Döngü tespiti - Cycle detection

Bu makale yinelenen işlevlerle ilgilidir. Başka bir kullanım için bkz. Döngü tespiti (grafik teorisi).

İçinde bilgisayar Bilimi, döngü tespiti veya döngü bulma ... algoritmik bir döngü bulma sorunu sıra nın-nin yinelenen işlev değerler.

Herhangi işlevi f bu bir Sınırlı set S kendisine ve herhangi bir başlangıç ​​değerine x0 içinde S, yinelenen işlev değerleri dizisi

Sonunda aynı değeri iki kez kullanmalıdır: birkaç farklı endeks çifti olmalıdır ben ve j öyle ki xben = xj. Bu olduğunda, dizi devam etmelidir periyodik olarak, aynı değer dizisini tekrarlayarak xben -e xj − 1. Döngü tespiti, bulmanın sorunudur ben ve j, verilen f ve x0.

Hızlı ve az bellekle döngüleri bulmak için çeşitli algoritmalar bilinmektedir. Robert W. Floyd 's kaplumbağa ve tavşan algoritması iki işaretçiyi, her ikisi de eşit değerleri gösterene kadar değerler dizisi boyunca farklı hızlarda hareket ettirir. Alternatif olarak, Brent'in algoritması şu fikre dayanmaktadır: üstel arama. Hem Floyd'un hem de Brent'in algoritmaları yalnızca sabit sayıda bellek hücresi kullanır ve dizinin başlangıcından ilk tekrara kadar olan mesafeyle orantılı bir dizi işlev değerlendirmesi alır. Diğer birçok algoritma, daha az işlev değerlendirmesi için daha büyük miktarlarda hafızayı değiştirir.

Döngü tespiti uygulamaları aşağıdakilerin kalitesini test etmeyi içerir: sözde rasgele sayı üreteçleri ve kriptografik hash fonksiyonları, hesaplamalı sayı teorisi algoritmalar, algılama sonsuz döngüler bilgisayar programlarında ve periyodik konfigürasyonlarda hücresel otomata, otomatik şekil analizi nın-nin bağlantılı liste veri yapıları, tespiti kilitlenmeler için işlem yönetimi içinde DBMS.

Misal

{0,1,2,3,4,5,6,7,8} kümesinden ve kümesinden bir işlev ve karşılık gelen işlevsel grafik

Şekil bir işlevi göstermektedir f seti eşleyen S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} kendisine. Birinden başlarsa x0 = 2 ve tekrar tekrar geçerlidir fdeğerler dizisini görür

2, 0, 6, 3, 1, 6, 3, 1, 6, 3, 1, ....

Bu değer dizisindeki döngü 6, 3, 1.

Tanımlar

İzin Vermek S herhangi bir sonlu küme olabilir, f herhangi bir işlev olmak S kendi kendine ve x0 herhangi bir unsuru olmak S. Herhangi ben > 0, İzin Vermek xben = f(xben − 1). İzin Vermek μ değerin xμ değerler dizisi içinde sonsuz sıklıkta yeniden görünür xbenve izin ver λ (döngü uzunluğu) en küçük pozitif tamsayı olacak şekilde xμ = xλ + μ. Döngü tespiti problemi bulma görevidir λ veμ.[1]

Aynı problemi görebilirsin grafik teorik olarak, inşa ederek fonksiyonel grafik (Bu bir Yönlendirilmiş grafik her köşenin tek bir çıkış kenarı olduğu) köşeleri, S ve kenarları şekilde gösterildiği gibi karşılık gelen fonksiyon değeri ile bir elemanı eşleştirir. Köşeler kümesi ulaşılabilir tepe noktasından x0 benzer bir şekle sahip bir alt grafik oluşturmak Yunanca rho harfi (ρ): uzunluk yolu μ itibaren x0 bir döngü nın-nin λ köşeler.[2]

Bilgisayar gösterimi

Genel olarak, f yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi bir değerler tablosu olarak belirtilmeyecektir. Bunun yerine, bir döngü algılama algoritmasına, değerler dizisine erişim verilebilir. xbenveya hesaplamak için bir alt programa f. Görev bulmaktır λ ve μ diziden az sayıda değeri incelerken veya mümkün olduğunca az alt rutin çağrısı gerçekleştirirken. Tipik olarak, ayrıca uzay karmaşıklığı Döngü algılama problemi için bir algoritmanın belirlenmesi önemlidir: tüm diziyi depolamak için gerekenden önemli ölçüde daha küçük bir bellek miktarı kullanarak sorunu çözmek istiyoruz.

Bazı uygulamalarda ve özellikle Pollard'ın rho algoritması için tamsayı çarpanlara ayırma, algoritmanın çok daha sınırlı erişimi var S ve f. Örneğin, Pollard'ın rho algoritmasında, S modulo tamsayılar kümesidir, çarpanlara ayrılacak sayının bilinmeyen asal çarpanıdır, dolayısıyla boyutu bile S Algoritma tarafından bilinmemektedir. Döngü algılama algoritmalarının bu kadar sınırlı bilgi ile kullanılmasına izin vermek için, aşağıdaki yeteneklere göre tasarlanabilirler. Başlangıçta, algoritmanın belleğinde bir nesneyi temsil eden bir nesneye sahip olduğu varsayılır. Işaretçi başlangıç ​​değerine x0. Herhangi bir adımda, üç işlemden birini gerçekleştirebilir: sahip olduğu herhangi bir işaretçiyi bellekteki başka bir nesneye kopyalayabilir, uygulayabilir f ve onun işaretçilerinden herhangi birini dizideki bir sonraki nesneye bir işaretçi ile değiştirebilir veya işaretçilerinden ikisinin dizideki eşit değerleri temsil edip etmediğini belirlemek için bir alt yordam uygulayabilir. Eşitlik testi eylemi, bazı önemsiz hesaplamaları içerebilir: örneğin, Pollard'ın rho algoritmasında, depolanan iki değer arasındaki farkın önemsiz olup olmadığını test ederek uygulanır. en büyük ortak böleni çarpanlarına eklenecek sayı ile.[2] Bu bağlamda, analoji ile işaretçi makinesi hesaplama modeli, yalnızca işaretçi kopyalamayı kullanan bir algoritma, dizi içinde ilerleme ve eşitlik testleri bir işaretçi algoritması olarak adlandırılabilir.

Algoritmalar

Giriş, hesaplama için bir alt yordam olarak verilirse f, döngü algılama sorunu, yalnızca kullanılarak önemsiz bir şekilde çözülebilir λ + μ fonksiyon uygulamaları, sadece değerlerin sırasını hesaplayarak xben ve kullanarak veri yapısı gibi karma tablo Bu değerleri saklamak ve sonraki her bir değerin önceden kaydedilip kaydedilmediğini test etmek için. Ancak, bu algoritmanın uzay karmaşıklığı orantılıdır. λ + μ, gereksiz yere büyük. Ek olarak, bu yöntemi bir işaretçi algoritması eşitlik testinin her bir değer çiftine uygulanmasını gerektirir ve bu da genel olarak ikinci dereceden zamanla sonuçlanır. Bu nedenle, bu alandaki araştırmalar iki hedefe odaklanmıştır: bu saf algoritmadan daha az alan kullanmak ve daha az eşitlik testi kullanan işaretçi algoritmaları bulmak.

Floyd'un Kaplumbağa ve Tavşan

Floyd'un 2, 0, 6, 3, 1, 6, 3, 1, ... dizisine uygulanan "kaplumbağa ve tavşan" döngüsü algılama algoritması

Floyd'un döngü bulma algoritması dizide farklı hızlarda hareket eden yalnızca iki işaretçi kullanan bir işaretçi algoritmasıdır. "Kaplumbağa ve tavşan algoritması" olarak da adlandırılır ve Aesop'un masalına atıfta bulunur. Kaplumbağa ve Tavşan.

Algoritma adını almıştır Robert W. Floyd, icadı ile kredilendirilen Donald Knuth.[3][4] Bununla birlikte, algoritma Floyd'un yayınlanmış çalışmasında görünmüyor ve bu bir yanlış atıf olabilir: Floyd, tüm basit döngüleri listelemek için algoritmaları açıklar. Yönlendirilmiş grafik 1967 tarihli bir gazetede,[5] ancak bu makale, bu makalenin konusu olan fonksiyonel grafiklerdeki döngü bulma problemini açıklamamaktadır. Aslında, Knuth'un Floyd'a atıf yapmadan atfettiği ifadesi (1969'da), basılı olarak bilinen ilk görünümdür ve bu nedenle bir halk teoremi, tek bir kişiye atfedilemez.[6]

Algoritmadaki temel bilgiler aşağıdaki gibidir. Bir döngü varsa, herhangi bir tam sayı için ben ≥ μ ve k ≥ 0, xben = xben + kλ, nerede λ bulunacak döngünün uzunluğu ve μ döngünün ilk elemanının indeksidir. Buna dayanarak, daha sonra gösterilebilir ben = kλ ≥ μ bazı k ancak ve ancak xben = x2benBu nedenle, algoritmanın bir periyot bulmak için bu özel formun tekrarlanan değerlerini kontrol etmesi gerekir, biri diğerinin iki katı uzaklıkta, ν bir tekrarın katları olan λ.Bir Zamanlar ν Algoritma, ilk tekrarlanan değeri bulmak için diziyi başından itibaren yeniden izler xμ sırayla, gerçeğini kullanarak λ böler ν ve bu nedenle xμ = xμ + v. Son olarak, değeri bir kez μ uzunluğu bulmanın önemsiz olduğu biliniyor λ ilk pozisyonu arayarak en kısa tekrar eden döngünün μ + λ hangisi için xμ + λ = xμ.

Algoritma böylece verilen sıraya iki işaretçi tutar, biri (kaplumbağa) xbenve diğeri (tavşan) x2ben. Algoritmanın her adımında artar ben kaplumbağayı bir adım ileri, tavşanı sırayla iki adım ileri hareket ettirir ve ardından bu iki işaretçideki sıra değerlerini karşılaştırır. En küçük değeri ben > 0 kaplumbağa ve tavşanın eşit değerlere işaret ettiği, istenen değerdir ν.

Aşağıdaki Python kod, bu fikrin bir algoritma olarak nasıl uygulanabileceğini gösterir.

def Floyd(f, x0):    # Algoritmanın ana aşaması: x_i = x_2i tekrarı bulma.    Tavşan kaplumbağanın iki katı hızlı hareket eder ve    # aralarındaki mesafe her adımda 1 artar.    # Sonunda ikisi de döngünün içinde olacak ve sonra,    # bir noktada aralarındaki mesafe    # döneme göre bölünebilir λ.    tosbağa = f(x0) # f (x0), x0'ın yanındaki öğe / düğümdür.    tavşan = f(f(x0))    süre tosbağa != tavşan:        tosbağa = f(tosbağa)        tavşan = f(f(tavşan))      # Bu noktada kaplumbağa pozisyonu, ν, ki bu da eşittir    # tavşan ve kaplumbağa arasındaki mesafeye bölünebilir    # nokta λ. Yani tavşan her seferinde bir adım daire şeklinde hareket ediyor,     # ve kaplumbağa (x0'a sıfırla) daireye doğru hareket eder     # çemberin başında kesişir. Çünkü     # aralarındaki mesafe 2ν'da sabittir, λ'nın bir katıdır,    # kaplumbağa μ endeksine ulaşır ulaşmaz anlaşacaklar.    # İlk tekrarın μ konumunu bulun.     mu = 0    tosbağa = x0    süre tosbağa != tavşan:        tosbağa = f(tosbağa)        tavşan = f(tavşan)   # Tavşan ve kaplumbağa aynı hızda hareket eder        mu += 1     # X_μ'den başlayarak en kısa döngünün uzunluğunu bulun    # Tavşan, kaplumbağa hareketsizken adım adım hareket eder.    # lam, λ bulunana kadar artırılır.    lam = 1    tavşan = f(tosbağa)    süre tosbağa != tavşan:        tavşan = f(tavşan)        lam += 1     dönüş lam, mu

Bu kod diziye yalnızca işaretçileri, işlev değerlendirmelerini ve eşitlik testlerini saklayarak ve kopyalayarak erişir; bu nedenle, bir işaretçi algoritması olarak nitelendirilir. Algoritma kullanır Ö(λ + μ) bu tür operasyonlar ve Ö(1) depolama alanı.[7]

Brent algoritması

Richard P. Brent kaplumbağa ve tavşan algoritması gibi, diziye yalnızca iki işaretçi gerektiren alternatif bir döngü algılama algoritması tanımladı.[8] Ancak, farklı bir ilkeye dayanmaktadır: en küçüğünü aramak ikinin gücü 2ben bu ikisinden de daha büyük λ ve μ. İçin ben = 0, 1, 2, ...algoritma karşılaştırır x2ben−1 her sonraki sıra değeri ikinin bir sonraki kuvvetine kadar, bir eşleşme bulduğunda durur. Kaplumbağa ve tavşan algoritmasına göre iki avantajı vardır: Doğru uzunluğu bulur λ bir sonraki aşamada arama ihtiyacı duymak yerine, doğrudan döngünün f üç yerine.[9]

Aşağıdaki Python kodu, bu tekniğin nasıl çalıştığını daha ayrıntılı olarak gösterir.

def Brent(f, x0):    # ana aşama: ikinin ardışık güçlerini arayın    güç = lam = 1    tosbağa = x0    tavşan = f(x0)  # f (x0), x0'ın yanındaki öğe / düğümdür.    süre tosbağa != tavşan:        Eğer güç == lam:  # ikinin yeni bir gücüne başlama zamanı?            tosbağa = tavşan            güç *= 2            lam = 0        tavşan = f(tavşan)        lam += 1    # Uzunluğun ilk tekrarının konumunu bulun λ    tosbağa = tavşan = x0    için ben içinde Aralık(lam):    # range (lam) 0, 1, ..., lam-1 değerlerine sahip bir liste üretir        tavşan = f(tavşan)    # Tavşan ve kaplumbağa arasındaki mesafe artık λ.    # Sonra, tavşan ve kaplumbağa anlaşana kadar aynı hızda hareket eder    mu = 0    süre tosbağa != tavşan:        tosbağa = f(tosbağa)        tavşan = f(tavşan)        mu += 1     dönüş lam, mu

Kaplumbağa ve tavşan algoritması gibi, bu da kullanan bir işaretçi algoritmasıdır. Ö(λ + μ) testler ve fonksiyon değerlendirmeleri ve Ö(1) depolama alanı. Fonksiyon değerlendirmelerinin sayısının Floyd'un algoritmasından daha yüksek olamayacağını göstermek zor değil.Brent, ortalama olarak, döngü bulma algoritmasının Floyd'unkinden yaklaşık% 36 daha hızlı çalıştığını ve Pollard rho algoritması yaklaşık% 24 oranında. Ayrıca bir performans sergiliyor ortalama durum analizi İki işaretleyiciden daha yavaş olan indis dizisinin, ikisinin güçleri değil, ikisinin kuvvetlerinin rastgele bir katı olduğu algoritmanın rastgele bir versiyonu için. Temel amaçlanan uygulaması tamsayı çarpanlara ayırma algoritmalarında olmasına rağmen, Brent aynı zamanda sözde rasgele sayı üreteçlerinin test edilmesindeki uygulamaları da tartışıyor.[8]

Gosper algoritması

R. W. Gosper algoritması[10][11] dönemi bulur ve başlangıç ​​noktasının alt ve üst sınırı, ve , birinci döngünün. Alt ve üst sınır arasındaki fark, dönem ile aynı sıradadır, örn. .

Gosper algoritmasının temel özelliği, jeneratör işlevini yeniden değerlendirmek için asla yedekleme yapmaması ve hem uzay hem de zaman açısından ekonomik olmasıdır. Kabaca Brent algoritmasının paralel bir versiyonu olarak tanımlanabilir. Brent'in algoritması, kaplumbağa ile tavşan arasındaki boşluğu kademeli olarak artırırken, Gosper'ın algoritması, kabaca üstel aralıklarla yerleştirilmiş birkaç kaplumbağa kullanır (önceki birkaç değer kaydedilir). Nota göre HAKMEM öğe 132, bu algoritma, herhangi bir değerin üçüncü oluşumundan önce tekrarı tespit edecektir, örn. döngü en fazla iki kez yinelenecektir. Bu not ayrıca saklamanın yeterli olduğunu da belirtir. önceki değerler; ancak sağlanan uygulama[10] mağazalar değerler. Örneğin: işlev değerleri 32 bitlik tam sayılardır ve önceden bilinen ikinci yineleme döngünün en fazla 232 başından beri işlev değerlendirmeleri, yani. . O halde 33 adet 32 ​​bitlik tamsayı saklamak yeterlidir.

Üzerine -Jeneratör fonksiyonunun değerlendirilmesi, algoritma üretilen değeri ile karşılaştırır önceki değerler; bunu gözlemle en azından yükselir ve en fazla . Bu nedenle, bu algoritmanın zaman karmaşıklığı . Depoladığından beri değerler, uzay karmaşıklığı . Bu, bu makale boyunca mevcut olan, fonksiyon değerlerinin büyüklüğünün sabit olduğu olağan varsayımı altındadır. Bu varsayım olmadan, uzay karmaşıklığı en azından ihtiyacımız olduğu için farklı değerler ve dolayısıyla her bir değerin boyutu .

Zaman-uzay değiş tokuşları

Bazı yazarlar, Floyd ve Brent'in yöntemlerinden daha fazla bellek kullanan, ancak döngüleri daha hızlı tespit eden döngü algılama teknikleri üzerinde çalıştı. Genel olarak bu yöntemler, önceden hesaplanmış birkaç dizi değerini depolar ve her yeni değerin önceden hesaplanmış değerlerden birine eşit olup olmadığını test eder. Bu kadar hızlı yapmak için, genellikle bir karma tablo veya önceden hesaplanmış değerleri depolamak için benzer veri yapısı ve bu nedenle işaretçi algoritmaları değildir: özellikle, Pollard'ın rho algoritmasına genellikle uygulanamazlar. Bu yöntemlerin farklı olduğu yer, hangi değerlerin saklanacağını nasıl belirledikleri ile ilgilidir. Nivasch'ın ardından,[12] bu teknikleri kısaca inceliyoruz.

  • Brent[8] Kaydedilmiş sıra değerlerinin indislerinin bir sayının üsleri olduğu tekniğinin varyasyonlarını zaten açıklıyor R ikiden başka. Seçerek R bire yakın bir sayı olmak ve sıra değerlerini, ardışık güçlerin bir dizisine yakın olan endekslerde depolamak Rbir döngü algılama algoritması, optimumun keyfi olarak küçük bir faktörü dahilinde olan bir dizi işlev değerlendirmesini kullanabilir. λ + μ.[13][14]
  • Sedgewick, Szymanski ve Yao[15] kullanan bir yöntem sağlayın M bellek hücreleri ve yalnızca en kötü durumda gerektirir bazı sabitler için fonksiyon değerlendirmeleri coptimum olduklarını gösterirler. Teknik, sayısal bir parametrenin korunmasını içerir d, bir tabloda yalnızca dizinin katları olan konumları saklamak dve masayı temizlemek ve ikiye katlamak d çok fazla değer depolandığında.
  • Birkaç yazar tanımladı ayırt edici nokta Fonksiyon değerlerini, konumlarına göre (Sedgewick ve diğerlerinin yönteminde olduğu gibi) değil, değerleri içeren bir kritere göre bir tabloda depolayan yöntemler. Örneğin, sıfır modulo değerine eşit değerler bir değer d depolanabilir.[16][17] Daha basitçe, Nivasch[12] D. P. Woodruff, önceden görülen değerlerin rastgele bir örneğini saklama önerisiyle, her adımda uygun bir rastgele seçim yaparak örneğin rastgele kalmasını sağladı.
  • Nivasch[12] sabit miktarda bellek kullanmayan, ancak kullanılan bellek miktarının (giriş işlevinin rastgele olduğu varsayımına göre) sıra uzunluğunda logaritmik olduğu bir algoritmayı tanımlar. Bu teknikle, daha sonraki hiçbir öğenin daha küçük bir değeri olmadığında, bellek tablosunda bir öğe saklanır. Nivasch'ın gösterdiği gibi, bu tekniğe sahip öğeler, bir yığın veri yapısı ve her ardışık sıra değerinin yalnızca yığının en üstüyle karşılaştırılması gerekir. Algoritma, en küçük değere sahip tekrarlanan sıra öğesi bulunduğunda sona erer. Her yığın içindeki değerleri yeniden sıralamak için değerlerin rastgele permütasyonlarını kullanarak birden çok yığınla aynı algoritmayı çalıştırmak, önceki algoritmalara benzer bir zaman-uzay değiş tokuşuna izin verir. Bununla birlikte, bu algoritmanın tek yığınlı versiyonu bile, iki değerden hangisinin daha küçük olduğunu belirlemek için gereken karşılaştırmalar nedeniyle bir işaretçi algoritması değildir.

En fazla depolayan herhangi bir döngü algılama algoritması M giriş sırasından değerler en az performans göstermelidir fonksiyon değerlendirmeleri.[18][19]

Başvurular

Döngü tespiti birçok uygulamada kullanılmıştır.

  • Bir döngü uzunluğunun belirlenmesi sözde rasgele sayı üreteci gücünün bir ölçüsüdür. Bu, Knuth tarafından Floyd'un yöntemini açıklarken alıntılanan uygulamadır.[3] Brent[8] a testinin sonuçlarını açıklar doğrusal eşleşik üreteç bu moda da; süresi, ilan edilenden önemli ölçüde daha kısa çıktı. Daha karmaşık üreticiler için, döngünün bulunacağı değerler dizisi, jeneratörün çıktısını değil, onun iç durumunu temsil edebilir.
  • Birkaç sayı-teorik algoritmalar, aşağıdakileri içeren döngü algılamaya dayanır: Pollard'ın rho algoritması tamsayı çarpanlara ayırma için[20] ve onun akrabası kanguru algoritması için ayrık logaritma sorun.[21]
  • İçinde kriptografik uygulamalar, iki farklı değer bulma yeteneği xμ −- 1 ve xλ + μ −- 1 bazı kriptografik işlevlerle ƒ aynı değere eşlenir xμ ƒ 'de bir zayıflığı gösterebilir. Örneğin, Quisquater ve Delescaille[17] bir mesaj ve bir çift arama için döngü algılama algoritmalarını uygulayın. Veri Şifreleme Standardı bu mesajı aynı şifrelenmiş değere eşleyen anahtarlar; Kaliski, Rivest, ve Sherman[22] DES'e saldırmak için döngü algılama algoritmalarını da kullanır. Teknik ayrıca bir bulmak için de kullanılabilir. çarpışma içinde kriptografik karma işlevi.[23]
  • Döngü tespiti, keşfetmenin bir yolu olarak yardımcı olabilir sonsuz döngüler belirli türlerde bilgisayar programları.[24]
  • Periyodik konfigürasyonlar içinde hücresel otomat otomasyon durumları dizisine döngü algılama algoritmaları uygulanarak simülasyonlar bulunabilir.[12]
  • Şekil analizi nın-nin bağlantılı liste veri yapıları, bu yapıları kullanarak bir algoritmanın doğruluğunu doğrulamak için kullanılan bir tekniktir. Listedeki bir düğüm yanlış olarak aynı listedeki önceki bir düğümü işaret ederse, yapı bu algoritmalar tarafından tespit edilebilen bir döngü oluşturacaktır.[25] İçinde Ortak Lisp, S-ifadesi yazıcının kontrolü altında * baskı çemberi * değişken, döngüsel liste yapısını algılar ve kompakt bir şekilde yazdırır.
  • Teske[14] içindeki uygulamaları açıklar hesaplamalı grup teorisi: yapısını belirleme Abelian grubu bir dizi jeneratörden. Kaliski ve diğerlerinin kriptografik algoritmaları.[22] bilinmeyen bir grubun yapısını anlamaya çalışıyor olarak da görülebilir.
  • Fich (1981) kısaca bir uygulamadan bahsediyor bilgisayar simülasyonu nın-nin gök mekaniği atfettiği William Kahan. Bu uygulamada, döngü tespiti faz boşluğu bir yörünge sistemi, simülasyonun doğruluğu dahilinde sistemin periyodik olup olmadığını belirlemek için kullanılabilir.[18]
  • Mandelbrot Set fraktal oluşturmada, görüntü oluşturmayı hızlandırmak için bazı performans teknikleri kullanılır. Bunlardan biri "periyot kontrolü" olarak adlandırılır ve temelde bir nokta yörüngesindeki döngüleri bulmayı içerir. Bu makale "dönem kontrolü "techniche ve İşte daha iyi bir açıklama bulabilirsiniz. Bunu uygulamak için bazı döngü algılama algoritmalarının uygulanması gerekir.

Referanslar

  1. ^ Joux, Antoine (2009), Algoritmik Kriptanaliz, CRC Press, s. 223, ISBN  9781420070033.
  2. ^ a b Joux (2009), s. 224).
  3. ^ a b Knuth, Donald E. (1969), Bilgisayar Programlama Sanatı, cilt. II: Seminümerik Algoritmalar, Addison-Wesley, s. 7, egzersiz 6 ve 7
  4. ^ Uygulamalı Kriptografi El Kitabı, Yazan: Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, Scott A.Vanstone, s. 125, bu algoritmayı ve diğerlerini açıklar
  5. ^ Floyd, R.W. (1967), "Belirsiz Algoritmalar", J. ACM, 14 (4): 636–644, doi:10.1145/321420.321422, S2CID  1990464
  6. ^ Hash Fonksiyonu BLAKE, Jean-Philippe Aumasson, Willi Meier, Raphael C.-W. Phan, Luca Henzen (2015), s. 21 dipnot 8
  7. ^ Joux (2009), Bölüm 7.1.1, Floyd'un döngü bulma algoritması, sayfa 225–226.
  8. ^ a b c d Brent, R. P. (1980), "Gelişmiş bir Monte Carlo çarpanlara ayırma algoritması" (PDF), BIT Sayısal Matematik , 20 (2): 176–184, doi:10.1007 / BF01933190, S2CID  17181286.
  9. ^ Joux (2009), Bölüm 7.1.2, Brent'in döngü bulma algoritması, sayfa 226–227.
  10. ^ a b "Arşivlenmiş kopya". Arşivlenen orijinal 2016-04-14 tarihinde. Alındı 2017-02-08.CS1 Maint: başlık olarak arşivlenmiş kopya (bağlantı)
  11. ^ http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/flows.html
  12. ^ a b c d Nivasch, Gabriel (2004), "Bir yığın kullanarak döngü tespiti", Bilgi İşlem Mektupları, 90 (3): 135–140, doi:10.1016 / j.ipl.2004.01.016.
  13. ^ Schnorr, Claus P.; Lenstra, Hendrik W. (1984), "Doğrusal depolamalı bir Monte Carlo faktoring algoritması", Hesaplamanın Matematiği, 43 (167): 289–311, doi:10.2307/2007414, hdl:1887/3815, JSTOR  2007414.
  14. ^ a b Teske, Edlyn (1998), "Grup yapısı hesaplaması için alanı verimli kullanan bir algoritma", Hesaplamanın Matematiği, 67 (224): 1637–1663, doi:10.1090 / S0025-5718-98-00968-5.
  15. ^ Sedgewick, Robert; Szymanski, Thomas G .; Yao, Andrew C.-C. (1982), "Periyodik fonksiyonlarda döngü bulmanın karmaşıklığı", Bilgi İşlem Üzerine SIAM Dergisi, 11 (2): 376–390, doi:10.1137/0211030.
  16. ^ van Oorschot, Paul C .; Wiener, Michael J. (1999), "Kriptanalitik uygulamalarla paralel çarpışma araması", Kriptoloji Dergisi, 12 (1): 1–28, doi:10.1007 / PL00003816, S2CID  5091635.
  17. ^ a b Quisquater, J.-J .; Delescaille, J.-P., "Çarpışma araması ne kadar kolay? DES'e Başvuru", Kriptolojide Gelişmeler - EUROCRYPT '89, Kriptografik Tekniklerin Teorisi ve Uygulaması Çalıştayı, Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, 434, Springer-Verlag, s. 429–434, doi:10.1007/3-540-46885-4_43.
  18. ^ a b Fich, Faith Ellen (1981), "Döngü algılama sorunu için alt sınırlar", Proc. 13. ACM Bilgisayar Teorisi Sempozyumu, s. 96–105, doi:10.1145/800076.802462.
  19. ^ Allender, Eric W.; Klawe, Maria M. (1985), "Döngü algılama sorunu için geliştirilmiş alt sınırlar", Teorik Bilgisayar Bilimleri, 36 (2–3): 231–237, doi:10.1016/0304-3975(85)90044-1.
  20. ^ Pollard, J. M. (1975), "Çarpanlara ayırma için bir Monte Carlo yöntemi", BİT, 15 (3): 331–334, doi:10.1007 / BF01933667, S2CID  122775546.
  21. ^ Pollard, J. M. (1978), "İndeks hesaplama için Monte Carlo yöntemleri (mod p)", Hesaplamanın Matematiği, Amerikan Matematik Derneği 32 (143): 918–924, doi:10.2307/2006496, JSTOR  2006496.
  22. ^ a b Kaliski, Burton S., Jr.; Rivest, Ronald L.; Sherman, Alan T. (1988), "Veri Şifreleme Standardı bir grup mu? (DES üzerinde döngü deneylerinin sonuçları)", Kriptoloji Dergisi, 1 (1): 3–36, doi:10.1007 / BF00206323, S2CID  17224075.
  23. ^ Joux (2009), Bölüm 7.5, Karma işlevlerde çarpışmalar, s. 242–245.
  24. ^ Van Gelder, Allen (1987), "Kaplumbağa ve tavşan tekniğini kullanarak Prolog'da verimli ilmek tespiti", Mantık Programlama Dergisi, 4 (1): 23–31, doi:10.1016/0743-1066(87)90020-3.
  25. ^ Auguston, Mikhail; Hon, Miu Har (1997), "Liste Veri Yapılarının Dinamik Şekil Analizi için İddialar", AADEBUG '97, Üçüncü Uluslararası Otomatik Hata Ayıklama Çalıştayı Bildirileri, Linköping Bilgisayar ve Bilişim Bilimlerinde Elektronik Makaleler, Linköping Üniversitesi, s. 37–42.

Dış bağlantılar