Eğrilik formu - Curvature form - Wikipedia

İçinde diferansiyel geometri, eğrilik formu tanımlar eğrilik bir bağ bir ana paket. Bunun bir alternatifi veya genellemesi olarak düşünülebilir. eğrilik tensörü içinde Riemann geometrisi.

Tanım

İzin Vermek G olmak Lie grubu ile Lie cebiri , ve PB olmak müdür Gpaket. Let ω bir Ehresmann bağlantısı açık P (hangisi bir değerli tek biçimli açık P).

Sonra eğrilik formu ... değerli 2 form P tarafından tanımlandı

Buraya duruyor dış türev ve makalede tanımlanmıştır "Lie cebiri değerli form ". Diğer bir deyişle,[1]

nerede X, Y teğet vektörler P.

Ω için başka bir ifade daha var: eğer X, Y yatay vektör alanları P, sonra[2]

nerede hZ yatay bileşeni anlamına gelir Z, sağda bir dikey vektör alanı ve onu oluşturan bir Lie cebir elemanı belirledik (temel vektör alanı ), ve formülde konvansiyon tarafından kullanılan normalleştirme faktörünün tersidir. dış türev.

Bir bağlantı olduğu söyleniyor düz eğer eğriliği kaybolursa: Ω = 0. Benzer şekilde, yapı grubu aynı temel gruba, ancak ayrı topoloji ile indirgenebiliyorsa, bir bağlantı düzdür. Ayrıca bakınız: düz vektör paketi.

Bir vektör demetindeki eğrilik formu

Eğer EB bir vektör demetidir, bu durumda ω 1-formlu bir matris olarak da düşünülebilir ve yukarıdaki formül E.Cartan'ın yapı denklemi olur:

nerede ... kama ürünü. Daha doğrusu, eğer ve ω ve Ω bileşenlerini uygun şekilde ifade edin (yani her biri normal bir 1-formdur ve her biri normal bir 2-formdur) o zaman

Örneğin, teğet demet bir Riemann manifoldu yapı grubu O (n) ve Ω, O'nun Lie cebirindeki değerlere sahip 2-formdur (n), yani antisimetrik matrisler. Bu durumda, form formu, eğrilik tensörü yani

Riemann eğrilik tensörü için standart notasyonu kullanarak.

Bianchi kimlikleri

Eğer çerçeve demetindeki kanonik vektör değerli 1-formdur, burulma of bağlantı formu yapı denklemi ile tanımlanan vektör değerli 2-formdur

yukarıdaki gibi nerede D gösterir dış kovaryant türev.

İlk Bianchi kimliği şekli alıyor

İkinci Bianchi kimliği şekli alıyor

ve herhangi biri için daha genel olarak geçerlidir bağ içinde ana paket.

Notlar

  1. ^ dan beri burada kullanılan sözleşmede
  2. ^ Kanıt:

Referanslar

Ayrıca bakınız