Temel Sayı Teorisi - Basic Number Theory

Temel Sayı Teorisi etkili bir kitap[1] tarafından André Weil, bir sergi cebirsel sayı teorisi ve sınıf alanı teorisi özellikle vurgulanarak değerleme -teorik yöntemler. Kısmen verilen bir kursa dayanmaktadır Princeton Üniversitesi 1961-2'de 144. cilt olarak çıktı Springer's Grundlehren der mathematischen Wissenschaften dizi.[2] Yaklaşım, tüm 'A alanlarını' veya küresel alanlar, sonlu anlamı cebirsel uzantılar alanının rasyonel sayılar ve alanının rasyonel işlevler ile bir değişken sonlu alan sabitler. Teori, topolojik alanlardan başlayarak tek tip bir şekilde geliştirilmiştir. Haar ölçüsü açık yerel olarak kompakt alanlar ana teoremleri adelik ve idelik sayı teorisi ve sınıf alan teorisi teorisi aracılığıyla basit cebirler yerel ve küresel alanlar üzerinde. Başlıktaki `` temel '' kelimesi, anlam olarak `` temel '' olmaktan çok `` temel '' kelimesine daha yakındır ve belki de en iyi şekilde, geliştirilen materyalin teorilerinin gelişimi için temel olduğu şeklinde yorumlanır. otomorfik formlar, temsil teorisi nın-nin cebirsel gruplar ve cebirsel sayı teorisindeki daha ileri konular. Tarz sadedir, teorinin mantıksal olarak tutarlı bir gelişimi üzerine dar bir konsantrasyon gerektirir ve esasen hiçbir örnek yoktur.

Matematiksel bağlam ve amaç

Önsözde yazar, "nafile ve imkansız görev" yerine, Hecke's cebirsel sayı teorisinin klasik tedavisi,[3][4] o "daha ziyade son otuz yıldaki gelişmelerden sonuçlar çıkarmaya çalıştı, bu sayede yerel olarak kompakt gruplar, ölçü ve entegrasyonun klasik sayı teorisinde giderek daha önemli bir rol oynadığı görülmüştür ”. Çalışmalarından gelişen bir bakış açısını açıklamaya devam edeceğiz. Hensel, Hasse,[5][6] Chevalley,[7] Artin,[8] Iwasawa,[9][10] Tate,[11] ve Tamagawa[12][13] içinde gerçek sayılar sonsuz sayıda farklı olanlardan biri olarak görülebilir tamamlamalar mantıklı bir sebebi olmayan mantıklı p-adic tamamlamalar. Bu ortamda, Adeles (veya değerleme vektörleri ) doğal bir yerel olarak kompakt tüm değerlemelerin "ortak bir amaç için işbirliği yaptıkları" tek bir tutarlı şekilde bir araya getirildiği halka. Gerçek sayıları bir kaideden çıkarmak ve onları p-adik sayıların yanına yerleştirmek doğal olarak - "sayı alanlarıyla tamamen eşzamanlı muamele" içinde sonlu alanlar üzerinde işlev alanları teorisinin gelişimine "söylemeye gerek yok" Yazar, 1967'de Amerika Birleşik Devletleri'nde yazılan bir önsöz için çarpıcı bir üslup seçiminde, bu belirli bakış açısını eve götürmeyi seçiyor. küresel alanlar "Ayrılmış statü yerine tamamen eşzamanlı bir muamele […] ve en iyi ihtimalle, şimdiye kadar kendi payları olan ayrı ama eşit olanaklar sağlanmalıdır. Bu tür bir muameleyle kaybetmek bir yana, her iki ırk da bundan kazançlı çıkacaktır, umarım bu kitaptan açıkça ortaya çıkacaktır. "

Sonra Dünya Savaşı II, bir dizi gelişme sınıf alanı teorisi önemini azalttı çevrimsel cebirler (ve daha genel olarak, çapraz çarpım cebirleri ) sınıf alan teorisinin ispatlarında sayı alanı cinsinden tanımlananlar. Yerine kohomolojik biçimcilik yerel ve küresel sınıf alanı teorisinin daha önemli bir parçası haline geldi, özellikle Hochschild ve Nakayama,[14] Weil,[15] Artin,[16] ve Tate[11] 1950–1952 döneminde.

Düşünme arzusunun yanında cebirsel sayı alanları sonlu alanlar üzerindeki fonksiyon alanlarının yanı sıra, Chevalley özellikle vurgulanmaktadır. Teoremlerini türetmek için küresel sınıf alan teorisi onlardan yerel sınıf alan teorisi, Chevalley lélément idéal adını verdiği şeyi tanıttı, daha sonra idèle, şurada Hasse önerisi.[17] idèle grubu bir sayı alanı ilk olarak tarafından tanıtıldı Chevalley sonsuz uzantılar için küresel sınıf alan teorisini tanımlamak için, ancak birkaç yıl sonra yerel sınıf alanı teorisinden küresel sınıf alanı teorisini türetmek için yeni bir şekilde kullandı. Bu (yayınlanmamış) çalışmadan, kullandığı tedavi seçeneklerinden bazıları üzerinde önemli bir etkisi olduğundan bahsettik.

Resepsiyon

1. baskı, George Whaples tarafından Matematiksel İncelemeler ve Helmut Koch için Zentralblatt. Daha sonraki baskılar Fernando Q. Gouvêa tarafından gözden geçirildi. Amerika Matematik Derneği ve W. Zink ve Helmut Koch tarafından Zentralblatt; Koch, ikinci baskı hakkındaki incelemesinde şöyle diyor: "Shafarevich bana 1967 sonbaharında Moskova'da ilk baskısını gösterdi ve bu kitabın bundan sonra sınıf alanı teorisi kitabında yer alacağını söyledi ".[kaynak belirtilmeli ] Tedavinin tutarlılığı ve bazı ayırt edici özellikleri, birkaç eleştirmen tarafından vurgulandı ve Koch, "Bu kitap kırklı yılların başlarında yazılmıştır ve bu da onu herkes için değerli bir bilgi kaynağı yapar. sayı ve işlev alanlarıyla ilgili sorunlar üzerinde çalışıyor. "[kaynak belirtilmeli ]

İçindekiler

Kabaca konuşursak, kitabın ilk yarısı tutarlı adelik ve id kullanımıyla moderndir.èLic yöntemleri ve cebirsel sayı alanlarının ve rasyonel fonksiyon alanlarının sonlu alanlar üzerinden eşzamanlı olarak işlenmesi. İkinci yarı, gelişiminde tartışmasız pre-moderndir. basit cebirler ve sınıf alanı teorisi dili olmadan kohomoloji ve dili olmadan Galois kohomolojisi özellikle. Yazar, bunu bir değiş tokuş olarak kabul ediyor ve “böyle bir yaklaşımı sistematik olarak geliştirmek, bu özel yolculuk için iyi donanımlı görünen bir gemiye çok fazla gereksiz makine yüklemek anlamına gelirdi; daha denize uygun hale getirmek yerine batırabilirdi. " Sınıf alanı teorisinin işlenmesi, hem değişmeli alanlar hem de basit cebirler üzerinde analitik yöntemler kullanır. Bu yöntemler, K / k bir sonlu ise, ilk birleşik kanıtı verme gücünü gösterir. normal uzatma A alanlarının, sonra herhangi bir otomorfizm K bölü k, tarafından indüklenir Frobenius otomorfizmi K'nin sonsuz sayıda yeri için. Bu yaklaşım aynı zamanda cebirsel ifadelerin önemli ölçüde daha basit ve daha mantıklı bir ispatına izin verir; örneğin, basit bir cebirin bir A-alanı üzerinden bölünmesi (küresel olarak) ancak ve ancak yerel olarak her yerde bölünmesi durumunda. Basit cebirlerin sistematik kullanımı aynı zamanda yerel sınıf alan teorisi. Örneğin, yerel bir alan üzerindeki basit bir cebirin bir değerine sahip olduğunu kanıtlamak daha kolaydır. çerçevesiz bölme alanı 2-kohomoloji sınıfları için karşılık gelen ifadeyi kanıtlamaktan çok.

Bölüm I

Kitap şununla başlıyor: Witt Formülasyonu Wedderburn's sonlu bir alanın değişmeli olduğunun kanıtı ('Wedderburn'ün küçük teoremi ').[18] Özellikleri Haar ölçüsü "yerel alanların" (ayrık olmayan bir topoloji altında yerel olarak kompakt olan değişmeli alanlar) A alanlarının tamamlamaları olduğunu kanıtlamak için kullanılır. Özellikle - daha sonra geliştirilen bir kavram - bunlar tam olarak küresel teori için yerel sınıf alan teorisine ihtiyaç duyulan alanlardır. Ayrık olmayan, değişmeli olmayan yerel olarak kompakt alanlar daha sonra bölme cebirleri yerel bir alan üzerinde sonlu bir boyut.

Bölüm II

Alanın topolojisi tarafından benzersiz şekilde belirlenen yerel alanlar üzerindeki sonlu boyutlu vektör uzayları ve topoloji altındaki bölme cebirleri incelenir ve kafesler topolojik olarak tanımlanır, bir analogu Minkowski teoremi[19] bu bağlamda kanıtlanmıştır ve ilgili ana teoremler karakter grupları Değişmeli tek boyutlu durumda yerel alanlar için "öz ikililiğine" indirgenen bu vektör uzaylarından biri gösterilmiştir.

Bölüm III

Tensör ürünleri bir A alanının yerlerinin sonlu bir ayrılabilir uzantı daha karmaşık olan alan ayrılmaz dava daha sonraya ertelendi.

Bölüm IV

Bu bölüm topolojik adele yüzük ve idèle bir A-alanının grubu ve aşağıdaki gibi "ana teoremleri" kanıtlar:

  • hem adele halkası hem de idèle grup yerel olarak kompakttır;
  • A-alanı, çapraz olarak gömüldüğünde, adele halkasının ayrı ve ortak kompakt bir alt halkasıdır;
  • adele halkası kendi çiftidir, yani topolojik olarak izomorfiktir. Pontryagin ikili, sonlu boyutlu vektör uzayları ve yerel alanlar üzerindeki cebirler için benzer özelliklere sahip.

Bölüm, genelleştirilmiş bir birim teoremi A alanları için, içindeki birimleri tanımlayan değerleme şartlar.

Bölüm V

Bu bölüm, sayı alanlarının ve işlev alanlarının aynı anda ele alınmasından biraz farklıdır. Sayı alanı ayarında kafesler (yani, kesirli idealler ) tanımlanır ve Haar, bir temel alan için bir kafes bulunur. Bu, çalışmak için kullanılır ayrımcı bir uzantının.

Bölüm VI

Bu bölüm, işlev alanı durumuna odaklanmıştır; Riemann-Roch teoremi belirtildi ve kanıtlandı ölçü-teorik dil ile kanonik sınıf önemsiz olmayan karakterlerin bölenleri sınıfı olarak tanımlanır. adele yüzük gömülü alanda önemsiz olan.

Bölüm VII

zeta ve L fonksiyonları (ve benzer analitik nesneler) bir A alanı için integraller üzerinden ifade edilir. idèle grubu. Bu integralleri tüm değerlemelerde ürünlere ayırmak ve kullanmak Fourier dönüşümleri doğurur meromorfik devamlılıklar ve fonksiyonel denklemler. Bu, örneğin, analitik devam of Dedekind zeta işlevi işlevsel denklemi ile birlikte tüm düzleme. Buradaki tedavi, nihayetinde bir öneriye geri döner. Artin ve geliştirildi Tate’in tezi.[20][21]

Bölüm VIII

Yerel ve küresel farklılıklar ve ayrımcılar için formüller, dallanma teorisi ve formülü cins bir fonksiyon alanının cebirsel bir uzantısı geliştirilir.

Bölüm IX

Döngüsel faktör kümeleri için açık kurallar dahil olmak üzere basit cebirlerin kısa bir incelemesi verilmiştir.

Bölüm X ve XI

Basit bir cebirin bir A alanı üzerindeki zeta işlevi tanımlanır ve norm grubu ve grupoid nın-nin maksimal idealler A-alanı üzerinden basit bir cebirde.

Bölüm XII

karşılıklılık yasası nın-nin yerel sınıf alan teorisi bir eşleştirme bağlamında yerel bir alan üzerinden çarpımsal grup bir alanın ve karakter grubu of mutlak Galois grubu of cebirsel kapanış Alanın kanıtlandı. Dallanma teorisi için değişmeli uzantılar geliştirildi.

Bölüm XIII

A-alanları için küresel sınıf alanı teorisi, Bölüm XII'deki eşlemeler kullanılarak geliştirilmiştir ve yerel alanların çarpımsal gruplarının yerine idèle A alanlarının sınıf grupları. Eşleştirme, yerel yerler üzerinde bir ürün olarak inşa edilmiştir. Hasse değişmezleri.

Üçüncü baskı[22]

Aşağıdaki materyalleri içeren bazı referanslar eklenmiş, bazı küçük düzeltmeler yapılmış, bazı yorumlar eklenmiş ve beş ek dahil edilmiştir:

Referanslar

  1. ^ Weil, André (1973). Temel Sayı Teorisi. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/978-3-662-05978-4. ISBN  978-3-662-05980-7.
  2. ^ Grundlehren der mathematischen Wissenschaften.
  3. ^ Hecke, Erich (1970). Vorlesungen über die Theorie der cebebraischen Zahlen (1923 orijinalinin ikinci baskısı, indeksli). Bronx, NY: Chelsea Publishing Co.
  4. ^ Hecke, Erich, 1887-1947. (1981). Cebirsel sayılar teorisi üzerine dersler. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90595-2. OCLC  7576150.CS1 bakım: birden çok isim: yazar listesi (bağlantı)
  5. ^ "Führer, Diskriminante und Verzweigungskörper relativ-Abelscher Zahlkörper". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). 1930 (162): 169–184. 1930-01-01. doi:10.1515 / crll.1930.162.169. ISSN  0075-4102. S2CID  199546442.
  6. ^ "Normenresttheorie relativ-Abelscher Zahlkörper als Klassenkörpertheorie im Kleinen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). 1930 (162): 145–154. 1930-01-01. doi:10.1515 / crll.1930.162.145. ISSN  0075-4102. S2CID  116860448.
  7. ^ "La théorie du symbole de restes normiques". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). 1933 (169): 140–157. 1933-01-01. doi:10.1515 / crll.1933.169.140. ISSN  0075-4102. S2CID  115917687.
  8. ^ Artin Emil (1929-12-01). "Oberkörpern ve allgemeines reziprozitätsgesetz'de Idealklassen". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminer der Universität Hamburg (Almanca'da). 7 (1): 46–51. doi:10.1007 / BF02941159. ISSN  1865-8784. S2CID  121475651.
  9. ^ Iwasawa, Kenkichi (1953). "Değerleme Halkaları Üzerine Vektörler". Matematik Yıllıkları. 57 (2): 331–356. doi:10.2307/1969863. JSTOR  1969863.
  10. ^ Iwasawa, Kenkichi (1959). "Cebirsel Sayı Alanları için Demetler". Matematik Yıllıkları. 69 (2): 408–413. doi:10.2307/1970190. JSTOR  1970190.
  11. ^ a b Tate, John (1952). "Sınıf Alan Teorisinin Yüksek Boyutlu Kohomoloji Grupları". Matematik Yıllıkları. 56 (2): 294–297. doi:10.2307/1969801. JSTOR  1969801.
  12. ^ IYANAGA ve T. TAMAGAWA, S. (1951). "Sur la Théorie du Corps de Classes sur le Corps des Nombres Rationnels". Japonya Matematik Derneği Dergisi. 3 (1): 220–227. doi:10.2969 / jmsj / 00310220. ISSN  0025-5645.
  13. ^ Tamagawa, Tsuneo (1951). "Dallanma Teorisi Grupları ve İletkenler Üzerine". Japon Matematik Dergisi: işlemler ve Özetler. 21: 197–215. doi:10.4099 / jjm1924.21.0_197. ISSN  0075-3432.
  14. ^ Hochschild, G .; Nakayama, T. (1952). Sınıf Alan Teorisinde "Kohomoloji". Matematik Yıllıkları. 55 (2): 348. doi:10.2307/1969783. JSTOR  1969783.
  15. ^ Weil, Andre (1951). "Sur la Théorie du Corps de Classes". Japonya Matematik Derneği Dergisi. 3 (1): 1–35. doi:10.2969 / jmsj / 00310001. ISSN  0025-5645.
  16. ^ Artin, Emil, 1898-1962. (2005). Cebirsel sayılar ve cebirsel fonksiyonlar. Providence, R.I .: AMS Chelsea Pub./American Mathematical Society. ISBN  0-8218-4075-4. OCLC  62741519.CS1 bakım: birden çok isim: yazar listesi (bağlantı)
  17. ^ Iyanaga, Shokichi (2006). "Travaux de Claude Chevalley sur la théorie du corps de classes: Giriş". Japon Matematik Dergisi. 1 (1): 25–85. doi:10.1007 / s11537-006-0502-5. ISSN  0289-2316. S2CID  123613236.
  18. ^ Witt, Ernst (1931-12-01). "Über die kommutativität endlicher schiefkörper". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminer der Universität Hamburg (Almanca'da). 8 (1): 413. doi:10.1007 / BF02941019. ISSN  1865-8784. S2CID  124096167.
  19. ^ Minkowski, Hermann (1896). Geometrie der Zahlen. 2 Lieferungen'de. Lfg. 1. Leipzig: B. G. Teubner.
  20. ^ "SAYI ALANLARINDA VE HECKE'NİN ZETA FONKSİYONLARINDA DÖRT ANALİZ - ProQuest". ProQuest  304411725. Alıntı dergisi gerektirir | günlük = (Yardım)
  21. ^ Cebirsel sayı teorisi: Uluslararası Matematik Birliği'nin desteğiyle Londra Matematik Topluluğu (bir NATO ileri çalışma enstitüsü) tarafından düzenlenen bir öğretim konferansının bildirileri. Cassels, J.W.S (John William Scott), Fröhlich, A. (Albrecht), 1916- (2. baskı). Londra: Londra Matematik Derneği. 2010. ISBN  978-0-9502734-2-6. OCLC  665069251.CS1 Maint: diğerleri (bağlantı)
  22. ^ Weil, André (1974). Temel Sayı Teorisi. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/978-3-642-61945-8. ISBN  978-3-540-58655-5.
  23. ^ Shafarevich Igor (1946). "Y-adik alanların Galois grupları hakkında". C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.). 53: 15–16.
  24. ^ Sen, Shankar; Tate, John (1963). "Yerel alanların dallanma grupları". J. Indian Math. Soc. (N.S.). 27: 197–202.