} v} { mathrm {d} t}} = g left (1- alpha ^ {2} v ^ {2} sağ).}

Denklem şu şekilde yeniden düzenlenebilir:

{ displaystyle mathrm {d} t = { frac { mathrm {d} v} {g (1- alpha ^ {2} v ^ {2})}}.}

Her iki tarafın integralini almak verim

{ displaystyle int _ {0} ^ {t} { mathrm {d} t ^ { prime}} = {1 over g} int _ {0} ^ {v} { frac { mathrm { d} v ^ { prime}} {1- alpha ^ {2} v ^ { prime 2}}}.}

Entegrasyondan sonra bu,

{ displaystyle t-0 = {1 g üzerinde} sol [{ ln (1+ alpha v ^ { prime}) 2 alpha} üzerinde - { frac { ln (1- alpha v ^ { prime})} {2 alpha}} + C right] _ {v ^ { prime} = 0} ^ {v ^ { prime} = v} = {1 over g} left [ { ln { frac {1+ alpha v ^ { prime}} {1- alpha v ^ { prime}}} over 2 alpha} + C right] _ {v ^ { prime} = 0} ^ {v ^ { prime} = v}}

veya daha basit bir biçimde

{ displaystyle t = {1 2'den fazla alpha g} ln { frac {1+ alpha v} {1- alpha v}} = { frac { mathrm {arctanh} ( alpha v)} { alpha g}},}

arctanh ile ters hiperbolik tanjant işlevi.

Alternatif olarak,

{ displaystyle { frac {1} { alpha}} tanh ( alpha gt) = v,}

tanh ile hiperbolik tanjant işlevi. Varsayalım ki g pozitiftir (olarak tanımlanmıştır) ve ikame α geri dön, hız v olur

{ displaystyle v = { sqrt { frac {2mg} { rho AC_ {d}}}} tanh left (t { sqrt { frac {g rho AC_ {d}} {2m}}} sağ).}

Zaman sonsuzluğa meylettikçe ( t → ∞), hiperbolik tanjant 1'e meyillidir ve terminal hızına neden olur

{ displaystyle V_ {t} = lim _ {t ila infty} v (t) = { sqrt { frac {2mg} { rho AC_ {d}}}}.}

Sürünen bir akışta terminal hızı

Bir küreden geçen sürünen akış: akış çizgileri, sürükleme kuvveti F_d ve yerçekimi kuvveti F_g

Akışkanın çok yavaş hareketi için, akışkanın atalet kuvvetleri diğer kuvvetlere kıyasla ihmal edilebilir (kütlesiz akışkan varsayımı). Bu tür akışlara denir sürünen akışlar ve akışların sürünen akışlar için karşılanması gereken koşul, Reynolds sayısı, ${ displaystyle 1}$ . Sürünen akış için hareket denklemi (basitleştirilmiş Navier-Stokes denklemi ) tarafından verilir

{ displaystyle { mathbf { nabla}} p = mu nabla ^ {2} { mathbf {v}}}

nerede

${ displaystyle { mathbf {v}}}$ akışkan hız vektör alanıdır,
${ displaystyle p}$ sıvı basınç alanıdır,
${ displaystyle mu}$ sıvı akışkan viskozite.

Bir küre etrafında sürünen akışın analitik çözümü ilk olarak şu şekilde verilmiştir: stoklamak Stokes çözümünden küreye etki eden sürükleme kuvveti şu şekilde elde edilebilir:

{ displaystyle quad (6) qquad D = 3 pi mu dV qquad qquad { text {veya}} qquad qquad C_ {d} = { frac {24} {Re}}}

Reynolds numarası nerede, ${ displaystyle Re = { frac {1} { mu}} rho dV}$ . Denklem (6) tarafından verilen sürükleme kuvveti için ifade denir Stokes yasası.

Değeri ne zaman ${ displaystyle C_ {d}}$ denklemde (5) ikame edildiğinde, sürünen akış koşulları altında hareket eden küresel bir nesnenin terminal hızı için ifadeyi elde ederiz:

{ displaystyle V_ {t} = { frac {gd ^ {2}} {18 mu}} sol ( rho _ {s} - rho sağ),}

nerede ${ displaystyle rho _ {s}}$ nesnenin yoğunluğudur.

Başvurular

Sürünen akış sonuçları, okyanus tabanına yakın tortuların çökelmesini ve atmosferdeki nem damlalarının düşüşünü incelemek için uygulanabilir. İlke aynı zamanda düşen küre viskozimetre, yüksek viskoziteli sıvıların, örneğin yağ, parafin, katran vb. viskozitesini ölçmek için kullanılan deneysel bir cihaz.

Kaldırma kuvveti varlığında terminal hız

Yerleşme hızı W_s bir kum tanesinin (çap d, yoğunluk 2650 kg / m³) 20 ° C'de suda, Soulsby (1997) formülüyle hesaplanmıştır.

Yüzdürme etkileri hesaba katıldığında, bir akışkanın içinden kendi ağırlığı altında düşen bir nesne, nesneye etki eden net kuvvet sıfır olursa, bir son hıza (çökelme hızına) ulaşabilir. Son hıza ulaşıldığında, nesnenin ağırlığı yukarı doğru tam olarak dengelenir. Kaldırma kuvveti ve sürükleme kuvveti. Yani

{ displaystyle quad (1) qquad W = F_ {b} + D}

nerede

${ displaystyle W}$ = nesnenin ağırlığı,
${ displaystyle F_ {b}}$ = nesneye etki eden kaldırma kuvveti ve
${ displaystyle D}$ = nesneye etki eden sürükleme kuvveti.

Düşen nesne küresel bir şekle sahipse, üç kuvvet için ifade aşağıda verilmiştir:

{ displaystyle { begin {align} quad & (2) qquad & W & = { frac { pi} {6}} d ^ {3} rho _ {s} g, quad & (3 ) qquad & F_ {b} & = { frac { pi} {6}} d ^ {3} rho g, quad & (4) qquad & D & = C_ {d} { frac {1 } {2}} rho V ^ {2} A, end {hizalı}}}

nerede

${ displaystyle d}$ küresel nesnenin çapı,
${ displaystyle g}$ yerçekimi ivmesidir,
${ displaystyle rho}$ sıvının yoğunluğu,
${ displaystyle rho _ {s}}$ nesnenin yoğunluğu,
${ displaystyle A = { frac {1} {4}} pi d ^ {2}}$ kürenin öngörülen alanıdır,
${ displaystyle C_ {d}}$ sürükleme katsayısı ve
${ displaystyle V}$ karakteristik hızdır (terminal hız olarak alınır, ${ displaystyle V_ {t}}$ ).

Denklem (1) 'deki denklemlerin (2-4) ikame edilmesi ve terminal hızın çözülmesi, ${ displaystyle V_ {t}}$ aşağıdaki ifadeyi vermek için

{ displaystyle quad (5) qquad V_ {t} = { sqrt {{ frac {4gd} {3C_ {d}}} sol ({ frac { rho _ {s} - rho} { rho}} sağ)}}.}

Denklem (1) 'de nesnenin akışkandan daha yoğun olduğu varsayılmaktadır. Aksi takdirde, nesne yerçekimine karşı yukarı doğru hareket edeceği için sürükleme kuvvetinin işareti negatif yapılmalıdır. Örnekler, bir şampanya bardağının dibinde oluşan kabarcıklar ve helyum balonlarıdır. Bu gibi durumlarda terminal hız, yükselme oranına karşılık gelen negatif bir değere sahip olacaktır.

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ "Son Hız". NASA Glenn Araştırma Merkezi. Alındı 4 Mart, 2009.
^ Riazi, A .; Türker, U. (Ocak 2019). "Doğal tortu parçacıklarının sürükleme katsayısı ve çökelme hızı". Hesaplamalı Parçacık Mekaniği. doi:10.1007 / s40571-019-00223-6.
^ ^a ^b Huang, Jian (1999). "Bir Paraşütçünün Hızı (Terminal Hızı)". Fizik Bilgi Kitabı. Glenn Elert, Midwood Lisesi, Brooklyn Koleji.
^ "Peregrine Falcon Hakkında Her Şey". ABD Balık ve Vahşi Yaşam Servisi. 20 Aralık 2007. Arşivlenen orijinal 8 Mart 2010.
^ Balistik (Mart 2001). "Gökyüzündeki Kurşunlar". W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Houston, Texas 77089. Arşivlenen kaynak orijinal 2008-03-31 tarihinde.
^ Haldane, J. B. S. (Mart 1926). "Doğru Boyut Olmak Üzerine". Harper's Magazine. Arşivlenen orijinal 2015-04-15 tarihinde. Alt URL

Dış bağlantılar

Terminal Hızı - NASA sitesi
Uzay Mekiği Katı Roket Hızlandırıcılarının daha kalın atmosfere girişte terminal hızına hızla yavaşlayan yerleşik videosu, videoda saat 17: 15'te 2,900 milden (Mach 3,8), paraşütler 90 saniye sonra açıldığında 6: 45'te 220 mil / saate - NASA video ve ses, @ io9.com.

[1] "Son Hız". NASA Glenn Araştırma Merkezi. Alındı 4 Mart, 2009.

[2] Riazi, A .; Türker, U. (Ocak 2019). "Doğal tortu parçacıklarının sürükleme katsayısı ve çökelme hızı". Hesaplamalı Parçacık Mekaniği. doi:10.1007 / s40571-019-00223-6.

[Huang1999-3] Huang, Jian (1999). "Bir Paraşütçünün Hızı (Terminal Hızı)". Fizik Bilgi Kitabı. Glenn Elert, Midwood Lisesi, Brooklyn Koleji.

[4] "Peregrine Falcon Hakkında Her Şey". ABD Balık ve Vahşi Yaşam Servisi. 20 Aralık 2007. Arşivlenen orijinal 8 Mart 2010.

[5] Balistik (Mart 2001). "Gökyüzündeki Kurşunlar". W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Houston, Texas 77089. Arşivlenen kaynak orijinal 2008-03-31 tarihinde.

[6] Haldane, J. B. S. (Mart 1926). "Doğru Boyut Olmak Üzerine". Harper's Magazine. Arşivlenen orijinal 2015-04-15 tarihinde. Alt URL

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]