Periyodik sıra - Periodic sequence

Bu makale değil anmak hiç kaynaklar. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırıldı. Kaynakları bulun: "Periyodik sıra"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Temmuz 2009) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

İçinde matematik, bir periyodik sıra (bazen a denir döngü) bir sıra bunun için aynı şartlar defalarca tekrarlanır:

a₁, a₂, ..., a_p,  a₁, a₂, ..., a_p,  a₁, a₂, ..., a_p, ...

Numara p tekrarlanan terimlere dönem (dönem ).

Tanım

Periyodik bir dizi bir dizidir a₁, a₂, a₃, ... doyurucu

a_n+p = a_n

tüm değerleri için n. Bir dizi, bir işlevi kimin etki alanı kümesidir doğal sayılar, o zaman periyodik bir dizi basitçe özel bir türdür periyodik fonksiyon.

Örnekler

İçindeki rakam dizisi ondalık 1 / 7'lik genişleme dönem 6 ile periyodiktir:

${ displaystyle { frac {1} {7}} = 0,142857 , 142857 , 142857 , ldots}$

Daha genel olarak, herhangi birinin ondalık açılımındaki rakam dizisi rasyonel sayı sonunda periyodiktir (aşağıya bakın).

−1'in kuvvetlerinin sırası periyodiktir ve periyot iki:

${ displaystyle -1,1, -1,1, -1,1, ldots}$

Daha genel olarak, herhangi birinin güçlerinin sırası birliğin kökü periyodiktir. Aynısı, herhangi bir sonlu elemanının güçleri için de geçerlidir. sipariş içinde grup.

Bir periyodik nokta bir işlev için f : X → X bir nokta x kimin yörünge

${ displaystyle x, , f (x), , f (f (x)), , f ^ {3} (x), , f ^ {4} (x), , ldots}$

periyodik bir dizidir. Buraya, ${ displaystyle f ^ {n} (x)}$ anlamı nkat kompozisyon nın-nin f uygulanan x. Teorisinde periyodik noktalar önemlidir dinamik sistemler. Her işlev bir Sınırlı set kendi başına periyodik bir noktaya sahiptir; döngü tespiti böyle bir noktayı bulmanın algoritmik problemidir.

Periyodik 0, 1 dizileri

Herhangi bir periyodik sekans, sıfırlardan ve birlerden oluşan periyodik sekansların element bazında toplanması, çıkarılması, çarpılması ve bölünmesiyle oluşturulabilir. Periyodik sıfır ve bir diziler, trigonometrik fonksiyonların toplamı olarak ifade edilebilir:

${ displaystyle toplamı _ {k = 1} ^ {1} cos (- pi { frac {n (k-1)} {1}}) / 1 = 1,1,1,1,1, 1,1,1,1 ...}$

${ displaystyle toplamı _ {k = 1} ^ {2} cos (2 pi { frac {n (k-1)} {2}}) / 2 = 0,1,0,1,0, 1,0,1,0 ...}$

${ displaystyle toplamı _ {k = 1} ^ {3} cos (2 pi { frac {n (k-1)} {3}}) / 3 = 0,0,1,0,0, 1,0,0,1,0,0,1,0,0,1 ...}$

${ displaystyle ...}$

${ displaystyle toplamı _ {k = 1} ^ {N} cos (2 pi { frac {n (k-1)} {N}}) / N = 0,0,0 ..., 1 { text {nokta içeren sıra}} N}$

Genellemeler

Bir dizi sonunda periyodik başından bazı sonlu sayıda terim bırakılarak periyodik hale getirilebilirse. Örneğin, 1/56 değerindeki ondalık genişlemede rakam dizisi sonunda periyodiktir:

1 / 56 = 0 . 0 1 7  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  ...

Bir dizi asimptotik olarak periyodik terimleri periyodik bir diziye yaklaşırsa. Yani sıra x₁, x₂, x₃, ... periyodik bir sıra varsa asimptotik olarak periyodiktir a₁, a₂, a₃, ... hangisi için

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} x_ {n} -a_ {n} = 0.}$

Örneğin, dizi

1 / 3,  2 / 3,  1 / 4,  3 / 4,  1 / 5,  4 / 5,  ...

terimleri 0, 1, 0, 1, 0, 1, .... periyodik sırasına yaklaştığı için asimptotik olarak periyodiktir.