Dirichlet çekirdeği - Dirichlet kernel - Wikipedia

İçinde matematiksel analiz, Dirichlet çekirdeği fonksiyonların koleksiyonudur

${ displaystyle D_ {n} (x) = { frac {1} {2 pi}} toplamı _ {k = -n} ^ {n} e ^ {ikx} = { frac {1} {2 pi}} left (1 + 2 sum _ {k = 1} ^ {n} cos (kx) right) = { frac { sin left ( left (n + 1/2 right ) x sağ)} {2 pi sin (x / 2)}}.}$

Adını almıştır Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

İlk birkaç Dirichlet çekirdeğinin grafiğine yakınsamasını gösteren Dirac delta dağıtım.

Dirichlet çekirdeğinin önemi, Fourier serisi. kıvrım nın-nin D_n(x) herhangi bir işlevle ƒ dönem 2π ... nderece Fourier serisi yaklaşımı ƒyani bizde

${ displaystyle (D_ {n} * f) (x) = int _ {- pi} ^ { pi} f (y) D_ {n} (xy) , dy = toplamı _ {k = - n} ^ {n} { hat {f}} (k) e ^ {ikx},}$

nerede

${ displaystyle { widehat {f}} (k) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) e ^ {- ikx} , dx}$

... kFourier katsayısıƒ. Bu, Fourier serilerinin yakınsamasını incelemek için Dirichlet çekirdeğinin özelliklerini incelemenin yeterli olduğu anlamına gelir.

İlk birkaç Dirichlet çekirdeğinin grafiği

L¹ çekirdek işlevinin normu

Özellikle önemli olan, L¹ normu D_n açık ${ displaystyle [0,2 pi]}$ sonsuza kadar uzaklaşır n → ∞. Biri tahmin edebilir

${ displaystyle | D_ {n} | _ {L ^ {1}} = Omega ( log n). ,}$

Sıfırın en büyük mahallesindeki katkıyı tahmin etmek için Riemann-toplamı argümanı kullanarak ${ displaystyle D_ {n}}$ pozitiftir ve kalan kısım için Jensen'in eşitsizliği, şunu da göstermek mümkündür:

${ displaystyle | D_ {n} | _ {L ^ {1}} geq 4 operatorname {Si} ( pi) + { frac {8} { pi}} log n.}$

Bu tekdüze integrallenebilirlik eksikliği, Fourier serileri için birçok ıraksama fenomeninin arkasındadır. Örneğin, düzgün sınırlılık ilkesi, bir Fourier serisinin olduğunu göstermek için kullanılabilir. sürekli işlev oldukça dramatik bir biçimde noktasal olarak yakınsama konusunda başarısız olabilir. Görmek Fourier serilerinin yakınsaması daha fazla detay için.

İlk sonucun kesin bir kanıtı olan ${ displaystyle | D_ {n} | _ {L ^ {1} [0,2 pi]} = Omega ( log n)}$ tarafından verilir

${ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ {2 pi} | D_ {n} (x) | , dx & geq int _ {0} ^ { pi} { frac { | sin [(2n + 1) x] |} {x}} , dx [5pt] & geq sum _ {k = 0} ^ {2n} int _ {k pi} ^ { (k + 1) pi} { frac {| sin (s) |} {s}} , ds [5pt] & geq left | sum _ {k = 0} ^ {2n} int _ {0} ^ { pi} { frac { sin (s)} {(k + 1) pi}} , ds right | [5pt] & = { frac {2} { pi}} H_ {2n + 1} [5pt] & geq { frac {2} { pi}} log (2n + 1), end {hizalı}}}$

Taylor serisi kimliğini kullandık. ${ displaystyle 2 / x leq 1 / | sin (x / 2) |}$ ve nerede ${ displaystyle H_ {n}}$ birinci dereceden harmonik sayılar.

Delta işleviyle ilişki

Al periyodik Dirac delta işlevi,^{[açıklama gerekli ]} bu, gerçek bir değişkenin bir işlevi değil, daha çok bir "genelleştirilmiş işlev "," dağıtım "olarak da adlandırılır ve 2 ile çarpılırπ. Biz alıyoruz kimlik öğesi 2. periyodun fonksiyonları üzerinde evrişim içinπ. Başka bir deyişle, bizde

${ displaystyle f * (2 pi delta) = f}$

her işlev için ƒ dönem 2π. Bu "fonksiyonun" Fourier serisi temsili

${ displaystyle 2 pi delta (x) sim toplamı _ {k = - infty} ^ { infty} e ^ {ikx} = sol (1 + 2 toplamı _ {k = 1} ^ { infty} cos (kx) sağ).}$

Bu nedenle, bu dizinin kısmi toplamlarının dizisi olan Dirichlet çekirdeği, bir yaklaşık kimlik. Soyut olarak konuşursak, ancak yaklaşık bir kimlik değildir. pozitif elemanlar (dolayısıyla yukarıda bahsedilen hatalar).

Trigonometrik kimliğin kanıtı

trigonometrik kimlik

${ displaystyle toplamı _ {k = -n} ^ {n} e ^ {ikx} = { frac { sin ((n + 1/2) x)} { sin (x / 2)}}}$

Bu makalenin başında görüntülenen aşağıdaki gibi tespit edilebilir. Öncelikle, sonlu bir toplamın Geometrik seriler dır-dir

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {k} = a { frac {1-r ^ {n + 1}} {1-r}}.}$

Özellikle bizde

${ displaystyle toplamı _ {k = -n} ^ {n} r ^ {k} = r ^ {- n} cdot { frac {1-r ^ {2n + 1}} {1-r}} .}$

Payı ve paydayı çarpın: ${ displaystyle r ^ {- 1/2}}$, alma

${ displaystyle { frac {r ^ {- n-1/2}} {r ^ {- 1/2}}} cdot { frac {1-r ^ {2n + 1}} {1-r} } = { frac {r ^ {- n-1/2} -r ^ {n + 1/2}} {r ^ {- 1/2} -r ^ {1/2}}}.}$

Durumda ${ displaystyle r = e ^ {ix}}$ sahibiz

${ displaystyle toplamı _ {k = -n} ^ {n} e ^ {ikx} = { frac {e ^ {- (n + 1/2) ix} -e ^ {(n + 1/2) ix}} {e ^ {- ix / 2} -e ^ {ix / 2}}} = { frac {-2i sin ((n + 1/2) x)} {- 2i sin (x / 2)}} = { frac { sin ((n + 1/2) x)} { sin (x / 2)}}}$

gereğince, gerektiği gibi.

Trigonometrik kimliğin alternatif kanıtı

Diziyle başlayın

${ displaystyle 2 pi f (x) = 1 + 2 toplam _ {k = 1} ^ {n} cos (kx).}$

Her iki tarafı da çarpın ${ metin stili sin (x / 2)}$ ve trigonometrik kimliği kullanın

${ displaystyle çünkü (a) sin (b) = { frac { sin (a + b) - sin (a-b)} {2}}}$

toplamdaki şartları azaltmak için.

${ displaystyle 2 pi sin (x / 2) f (x) = sin (x / 2) + toplamı _ {k = 1} ^ {n} sin ((k + { tfrac {1} { 2}}) x) - sin ((k - { tfrac {1} {2}}) x)}$

sonuca kadar olan teleskoplar.

Kimlik çeşidi

Toplam, yalnızca negatif olmayan tam sayıların üzerindeyse (bu, hesaplanırken ortaya çıkabilir ayrık Fourier dönüşümü ortalanmamış), benzer teknikler kullanarak aşağıdaki kimliği gösterebiliriz:

${ displaystyle toplamı _ {k = 0} ^ {N-1} e ^ {ikx} = e ^ {i (N-1) x / 2} { frac { sin (N , x / 2) } { sin (x / 2)}}}$

Ayrıca bakınız

• Fejér çekirdeği

Referanslar

• Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Gerçek Analiz. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN  0-13-458886-X, S. 620 (vollständige Çevrimiçi Sürümü (Google Kitaplar) )
• Podkorytov, A. N. (1988), "Fourier toplamlarının Dirichlet çekirdeğinin bir çokgene göre asimptotik davranışı". Sovyet Matematik Dergisi, 42 (2): 1640–1646. doi: 10.1007 / BF01665052
• Levi, H. (1974), "Dirichlet çekirdeğinin geometrik yapısı". New York Bilimler Akademisi İşlemleri, 36: 640–643. doi: 10.1111 / j.2164-0947.1974.tb03023.x
• "Dirichlet çekirdeği", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın, 2001 [1994]
• Dirichlet-Kernel şirketinde PlanetMath^{[kalıcı ölü bağlantı ]}