Topolojik veri analizi - Topological data analysis

İçinde Uygulamalı matematik, topolojik veri analizi (TDA), veri kümelerinin analizine yönelik bir yaklaşımdır. topoloji. Yüksek boyutlu, eksik ve gürültülü veri kümelerinden bilgi çıkarmak genellikle zordur. TDA, bu tür verileri belirli bilgilere duyarsız olacak şekilde analiz etmek için genel bir çerçeve sağlar. metrik seçilmiş ve sağlar Boyutsal küçülme ve gürültüye karşı sağlamlık. Bunun ötesinde miras alır işlevsellik, yeni matematiksel araçlara uyum sağlamasına izin veren topolojik doğasından dolayı modern matematiğin temel bir kavramı.

İlk motivasyon, verilerin şeklini incelemektir. TDA birleştirdi cebirsel topoloji ve matematiksel olarak titiz bir "şekil" çalışmasına izin vermek için saf matematikten diğer araçlar. Ana araç kalıcı homoloji, bir uyarlama homoloji -e nokta bulutu veri. Kalıcı homoloji, birçok alanda birçok veri türüne uygulanmıştır. Dahası, matematiksel temeli de teorik öneme sahiptir. TDA'nın benzersiz özellikleri, onu topoloji ve geometri arasında umut verici bir köprü haline getirir.

Temel teori

Sezgi

Bu makalenin ton veya stil, ansiklopedik ton Wikipedia'da kullanıldı. Wikipedia'ya bakın daha iyi makaleler yazma rehberi öneriler için. (Ocak 2019) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

TDA'nın altında yatan öncül, şeklin önemli olmasıdır. Yüksek boyutlardaki gerçek veriler neredeyse her zaman seyrektir ve ilgili düşük boyutlu özelliklere sahip olma eğilimindedir. TDA'nın bir görevi, bu gerçeğin kesin bir karakterizasyonunu sağlamaktır. Açıklayıcı bir örnek, aşağıdakiler tarafından yönetilen basit bir avcı-av sistemidir. Lotka – Volterra denklemleri.^[1] Sistemin yörüngesinin durum uzayında kapalı bir daire oluşturduğu kolaylıkla gözlemlenebilir. TDA, bu tür tekrarlayan hareketleri tespit etmek ve ölçmek için araçlar sağlar.^[2]

TDA'da kullanılanlar da dahil olmak üzere birçok veri analizi algoritması çeşitli parametrelerin seçilmesini gerektirir. Önceden alan bilgisi olmadan, bir veri kümesi için doğru parametre koleksiyonunu seçmek zordur. Ana anlayış kalıcı homoloji bir parametrenin tüm değerlerinden elde edilen bilgileri kullanabilmemizdir. Elbette bu içgörüyü tek başına yapmak kolaydır; İşin zor kısmı, bu büyük miktardaki bilgiyi anlaşılır ve temsil etmesi kolay bir forma kodlamaktır. TDA ile, bilgi bir homoloji grubu olduğunda matematiksel bir yorum vardır. Genel olarak varsayım, geniş bir parametre aralığı için kalıcı olan özelliklerin "gerçek" özellikler olduğudur. Sadece dar bir parametre aralığı için devam eden özelliklerin gürültü olduğu varsayılmaktadır, ancak bunun teorik gerekçesi net değildir.^[3]

Erken tarih

Tam kalıcı homoloji kavramının öncüleri zaman içinde kademeli olarak ortaya çıktı.^[4] 1990 yılında Patrizio Frosini, 0. kalıcı homolojiye eşdeğer olan boyut fonksiyonunu tanıttı.^[5] Yaklaşık on yıl sonra, Vanessa Robins dahil etme ile uyarılan homomorfizmlerin görüntülerini inceledi.^[6] Son olarak, kısa bir süre sonra Edelsbrunner ve ark. kalıcı homoloji kavramını verimli bir algoritma ve bir kalıcılık diyagramı olarak görselleştirmesiyle birlikte tanıttı.^[7] Carlsson vd. ilk tanımı yeniden formüle etti ve kalıcı barkodlar adı verilen eşdeğer bir görselleştirme yöntemi verdi,^[8] değişmeli cebir dilinde ısrarı yorumlama.^[9]

Cebirsel topolojide kalıcı homoloji, Barannikov'un Morse teorisi üzerine çalışmasıyla ortaya çıktı. Düzgün Morse işlevinin kritik değerleri kümesi kanonik olarak "doğum-ölüm" çiftlerine bölündü, filtrelenmiş kompleksler sınıflandırıldı ve kalıcılık diyagramı ve kalıcılık barkodlarına eşdeğer olan değişmezlerinin görselleştirmesi, Barannikov'un kanonik formuyla 1994 yılında verildi.^[10]

Kavramlar

Yaygın olarak kullanılan bazı kavramlar aşağıda tanıtılmıştır. Bazı tanımların yazardan yazara değişebileceğini unutmayın.

Bir nokta bulutu genellikle bazı Öklid uzayında sonlu noktalar kümesi olarak tanımlanır, ancak herhangi bir sonlu metrik uzay olarak alınabilir.

Čech kompleksi bir nokta bulutunun sinir of örtmek buluttaki her noktanın etrafında sabit bir yarıçapa sahip toplar.

Bir kalıcılık modülü ${displaystyle mathbb {U}}$ tarafından dizine eklendi ${displaystyle mathbb {Z}}$ bir vektör uzayıdır ${displaystyle U_ {t}}$ her biri için ${displaystyle tin mathbb {Z}}$ve doğrusal bir harita ${displaystyle u_ {t} ^ {s}: U_ {s} o U_ {t}}$ her ne zaman ${displaystyle sleq t}$, öyle ki ${displaystyle u_ {t} ^ {t} = 1}$ hepsi için ${displaystyle t}$ ve ${displaystyle u_ {t} ^ {s} u_ {s} ^ {r} = u_ {t} ^ {r}}$ her ne zaman ${displaystyle rleq sleq t.}$^[11] Eşdeğer bir tanım, ${displaystyle mathbb {Z}}$ vektör uzayları kategorisine kısmen sıralı bir küme olarak kabul edilir.

kalıcı homoloji grubu ${displaystyle PH}$ bir nokta bulutunun kalıcılık modülü, ${displaystyle PH_ {k} (X) = prod H_ {k} (X_ {r})}$, nerede ${displaystyle X_ {r}}$ yarıçapın yankı kompleksidir ${displaystyle r}$ nokta bulutunun ${displaystyle X}$ ve ${displaystyle H_ {k}}$ homoloji grubudur.

Bir kalıcılık barkodu bir çoklu set aralıkların ${displaystyle mathbb {R}}$ve bir kalıcılık diyagramı birden fazla nokta kümesidir ${displaystyle Delta}$(${displaystyle: = {(u, v) mathbb'de {R} ^ {2} orta u, vgeq 0, uleq v}}$).

Wasserstein mesafesi iki kalıcılık diyagramı arasında ${displaystyle X}$ ve ${displaystyle Y}$ olarak tanımlanır

$${displaystyle W_ {p} [L_ {q}] (X, Y): = inf _ {varphi: X o Y} sol [toplam _ {xin X} Dikey x-varphi (x) Dikey _ {q} ight] ^ {1 / p}}$$

${displaystyle 1leq p, qleq infty}$

${displaystyle varphi}$

${displaystyle X}$

${displaystyle Y}$

darboğaz mesafesi arasında ${displaystyle X}$ ve ${displaystyle Y}$ dır-dir

$${displaystyle W_ {infty} [L_ {q}] (X, Y): = inf _ {varphi: X o Y} sup _ {xin X} Vert x-varphi (x) Vert _ {q}.}$$

${displaystyle p = infty}$

Temel mülk

Yapı teoremi

Kalıcı homoloji için ilk sınıflandırma teoremi 1994'te ortaya çıktı^[10] Barannikov'un kanonik formları aracılığıyla. Değişmeli cebir dilinde kalıcılığı yorumlayan sınıflandırma teoremi 2005 yılında ortaya çıktı:^[9] sonlu olarak oluşturulmuş bir kalıcılık modülü için ${displaystyle C}$ alanla ${displaystyle F}$ katsayılar,

$${displaystyle H (C; F) simeq igoplus _ {i} x ^ {t_ {i}} cdot F [x] oplus sol (igoplus _ {j} x ^ {r_ {j}} cdot (F [x] / (x ^ {s_ {j}} cdot F [x])) ight).}$$

${displaystyle t_ {i}}$

${displaystyle r_ {j}}$

${displaystyle s_ {j}}$

${displaystyle s_ {j} + r_ {j}}$

Kalıcı homoloji, bir barkod veya kalıcılık diyagramı aracılığıyla görselleştirilir. Barkodun kökü soyut matematikte bulunur. Yani, bir alan üzerindeki sonlu filtrelenmiş komplekslerin kategorisi yarı basittir. Filtrelenmiş herhangi bir kompleks, tek ve iki boyutlu basit filtrelenmiş komplekslerin doğrudan toplamı olan kanonik formuna izomorfiktir.

istikrar

Gürültüye karşı sağlamlık sağladığından kararlılık arzu edilir. Eğer ${displaystyle X}$ basit bir kompleks için homeomorfik olan herhangi bir alan ve ${displaystyle f, g: X o mathbb {R}}$ sürekli evcil^[13] fonksiyonlar, ardından kalıcılık vektör uzayları ${displaystyle {H_ {k} (f ^ {- 1} ([0, r]))}}$ ve ${displaystyle {H_ {k} (g ^ {- 1} ([0, r]))}}$ sonlu olarak sunulur ve ${displaystyle W_ {infty} (D (f), D (g)) leq lVert f-gVert _ {infty}}$, nerede ${displaystyle W_ {infty}}$ darboğaz mesafesini ifade eder^[14] ve ${displaystyle D}$ haritanın sürekli bir ehlileştirme fonksiyonunu, kalıcılık diyagramına alıyor mu? ${displaystyle k}$-th homoloji.

İş akışı

TDA'daki temel iş akışı:^[15]

nokta bulutu

${görüntü stili o}$

iç içe geçmiş kompleksler

${görüntü stili o}$

kalıcılık modülü

${görüntü stili o}$

barkod veya diyagram

1. Eğer ${displaystyle X}$ bir nokta bulutu, değiştir ${displaystyle X}$ iç içe geçmiş bir aile ile basit kompleksler ${displaystyle X_ {r}}$ (Čech veya Vietoris-Rips kompleksi gibi). Bu süreç nokta bulutunu basit komplekslerin filtrasyonuna dönüştürür. Bu filtrasyondaki her bir kompleksin homolojisini almak bir kalıcılık modülü verir
   $${displaystyle H_ {i} (X_ {r_ {0}}) o H_ {i} (X_ {r_ {1}}) o H_ {i} (X_ {r_ {2}}) o cdots}$$

   
2. Parametreli bir versiyonunu sağlamak için yapı teoremini uygulayın. Betti numarası, kalıcılık diyagramı, Veya eşdeğer olarak, barkod.

Grafik olarak konuşursak,

TDA'da olağan bir kalıcılık kullanımı ^[16]

Hesaplama

Cebirsel topoloji ortamında kalıcı homoloji için tüm alanlarda ilk algoritma Barannikov tarafından tanımlanmıştır.^[10] üst üçgen matrislerle kanonik forma indirgeme yoluyla. Kalıcı homoloji için ilk algoritma ${displaystyle F_ {2}}$ Edelsbrunner ve ark.^[7] Zomorodian ve Carlsson, tüm alanlarda kalıcı homolojiyi hesaplamak için ilk pratik algoritmayı verdi.^[9] Edelsbrunner ve Harer'in kitabı hesaplamalı topoloji hakkında genel rehberlik sağlar.^[17]

Hesaplamada ortaya çıkan bir sorun, karmaşık seçimdir. Čech kompleksi ve Vietoris-Rips kompleksi ilk bakışta en doğal olan; ancak boyutları veri noktalarının sayısıyla birlikte hızla büyür. Vietoris-Rips kompleksi, Čech kompleksine tercih edilir çünkü tanımı daha basittir ve Čech kompleksi, genel bir sonlu metrik uzayda tanımlama yapmak için fazladan çaba gerektirir. Homolojinin hesaplama maliyetini düşürmenin etkili yolları araştırılmıştır. Örneğin, α-kompleksi ve tanık kompleksi, komplekslerin boyutunu ve boyutunu azaltmak için kullanılır.^[18]

Son günlerde, Ayrık Mors teorisi hesaplamalı homoloji için umut vaat ediyor çünkü belirli bir basit kompleksi, orijinal komplekse homotopik olan çok daha küçük bir hücresel komplekse indirgeyebiliyor.^[19] Bu azaltma aslında kompleks kullanılarak inşa edildiği için yapılabilir. matroid teorisi, daha fazla performans artışına yol açar.^[20] Bir başka yeni algoritma, düşük kalıcılığa sahip homoloji sınıflarını göz ardı ederek zamandan tasarruf sağlar.^[21]

Aşağıdakiler gibi çeşitli yazılım paketleri mevcuttur: javaPlex, Dionysos, Kahraman, PHAT, DIPHA, GUDHI, Yırtıcı, ve TDAstats. Bu araçlar arasında bir karşılaştırma Otter ve diğerleri tarafından yapılmıştır.^[22] Giotto-tda TDA'yı makine öğrenimi iş akışına entegre etmeye adanmış bir Python paketidir. scikit-öğrenmek API. Bir R paketi TDA manzara ve kernel mesafe tahmin aracı gibi yeni icat edilen kavramları hesaplayabilir.^[23] Topoloji Araç Seti tipik olarak aşağıdaki gibi, düşük boyutlu (1, 2 veya 3) manifoldlar üzerinde tanımlanan sürekli veriler için uzmanlaşmıştır. bilimsel görselleştirme. Başka bir R paketi, TDAstats, kalıcı homolojiyi hesaplamak için hızlı C ++ Ripser kitaplığını uygular.^[24] Aynı zamanda her yerde bulunan ggplot2 kalıcı homolojinin, özellikle topolojik barkodların ve kalıcılık diyagramlarının tekrarlanabilir, özelleştirilebilir, yayın kalitesinde görselleştirmelerini oluşturmak için bir paket. Aşağıdaki örnek kod, R programlama dili kalıcı homolojiyi hesaplamak için kullanılabilir.

# CRAN'dan paket yükleyin ve veri kümelerini yükleyininstall.packages("TDAstats")kütüphane("TDAstats")veri("unif2d")veri("circle2d")# Her iki veri kümesi için kalıcı homolojiyi hesaplayınunif.phom <- calculate_homology(unif2d)circ.phom <- calculate_homology(circle2d)# Kalıcılık diyagramı olarak düzgün dağıtılmış nokta bulutunu çizinplot_persist(unif.phom)# topolojik barkod olarak plot daire nokta bulutu# bir daire için beklendiği gibi tek bir kalıcı çubuk görüyoruz (tek 1 döngü / döngü)plot_barcode(circ.phom)

2 boyutlu birim kare içinde eşit olarak dağıtılmış 100 noktadan oluşan bir dizi için örnek kod (unif.2d veri kümesi) tarafından oluşturulan kalıcılık diyagramı. 0 döngülerin veya 1 döngülerin hiçbiri gerçek sinyal olarak kabul edilmez (hiçbiri bir birim kare nokta bulutu içinde gerçekten mevcut değildir). Bazı özellikler sürüyormuş gibi görünse de, eksen işaretleri en kalıcı özelliğin 0,20 birimden daha az sürdüğünü ve birim karedeki bir nokta bulutu için nispeten küçük olduğunu göstermektedir.

Bir dairenin çevresi etrafına eşit olarak dağıtılmış 100 noktadan oluşan bir set için örnek kod (daire 2d veri seti) tarafından oluşturulan topolojik barkod. Barkodun üstündeki tek, uzun 1 boyutlu özellik, bir daire içinde bulunan tek 1 döngüyü temsil eder.

Görselleştirme

Yüksek boyutlu verilerin doğrudan görselleştirilmesi imkansızdır. Veri kümesinden düşük boyutlu bir yapı çıkarmak için birçok yöntem icat edilmiştir. temel bileşenler Analizi ve Çok boyutlu ölçekleme.^[25] Bununla birlikte, aynı veri setinde birçok farklı topolojik özellik bulunabileceğinden, sorunun kendisinin kötü durumda olduğuna dikkat etmek önemlidir. Bu nedenle, yüksek boyutlu uzayların görselleştirilmesi çalışması TDA için merkezi öneme sahiptir, ancak kalıcı homolojinin kullanılmasını gerektirmez. Bununla birlikte, veri görselleştirmede kalıcı homoloji kullanmak için son zamanlarda girişimlerde bulunulmuştur.^[26]

Carlsson vd. adlı genel bir yöntem önerdiler HARİTA MAKİNESİ.^[27] Serre'nin bir kaplamanın homotopiyi koruduğu fikrini miras alır.^[28] MAPPER'ın genelleştirilmiş bir formülasyonu aşağıdaki gibidir:

İzin Vermek ${displaystyle X}$ ve ${displaystyle Z}$ topolojik uzaylar olalım ve ${displaystyle f: X o Z}$ sürekli bir harita olun. İzin Vermek ${displaystyle mathbb {U} = {U_ {alpha}} _ {alpha, A’da}}$ sonlu açık bir örtü olmak ${displaystyle Z}$. MAPPER'ın çıktısı geri çekilme kapağının siniridir ${extstyle M (mathbb {U}, f): = N (f ^ {- 1} (mathbb {U}))}$, her ön görüntünün bağlı bileşenlerine bölündüğü yer.^[26] Bu çok genel bir kavramdır ve Reeb grafiği ^[29] ve birleştirme ağaçları özel durumlardır.

Bu tam olarak orijinal tanım değil.^[27] Carlsson vd. Seç ${displaystyle Z}$ olmak ${displaystyle mathbb {R}}$ veya ${displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ve en fazla ikisi kesişecek şekilde açık setlerle örtün.^[3] Bu kısıtlama, çıktının bir Karmaşık ağ. Sonlu bir nokta bulutunun topolojisi önemsiz olduğundan, kümeleme yöntemleri (örneğin tek bağlantı ) ön görüntüde bağlı setlerin analogunu üretmek için kullanılır. ${ekran stili f ^ {- 1} (U)}$ MAPPER gerçek verilere uygulandığında.

Matematiksel olarak konuşursak, MAPPER bir varyasyonudur Reeb grafiği. Eğer ${extstyle M (mathbb {U}, f)}$ en fazla bir boyutlu, o zaman her biri için ${displaystyle igeq 0}$,

$${displaystyle H_ {i} (X) simeq H_ {0} (N (mathbb {U}); {hat {F}} _ {i}) oplus H_ {1} (N (mathbb {U}); {hat {F}} _ {i-1}).}$$

MAPPER'ın üç başarılı uygulaması Carlsson ve ark.^[32] J. Curry'nin bu makaledeki uygulamalara yaptığı bir yorum, "uygulamalarda ilgi duyulan ortak bir özellik, işaret fişekleri veya filizlerinin varlığıdır".^[33]

Ücretsiz bir MAPPER uygulaması mevcuttur internet üzerinden Daniel Müllner ve Aravindakshan Babu tarafından yazılmıştır. MAPPER ayrıca temelini oluşturur Ayasdi AI platformu.

Çok boyutlu kalıcılık

TDA için çok boyutlu sebat önemlidir. Kavram hem teoride hem de pratikte ortaya çıkıyor. Çok boyutlu sürekliliğin ilk araştırması TDA'nın geliştirilmesinin başındaydı,^[34] TDA'nın kurucu belgelerinden biridir.^[9] Literatürde görülen ilk uygulama, TDA'nın icadına benzer bir şekil karşılaştırma yöntemidir.^[35]

Bir Tanımı nboyutlu kalıcılık modülü içinde ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ dır-dir^[33]

• vektör alanı ${displaystyle V_ {s}}$ içindeki her noktaya atanır ${displaystyle s = (s_ {1}, ..., s_ {n})}$
• harita ${displaystyle ho _ {s} ^ {t}: V_ {s} o V_ {t}}$ atanırsa ${displaystyle sleq t}$(${displaystyle s_ {i} leq t_ {i}, i = 1, ..., n)}$
• haritalar tatmin eder ${displaystyle ho _ {r} ^ {t} = ho _ {s} ^ {t} circ ho _ {r} ^ {s}}$ hepsi için ${displaystyle rleq sleq t}$

Çok boyutlu kalıcılığın tanımı konusunda tartışmalar olduğunu belirtmekte fayda var.^[33]

Tek boyutlu kalıcılığın avantajlarından biri, bir diyagram veya barkodla temsil edilebilirliğidir. Ancak, çok boyutlu kalıcılık modüllerinin ayrık tam değişmezleri mevcut değildir.^[36] Bunun temel nedeni, ayrıştırılamazlar koleksiyonunun yapısının son derece karmaşık olmasıdır. Gabriel teoremi sadak temsilleri teorisinde,^[37] Krull-Schmidt teoremine bağlı olarak sonlu bir n-dim kalıcılık modülü benzersiz bir şekilde ayrıştırılamazların doğrudan toplamına ayrıştırılabilir.^[38]

Yine de birçok sonuç tespit edildi. Carlsson ve Zomorodian, sıra değişmez ${displaystyle ho _ {M} (u, v)}$, olarak tanımlanır ${displaystyle ho _ {M} (u, v) = matematik {sıra} (x ^ {u-v}: M_ {u} o M_ {v})}$içinde ${displaystyle M}$ sonlu olarak oluşturulan n dereceli bir modüldür. Tek boyutta barkoda eşdeğerdir. Literatürde, sıra değişmezi genellikle kalıcı Betti sayıları (PBN'ler) olarak anılır.^[17] Birçok teorik çalışmada, yazarlar daha kısıtlı bir tanım, alt düzey set kalıcılığından bir analog kullanmışlardır. Spesifik olarak, bir fonksiyonun kalıcılığı Betti sayıları ${displaystyle f: X o mathrm {R} ^ {k}}$ fonksiyon tarafından verilir ${displaystyle eta _ {f}: Delta ^ {+} o mathrm {N}}$her birini alıyor ${Delta ^ {+}} 'da displaystyle (u, v)$ -e ${displaystyle eta _ {f} (u, v): = matematik {sıra} (H (X (fleq u) o H (X (fleq v)))}$, nerede ${displaystyle Delta ^ {+}: = {(u, v) matematikte {R} matematiğe {R}: uleq v}}$ ve ${displaystyle X (fleq u): = {xin X: f (x) leq u}}$.

Bazı temel özellikler monotonluk ve çapraz zıplamayı içerir.^[39] Kalıcı Betti sayıları, eğer ${displaystyle X}$ kompakt ve yerel olarak daraltılabilir bir alt uzaydır ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$.^[40]

Bir yapraklanma yöntemi kullanılarak, k-dim PBN'ler boyutsallık çıkarımı ile 1-boyutlu PBN'ler ailesine ayrıştırılabilir.^[41] Bu yöntem aynı zamanda, çok boyutlu PBN'lerin kararlı olduğuna dair bir kanıt sağlamıştır.^[42] PBN'lerin süreksizlikleri yalnızca noktalarda meydana gelir ${displaystyle (u, v) (uleq v)}$ nerede ${displaystyle u}$ süreksiz bir nokta ${displaystyle ho _ {M} (yıldız, v)}$ veya ${displaystyle v}$ süreksiz bir nokta ${displaystyle ho (u, yıldız)}$ varsayımı altında ${displaystyle fin C ^ {0} (X, mathrm {R} ^ {k})}$ ve ${displaystyle X}$ kompakt, üçgenlenebilir bir topolojik uzaydır.^[43]

Kalıcı diyagramın bir genellemesi olan kalıcı uzay, çokluğu 0'dan büyük ve köşegen olan tüm noktaların çoklu kümesi olarak tanımlanır.^[44] PBN'lerin kararlı ve eksiksiz bir temsilini sağlar. Carlsson ve diğerleri tarafından devam eden bir çalışma. kalıcı homolojinin geometrik yorumunu vermeye çalışıyor, bu da makine öğrenimi teorisinin topolojik veri analizi ile nasıl birleştirileceğine dair içgörü sağlayabilir.^[45]

Çok boyutlu kalıcılığı hesaplayan ilk pratik algoritma çok erken icat edildi.^[46] Daha sonra, ayrık mors teorisi gibi kavramlara dayanan birçok başka algoritma önerildi.^[47] ve sonlu örneklem tahmini.^[48]

Diğer ısrarlar

TDA'daki standart paradigma genellikle şu şekilde anılır: alt düzey kalıcılık. Çok boyutlu kalıcılığın yanı sıra, bu özel durumu genişletmek için birçok çalışma yapılmıştır.

Zikzak sebat

Kalıcılık modülündeki sıfır olmayan eşlemeler, kategorideki ön sipariş ilişkisi tarafından sınırlandırılmıştır. Bununla birlikte, matematikçiler, yön oybirliğinin birçok sonuç için gerekli olmadığını keşfettiler. "Felsefi nokta, grafik temsillerinin ayrıştırma teorisinin grafik kenarlarının yöneliminden bir şekilde bağımsız olmasıdır".^[49] Zikzak ısrarı teorik açıdan önemlidir. Carlsson'ın inceleme makalesinde işlevselliğin önemini göstermek için verilen örneklerin tümü, bazı özelliklerini paylaşır.^[3]

Genişletilmiş kalıcılık ve seviye seti kalıcılığı

Bazı girişimler, işlevin daha katı kısıtlamasını kaybetmektir.^[50] Lütfen bakın Sınıflandırma ve cosheaves ve Matematiğe etkisi daha fazla bilgi için bölümler.

Kalıcılık homolojisini, kohomoloji ve göreceli homoloji / kohomoloji gibi cebirsel topolojideki diğer temel kavramlara genişletmek doğaldır.^[51] İlginç bir uygulama, birinci kalıcı kohomoloji grubu aracılığıyla bir veri seti için dairesel koordinatların hesaplanmasıdır.^[52]

Dairesel kalıcılık

Normal kalıcılık homolojisi, gerçek değerli fonksiyonları inceler. D. Burghelea ve ark. 'Da yorumlandığı gibi, daire değerli harita faydalı olabilir, "daire değerli haritalar için kalıcılık teorisi, skaler alanlar için standart kalıcılık teorisi gibi bazı vektör alanları için rol oynamayı vaat ediyor".^[53] Temel fark, Jordan hücrelerinin (format olarak çok benzer olmasıdır. Jordan blokları Doğrusal cebir), daire değerli fonksiyonlarda önemsizdir, gerçek değerli durumda sıfır olacaktır ve barkodlarla birleştirildiğinde, orta koşullar altında evcil bir haritanın değişmezlerini verir.^[53]

Kullandıkları iki teknik Morse-Novikov teorisidir^[54] ve grafik gösterimi teorisi.^[55] Daha yeni sonuçlar D. Burghelea ve ark.^[56] Örneğin, uysallık gereksinimi, çok daha zayıf bir koşul olan sürekli olarak değiştirilebilir.

Burulma ile kalıcılık

Yapı teoreminin kanıtı, temel alanın alan olmasına dayanmaktadır, bu nedenle burulma ile kalıcı homoloji üzerine pek çok girişimde bulunulmamıştır. Frosini, bu özel modülde bir psödometrik tanımladı ve kararlılığını kanıtladı.^[57] Yeniliklerinden biri, ölçüyü tanımlamak için bazı sınıflandırma teorilerine bağlı olmamasıdır.^[58]

Sınıflandırma ve cosheaves

Bir avantajı kategori teorisi görünüşte bağlantısız nesneler arasındaki ilişkileri göstererek somut sonuçları daha yüksek bir seviyeye kaldırma yeteneğidir. Bubenik vd.^[59] TDA için uygun kategori teorisine kısa bir giriş sunar.

Kategori teorisi, modern cebirin dilidir ve cebirsel geometri ve topoloji çalışmalarında yaygın olarak kullanılmaktadır. "En önemli gözlem ^[9] tarafından üretilen kalıcılık diyagramıdır ^[7] sadece bu diyagramın taşıdığı cebirsel yapıya bağlıdır. "^[60] TDA'da kategori teorisinin kullanımının verimli olduğu kanıtlanmıştır.^[59][60]

Bubenik ve diğerlerinde yapılan notasyonları takiben,^[60] indeksleme kategorisi ${extstyle P}$ herhangi biri önceden sipariş edilmiş set (şart değil ${displaystyle mathbb {N}}$ veya ${displaystyle mathbb {R}}$), hedef kategori ${displaystyle D}$ herhangi bir kategoridir (yaygın olarak kullanılanın yerine ${extstyle mathrm {Vect} _ {mathbb {F}}}$), ve functors ${extstyle P o D}$ arandı genelleştirilmiş kalıcılık modülleri içinde ${displaystyle D}$, bitmiş ${extstyle P}$.

TDA'da kategori teorisini kullanmanın bir avantajı, kavramların daha net anlaşılması ve ispatlar arasındaki yeni ilişkilerin keşfedilmesidir. Örnek için iki örnek alın. Serpiştirme ve eşleştirme arasındaki yazışmanın anlaşılması çok önemlidir, çünkü eşleştirme başlangıçta kullanılan yöntemdir (Mors teorisinden değiştirilmiştir). Eserlerin bir özeti Vin de Silva ve ark.^[61] Birçok teorem, daha sezgisel bir ortamda çok daha kolay kanıtlanabilir.^[58] Başka bir örnek, nokta bulutlarından farklı komplekslerin inşası arasındaki ilişkidir. Čech ve Vietoris-Rips komplekslerinin ilişkili olduğu uzun zamandır fark edilmiştir. Özellikle, ${displaystyle V_ {r} (X) altkümesi C _ {{sqrt {2}} (X) altkümesi V_ {2r} (X)}$.^[62] Cech ve Rips kompleksleri arasındaki temel ilişki, kategorik dilde çok daha net bir şekilde görülebilir.^[61]

Kategori teorisinin dili, sonuçların daha geniş matematik topluluğu tarafından tanınan terimlerle yayınlanmasına da yardımcı olur. Darboğaz mesafesi, darboğaz mesafesine göre stabilite ile ilgili sonuçlar nedeniyle TDA'da yaygın olarak kullanılmaktadır.^[11][14] Aslında, serpiştirme mesafesi, terminal nesnesi çok boyutlu kalıcılık modülleri ile ilgili sabit ölçümlerin bir poset kategorisinde bir ana alan.^[58][63]

Sheaves modernde merkezi bir kavram cebirsel geometri, özünde kategori teorisi ile ilgilidir. Kabaca konuşma, kasnaklar yerel bilginin küresel bilgiyi nasıl belirlediğini anlamak için matematiksel araçtır. Justin Curry, seviye belirleme sürekliliğini, lifler sürekli fonksiyonlar. Çalıştığı nesneler MAPPER'ın nesnelerine çok benziyor, ancak teorik temel olarak demet teorisi var.^[33] TDA teorisindeki hiçbir buluş henüz demet teorisini kullanmamış olsa da, demet teorisine ilişkin cebirsel geometride birçok güzel teorem olduğu için umut vericidir. Örneğin, doğal bir teorik soru, farklı filtreleme yöntemlerinin aynı çıktıyla sonuçlanıp sonuçlanmayacağıdır.^[64]

istikrar

Gerçek veriler sesler taşıdığından, kararlılık veri analizi için merkezi bir öneme sahiptir. Kategori teorisi kullanılarak Bubenik ve ark. yumuşak ve sert kararlılık teoremleri arasında ayrım yapmış ve yumuşak vakaların biçimsel olduğunu kanıtlamıştır.^[60] Özellikle, TDA'nın genel iş akışı

veri

${displaystyle {stackrel {F} {longrightarrow}}}$

topolojik kalıcılık modülü

${displaystyle {stackrel {H} {longrightarrow}}}$

cebirsel kalıcılık modülü

${displaystyle {stackrel {J} {longrightarrow}}}$

ayrık değişmez

Yumuşak kararlılık teoremi şunu ileri sürer: ${displaystyle HF}$ dır-dir Sürekli Lipschitz ve sert kararlılık teoremi şunu ileri sürer: ${displaystyle J}$ Lipschitz süreklidir.

Darboğaz mesafesi TDA'da yaygın olarak kullanılmaktadır. İzometri teoremi, serpiştirme mesafesi ${displaystyle d_ {I}}$ darboğaz mesafesine eşittir.^[58] Bubenik vd. tanımını işlevciler arasında olana soyutladı ${displaystyle F, G: P o D}$ ne zaman ${extstyle P}$ hala bir psödometrik olarak kalan alt doğrusal bir projeksiyon veya süper doğrusal aile ile donatılmıştır.^[60] Serpiştirme mesafesinin muhteşem karakterlerini düşünürsek,^[65] burada serpiştirme mesafesinin genel tanımını sunuyoruz (ilk tanıtılan yerine):^[11] İzin Vermek ${displaystyle Gamma, Kin matrm {Trans_ {P}}}$ (bir işlev ${extstyle P}$ -e ${extstyle P}$ monoton ve tatmin edici olan ${displaystyle xleq Gama (x)}$ hepsi için ${extstyle xin P}$). Bir ${displaystyle (Gama, K)}$-F ve G arasındaki serpiştirme doğal dönüşümlerden oluşur ${displaystyle varphi: FRightarrow GGamma}$ ve ${displaystyle psi: Grightarrow FK}$, öyle ki ${displaystyle (psi Gamma) = varphi Feta _ {KGamma}}$ ve ${displaystyle (varphi Gamma) = psi Geta _ {Gamma K}}$.

İki ana sonuç^[60]

• İzin Vermek ${extstyle P}$ alt doğrusal projeksiyon veya süper doğrusal aile ile önceden sipariş edilmiş bir küme olabilir. İzin Vermek ${extstyle H: D o E}$ rastgele kategoriler arasında işlevsel olmak ${extstyle D, E}$. Sonra herhangi iki işlev için ${extstyle F, G: P o D}$, sahibiz ${extstyle d_ {I} (HF, HG) leq d_ {I} (F, G)}$.
• İzin Vermek ${extstyle P}$ bir metrik uzay kümesi olmak ${extstyle Y}$ , ${extstyle X}$ topolojik bir uzay olabilir. Ve izin ver${extstyle f, g: X o Y}$ (sürekli olması gerekmez) işlevler ve ${extstyle F, G}$ karşılık gelen kalıcılık diyagramı olacaktır. Sonra ${displaystyle d_ {I} (F, G) leq d_ {infty} (f, g): = sup _ {xin X} d_ {Y} (f (x), g (x))}$.

Bu iki sonuç, farklı kalıcılık modellerinin kararlılığı üzerine birçok sonucu özetlemektedir.

Çok boyutlu kalıcılığın kararlılık teoremi için lütfen kalıcılık alt bölümüne bakın.

Yapı teoremi

Yapı teoremi TDA için merkezi bir öneme sahiptir; G. Carlsson tarafından yorumlandığı gibi, "homolojiyi topolojik uzaylar arasında bir ayırıcı olarak kullanışlı kılan şey, sonlu olarak üretilmiş değişmeli gruplar için bir sınıflandırma teoreminin olduğu gerçeğidir."^[3] (bkz. sonlu üretilmiş değişmeli grupların temel teoremi ).

Orijinal yapı teoreminin ispatında kullanılan ana argüman standarttır temel ideal alan üzerinde sonlu olarak üretilmiş modüller için yapı teoremi.^[9] Ancak, indeksleme seti ise bu argüman başarısız olur. ${displaystyle (mathbb {R}, leq)}$.^[3]

Genel olarak, her kalıcılık modülü aralıklara ayrıştırılamaz.^[66] Orijinal yapı teoreminin kısıtlamalarını gevşetmek için birçok girişimde bulunulmuştur.^{[açıklama gerekli ]} Yerel olarak sonlu bir alt kümeyle indekslenen noktasal sonlu boyutlu kalıcılık modüllerinin durumu ${displaystyle mathbb {R}}$ Webb'in çalışmasına göre çözülür.^[67] En dikkate değer sonuç, durumu çözen Crawley-Boevey tarafından yapılmıştır. ${displaystyle mathbb {R}}$. Crawley-Boevey teoremi, herhangi bir noktasal sonlu boyutlu kalıcılık modülünün, aralık modüllerinin doğrudan bir toplamı olduğunu belirtir.^[68]

Teoreminin tanımını anlamak için bazı kavramların tanıtılması gerekiyor. Bir Aralık içinde ${displaystyle (mathbb {R}, leq)}$ bir alt küme olarak tanımlanır ${displaystyle Isubset mathbb {R}}$ mülke sahip olmak ${displaystyle r, tin I}$ ve eğer varsa ${displaystyle günah mathbb {R}}$ öyle ki ${displaystyle rleq sleq t}$, sonra ${görüntü tarzı günah I}$ yanı sıra. Bir aralık modülü ${displaystyle k_ {I}}$ her elemana atar ${görüntü tarzı günah I}$ vektör uzayı ${displaystyle k}$ ve sıfır vektör uzayını içindeki öğelere atar ${displaystyle mathbb {R} setminus I}$. Tüm haritalar ${displaystyle ho _ {s} ^ {t}}$ sıfır harita olmadıkça ${displaystyle s, tin I}$ ve ${displaystyle sleq t}$, bu durumda ${displaystyle ho _ {s} ^ {t}}$ kimlik haritasıdır.^[33] Aralık modülleri ayrıştırılamaz.^[69]

Crawley-Boevey'in sonucu çok güçlü bir teorem olmasına rağmen, yine de q-tame durumuna genişlemiyor.^[66] Kalıcılık modülü q-tame eğer rütbesi ${displaystyle ho _ {s} ^ {t}}$ herkes için sonlu ${displaystyle sleq t}$. Noktasal sonlu olamayan q-tame kalıcılık modülü örnekleri vardır.^[70] Ancak, sadece bir indeks değerinde var olan özellikler kaldırılırsa benzer bir yapı teoreminin hala geçerli olduğu ortaya çıkar.^[69] Bu, her indeks değerindeki sonsuz boyutlu parçaların sonlu sıra koşulu nedeniyle kalıcı olmaması nedeniyle geçerlidir.^[71] Resmi olarak, gözlemlenebilir kategori ${displaystyle mathrm {Ob}}$ olarak tanımlanır ${displaystyle mathrm {Pers} / mathrm {Eph}}$içinde ${displaystyle mathrm {Eph}}$ tam alt kategorisini gösterir ${displaystyle mathrm {Pers}}$ nesneleri geçici modüllerdir (${displaystyle ho _ {s} ^ {t} = 0}$ her ne zaman ${displaystyle s$).^[69]

Burada listelenen genişletilmiş sonuçların zikzak kalıcılığı için geçerli olmadığına dikkat edin, çünkü zikzak kalıcılık modülünün analogu ${displaystyle mathbb {R}}$ hemen belli değil.

İstatistik

Gerçek veriler her zaman sonludur ve bu nedenle onun çalışması stokastisiteyi hesaba katmamızı gerektirir. İstatistiksel analiz, bize verilerin gerçek özelliklerini rastgele gürültü ile ortaya çıkan yapay nesnelerden ayırma yeteneği verir. Kalıcı homoloji, düşük olasılıklı özellikler ve yüksek olasılıklı özellikler arasında ayrım yapmak için doğal bir mekanizmaya sahip değildir.

İstatistikleri topolojik veri analizine uygulamanın bir yolu, nokta bulutlarının topolojik özelliklerinin istatistiksel özelliklerini incelemektir. Rastgele basit komplekslerin incelenmesi, istatistiksel topoloji hakkında bazı bilgiler sunar. K. Turner vd.^[72] bu damardaki çalışmaların bir özetini sunar.

İkinci bir yol, kalıcılık uzayındaki olasılık dağılımlarını incelemektir. Kalıcılık alanı ${displaystyle B_ {infty}}$ dır-dir ${displaystyle kopyalama _ {n} B_ {n} / {acksim}}$, nerede ${displaystyle B_ {n}}$ tam olarak içeren tüm barkodların alanıdır ${displaystyle n}$ aralıklar ve eşdeğerler ${displaystyle {[x_ {1}, y_ {1}], [x_ {2}, y_ {2}], ldots, [x_ {n}, y_ {n}]} acksim {[x_ {1}, y_ {1}], [x_ {2}, y_ {2}], ldots, [x_ {n-1}, y_ {n-1}]}}$ Eğer ${displaystyle x_ {n} = y_ {n}}$.^[73] Bu alan oldukça karmaşıktır; örneğin, darboğaz ölçüsü kapsamında tamamlanmamıştır. Çalışmak için yapılan ilk girişim Y. Mileyko ve ark.^[74] Kalıcılık diyagramlarının alanı ${displaystyle D_ {p}}$ kağıtlarında şu şekilde tanımlanır:

$${displaystyle D_ {p}: = sol {dmid toplamı _ {xin d} sol (2inf _ {yin Delta} lVert x-yVert ight) ^ {p}$$

${displaystyle Delta}$

${displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$

${displaystyle D_ {p}}$

${displaystyle W_ {p} (u, v) = sol (inf _ {Gamma içinde gama (u, v)} int _ {mathbb {X} imes mathbb {X}} ho ^ {p} (x, y), matematik {d} gama (x, y) ight) ^ {1 / p}}$

Üçüncü bir yol, olasılık uzayının veya istatistiksel sistemlerin kohomolojisini doğrudan dikkate almaktır, bilgi yapıları olarak adlandırılır ve temelde üçlüden oluşur (${displaystyle Omega, Pi, P}$), örnek uzay, rastgele değişkenler ve olasılık yasaları ^{[78] [79]}. Rastgele değişkenler, n atomik olasılığın bölümleri olarak kabul edilir (bir olasılık (n-1) -simplex olarak görülür, ${displaystyle | Omega | = n}$) bölümlerin kafesi üzerinde (${displaystyle Pi _ {n}}$). Ölçülebilir fonksiyonların rastgele değişkenleri veya modülleri, cochain komplekslerini sağlarken, ortak sınır, koşullandırma eylemini uygulayan bir sol eylemle ilk olarak Hochschild tarafından keşfedilen genel homolojik cebir olarak kabul edilir. İlk birlikte döngü koşulu, entropinin zincir kuralına karşılık gelir ve benzersiz bir şekilde çarpma sabiti olan Shannon entropisini birinci kohomoloji sınıfı olarak türetmeye izin verir. Deforme olmuş bir sol eylemi düşünmek, çerçeveyi Tsallis entropilerine genelleştirir. Bilgi kohomolojisi halkalı topoların bir örneğidir. Çok değişkenli k-Karşılıklı bilgi ortak sınır ifadelerinde görünür ve bunların eşdöngü koşuluyla ilgili olarak kaybolması, istatistiksel bağımsızlık için eşdeğer koşullar verir ^[80]. Sinerji olarak da adlandırılan karşılıklı bilgi minimumları, homotopik bağlantılara benzer ilginç bağımsızlık konfigürasyonlarına yol açar. Kombinasyonel karmaşıklığı nedeniyle, veriler üzerinde kohomolojinin ve bilgi yapısının yalnızca basit alt durumu incelenmiştir. Verilere uygulanan bu kohomolojik araçlar, istatistiksel bağımlılıkları ve bağımsızlıkları nicelendirir. Markov zincirleri ve koşullu bağımsızlık, çok değişkenli durumda ^[81]. Özellikle, karşılıklı bilgiler genel korelasyon katsayısı ve kovaryans doğrusal olmayan istatistiksel bağımlılıklara. Bu yaklaşımlar bağımsız olarak geliştirildi ve kalıcılık yöntemleriyle yalnızca dolaylı olarak ilişkili, ancak basit durumda, karşılıklı bilgi işlevleri ile kesişme operatörü olan bir kümenin sonlu ölçülebilir işlevi arasında bire bir yazışma oluşturan Hu Kuo Tin Teoremi kullanılarak kabaca anlaşılabilir. inşa etmek Čech kompleksi iskelet. Bilgi kohomolojisi, sinirbilim (sinirsel birleştirme teorisi ve nitel biliş) açısından bazı doğrudan yorumlar ve uygulamalar sunar. ^[82]), istatistiksel fizik ve derin sinir ağı için yapı ve öğrenme algoritması rastgele değişkenlerin kompleksi ve bilgi zinciri kuralı tarafından empoze edilir. ^[83].

Peter Bubenik tarafından tanıtılan kalıcı manzaralar, istatistiksel analize daha uygun barkodları temsil etmenin farklı bir yoludur.^[84] kalıcılık manzarası kalıcı bir modülün ${displaystyle M}$ bir işlev olarak tanımlanır ${displaystyle lambda: mathbb {N} imes mathbb {R} o {ar {mathbb {R}}}}$, ${displaystyle lambda (k, t): = sup (mgeq 0mid eta ^ {t-m, t-m} geq k)}$, nerede ${displaystyle {ar {mathbb {R}}}}$ gösterir genişletilmiş gerçek hat ve ${displaystyle eta ^ {a, b} = mathrm {dim} (mathrm {im} (M (aleq b)))}$. The space of persistence landscapes is very nice: it inherits all good properties of barcode representation (stability, easy representation, etc.), but statistical quantities can be readily defined, and some problems in Y. Mileyko et al.'s work, such as the non-uniqueness of expectations,^[74] can be overcome. Effective algorithms for computation with persistence landscapes are available.^[85] Another approach is to use revised persistence, which is image, kernel and cokernel persistence.^[86]

Başvurular

Classification of applications

More than one way exists to classify the applications of TDA. Perhaps the most natural way is by field. A very incomplete list of successful applications includes ^[87] data skeletonization,^[88] shape study,^[89] graph reconstruction,^{[90][91][92] [93][94]}görüntü analizi,^[95][96] malzeme,^[97] progression analysis of disease,^[98][99] sensor network,^[62] signal analysis,^[100] cosmic web,^[101] complex network,^{[102][103][104][105]} fractal geometry,^[106] viral evolution,^[107] propagation of contagions on networks,^[108] bacteria classification using molecular spectroscopy,^[109] hyperspectral imaging in physical-chemistry ^[110] and remote sensing.^[111]

Another way is by distinguishing the techniques by G. Carlsson,^[73]

one being the study of homological invariants of data one individual data sets, and the other is the use of homological invariants in the study of databases where the data points themselves have geometric structure.

Characteristics of TDA in applications

There are several notable interesting features of the recent applications of TDA:

1. Combining tools from several branches of mathematics. Besides the obvious need for algebra and topology, partial differential equations,^[112] algebraic geometry,^[36] representation theory,^[49] statistics, combinatorics, and Riemannian geometry^[71] have all found use in TDA.
2. Nicel analiz. Topology is considered to be very soft since many concepts are invariant under homotopy. However, persistent topology is able to record the birth (appearance) and death (disappearance) of topological features, thus extra geometric information is embedded in it. One evidence in theory is a partially positive result on the uniqueness of reconstruction of curves;^[113] two in application are on the quantitative analysis of Fullerene stability and quantitative analysis of kendine benzerlik, ayrı ayrı.^[106][114]
3. The role of short persistence. Short persistence has also been found to be useful, despite the common belief that noise is the cause of the phenomena.^[115] This is interesting to the mathematical theory.

One of the main fields of data analysis today is makine öğrenme. Some examples of machine learning in TDA can be found in Adcock et al.^[116] Bir konferans is dedicated to the link between TDA and machine learning. In order to apply tools from machine learning, the information obtained from TDA should be represented in vector form. An ongoing and promising attempt is the persistence landscape discussed above. Another attempt uses the concept of persistence images.^[117] However, one problem of this method is the loss of stability, since the hard stability theorem depends on the barcode representation.

Impact on mathematics

Topological data analysis and persistent homology have had impacts on Mors teorisi. Morse theory has played a very important role in the theory of TDA, including on computation. Some work in persistent homology has extended results about Morse functions to tame functions or, even to continuous functions. A forgotten result of R. Deheuvels long before the invention of persistent homology extends Morse theory to all continuous functions.^[118]

One recent result is that the category of Reeb graphs is equivalent to a particular class of cosheaf.^[119] This is motivated by theoretical work in TDA, since the Reeb graph is related to Morse theory and MAPPER is derived from it. The proof of this theorem relies on the interleaving distance.

Persistent homology is closely related to spektral diziler.^{[120] [121]} In particular the algorithm bringing a filtered complex to its canonical form^[10] permits much faster calculation of spectral sequences than the standard procedure of calculating ${displaystyle E_{p,q}^{r}}$ groups page by page. Zigzag persistence may turn out to be of theoretical importance to spectral sequences.

Ayrıca bakınız

• Boyutsal küçülme
• Veri madenciliği
• Bilgisayar görüşü
• Hesaplamalı topoloji
• Ayrık Mors teorisi
• Şekil analizi (dijital geometri)
• Boyut teorisi
• Cebirsel topoloji

Referanslar

daha fazla okuma

Kısa Giriş

• Topolojiyi Kullanarak Veri Şeklini İnceleme, Michael Lesnick tarafından
• Topolojik Veri Analizi için Kaynak Materyal Yazan: Mikael Vejdemo-Johansson

Monografi

• Kalıcılık Teorisi: Quiver Gösterimlerinden Veri Analizine, Steve Oudot tarafından

Video Ders

• Kalıcı Homolojiye Giriş ve Veri Analizi için Topoloji, Matthew Wright tarafından
• Verilerin Şekli, Gunnar Carlsson tarafından

Topoloji Ders Kitabı

• Cebirsel Topoloji Allen Hatcher tarafından
• Hesaplamalı Topoloji: Giriş, Herbert Edelsbrunner ve John L. Harer tarafından
• Temel Uygulamalı Topoloji Robert Ghrist tarafından

TDA'nın Diğer Kaynakları

• Uygulamalı Topoloji, Stanford tarafından
• Uygulamalı cebirsel topoloji araştırma ağı , Matematik Enstitüsü ve Uygulamaları tarafından
• Topolojik Çekirdek Öğrenimi: Ayrık Morse Teorisi, çekirdek makine öğrenimini topolojik veri analizi ile bağlamak için kullanılır. https://www.researchgate.net/publication/327427685_Topological_Kernel_Learning