Chern – Gauss – Bonnet teoremi - Chern–Gauss–Bonnet theorem

İçinde matematik, Chern teoremi (ya da Chern – Gauss – Bonnet teoremi^[1][2] sonra Shiing-Shen Chern, Carl Friedrich Gauss, ve Pierre Ossian Bone ) şunu belirtir: Euler-Poincaré özelliği (bir topolojik değişmez alternatif toplamı olarak tanımlanır Betti numaraları bir topolojik uzay) kapalı bir çift boyutlu Riemann manifoldu eşittir integral belirli bir polinomun ( Euler sınıfı ) onun eğrilik formu (bir analitik değişmez ).

Klasik olanın oldukça önemsiz bir genellemesidir. Gauss-Bonnet teoremi (2 boyutlu manifoldlar için / yüzeyler ) daha yüksek çift boyutlu Riemann manifoldlarına. 1943'te, Carl B. Allendoerfer ve André Weil dışsal manifoldlar için özel bir durum olduğunu kanıtladı. 1944'te yayınlanan klasik bir makalede, Shiing-Shen Chern teoremi küresel bağlayan tam genellikte kanıtladı topoloji yerel ile geometri.^[3]

Riemann-Roch ve Atiyah-Şarkıcı Gauss-Bonnet teoreminin diğer genellemeleridir.

Beyan

Yararlı bir şekli Chern teoremi bu mu^[4][5]

${ displaystyle chi (M) = int _ {M} e ( Omega)}$

nerede ${ displaystyle chi (M)}$ gösterir Euler karakteristiği nın-nin M. Euler sınıfı olarak tanımlanır

${ displaystyle e ( Omega) = { frac {1} {(2 pi) ^ {n}}} operatöradı {Pf} ( Omega).}$

nerede var Pfaffian ${ displaystyle operatorname {Pf} ( Omega)}$. Buraya M bir kompakt yönlendirilebilir 2n-boyutlu Riemann manifoldu sınırsız ve ${ displaystyle Omega}$ ilişkili mi eğrilik formu of Levi-Civita bağlantısı. Aslında ifade, ${ displaystyle Omega}$ herhangi bir eğrilik formu metrik bağlantı teğet demetinde ve diğer vektör demetlerinde ${ displaystyle M}$.^[6]

Boyut 2 olduğu içinnbizde var ${ displaystyle Omega}$ bir ${ displaystyle { mathfrak {s}} { mathfrak {o}} (2n)}$değerli 2-diferansiyel formu açık M (görmek özel ortogonal grup ). Yani ${ displaystyle Omega}$ çarpık simetrik 2 olarak kabul edilebilirn × 2n girişleri 2 formlu olan matris, bu nedenle, değişmeli halka ${ textstyle { bigwedge} ^ { text {çift}} , T ^ {*} M}$. Dolayısıyla Pfaffian bir 2n-form. Aynı zamanda bir değişmez polinom.

Bununla birlikte, genel olarak Chern teoremi, herhangi bir kapalı ${ displaystyle C ^ { infty}}$ yönlendirilebilir n-boyutlu M,^[4]

${ displaystyle chi (M) = (e (TM), [M])}$

yukarıdaki eşleştirme (,), kap ürünü ile Euler sınıfı of teğet demet TM.

Başvurular

Chern – Gauss – Bonnet teoremi, teoride özel bir örnek olarak görülebilir. karakteristik sınıflar. Çern integrali, Euler sınıfı. Üst boyutlu bir diferansiyel form olduğu için kapalıdır. doğallık Euler sınıfının anlamı, Riemann metriği, biri aynı kalır kohomoloji sınıfı. Bu, metrik değiştikçe Euler sınıfının integralinin sabit kaldığı ve dolayısıyla pürüzsüz yapının global bir değişmezi olduğu anlamına gelir.^[5]

Teorem ayrıca birçok uygulama bulmuştur. fizik, dahil olmak üzere:^[5]

• adyabatik faz veya Berry fazı,
• sicim teorisi,
• yoğun madde fiziği,
• Topolojik kuantum alan teorisi,
• maddenin topolojik evreleri (bkz. 2016 Nobel Fizik Ödülü, Duncan Haldane ve diğerleri).

Özel durumlar

Dört boyutlu manifoldlar

Boyut olarak ${ displaystyle 2n = 4}$, kompakt odaklı bir manifold için,

${ displaystyle chi (M) = { frac {1} {32 pi ^ {2}}} int _ {M} sol (| { text {Riem}} | ^ {2} -4 | { text {Ric}} | ^ {2} + R ^ {2} sağ) , d mu}$

nerede ${ displaystyle { text {Riem}}}$ dolu Riemann eğrilik tensörü, ${ displaystyle { text {Ric}}}$ ... Ricci eğrilik tensörü, ve ${ displaystyle R}$ ... skaler eğrilik. Bu özellikle Genel görelilik uzay-zamanın 4 boyutlu bir manifold olarak görüldüğü yer.

Gauss-Bonnet teoremi

Gauss-Bonnet teoremi M'nin 2 boyutlu bir manifold olduğu özel bir durumdur. Topolojik indeksin şu terimlerle tanımlandığı özel durum olarak ortaya çıkar. Betti numaraları ve analitik indeks Gauss – Bonnet integrali cinsinden tanımlanır.

İki boyutlu Gauss – Bonnet teoreminde olduğu gibi, ne zaman genellemeler yapılır? M bir sınırlamalı manifold.

Diğer genellemeler

Atiyah-Şarkıcı

Gauss-Bonnet teoreminin geniş kapsamlı bir genellemesi, Atiyah-Singer İndeksi Teoremi.^[5]

İzin Vermek ${ displaystyle D}$ zayıf ol eliptik diferansiyel operatör vektör demetleri arasında. Bu şu demektir ana sembol bir izomorfizm. Güçlü eliptiklik ayrıca sembolün pozitif tanımlı.

İzin Vermek ${ displaystyle D ^ {*}}$ onun ol ek operatör. Sonra analitik indeks olarak tanımlanır

sönük (D)) - dim (ker (D*)),

Eliptikliğe göre bu her zaman sonludur. İndeks teoremi, eliptik operatör yumuşak bir şekilde değiştirildiği için bunun sabit olduğunu söyler. A eşittir topolojik indeksolarak ifade edilebilir karakteristik sınıflar gibi Euler sınıfı.

GB teoremi dikkate alınarak elde edilir Dirac operatörü

${ displaystyle D = d + d ^ {*}}$

Garip boyutlar

Chen formülü çift boyutlar için tanımlanmıştır çünkü Euler karakteristiği tuhaf boyut için kaybolur. İndeks teoremini 'bükmek' üzerine yapılan bazı araştırmalar var. K-teorisi tek boyut için önemsiz olmayan sonuçlar vermek.^[7][8]

Chen'in formülünün bir versiyonu da var orbifoldlar.^[9]

Tarih

Shiing-Shen Chern teoremin kanıtını 1944'te İleri Araştırmalar Enstitüsü. Bu, tarihsel olarak formülün, manifoldun Öklid uzayına gömülü olduğu varsayılmadan kanıtlandığı ilk zamandı, "içsel" ile kastedilen budur. İçin özel durum hiper yüzey (n boyutlu bir Öklid uzayında bir n-1 boyutlu altmanifoldlar) H. Hopf integrandın olduğu Gauss-Kronecker eğriliği (hiper yüzeyin bir noktasındaki tüm temel eğriliklerin çarpımı). Bu, 1939'da Allendoerfer ve 1940'ta Fenchel tarafından bağımsız olarak, Lipschitz-Killing eğriliğini (birim üzerindeki her birim normal vektör boyunca Gauss-Kronecker eğriliğinin ortalaması) kullandıkları herhangi bir eş boyutlu Öklid uzayının Riemannian altmanifolduna normal uzayda küre; çift boyutlu bir altmanifold için, bu yalnızca altmanifoldun Riemann metriğine bağlı bir değişmezdir). Nash gömme teoremi varsayılabilirse, sonuçları genel durum için geçerli olacaktır. Bununla birlikte, John Nash 1956'da Riemann manifoldları için meşhur gömme teoremini yayınladığından, bu teorem o zaman mevcut değildi. 1943'te Allendoerfer ve Weil, genel durum için kanıtlarını yayınladılar; Analitik Riemann manifoldları için durum, daha sonra Cartan-Janet yerel gömme teoreminin yardımıyla manifoldun "küçük" mahallelerini izometrik olarak bir Öklid uzayına gömdüler, böylece bu gömülü mahalleleri birbirine yamalayabilir ve yukarıdaki Allendoerfer teoremini uygulayabilirler. ve küresel sonucu belirlemek için Fenchel. Bu, elbette, teoremin yalnızca manifoldun içsel değişmezlerini içermesi nedeniyle tatmin edici değildir, bu durumda teoremin geçerliliği, onun bir Öklid uzayına gömülmesine dayanmamalıdır. Weil, Chern'in Ağustos 1943'te gelmesinden sonra Princeton'da Chern ile buluştu. Chern'e, Chern'in iki hafta içinde elde edebileceği içsel bir kanıt olması gerektiğine inandığını söyledi. Sonuç, gelecek yıl Annals of Mathematics'de yayınlanan Chern'in klasik makalesi "Kapalı Riemann manifoldları için Gauss-Bonnet formülünün basit bir içsel kanıtı" oldu. Allendoerfer, Fenchel, Allendoerfer ve Weil'in önceki çalışmaları bu makalede Chern tarafından alıntılanmıştır. Allendoerfer ve Weil'in çalışmaları aynı konuyla ilgili ikinci makalesinde Chern tarafından da alıntılanmıştır.^[3]

Ayrıca bakınız

Referanslar