Behrend dizisi - Behrend sequence

İçinde sayı teorisi, bir Behrend dizisi bir tamsayı dizisi katları aşağıdakileri içerir Neredeyse hepsi tamsayılar. Diziler adlandırılmıştır Felix Behrend.

Tanım

Eğer ${ displaystyle A}$ birden büyük tamsayılar dizisidir ve eğer ${ displaystyle M (A)}$ pozitif tam sayı katları kümesini gösterir. ${ displaystyle A}$, sonra ${ displaystyle A}$ bir Behrend dizisidir eğer ${ displaystyle M (A)}$ vardır doğal yoğunluk bir. Bu, 1'den tamsayıların oranının ${ displaystyle n}$ ait ${ displaystyle M (A)}$ büyük sınırda birleşir ${ displaystyle n}$, birine.

Örnekler

asal sayılar Bir Behrend dizisi oluşturur, çünkü birden büyük her tam sayı, bir asal sayının katıdır. Daha genel olarak, bir alt dizi ${ displaystyle A}$ asal sayıların toplamı ancak ve ancak toplamı bir Behrend dizisi oluşturur karşılıklılar nın-nin ${ displaystyle A}$ farklılaşır.^[1]

yarı mamuller, iki asal sayının çarpımı da bir Behrend dizisi oluşturur. Bir yarı sicilin katları olmayan tek tamsayılar asal güçler. Ancak asal güçler sıfır yoğunluğa sahip olduğundan, bunların tamamlayıcıları, yarı ipliklerin katları bir yoğunluğa sahiptir.^[1]

Tarih

Bu diziyi karakterize etme sorunu, tarafından "çok zor" olarak tanımlandı. Paul Erdős 1979'da.^[2]

Bu diziler, 1990 yılında Richard R.Hall tarafından "Behrend dizileri" olarak adlandırıldı. logaritmik yoğunluk doğal yoğunluk yerine.^[3] Hall onuruna adını seçti Felix Behrend, Behrend dizisi için bunu kim kanıtladı ${ displaystyle A}$, toplamı karşılıklılar nın-nin ${ displaystyle A}$ sapmalı.^[4] Daha sonra Hall ve Gérald Tenenbaum logaritmik yoğunluk yerine Behrend dizilerini tanımlamak için doğal yoğunluğu kullandı.^[5] Tanımlardaki bu varyasyon, hangi dizilerin Behrend dizileri olduğu konusunda hiçbir fark yaratmaz, çünkü Davenport-Erdős teoremi doğal yoğunluğa sahip olan ve logaritmik yoğunluğa sahip olan çoklu kümeler için eşdeğer olduğunu göstermektedir.^[6]

Türetilmiş diziler

Ne zaman ${ displaystyle A}$ bir Behrend dizisidir, biri atlayarak başka bir Behrend dizisi türetebilir ${ displaystyle A}$ herhangi bir sonlu sayıda eleman.^[5]

Her Behrend dizisi, ayrık birlik sonsuz sayıda Behrend dizisi.^[1]

Referanslar