Zernike polinomları - Zernike polynomials

Dikey olarak radyal dereceye göre ve yatay olarak azimut dereceye göre sıralanmış ilk 21 Zernike polinomu

İçinde matematik, Zernike polinomları bir sıra nın-nin polinomlar bunlar dikey üzerinde birim disk. Optik fizikçinin adını almıştır Frits Zernike, 1953'ün galibi Nobel Ödülü Fizikte ve mucidi Kontrast mikroskopi aşaması kiriş gibi çeşitli optik dallarında önemli roller oynarlar. optik ve görüntüleme.^[1][2]

Tanımlar

Var çift ​​ve tek Zernike polinomları. Çift Zernike polinomları şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle Z_ {n} ^ {m} ( rho, varphi) = R_ {n} ^ {m} ( rho) , cos (m , varphi) !}$

(azimut açısı üzerinde eşit fonksiyon ${ displaystyle varphi}$) ve tek Zernike polinomları şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle Z_ {n} ^ {- m} ( rho, varphi) = R_ {n} ^ {m} ( rho) , sin (m , varphi), !}$

(azimut açısı üzerinde tek fonksiyon ${ displaystyle varphi}$) nerede m ve n olumsuz değil tamsayılar ile n ≥ m ≥ 0 (m = 0 yalnızca çift değişken için), ${ displaystyle varphi}$ ... Azimut açı, ρ radyal mesafe ${ displaystyle 0 leq rho leq 1}$, ve ${ displaystyle R_ {n} ^ {m}}$ aşağıda tanımlanan radyal polinomlardır. Zernike polinomları, -1 ila +1 aralığı ile sınırlı olma özelliğine sahiptir, yani. ${ displaystyle | Z_ {n} ^ {m} ( rho, varphi) | leq 1}$. Radyal polinomlar ${ displaystyle R_ {n} ^ {m}}$ olarak tanımlanır

${ displaystyle R_ {n} ^ {m} ( rho) = toplamı _ {k = 0} ^ { tfrac {nm} {2}} { frac {(-1) ^ {k} , ( nk)!} {k! left ({ tfrac {n + m} {2}} - k right)! left ({ tfrac {nm} {2}} - k sağ)!}} ; rho ^ {n-2k}}$

çift ​​sayı için n − mtek bir sayı için 0 iken n − m. Özel bir değer

${ displaystyle R_ {n} ^ {m} (1) = 1.}$

Diğer temsiller

Radyal kısımdaki faktöriyel oranlarının, iki terimli katsayıların tam sayı olduğunu gösterir:

${ displaystyle R_ {n} ^ {m} ( rho) = toplamı _ {k = 0} ^ { tfrac {nm} {2}} (- 1) ^ {k} { binom {nk} { k}} { binom {n-2k} {{ tfrac {nm} {2}} - k}} rho ^ {n-2k}}$.

Sonlandırıcı olarak bir gösterim Gauss hipergeometrik fonksiyonlar nüksleri ortaya çıkarmak için, bunların özel durumlar olduğunu göstermek için kullanışlıdır. Jacobi polinomları, diferansiyel denklemleri vb. yazmak için:

${ displaystyle { begin {align} R_ {n} ^ {m} ( rho) & = { binom {n} { tfrac {n + m} {2}}} rho ^ {n} { } _ {2} F_ {1} left (- { tfrac {n + m} {2}}, - { tfrac {nm} {2}}; - n; rho ^ {- 2} sağ ) & = (- 1) ^ { tfrac {nm} {2}} { binom { tfrac {n + m} {2}} {m}} rho ^ {m} {} _ { 2} F_ {1} left (1 + { tfrac {n + m} {2}}, - { tfrac {nm} {2}}; 1 + m; rho ^ {2} sağ) son {hizalı}}}$

için n − m hatta.

Faktör ${ displaystyle rho ^ {n-2k}}$ radyal polinomda ${ displaystyle R_ {n} ^ {m} ( rho)}$ içinde genişletilebilir Bernstein temeli nın-nin ${ displaystyle b_ {s, n / 2} ( rho ^ {2})}$ hatta ${ displaystyle n}$ veya ${ displaystyle rho}$ kere bir fonksiyonu ${ displaystyle b_ {s, (n-1) / 2} ( rho ^ {2})}$ garip için ${ displaystyle n}$ aralıkta ${ displaystyle lfloor n / 2 rfloor -k leq s leq lfloor n / 2 rfloor}$. Bu nedenle radyal polinom, rasyonel katsayılara sahip sonlu sayıda Bernstein Polinomu ile ifade edilebilir:

${ displaystyle R_ {n} ^ {m} ( rho) = { frac {1} { binom { lfloor n / 2 rfloor} { lfloor m / 2 rfloor}}} rho ^ {n mod 2} sum _ {s = lfloor m / 2 rfloor} ^ { lfloor n / 2 rfloor} (- 1) ^ { lfloor n / 2 rfloor -s} { binom {s} { lfloor m / 2 rfloor}} { binom {(n + m) / 2} {s + lceil m / 2 rceil}} b_ {s, lfloor n / 2 rfloor} ( rho ^ { 2}).}$

Noll'un sıralı indeksleri

Uygulamalar genellikle, Zernike polinomlarının çarpımları üzerindeki integrallerin ve diğer bazı faktörlerin matris elemanlarını oluşturduğu doğrusal cebiri içerir.Bu matrislerin satırlarını ve sütunlarını tek bir indeksle numaralandırmak için, iki indeksin geleneksel bir eşlemesi n ve m ' tek bir dizine j Noll tarafından tanıtıldı.^[3] Bu ilişkinin tablosu ${ displaystyle Z_ {n} ^ {m '} rightarrow Z_ {j}}$ aşağıdaki gibi başlar (sıra A176988 içinde OEIS ).${ displaystyle j = { frac {n (n + 1)} {2}} + | {m '} | + left {{ begin {dizi} {ll} 0, & {m'}> 0 land n equiv {0,1 } { pmod {4}}; 0, & {m '} <0 land n equiv {2,3 } { pmod {4}} ; 1, & {m '} geq 0 land n equiv {2,3 } { pmod {4}}; 1, & {m'} leq 0 land n equiv {0,1 } { pmod {4}}. End {dizi}} sağ.}$

Kural şudur.

• Çift Zernike polinomları Z (hatta azimut parçalarla ${ displaystyle çünkü (m varphi)}$, nerede ${ displaystyle m = m '}$ gibi ${ displaystyle m '}$ pozitif bir sayıdır) çift indeksler elde edin j.
• Garip Z elde eder (garip azimut parçalarla ${ displaystyle sin (m varphi)}$, nerede ${ displaystyle m = sol vert {m '} sağ vert}$ gibi ${ displaystyle m '}$ negatif bir sayıdır) tek endeksler j.
• Verilen içinde n, daha düşük değerler |m| daha düşük elde etmekj.

OSA / ANSI standart endeksleri

OSA^[4] ve ANSI tek indeksli Zernike polinomları şunları kullanarak:

${ displaystyle j = { frac {n (n + 2) + {m '}} {2}}}$

Fringe / University of Arizona endeksleri

Fringe indeksleme şeması, ticari optik tasarım yazılımında ve optik testte kullanılır.^[5][6]

${ displaystyle j = sol (1 + { frac {n + | {m '} |} {2}} sağ) ^ {2} -2 | {m'} | + { frac {1- operatöradı {sgn} {m '}} {2}}}$

nerede ${ displaystyle operatorname {sgn} m}$ ... işaret veya işaret işlevi. İlk 20 bordür numarası aşağıda listelenmiştir.

Wyant endeksleri

James C. Wyant 1 yerine 0'dan başlaması dışında "Fringe" indeksleme şemasını kullanır (1 çıkar).^[7] Bu yöntem, Zygo interferometrelerde interferogram analiz yazılımı ve açık kaynaklı yazılım DFTFringe dahil olmak üzere yaygın olarak kullanılır.

Özellikleri

Diklik

Radyal kısımdaki ortogonallik okur^[8]

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { sqrt {2n + 2}} R_ {n} ^ {m} ( rho) , { sqrt {2n '+ 2}} R_ {n' } ^ {m} ( rho) , rho d rho = delta _ {n, n '}}$

veya

${ displaystyle { underet {0} { overet {1} { mathop { int}}}} , R_ {n} ^ {m} ( rho) R _ {{n} '} ^ {m} ( rho) rho d rho = { frac {{ delta} _ {n, {n} '}} {2n + 2}}.}$

Açısal kısımdaki diklik, temel

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} cos (m varphi) cos (m ' varphi) , d varphi = epsilon _ {m} pi delta _ {m, m '},}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} sin (m varphi) sin (m ' varphi) , d varphi = pi delta _ {m, m'}; dört m neq 0,}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} cos (m varphi) sin (m ' varphi) , d varphi = 0,}$

nerede ${ displaystyle epsilon _ {m}}$ (bazen denir Neumann faktörü sık sık Bessel işlevleriyle birlikte göründüğü için) olarak tanımlanır 2 Eğer ${ displaystyle m = 0}$ ve 1 Eğer ${ displaystyle m neq 0}$. Açısal ve radyal parçaların çarpımı, birim disk üzerine entegre edilmişse, Zernike fonksiyonlarının her iki endekse göre ortogonalitesini oluşturur,

${ displaystyle int Z_ {n} ^ {m} ( rho, varphi) Z_ {n '} ^ {m'} ( rho, varphi) , d ^ {2} r = { frac { epsilon _ {m} pi} {2n + 2}} delta _ {n, n '} delta _ {m, m'},}$

nerede ${ displaystyle d ^ {2} r = rho , d rho , d varphi}$ ... Jacobian dairesel koordinat sisteminin ve nerede ${ displaystyle n-m}$ ve ${ displaystyle n'-m '}$ her ikisi de eşittir.

Zernike dönüşümü

Ünite diski üzerinde yeterince düzgün gerçek değerli faz alanı ${ displaystyle G ( rho, varphi)}$ Zernike katsayıları (tek ve çift) cinsinden gösterilebilir, tıpkı periyodik fonksiyonların ortogonal bir temsil bulması gibi Fourier serisi. Sahibiz

${ displaystyle G ( rho, varphi) = toplam _ {m, n} sol [a_ {m, n} Z_ {n} ^ {m} ( rho, varphi) + b_ {m, n } Z_ {n} ^ {- m} ( rho, varphi) sağ],}$

katsayılar kullanılarak hesaplanabilir iç ürünler. Uzayda ${ displaystyle L ^ {2}}$ birim diskte fonksiyonlar, ile tanımlanan bir iç ürün var

${ displaystyle langle F, G rangle: = int F ( rho, varphi) G ( rho, varphi) rho d rho d varphi.}$

Zernike katsayıları daha sonra aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

${ displaystyle { begin {align} a_ {m, n} & = { frac {2n + 2} { epsilon _ {m} pi}} left langle G ( rho, varphi), Z_ {n} ^ {m} ( rho, varphi) right rangle, b_ {m, n} & = { frac {2n + 2} { epsilon _ {m} pi}} sol langle G ( rho, varphi), Z_ {n} ^ {- m} ( rho, varphi) sağ rangle. end {hizalı}}}$

Alternatif olarak, faz fonksiyonunun bilinen değerleri kullanılabilir. G bir denklem sistemi oluşturmak için dairesel ızgara üzerinde. Faz fonksiyonu, birim ızgara boyunca (bilinen değerler) Zernike polinomu ile bilinmeyen katsayılı ağırlıklı ürün tarafından alınır. Bu nedenle, katsayılar, örneğin matris ters çevirme gibi doğrusal bir sistemi çözerek de bulunabilir. İleri ve ters Zernike dönüşümünü hesaplamak için hızlı algoritmalar, simetri özelliklerini kullanır. trigonometrik fonksiyonlar, Zernike polinomlarının radyal ve azimut kısımlarının ayrılabilirliği ve dönme simetrileri.

Simetriler

Boyunca yansımaya göre parite x eksen

${ displaystyle Z_ {n} ^ {m} ( rho, varphi) = (- 1) ^ {m} Z_ {n} ^ {m} ( rho, - varphi).}$

Koordinatların merkezindeki noktasal yansımaya göre parite,

${ displaystyle Z_ {n} ^ {m} ( rho, varphi) = (- 1) ^ {m} Z_ {n} ^ {m} ( rho, varphi + pi),}$

nerede ${ displaystyle (-1) ^ {m}}$ yazılabilir ${ displaystyle (-1) ^ {n}}$ Çünkü ${ displaystyle n-m}$ ilgili, sıfır olmayan değerler için bile eşittir. radyal polinomlar da sıraya bağlı olarak ya çift ya da tekdir n veya m:

${ displaystyle R_ {n} ^ {m} ( rho) = (- 1) ^ {n} R_ {n} ^ {m} (- rho) = (- 1) ^ {m} R_ {n} ^ {m} (- rho).}$

Trigonometrik fonksiyonların periyodikliği, katları ile döndürülürse değişmezliği ifade eder. ${ displaystyle 2 pi / m}$ merkezin etrafındaki radyan:

${ displaystyle Z_ {n} ^ {m} sol ( rho, varphi + { tfrac {2 pi k} {m}} sağ) = Z_ {n} ^ {m} ( rho, varphi), qquad k = 0, pm 1, pm 2, cdots.}$

Tekrarlama ilişkileri

Zernike polinomları, radyal polinomların derecesine veya azimut sırasına bağlı olmayan aşağıdaki tekrarlama ilişkisini karşılar:^[9]

${ displaystyle { begin {align} R_ {n} ^ {m} ( rho) + R_ {n-2} ^ {m} ( rho) = rho sol [R_ {n-1} ^ { left | m-1 right |} ( rho) + R_ {n-1} ^ {m + 1} ( rho) sağ] { text {.}} end {hizalı}}}$

Tanımından ${ displaystyle R_ {n} ^ {m}}$ görülebilir ki ${ displaystyle R_ {m} ^ {m} ( rho) = rho ^ {m}}$ ve ${ displaystyle R_ {m + 2} ^ {m} ( rho) = ((m + 2) rho ^ {2} - (m + 1)) rho ^ {m}}$. Aşağıdaki üç dönemli tekrarlama ilişkisi^[10] daha sonra diğer tüm ${ displaystyle R_ {n} ^ {m} ( rho)}$:

${ displaystyle R_ {n} ^ {m} ( rho) = { frac {2 (n-1) (2n (n-2) rho ^ {2} -m ^ {2} -n (n- 2)) R_ {n-2} ^ {m} ( rho) -n (n + m-2) (nm-2) R_ {n-4} ^ {m} ( rho)} {(n + m) (nm) (n-2)}} { metin {.}}}$

Yukarıdaki ilişki özellikle yararlıdır çünkü türevi ${ displaystyle R_ {n} ^ {m}}$ bitişik derecedeki iki radyal Zernike polinomundan hesaplanabilir:^[10]

${ displaystyle { frac { operatöradı {d}} { operatöradı {d} ! rho}} R_ {n} ^ {m} ( rho) = { frac {(2nm ( rho ^ {2 } -1) + (nm) (m + n (2 rho ^ {2} -1))) R_ {n} ^ {m} ( rho) - (n + m) (nm) R_ {n- 2} ^ {m} ( rho)} {2n rho ( rho ^ {2} -1)}} { text {.}}}$

Örnekler

Radyal polinomlar

İlk birkaç radyal polinom:

${ displaystyle R_ {0} ^ {0} ( rho) = 1 ,}$

${ displaystyle R_ {1} ^ {1} ( rho) = rho ,}$

${ displaystyle R_ {2} ^ {0} ( rho) = 2 rho ^ {2} -1 ,}$

${ displaystyle R_ {2} ^ {2} ( rho) = rho ^ {2} ,}$

${ displaystyle R_ {3} ^ {1} ( rho) = 3 rho ^ {3} -2 rho ,}$

${ displaystyle R_ {3} ^ {3} ( rho) = rho ^ {3} ,}$

${ displaystyle R_ {4} ^ {0} ( rho) = 6 rho ^ {4} -6 rho ^ {2} +1 ,}$

${ displaystyle R_ {4} ^ {2} ( rho) = 4 rho ^ {4} -3 rho ^ {2} ,}$

${ displaystyle R_ {4} ^ {4} ( rho) = rho ^ {4} ,}$

${ displaystyle R_ {5} ^ {1} ( rho) = 10 rho ^ {5} -12 rho ^ {3} +3 rho ,}$

${ displaystyle R_ {5} ^ {3} ( rho) = 5 rho ^ {5} -4 rho ^ {3} ,}$

${ displaystyle R_ {5} ^ {5} ( rho) = rho ^ {5} ,}$

${ displaystyle R_ {6} ^ {0} ( rho) = 20 rho ^ {6} -30 rho ^ {4} +12 rho ^ {2} -1 ,}$

${ displaystyle R_ {6} ^ {2} ( rho) = 15 rho ^ {6} -20 rho ^ {4} +6 rho ^ {2} ,}$

${ displaystyle R_ {6} ^ {4} ( rho) = 6 rho ^ {6} -5 rho ^ {4} ,}$

${ displaystyle R_ {6} ^ {6} ( rho) = rho ^ {6}. ,}$

Zernike polinomları

İlk birkaç Zernike modu, OSA / ANSI ve Noll tek endeksler aşağıda gösterilmiştir. Şu şekilde normalleştirilirler: ${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ {1} Z ^ {2} cdot rho , d rho , d phi = pi}$.

	OSA / ANSI indeks (${ displaystyle j}$)	Noll indeks (${ displaystyle j}$)	Wyant indeks (${ displaystyle j}$)	Saçak / UA indeks (${ displaystyle j}$)	Radyal derece (${ displaystyle n}$)	Azimuthal derece (${ displaystyle m}$)	${ displaystyle Z_ {j}}$	Klasik isim
${ displaystyle Z_ {0} ^ {0}}$	00	01	00	01	0	00	${ displaystyle 1}$	Piston (görmek, Wigner yarım daire dağılımı )
${ displaystyle Z_ {1} ^ {- 1}}$	01	03	02	03	1	−1	${ displaystyle 2 rho sin phi}$	Eğim (Y Eğme, dikey eğme)
${ displaystyle Z_ {1} ^ {1}}$	02	02	01	02	1	+1	${ displaystyle 2 rho cos phi}$	İpucu (X-Eğim, yatay eğim)
${ displaystyle Z_ {2} ^ {- 2}}$	03	05	05	06	2	−2	${ displaystyle { sqrt {6}} rho ^ {2} sin 2 phi}$	Eğik astigmat
${ displaystyle Z_ {2} ^ {0}}$	04	04	03	04	2	00	${ displaystyle { sqrt {3}} (2 rho ^ {2} -1)}$	Odaksızlık (uzunlamasına konum)
${ displaystyle Z_ {2} ^ {2}}$	05	06	04	05	2	+2	${ displaystyle { sqrt {6}} rho ^ {2} cos 2 phi}$	Dikey astigmat
${ displaystyle Z_ {3} ^ {- 3}}$	06	09	10	11	3	−3	${ displaystyle { sqrt {8}} rho ^ {3} sin 3 phi}$	Dikey yonca
${ displaystyle Z_ {3} ^ {- 1}}$	07	07	07	08	3	−1	${ displaystyle { sqrt {8}} (3 rho ^ {3} -2 rho) sin phi}$	Dikey koma
${ displaystyle Z_ {3} ^ {1}}$	08	08	06	07	3	+1	${ displaystyle { sqrt {8}} (3 rho ^ {3} -2 rho) cos phi}$	Yatay koma
${ displaystyle Z_ {3} ^ {3}}$	09	10	09	10	3	+3	${ displaystyle { sqrt {8}} rho ^ {3} cos 3 phi}$	Eğik yonca
${ displaystyle Z_ {4} ^ {- 4}}$	10	15	17	18	4	−4	${ displaystyle { sqrt {10}} rho ^ {4} sin 4 phi}$	Eğik dört yapraklı
${ displaystyle Z_ {4} ^ {- 2}}$	11	13	12	13	4	−2	${ displaystyle { sqrt {10}} (4 rho ^ {4} -3 rho ^ {2}) sin 2 phi}$	Eğik ikincil astigmat
${ displaystyle Z_ {4} ^ {0}}$	12	11	08	09	4	00	${ displaystyle { sqrt {5}} (6 rho ^ {4} -6 rho ^ {2} +1)}$	Birincil küresel
${ displaystyle Z_ {4} ^ {2}}$	13	12	11	12	4	+2	${ displaystyle { sqrt {10}} (4 rho ^ {4} -3 rho ^ {2}) cos 2 phi}$	Dikey ikincil astigmat
${ displaystyle Z_ {4} ^ {4}}$	14	14	16	17	4	+4	${ displaystyle { sqrt {10}} rho ^ {4} cos 4 phi}$	Dikey quadrafoil

Başvurular

Fonksiyonlar, dairesel destek alanı üzerinde tanımlanan bir temeldir, tipik olarak klasik optik görüntülemede göz bebeği düzlemleri, sonlu çaplı mercek ve aynalardan oluşan sistemler aracılığıyla görünür ve kızılötesi dalga boylarında. Avantajları, radyal fonksiyonların basitliğinden miras alınan basit analitik özellikler ve radyal ve azimut fonksiyonlarda çarpanlara ayırmadır; bu, örneğin, iki boyutlu kapalı form ifadelerine yol açar. Fourier dönüşümü Bessel fonksiyonları açısından.^[11][12] Dezavantajları, özellikle yüksekse n düğüm hatlarının birim disk üzerindeki eşit olmayan dağılımı, bu da çevreye yakın zil sesi efektlerini ortaya çıkarır. ${ displaystyle rho yaklaşık 1}$Bu, genellikle dairesel disk üzerinde diğer ortogonal işlevleri tanımlama girişimlerine yol açar.^[13][14][15]

Hassas optik imalatta, Zernike polinomları, interferometrik analizlerde gözlenen yüksek dereceli hataları karakterize etmek için kullanılır. Ön dalga eğim sensörlerinde Shack-Hartmann, Dalga cephesinin Zernike katsayıları, ölçülen eğimleri, örnekleme alt aralıkları üzerinde ortalaması alınmış Zernike polinom türevleri ile uydurarak elde edilebilir.^[16] İçinde optometri ve oftalmoloji, Zernike polinomları tanımlamak için kullanılır wavefront aberasyonları of kornea veya lens ideal bir küresel şekilden kırılma hataları. Ayrıca yaygın olarak kullanılırlar uyarlanabilir optik, karakterize etmek için kullanılabilecekleri atmosferik bozulma. Bunun için açık uygulamalar IR veya görsel astronomi ve uydu görüntüsü.

Zernike polinomlarının başka bir uygulaması, Genişletilmiş Nijboer-Zernike teorisinde bulunur. kırınım ve sapmalar.

Zernike polinomları, yaygın olarak temel fonksiyonlar olarak kullanılır. görüntü anları. Zernike polinomları dikey Zernike anları, anlar arasında fazlalık veya bilgi çakışması olmaksızın bir görüntünün özelliklerini temsil edebilir. Zernike anları önemli ölçüde ölçekleme ve tercüme bir nesnenin ilgi bölgesi (YG), onların büyüklükler nesnenin dönüş açısından bağımsızdır.^[17] Böylece çıkarmak için kullanılabilirler. özellikleri Bir nesnenin şekil özelliklerini tanımlayan görüntülerden. Örneğin, Zernike anları, iyi huylu ve kötü huylu olanları sınıflandırmak için şekil tanımlayıcıları olarak kullanılır. göğüs kitleleri^[18] veya titreşen disklerin yüzeyi.^[19] Zernike Moments, tek hücre seviyesinde osteosarkom kanseri hücre çizgilerinin şeklini ölçmek için de kullanılmıştır.^[20]

Daha yüksek boyutlar

Konsept daha yüksek boyutlara dönüşür D çok terimli ise ${ displaystyle x_ {1} ^ {i} x_ {2} ^ {j} cdots x_ {D} ^ {k}}$ Kartezyen koordinatlarda hipersferik koordinatlar, ${ displaystyle rho ^ {s}, s leq D}$, açısal değişkenlerin Jacobi polinomlarının çarpımı ile çarpılır. İçinde ${ displaystyle D = 3}$ boyutlar, açısal değişkenler küresel harmonikler, Örneğin. Güçlerin doğrusal kombinasyonları ${ displaystyle rho ^ {s}}$ ortogonal bir temel tanımlayın ${ displaystyle R_ {n} ^ {(l)} ( rho)}$ doyurucu

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} rho ^ {D-1} R_ {n} ^ {(l)} ( rho) R_ {n '} ^ {(l)} ( rho) d rho = delta _ {n, n '}}$.

(Bir faktörün ${ displaystyle { sqrt {2n + D}}}$ tanımında absorbe edilir R burada, oysa ${ displaystyle D = 2}$ normalleştirme biraz farklı seçilir. Bu, bir kişinin tam sayı katsayılar kümesini korumak isteyip istemediğine veya ortogonalizasyon söz konusuysa daha sıkı formülleri tercih edip etmediğine bağlı olarak büyük ölçüde bir zevk meselesidir.) Açık temsil

${ displaystyle { begin {align} R_ {n} ^ {(l)} ( rho) & = { sqrt {2n + D}} sum _ {s = 0} ^ { tfrac {nl} { 2}} (- 1) ^ {s} {{ tfrac {nl} {2}} select s} {ns-1 + { tfrac {D} {2}} select { tfrac {nl} { 2}}} rho ^ {n-2s} & = (- 1) ^ { tfrac {nl} {2}} { sqrt {2n + D}} sum _ {s = 0} ^ { tfrac {nl} {2}} (- 1) ^ {s} {{ tfrac {nl} {2}} s seçin} {s-1 + { tfrac {n + l + D} {2} } { tfrac {nl} {2}}} rho ^ {2s + l} & = (- 1) ^ { tfrac {nl} {2}} { sqrt {2n + D}} 'yi seçin {{ tfrac {n + l + D} {2}} - 1 { tfrac {nl} {2}}} rho ^ {l} {} _ {2} F_ {1} sol ( - { tfrac {nl} {2}}, { tfrac {n + l + D} {2}}; l + { tfrac {D} {2}}; rho ^ {2} sağ) end {hizalı}}}$

hatta ${ displaystyle n-l geq 0}$, aksi takdirde sıfıra özdeş.

Ayrıca bakınız

• Jacobi polinomları
• Nijboer-Zernike teorisi
• Sözde Zernike polinomları

Referanslar

• Weisstein, Eric W. "Zernike Polinomu". MathWorld.
• Andersen, Torben B. (2018). "Zernike daire polinomları ve bunların kartezyen koordinatlarda türevleri için verimli ve sağlam tekrarlama ilişkileri". Opt. Ekspres. 26 (15): 18878–18896. Bibcode:2018 Nisan 2618878A. doi:10.1364 / OE.26.018878. PMID  30114148.
• Bhatia, A. B .; Wolf, E. (1952). "Kırınım teorisinde ortaya çıkan Zernike daire polinomları". Proc. Phys. Soc. B. 65 (11): 909–910. Bibcode:1952PPSB ... 65..909B. doi:10.1088/0370-1301/65/11/112.
• Callahan, P. G .; De Graef, M. (2012). "3D Zernike fonksiyonları aracılığıyla şekil uydurma ve rekonstrüksiyonu çökeltin". Model. Simul. Mat. Sci. Engin. 20 (1): 015003. Bibcode:2012MSMSE..20a5003C. doi:10.1088/0965-0393/20/1/015003.
• Campbell, C.E. (2003). "Açıklık yarıçapı değiştiğinde yeni bir Zernike katsayı seti bulmak için matris yöntemi orijinal bir set oluşturur". J. Opt. Soc. Am. Bir. 20 (2): 209. Bibcode:2003JOSAA..20..209C. doi:10.1364 / JOSAA.20.000209. PMID  12570287.
• Cerjan, C. (2007). "Zernike-Bessel temsili ve Hankel dönüşümlerine uygulanması". J. Opt. Soc. Am. Bir. 24 (6): 1609–16. Bibcode:2007JOSAA..24.1609C. doi:10.1364 / JOSAA.24.001609. PMID  17491628.
• Comastri, S. A .; Perez, L. I .; Perez, G. D .; Martin, G .; Bastida Cerjan, K. (2007). "Zernike genişleme katsayıları: farklı öğrenciler için yeniden ölçekleme ve merkezden uzaklaşma ve kornea aberasyonlarının değerlendirilmesi". J. Opt. Soc. Am. Bir. 9 (3): 209–221. Bibcode:2007JOptA ... 9..209C. doi:10.1088/1464-4258/9/3/001.
• Conforti, G. (1983). "Seidel'den Zernike sapma katsayıları ve yüksek dereceli güç serisi katsayıları". Opt. Mektup. 8 (7): 407–408. Bibcode:1983OptL .... 8..407C. doi:10.1364 / OL.8.000407. PMID  19718130.
• Dai, G-m .; Mahajan, V.N. (2007). "Zernike halka şeklindeki polinomlar ve atmosferik türbülans". J. Opt. Soc. Am. Bir. 24 (1): 139. Bibcode:2007JOSAA..24..139D. doi:10.1364 / JOSAA.24.000139. PMID  17164852.
• Dai, G-m. (2006). "Zernike genişleme katsayılarını daha küçük göz bebeği boyutlarına ölçeklemek: daha basit bir formül". J. Opt. Soc. Am. Bir. 23 (3): 539. Bibcode:2006JOSAA..23..539D. doi:10.1364 / JOSAA.23.000539. PMID  16539048.
• Díaz, J. A .; Fernández-Dorado, J .; Pizarro, C .; Arasa, J. (2009). "Eşmerkezli, Dairesel, Ölçekli Öğrenciler için Zernike Katsayıları: Eşdeğer Bir İfade". Modern Optik Dergisi. 56 (1): 149–155. Bibcode:2009JMOp ... 56..149D. doi:10.1080/09500340802531224. S2CID  122620015.
• Díaz, J. A .; Fernández-Dorado, J. "Eşmerkezli, Dairesel, Ölçekli Öğrenciler için Zernike Katsayıları". Wolfram Gösteriler Projesi'nden.
• Farokhi, Sajad; Shamsuddin, Siti Mariyam; Flusser, Ocak; Şeyh, U.U .; Khansari, Mohammad; Caferi-Khouzani, Kuroş (2013). "Zernike momentleri ve spektral regresyon ayırıcı analizi aracılığıyla rotasyon ve gürültü değişmez yakın kızılötesi yüz tanıma". Elektronik Görüntüleme Dergisi. 22 (1): 013030. Bibcode:2013JEI .... 22a3030F. doi:10.1117 / 1.JEI.22.1.013030. S2CID  16758261.
• Gu, J .; Shu, H. Z .; Toumoulin, C .; Luo, L.M. (2002). "Zernike anlarının hızlı hesaplanması için yeni bir algoritma". Desen tanıma. 35 (12): 2905–2911. doi:10.1016 / S0031-3203 (01) 00194-7.
• Herrmann, J. (1981). "Modal dalga önü tahmininde çapraz bağlama ve örtüşme". J. Opt. Soc. Am. 71 (8): 989. Bibcode:1981JOSA ... 71..989H. doi:10.1364 / JOSA.71.000989.
• Hu, P. H .; Stone, J .; Stanley, T. (1989). "Zernike polinomlarının atmosferik yayılma problemlerine uygulanması". J. Opt. Soc. Am. Bir. 6 (10): 1595. Bibcode:1989JOSAA ... 6.1595H. doi:10.1364 / JOSAA.6.001595.
• Kintner, E.C. (1976). "Zernike Polinomlarının matematiksel özellikleri hakkında". Opt. Açta. 23 (8): 679–680. Bibcode:1976AcOpt..23..679K. doi:10.1080/713819334.
• Lawrence, G.N .; Chow, W.W. (1984). "Zernike Polinomu ayrıştırma ile dalga önü tomografi". Opt. Mektup. 9 (7): 267. Bibcode:1984OptL .... 9..267L. doi:10.1364 / OL.9.000267. PMID  19721566.
• Liu, Haiguang; Morris, Richard J .; Hexemer, A .; Grandison, Scott; Zwart, Peter H. (2012). "Üç boyutlu Zernike polinomları ile küçük açılı saçılma profillerinin hesaplanması". Açta Crystallogr. Bir. 68 (2): 278–285. doi:10.1107 / S010876731104788X. PMID  22338662.
• Lundström, L .; Unsbo, P. (2007). "Zernike katsayılarının dönüşümü: ölçeklendirilmiş, çevrilmiş ve döndürülmüş dalga cepheleri, dairesel ve eliptik göz bebekleriyle". J. Opt. Soc. Am. Bir. 24 (3): 569–77. Bibcode:2007JOSAA..24..569L. doi:10.1364 / JOSAA.24.000569. PMID  17301846.
• Mahajan, V.N. (1981). "Halka şeklindeki göz bebeklerine sahip görüntüleme sistemleri için Zernike halka polinomları". J. Opt. Soc. Am. 71: 75. Bibcode:1981JOSA ... 71 ... 75M. doi:10.1364 / JOSA.71.000075.
• Mathar, R.J. (2007). "Zernike Polinom Sıfırları İçin Üçüncü Derece Newton Yöntemi". arXiv:0705.1329 [math.NA ].
• Mathar, R.J. (2009). "Kartezyen Dönüşümlere Zernike Temeli". Sırp Astronomi Dergisi. 179 (179): 107–120. arXiv:0809.2368. Bibcode:2009SerAJ.179..107M. doi:10.2298 / SAJ0979107M. S2CID  115159231.
• Prata Jr, A .; Rusch, W. V.T. (1989). "Zernike polinomlarının genişleme katsayılarının hesaplanması için algoritma". Appl. Opt. 28 (4): 749–54. Bibcode:1989ApOpt..28..749P. doi:10.1364 / AO.28.000749. PMID  20548554.
• Schwiegerling, J. (2002). "Zernike genişleme katsayılarını farklı göz bebeği boyutlarına ölçekleme". J. Opt. Soc. Am. Bir. 19 (10): 1937–45. Bibcode:2002JOSAA..19.1937S. doi:10.1364 / JOSAA.19.001937. PMID  12365613.
• Sheppard, C.J.R.; Campbell, S .; Hirschhorn, M. D. (2004). "Kartezyen koordinatlarda ayrılabilir fonksiyonların Zernike açılımı". Appl. Opt. 43 (20): 3963–6. Bibcode:2004ApOpt..43.3963S. doi:10.1364 / AO.43.003963. PMID  15285082.
• Shu, H .; Luo, L .; Han, G .; Coatrieux, J.-L. (2006). "Farklı açıklık boyutlarına karşılık gelen iki Zernike katsayı seti arasındaki ilişkiyi türetmek için genel yöntem". J. Opt. Soc. Am. Bir. 23 (8): 1960–1966. Bibcode:2006JOSAA..23.1960S. doi:10.1364 / JOSAA.23.001960. PMC  1961626. PMID  16835654.
• Swantner, W .; Chow, W.W. (1994). "Genel açıklık şekilleri için Zernike polinomlarının Gram-Schmidt ortogonalizasyonu". Appl. Opt. 33 (10): 1832–7. Bibcode:1994ApOpt..33.1832S. doi:10.1364 / AO.33.001832. PMID  20885515.
• Tango, W. J. (1977). "Zernike çember polinomları ve optikteki uygulamaları". Appl. Phys. Bir. 13 (4): 327–332. Bibcode:1977ApPhy.13..327T. doi:10.1007 / BF00882606. S2CID  120469275.
• Tyson, R. K. (1982). "Zernike aberasyon katsayılarının Seidel ve daha yüksek mertebeden güç serisi aberasyon katsayılarına dönüştürülmesi". Opt. Mektup. 7 (6): 262. Bibcode:1982OptL .... 7..262T. doi:10.1364 / OL.7.000262. PMID  19710893.
• Wang, J. Y .; Silva, D.E. (1980). "Zernike Polinomları ile dalga önü yorumu". Appl. Opt. 19 (9): 1510–8. Bibcode:1980ApOpt..19.1510W. doi:10.1364 / AO.19.001510. PMID  20221066.
• Barakat, R. (1980). "Radyal olarak simetrik genlik dağılımları için optimum dengeli dalga önü aberasyonları: Zernike polinomlarının genellemeleri". J. Opt. Soc. Am. 70 (6): 739. Bibcode:1980JOSA ... 70..739B. doi:10.1364 / JOSA.70.000739.
• on Brummelaar, T.A. (1996). "Zernike polinomlarını kullanarak atmosferik dalga sapmalarını ve astronomik enstrümantasyonu modelleme". Opt. Commun. 132 (3–4): 329–342. Bibcode:1996OptCo.132..329T. doi:10.1016/0030-4018(96)00407-5.
• Novotni, M .; Klein, R. (2003). İçeriğe Dayalı Şekil Erişimi için 3D Zernike Tanımlayıcıları (PDF). Katı Modelleme ve Uygulamaları 8. ACM Sempozyumu Bildirileri. s. 216. CiteSeerX  10.1.1.14.4970. doi:10.1145/781606.781639. ISBN  978-1581137064. S2CID  10514681.
• Novotni, M .; Klein, R. (2004). "3D Zernike tanımlayıcıları kullanarak şekil alma" (PDF). Bilgisayar destekli tasarım. 36 (11): 1047–1062. CiteSeerX  10.1.1.71.8238. doi:10.1016 / j.cad.2004.01.005.
• Farokhi, Sajad; Shamsuddin, Siti Mariyam; Şeyh, U.U .; Flusser, Ocak (2014). "Yakın Kızılötesi Yüz Tanıma: Moment Tabanlı Yaklaşımların Karşılaştırması". Elektrik Mühendisliğinde Ders Notları. 291 (1): 129–135. doi:10.1007/978-981-4585-42-2_15.
• Farokhi, Sajad; Shamsuddin, Siti Mariyam; Flusser, Ocak; Şeyh, U.U .; Khansari, Mohammad; Caferi-Khouzani, Kuroş (2014). "Zernike momentlerini ve tahmin edilmemiş ayrık dalgacık dönüşümünü birleştirerek yakın kızılötesi yüz tanıma". Dijital Sinyal İşleme. 31 (1): 13–27. doi:10.1016 / j.dsp.2014.04.008.

Dış bağlantılar

• Genişletilmiş Nijboer-Zernike web sitesi
• Zernike anlarının hızlı hesaplanması için MATLAB kodu
• Zernike polinomlarını hesaplamak için Python / NumPy kitaplığı
• Zernike sapmaları -de Teleskop Optiği
• Örnek: Zernike Polinomlarını çizmek için WolframAlpha'yı kullanma
• orthopy, ortogonal polinomları hesaplayan bir Python paketi (Zernike polinomları dahil)