Analitik Fredholm teoremi - Analytic Fredholm theorem

İçinde matematik, analitik Fredholm teoremi varlığıyla ilgili bir sonuçtur sınırlı ters bir sınırlanmış doğrusal operatörler ailesi için Hilbert uzayı. İki klasik ve önemli teoremin temelidir, Fredholm alternatifi ve Hilbert-Schmidt teoremi. Sonuç, İsveççe matematikçi Erik Ivar Fredholm.

Teoremin ifadesi

İzin Vermek G ⊆ C bir etki alanı (bir açık ve bağlı küme ). İzin Vermek (H, ⟨ , ⟩) olmak gerçek veya karmaşık Hilbert uzayı ve bırak Lin (H) uzayını gösterir sınırlı doğrusal operatörler itibaren H kendi içine; İzin Vermek ben belirtmek kimlik operatörü. İzin Vermek B : G → Lin (H) öyle bir eşleme olun ki

• B analitik G anlamında limit

${displaystyle lim _ {lambda o lambda _ {0}} {frac {B (lambda) -B (lambda _ {0})} {lambda -lambda _ {0}}}}$

herkes için var λ₀ ∈ G; ve

• operatör B(λ) bir kompakt operatör her biri için λ ∈ G.

O zaman ya

• (ben − B(λ))⁻¹ hiçbiri için mevcut değil λ ∈ G; veya
• (ben − B(λ))⁻¹ her biri için var λ ∈ G  S, nerede S bir ayrık alt küme nın-nin G (yani S yok sınır noktaları içinde G). Bu durumda, işlev alan λ için (ben − B(λ))⁻¹ analitik G  S ve eğer λ ∈ Ssonra denklem

${displaystyle B (lambda) psi = psi}$

sonlu boyutlu bir çözüm ailesine sahiptir.

Referanslar

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Kısmi diferansiyel denklemlere giriş. Uygulamalı Matematik 13 Metinleri (İkinci baskı). New York: Springer-Verlag. s. 266. ISBN  0-387-00444-0. (Teorem 8.92)