Von Neumann bicommutant teoremi - Von Neumann bicommutant theorem

Bu makale olabilir gerek Temizlemek Wikipedia'yla tanışmak için kalite standartları. Spesifik sorun şudur: Konuşma sayfasında belirtildiği gibi, (iii) maddesinin kanıtı eksik. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir Eğer yapabilirsen. (Eylül 2018) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

İçinde matematik özellikle fonksiyonel Analiz, von Neumann bicommutant teoremi ilişkilendirir kapatma bir dizi sınırlı operatörler bir Hilbert uzayı kesin olarak topolojiler için iki taraflı bu setin. Özünde, bu, cebirsel ve topolojik tarafları operatör teorisi.

Teoremin resmi ifadesi aşağıdaki gibidir:

Von Neumann Bicommutant Teoremi. İzin Vermek M fasulye cebir bir Hilbert uzayında sınırlı operatörlerden oluşan H, kimlik operatörünü içeren ve alma altında kapalı bitişik. Sonra kapanışlar nın-nin M içinde zayıf operatör topolojisi ve güçlü operatör topolojisi eşittir ve sırayla eşittir iki taraflı M′′ nın-nin M.

Bu cebire von Neumann cebiri tarafından oluşturuldu M.

Sınırlı işleçlerin uzayında birkaç başka topoloji vardır ve bu topolojilerde kapalı * -algebraların ne olduğu sorulabilir. Eğer M kapalıdır norm topolojisi o zaman bu bir C * -algebra, ama mutlaka bir von Neumann cebiri değil. Böyle bir örnek, C *-cebiridir kompakt operatörler (sonsuz boyutlu bir Hilbert uzayında). Diğer yaygın topolojilerin çoğu için, 1 içeren kapalı * -algebralar von Neumann cebirleri; bu özellikle zayıf operatör, güçlü operatör, * - güçlü operatör için geçerlidir, aşırı zayıf, Ultra güçlü ve * -ultrastrong topolojileri.

İle ilgilidir Jacobson yoğunluk teoremi.

Kanıt

İzin Vermek H bir Hilbert alanı olun ve L(H) sınırlı operatörler H. Kendine eş bir bütün düşünün alt cebir M nın-nin L(H) (bu şu demek M üyelerinin bitişiklerini ve üzerindeki kimlik operatörünü içerir H).

Teorem, aşağıdaki üç ifadenin kombinasyonuna eşdeğerdir:

(ben) cl_W(M) ⊆ M′′

(ii) cl_S(M) ⊆ cl_W(M)

(iii) M′ ′ ⊆ cl_S(M)

nerede W ve S abonelikler kapanışlar içinde güçsüz ve kuvvetli sırasıyla operatör topolojileri.

(İ) kanıtı

Zayıf operatör topolojisinin tanımı gereği, herhangi bir x ve y içinde H, harita T → <Tx, y> bu topolojide süreklidir. Bu nedenle, herhangi bir operatör için Ö (ve bir kez değiştirerek y → Ö^∗y ve bir kez x → Öküz), harita da öyle

${ displaystyle T to langle Tx, O ^ {*} y rangle - langle TOx, y rangle = langle OTx, y rangle - langle TOx, y rangle.}$

İzin Vermek S herhangi bir alt kümesi olmak L(H), ve S′ Onun değişebilen. Herhangi bir operatör için T değil S′, <OTx, y> - <TOx, y> bazıları için sıfır değildir Ö içinde S ve bazı x ve y içinde H. Yukarıda bahsi geçen haritalamanın sürekliliği ile açık bir mahalle vardır. T bunun sıfır olmadığı zayıf operatör topolojisinde, bu nedenle bu açık komşuluk aynı zamanda S′. Böylece S' dır-dir kapalı zayıf operatörde, yani S' dır-dir zayıf kapalı. Böylece her değişebilen zayıf bir şekilde kapandı ve M′′; içerdiği için Mayrıca zayıf kapanışını da içerir.

(İi) kanıtı

Bu, doğrudan zayıf operatör topolojisinin güçlü operatör topolojisinden daha kaba olmasından kaynaklanır: her nokta için x içinde cl_S(M)her açık mahalle x zayıf operatör topolojisinde güçlü operatör topolojisinde de açıktır ve bu nedenle bir üye içerir M; bu nedenle x aynı zamanda üyesidir cl_W(M).

(İii) kanıtı

Düzelt X ∈ M′′. Göstereceğiz X ∈ cl_S(M).

Açık bir mahalleyi düzeltin U nın-nin X güçlü operatör topolojisinde. Güçlü operatör topolojisinin tanımı gereği, U sonlu bir kesişim içerir U(h₁, ε₁) ∩...∩U(h_n, ε_n) formun temel altı açık kümeleri U(h, ε) = {Ö ∈ L(H): ||Oh - Xh|| <ε}, nerede h içinde H ve ε> 0.

Düzelt h içinde H. Yi hesaba kat kapatma cl (Mh) nın-nin Mh = {Mh : M ∈ M} normuna göre H ve iç ürünü ile donatılmıştır. H. Bu bir Hilbert uzayı (Hilbert uzayının kapalı bir alt uzayı olmak H) ve buna karşılık gelen dikey projeksiyon gösterdiğimiz P. P sınırlı, bu yüzden L(H). Sonra kanıtlıyoruz:

Lemma. P ∈ M′.

Kanıt. Düzelt x ∈ H. Sonra Px ∈ cl (Mh)yani bir dizinin sınırı Ö_nh ile Ö_n içinde M hepsi için n. Sonra hepsi için T ∈ M, KİME_nh ayrıca içinde Mh ve dolayısıyla sınırı cl (Mh). Sürekliliği ile T (içinde olduğu için L(H) ve böylece Sürekli Lipschitz ), bu sınır TPx. Dan beri TPx ∈ cl (Mh), PTPx = TPx. Bundan şunu takip eder: PTP = TP hepsi için T içinde M.

Kapanışını kullanarak M eşlenik noktasının altında ayrıca her biri için T içinde M ve tüm x, y ∈ H:

${ displaystyle langle x, TPy rangle = langle x, PTPy rangle = langle Px, TPy rangle = langle T ^ {*} Px, Py rangle = langle PT ^ {*} Px, y rangle = langle T ^ {*} Px, y rangle = langle Px, Ty rangle = langle x, PTy rangle}$

Böylece TP = PT ve P yatıyor M′.

Tanımına göre iki taraflı XP = PX. Dan beri M unitaldir, h ∈ Mhdolayısıyla Xh = XPh = PXh ∈ cl (Mh). Böylece her biri için ε > 0var T içinde M ile ||Xh − Th|| < ε. Sonra T yatıyor U(h, ε).^{[açıklama gerekli ]}

Böylece her açık mahallede U nın-nin X güçlü operatör topolojisinde bir üye vardır M, ve bu yüzden X güçlü operatör topolojisi içinde M.

Unital olmayan durum

A C * -algebra M üzerinde hareket etmek H hareket ettiği söyleniyor dejenere olmayan eğer için h içinde H, Mh = {0} ima eder h = 0. Bu durumda, bir yaklaşık kimlik içinde M kimlik operatörü ben güçlü kapanışta yatıyor M. Bu nedenle, bicommutant teoreminin sonucu için geçerlidir M.

Referanslar

• W.B. Arveson, C * -algebralara DavetSpringer, New York, 1976.