Atiyah-Bott sabit nokta teoremi - Atiyah–Bott fixed-point theorem

İçinde matematik, Atiyah-Bott sabit nokta teoremitarafından kanıtlanmıştır Michael Atiyah ve Raoul Bott 1960'larda, genel bir biçimdir Lefschetz sabit nokta teoremi için pürüzsüz manifoldlar M, kullanan eliptik kompleks açık M. Bu bir sistemdir eliptik diferansiyel operatörler açık vektör demetleri, genellemek de Rham kompleksi pürüzsüzden yapılmış diferansiyel formlar orijinal Lefschetz sabit nokta teoreminde görünen.

Formülasyon

Buradaki fikir, doğru yedek parçayı bulmaktır. Lefschetz numarası, klasik sonuçta bir tamsayı olan, bir sabit nokta düzgün bir eşlemenin

${displaystyle fcolon M o M.}$

Sezgisel olarak, sabit noktalar, nesnenin kesişme noktalarıdır. grafik nın-nin f köşegen (kimlik eşlemesinin grafiği) ile ${displaystyle M imes M}$ve böylece Lefschetz sayısı bir kavşak numarası. Atiyah-Bott teoremi, LHS küresel bir topolojik (homolojik) hesaplamanın sonucu olmalı ve RHS sabit noktalardaki yerel katkıların toplamı f.

Sayma eş boyutlar içinde ${displaystyle M imes M}$, bir çaprazlık grafiği için varsayım f ve köşegen, sabit nokta kümesinin sıfır boyutlu olmasını sağlamalıdır. Varsayım M a kapalı manifold o zaman kesişimler kümesinin sonlu olmasını ve beklenen formülün RHS'si olarak sonlu bir toplamı vermesini sağlamalıdır. İhtiyaç duyulan daha fazla veri, vektör demetlerinin eliptik kompleksiyle ilgilidir. ${displaystyle E_ {j}}$yani a paket haritası

${displaystyle varphi _ {j} iki nokta üst üste f ^ {- 1} (E_ {j}) o E_ {j}}$

her biri için j, sonuçta ortaya çıkan haritalar bölümler doğurmak endomorfizm bir eliptik kompleks ${displaystyle T}$. Böyle bir endomorfizm ${displaystyle T}$ vardır Lefschetz numarası

${görüntü stili L (T),}$

hangisi tanımı gereği alternatif toplam onun izler eliptik kompleksin homolojisinin her derecelendirilmiş parçası üzerinde.

Teoremin şekli o zaman

${displaystyle L (T) = toplam _ {x} sol (toplam _ {j} (- 1) ^ {j} mathrm {trace}, varphi _ {j, x} ight) / delta (x).}$

İşte iz ${displaystyle varphi _ {j, x}}$ iz anlamına gelir ${displaystyle varphi _ {j}}$ sabit bir noktada x nın-nin f, ve ${displaystyle delta (x)}$ ... belirleyici endomorfizmin ${displaystyle I-Df}$ -de x, ile ${displaystyle Df}$ türevi f (bunun kaybolmaması, çaprazlığın bir sonucudur). Dış toplama sabit noktaların üzerindedir xve dizin üzerindeki iç toplam j eliptik komplekste.

Atiyah-Bott teoremini pürüzsüz diferansiyel formların de Rham kompleksine özelleştirme, orijinal Lefschetz sabit nokta formülünü verir. Atiyah-Bott teoreminin ünlü bir uygulaması, Weyl karakter formülü teorisinde Lie grupları.^{[açıklama gerekli ]}

Tarih

Bu sonucun erken tarihi, Atiyah-Singer indeksi teoremi. Alternatif adın önerdiği gibi başka bir giriş vardı Woods Hole sabit nokta teoremi geçmişte kullanılmış (izole edilmiş sabit noktalar durumuna uygun şekilde atıfta bulunarak).^[1] 1964'teki bir toplantı Woods Hole çeşitli bir grubu bir araya getirdi:

Eichler sabit nokta teoremleri arasındaki etkileşimi başlattı ve otomorfik formlar. Shimura 1964'teki Woods Hole konferansında bunu Bott'a açıklayarak bu gelişmede önemli bir rol oynadı.^[2]

Atiyah'ın dediği gibi:^[3]

[konferansta] ... Bott ve ben, holomorfik haritalar için Lefschetz formülünün genelleştirilmesine ilişkin Shimura'nın bir varsayımını öğrendik. Çok çaba sarf ettikten sonra kendimizi bu tipte genel bir formül olması gerektiğine ikna ettik [...]; .

ve eliptik kompleksler için bir versiyona yönlendirildiler.

Anımsamada William Fulton Konferansta da hazır bulunan, ilk kanıt üreten kişi oldu Jean-Louis Verdier.

Kanıtlar

Bağlamında cebirsel geometri ifade, cebirsel olarak kapalı bir alan üzerinde düzgün ve uygun çeşitler için geçerlidir. Atiyah-Bott sabit nokta formülünün bu çeşidi, Kondyrev ve Prikhodko (2018) formülün her iki tarafını da uygun şekilde seçilmiş olarak ifade ederek kategorik izler.

Ayrıca bakınız

• Bott kalıntı formülü

Notlar

Referanslar

• Atiyah, Michael F.; Bott, Raoul (1966), "Eliptik Diferansiyel Operatörler için Lefschetz Sabit Nokta Formülü", Amerikan Matematik Derneği Bülteni, 72 (2): 245–50, doi:10.1090 / S0002-9904-1966-11483-0. Bu, eliptik bir kompleksin endomorfizminin Lefschetz sayısını hesaplayan bir teoremi belirtir.
• Atiyah, Michael F.; Bott, Raoul (1967), "Eliptik Kompleksler için Lefschetz Sabit Nokta Formülü: I", Matematik Yıllıkları İkinci Seri, 86 (2): 374–407, doi:10.2307/1970694, JSTOR  1970694 ve Atiyah, Michael F.; Bott, Raoul (1968), "Eliptik Kompleksler için Lefschetz Sabit Nokta Formülü: II. Uygulamalar", Matematik Yıllıkları İkinci Seri, 88 (3): 451–491, doi:10.2307/1970721, JSTOR  1970721. Bunlar, bir önceki makalede açıklanan sonuçların kanıtlarını ve bazı uygulamalarını verir.

• Kondyrev, Grigory; Prikhodko, Artem (2018), "Holomorfik Atiyah'ın Kategorik Kanıtı – Bott Formülü", J. Inst. Matematik. Jussieu: 1–25, arXiv:1607.06345, doi:10.1017 / S1474748018000543

Dış bağlantılar

• Tu, Loring W. (21 Aralık 2005). "Atiyah-Bott sabit nokta teoremi". Raoul Bott'un hayatı ve eserleri.
• Tu, Loring W. (Kasım 2015). "Woods Hole Sabit Nokta Teoreminin Doğuşu Üzerine" (PDF). American Mathematical Society'nin Bildirimleri. Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği. s. 1200–1206.