Thomaes işlevi - Thomaes function - Wikipedia

Nokta arsa Aralık (0,1). Ortadaki en üst nokta şovlar f(1/2) = 1/2

Thomae'nin işlevi, adını Carl Johannes Thomae, birçok isme sahiptir: patlamış mısır işlevi, yağmur damlası işlevi, sayılabilir bulut işlevi, değiştirilmiş Dirichlet işlevi, cetvel işlevi,[1] Riemann işlevi, ya da Babil'in Üzerindeki Yıldızlar (John Horton Conway 'adı).[2] Bu gerçek değerli işlevi gerçek bir değişkenin değeri şu şekilde tanımlanabilir:[3]

Her zamandan beri rasyonel sayı ile benzersiz bir temsile sahiptir coprime (nispeten asal olarak da adlandırılır) ve , işlev iyi tanımlanmış. Bunu not et içindeki tek sayı bunun için ortak

Bu bir modifikasyondur Dirichlet işlevi rasyonel sayılarda 1 ve başka yerlerde 0 olan.

Özellikleri

  • Thomae'nin işlevi dır-dir sınırlı ve tüm gerçek sayıları birim aralığı:
  • dır-dir periyodik dönem ile hepsi için tamsayılar n ve hepsi gerçek x.
Periyodiklik kanıtı

Hepsi için Ayrıca buna sahibiz ve dolayısıyla

Hepsi için var ve öyle ki ve Düşünmek . Eğer böler ve , böler ve . Tersine, eğer böler ve , böler ve . Yani , ve .

  • dır-dir süreksiz tüm rasyonel sayılarda, yoğun gerçek sayılar içinde.
Rasyonel sayılarda süreksizliğin kanıtı

İzin Vermek rastgele bir rasyonel sayı olmak ve ve coprime.

Bu kurar

İzin Vermek herhangi biri ol irrasyonel sayı ve tanımla hepsi için

Bunlar hepsi mantıksız ve bu yüzden hepsi için

Bu ima eder ve

İzin Vermek ve verildi İzin Vermek Karşılık gelen için sahibiz

ve

bu tam olarak süreksizliğin tanımıdır -de .

  • dır-dir sürekli hiç irrasyonel sayılar gerçek sayılar içinde de yoğun.
İrrasyonel argümanlarda sürekliliğin kanıtı

Dan beri periyodiktir ve tüm irrasyonel noktaları kontrol etmek yeterli Şimdi varsay ve Göre Arşimet mülk gerçeklerin var ile ve var öyle ki

için sahibiz

Minimum mesafe onun için ben-th alt ve üst sınırlar eşittir

Biz tanımlıyoruz tüm sonlu çoklukların minimumu olarak

Böylece

hepsi için ve

Bu, tüm bu rasyonel sayıların dışında - mahalle

Şimdi izin ver benzersiz temsili ile nerede coprime. Sonra, mutlaka, ve bu nedenle,

Aynı şekilde, tüm irrasyonel ve bu nedenle, eğer sonra herhangi bir seçim (yeterince küçük) verir

Bu nedenle, sürekli

  • dır-dir hiçbir yerde ayırt edilemez.
Hiçbir yerde ayırt edilemez olmanın kanıtı
  • Rasyonel sayılar için bu, süreksizlikten kaynaklanır.
  • İrrasyonel sayılar için:
Herhangi sıra irrasyonel sayıların ile hepsi için irrasyonel noktaya yakınsayan sekans aynı ve bu yüzden
Göre Hurwitz teoremi ayrıca bir dizi rasyonel sayı vardır yakınsak ile ve coprime ve
Böylece herkes için ve bu yüzden ayırt edilemez hiç mantıksız
Uygun yapı için yukarıdaki süreklilik ve süreksizlik kanıtlarına bakın. mahalleler, nerede vardır maxima.
  • dır-dir Riemann entegre edilebilir herhangi bir aralıkta ve integral değerlendirilir herhangi bir set üzerinde.
Entegre edilebilirlik için Lebesgue kriteri sınırlı bir fonksiyonun, ancak ve ancak tüm süreksizlikler kümesi sahipse Riemann integrallenebilir olduğunu belirtir. sıfır ölçmek.[4] Her sayılabilir Gerçek sayıların alt kümesi - rasyonel sayılar gibi - sıfır ölçüsüne sahiptir, bu nedenle yukarıdaki tartışma Thomae'nin fonksiyonunun herhangi bir aralıkta Riemann integrallenebilir olduğunu göstermektedir. Fonksiyonun integrali eşittir herhangi bir küme üzerinde çünkü fonksiyon sıfıra eşittir neredeyse heryerde.

İlgili olasılık dağılımları

Thomae'nin işlevi ile ilgili ampirik olasılık dağılımları DNA dizilimi.[5] İnsan genomu diploid, kromozom başına iki ipliğe sahip. Sıralandığında, küçük parçalar ("okumalar") oluşturulur: genom üzerindeki her nokta için, tam sayıdaki okuma, onunla örtüşür. Oranları rasyonel bir sayıdır ve tipik olarak Thomae'nin işlevine benzer şekilde dağıtılır.

Pozitif tam sayı çiftleri ise bir dağıtımdan örneklenir ve oranlar oluşturmak için kullanılır , bu bir dağıtıma yol açar rasyonel sayılarda. Tamsayılar bağımsız ise, dağılım bir kıvrım rasyonel sayıların üzerinde, . Kapalı form çözümleri mevcuttur Güç yasası kesmeli dağılımlar. Eğer (nerede ... polilogaritma işlev) sonra . Sette tek tip dağılım olması durumunda Thomae'nin işlevine çok benzeyen. Her iki grafiğinde de Fraktal boyut 3/2.[5]

Cetvel işlevi

Tam sayılar için, 2 bölü en yüksek kuvvetin üssü 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, ... verir (sıra A007814 içinde OEIS ). 1 eklenirse veya 0'lar kaldırılırsa, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, ... (sıra A001511 içinde OEIS ). Değerler 1 / 16'daki onay işaretlerine benzer mezun cetvel, dolayısıyla adı. Bu değerler Thomae işlevinin kısıtlamasına karşılık gelir. ikili gerekçeler: paydaları 2'nin katları olan rasyonel sayılar.

İlgili işlevler

Sorulabilecek doğal bir takip sorusu, rasyonel sayılarda sürekli, irrasyonel sayılarda süreksiz bir işlev olup olmadığıdır. Bu imkansız hale geliyor; herhangi bir fonksiyonun süreksizlikler kümesi bir Fσ Ayarlamak. Böyle bir işlev olsaydı, irrasyonel olanlar bir Fσ Ayarlamak. Mantıksızlıklar o zaman sayılabilir olur Birlik nın-nin kapalı kümeler , ancak mantıksızlar bir aralık içermediğinden, hiçbiri . Bu nedenle, her biri hiçbir yerde yoğun olmazdı ve mantıksızlar yetersiz set. Bunun sonucu olarak irrasyonellerle rasyonellerin birliği olan gerçek sayılar (ki bu açıkça yetersizdir), aynı zamanda yetersiz bir küme olacaktır. Bu, Baire kategori teoremi: çünkü gerçekler bir tam metrik uzay, oluştururlar Baire alanı, bu kendi başına yetersiz olamaz.

Thomae'nin işlevinin bir çeşidi, herhangi bir Fσ gerçek sayıların alt kümesi, bir fonksiyonun süreksizlikler kümesi olabilir. Eğer kapalı kümelerin sayılabilir bir birleşimidir , tanımlamak

Daha sonra Thomae'nin işlevi ile benzer bir argüman şunu gösterir: vardır Bir süreksizlikler kümesi olarak.

Rasgele metrik uzay üzerine genel bir yapı için bu makaleye bakın Kim, Sung Soo. "Gerçek Bir Fonksiyonun Süreklilik Noktaları Kümesinin Karakterizasyonu." American Mathematical Monthly 106.3 (1999): 258-259.

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ "…sözde cetvel işlevi, Johannes Karl Thomae'nin bir çalışmasında ortaya çıkan basit ama kışkırtıcı bir örnek ... Grafik, bir cetvel üzerindeki dikey işaretleri gösteriyor - dolayısıyla adı. "(Dunham 2008, s. 149, bölüm 10)
  2. ^ John Conway. "Konu: Bir işlevin kaynağı". Matematik Forumu. Arşivlenen orijinal 13 Haziran 2018.
  3. ^ Beanland, Roberts ve Stevenson 2009, s. 531
  4. ^ Spivak 1965, s. 53, Teorem 3-8
  5. ^ a b Trifonov, Vladimir; Pasqualucci, Laura; Dalla-Favera, Riccardo; Rabadan, Raul (2011). "Yüksek Verimli Biyolojik ve Klinik Verilerdeki Rasyonel Sayılar Üzerinden Fraktal Benzeri Dağılımlar". Bilimsel Raporlar. 1 (191). doi:10.1038 / srep00191. PMC  3240948. PMID  22355706.

Referanslar

Dış bağlantılar