Dirac delta işlevi - Dirac delta function

Dirac delta işlevinin üzerinde bir ok bulunan bir çizgiyle şematik gösterimi. Okun yüksekliği genellikle herhangi bir çarpımsal sabitin değerini belirtmek içindir, bu da fonksiyonun altındaki alanı verir. Diğer kural, ok başının yanındaki alanı yazmaktır.

Dirac delta işlevi sınır olarak (anlamında dağıtımlar ) sıfır merkezli dizisinin normal dağılımlar ${displaystyle delta _ {a} (x) = {frac {1} {left | aight | {sqrt {pi}}}} mathrm {e} ^ {- (x / a) ^ {2}}}$ gibi ${displaystyle aightarrow 0}$.

İçinde matematik, Dirac delta işlevi (δ işlevi) bir genelleştirilmiş işlev veya dağıtım fizikçi tarafından tanıtıldı Paul Dirac. İdealleştirilmiş bir yoğunluğu modellemek için kullanılır. nokta kütlesi veya puan ücreti olarak işlevi sıfır dışında her yerde sıfıra eşittir ve kimin integral tüm gerçek çizgi boyunca bire eşittir.^[1][2][3] Bu özelliklere sahip bir işlev olmadığı için, teorik fizikçiler tarafından yapılan hesaplamalar matematikçilere saçma gibi göründü. Laurent Schwartz hesaplamaları resmileştirmek ve doğrulamak. Dağıtım olarak Dirac delta işlevi bir doğrusal işlevsel her işlevi sıfırdaki değeriyle eşler.^[4][5] Kronecker deltası Genellikle ayrık bir alanda tanımlanan ve 0 ve 1 değerlerini alan fonksiyon, Dirac delta fonksiyonunun ayrı bir analogudur.

Mühendislikte ve sinyal işleme delta işlevi, aynı zamanda birim dürtü sembol^[6] onun aracılığıyla kabul edilebilir Laplace dönüşümü a'nın sınır değerlerinden geldiği gibi karmaşık analitik karmaşık bir değişkenin işlevi. Bu işlevin uyduğu biçimsel kurallar, operasyonel hesap, standart bir fizik ve mühendislik araç kiti. Birçok uygulamada, Dirac delta bir tür sınır (a zayıf limit ) bir sıra kökeninde yüksek bir artışa sahip olan fonksiyonlar (dağılımlar teorisinde bu gerçek bir sınırdır). Dizinin yaklaşık fonksiyonları bu nedenle "yaklaşık" veya "yeni oluşan" delta fonksiyonlarıdır.

Motivasyon ve genel bakış

grafik delta fonksiyonunun genellikle bütününü takip ettiği düşünülür. xeksen ve pozitif yeksen.^[7]:174 Dirac delta, uzun, dar bir sivri uç işlevini modellemek için kullanılır (bir dürtü) ve diğer benzer soyutlamalar gibi puan ücreti, nokta kütlesi veya elektron nokta. Örneğin, hesaplamak için dinamikler bir Bilardo topu vurulmak, yaklaşık olarak güç delta işlevinin etkisinin Bunu yaparken, kişi sadece denklemleri basitleştirmekle kalmaz, aynı zamanda hesaplama da yapabilir. hareket atom altı seviyelerde tüm elastik enerji transferinin detaylı bir modeli olmadan (örneğin) çarpışmanın toplam itkisini dikkate alarak topun

Spesifik olmak gerekirse, bir bilardo topunun dinlendiğini varsayalım. Zamanda ${displaystyle t = 0}$ ona başka bir top çarptığında itme P, içinde ${displaystyle {ext {kg m}} / {ext {s}}}$. Moleküler ve atom altı seviyedeki elastik süreçlerin aracılık ettiği momentum değişimi aslında anlık değildir, ancak pratik amaçlar için bu enerji transferinin etkili bir şekilde anlık olduğunu düşünmek uygundur. güç bu nedenle ${displaystyle Pdelta (t)}$. (Birimleri ${displaystyle delta (t)}$ vardır ${displaystyle s ^ {- 1}}$.)

Bu durumu daha titiz bir şekilde modellemek için, bunun yerine kuvvetin küçük bir zaman aralığında eşit olarak dağıtıldığını varsayalım. ${displaystyle Delta t}$. Yani,

${displaystyle F_ {Delta t} (t) = {egin {case} P / Delta t & 0$

Sonra herhangi bir zamanda ivme t entegrasyonla bulunur:

${displaystyle p (t) = int _ {0} ^ {t} F_ {Delta t} (au), d au = {egin {case} P & t> Delta t Pt / Delta t & 0$

Şimdi, anlık bir momentum transferinin model durumu, limiti şu şekilde almayı gerektirir: ${displaystyle Delta t o 0}$, veren

${displaystyle p (t) = {egin {vakalar} P & t> 0 0 & tleq 0.son {vakalar}}}$

İşte fonksiyonlar ${displaystyle F_ {Delta t}}$ anlık momentum aktarımı fikrine yararlı yaklaşımlar olarak düşünülmektedir.

Delta işlevi, bu yaklaşımların idealleştirilmiş bir sınırını oluşturmamıza izin verir. Ne yazık ki, işlevlerin gerçek sınırı (anlamında noktasal yakınsama ) ${displaystyle lim _ {Delta t o 0} F_ {Delta t}}$ her yerde sıfırdır ancak sonsuz olduğu tek bir noktadır. Delta işlevini doğru bir şekilde anlamak için, bunun yerine özelliğin

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} F_ {Delta t} (t), dt = P,}$

hangisi herkes için geçerli ${displaystyle Delta t> 0}$, limiti tutmaya devam etmelidir. Yani denklemde ${displaystyle F (t) = Pdelta (t) = lim _ {Delta t o 0} F_ {Delta t} (t)}$limitin her zaman alındığı anlaşılıyor integralin dışında.

Uygulamalı matematikte, burada yaptığımız gibi, delta işlevi genellikle bir tür sınır (a zayıf limit ) bir sıra her bir üyenin başlangıç ​​noktasında yüksek bir sivri uç bulunan işlevler: örneğin, bir dizi Gauss dağılımları ile başlangıç ​​noktasında varyans sıfıra meyilli.

Adına rağmen, delta işlevi gerçekten bir işlev değildir, en azından normal bir işlev değildir. gerçek sayılar. Örneğin nesneler f(x) = δ(x) ve g(x) = 0 dışında her yerde eşittir x = 0 ancak farklı integrallere sahip. Göre Lebesgue entegrasyon teorisi, Eğer f ve g böyle işlevlerdir f = g neredeyse heryerde, sonra f entegre edilebilir ancak ve ancak g integrallenebilir ve integralleri f ve g Özdeş. Dirac delta işlevini bir matematiksel nesne kendi başına gerektirir teori ölçmek veya teorisi dağıtımlar.

Tarih

Joseph Fourier şimdi denen şeyi sundu Fourier integral teoremi tezinde Théorie analytique de la chaleur şeklinde:^[8]

${displaystyle f (x) = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty} dalpha, f (alpha) int _ {- infty} ^ {infty} dp cos (px-palpha), }$

girişiyle aynı şey olan δ- formdaki işlev:^[9]

${displaystyle delta (x-alpha) = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty} dp cos (px-palpha).}$

Sonra, Augustin Cauchy teoremi üstel kullanarak ifade etti:^[10][11]

${displaystyle f (x) = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {ipx} sol (int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- ipalpha} f (alfa) dalpha ight) dp.}$

Cauchy, bazı durumlarda sipariş bu sonuçtaki entegrasyon önemli (kontrast Fubini teoremi ).^[12][13]

Kullanılarak gerekçelendirildiği gibi dağılımlar teorisi, Cauchy denklemi, Fourier'nin orijinal formülasyonuna benzeyecek şekilde yeniden düzenlenebilir ve δ-işlev olarak

${displaystyle {egin {hizalı} f (x) & = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {ipx} sol (int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- ipalpha} f (alfa) dalpha ight) dp [4pt] & = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty} left (int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {ipx} e ^ {- ipalpha} dpight) f (alfa) dalpha = int _ {- infty} ^ {infty} delta (x-alpha) f (alfa) dalpha, end {hizalı}}}$

nerede δ-işlev olarak ifade edilir

${displaystyle delta (x-alpha) = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {ip (x-alpha)} dp.}$

Üstel formun titiz bir yorumu ve fonksiyon üzerindeki çeşitli sınırlamalar f uygulaması için gerekli birkaç yüzyıla yayılmıştır. Klasik bir yorumla ilgili sorunlar şu şekilde açıklanmaktadır:^[14]

Klasik Fourier dönüşümünün en büyük dezavantajı, etkili bir şekilde hesaplanabildiği oldukça dar bir işlevler sınıfıdır (orijinaller). Yani bu işlevlerin yeterince hızlı düşmek Fourier integralinin varlığını sağlamak için sıfıra (sonsuzluk çevresinde). Örneğin, polinomlar gibi basit fonksiyonların Fourier dönüşümü klasik anlamda mevcut değildir. Klasik Fourier dönüşümünün dağılımlara genişletilmesi, dönüştürülebilecek işlevler sınıfını önemli ölçüde genişletti ve bu birçok engeli ortadan kaldırdı.

Diğer gelişmeler, Fourier integralinin genelleştirilmesini içeriyordu, " Plancherel çığır açan L²-teori (1910), devam ediyor Wiener ve Bochner's (1930 civarı) çalışır ve birleşme ile sonuçlanır. L. Schwartz's teorisi dağıtımlar (1945) ...",^[15] ve Dirac delta işlevinin biçimsel gelişimine yol açar.

Bir sonsuz küçük sonsuz yükseklikte, birim dürtü delta işlevi için formül (sonsuz küçük Cauchy dağılımı ) bir 1827 metninde açıkça görülüyor Augustin Louis Cauchy.^[16] Siméon Denis Poisson dalga yayılımı çalışmasıyla bağlantılı olarak sorunu ele aldı Gustav Kirchhoff biraz sonra. Kirchhoff ve Hermann von Helmholtz ayrıca birim itici gücü bir sınır olarak getirdi Gausslular aynı zamanda karşılık gelen Lord Kelvin nokta ısı kaynağı kavramı. 19. yüzyılın sonunda, Oliver Heaviside resmi kullanılmış Fourier serisi birim dürtüyü değiştirmek için.^[17] Dirac delta işlevi, bu şekilde "uygun gösterim" olarak tanıtıldı. Paul Dirac 1930 tarihli etkileyici kitabında Kuantum Mekaniğinin Prensipleri.^[18] Kesikli fonksiyonun sürekli bir analoğu olarak kullandığı için buna "delta fonksiyonu" adını verdi. Kronecker deltası.

Tanımlar

Dirac deltası, sonsuz olduğu başlangıç ​​noktası dışında her yerde sıfır olan gerçek çizgi üzerinde bir fonksiyon olarak gevşek bir şekilde düşünülebilir.

${displaystyle delta (x) = {egin {case} + infty, & x = 0 0, & xeq 0end {case}}}$

ve kimliği tatmin etmek için de kısıtlanmış olan

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} delta (x), dx = 1.}$^[19]

Bu sadece bir sezgisel karakterizasyon. Dirac deltası, gerçek sayılar üzerinde tanımlanan hiçbir fonksiyon bu özelliklere sahip olmadığından, geleneksel anlamda bir fonksiyon değildir.^[18] Dirac delta işlevi, katı bir şekilde bir dağıtım veya olarak ölçü.

Ölçü olarak

Dirac delta işlevi kavramını titizlikle yakalamanın bir yolu, bir ölçü, aranan Dirac ölçüsü, bir alt kümeyi kabul eden Bir gerçek çizginin R argüman olarak ve geri döner δ(Bir) = 1 Eğer 0 ∈ Bir, ve δ(Bir) = 0 aksi takdirde.^[20] Delta fonksiyonu, 0'da idealleştirilmiş bir nokta kütlesinin modellenmesi olarak kavramsallaştırılırsa, δ(Bir) sette bulunan kütleyi temsil eder Bir. Daha sonra integral tanımlanabilir δ bu kütle dağılımına karşı bir fonksiyonun integrali olarak. Resmen, Lebesgue integrali gerekli analitik cihazı sağlar. Ölçüye göre Lebesgue integrali δ tatmin eder

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} f (x), delta {dx} = f (0)}$

tüm sürekli kompakt olarak desteklenen işlevler için f. Ölçüm δ değil kesinlikle sürekli saygıyla Lebesgue ölçümü - aslında, bu bir tekil ölçü. Sonuç olarak, delta ölçüsünün Radon-Nikodym türevi (Lebesgue ölçüsüne göre) - özelliğin sahip olduğu gerçek işlev yok

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} f (x) delta (x), dx = f (0)}$

tutar.^[21] Sonuç olarak, ikinci gösterim uygun bir gösterimin kötüye kullanılması ve standart değil (Riemann veya Lebesgue ) integral.

Olarak olasılık ölçüsü açık Rdelta ölçüsü, kümülatif dağılım fonksiyonu, hangisi birim adım işlevi^[22]

${displaystyle H (x) = {egin {case} 1 & {ext {if}} xgeq 0 0 & {ext {if}} x <0end {case}}}$

Bu şu demek H(x) kümülatifin integralidir gösterge işlevi 1_{(−∞, x]} önlemle ilgili olarak δ; zekaya

${displaystyle H (x) = int _ {mathbf {R}} mathbf {1} _ {(- infty, x]} (t), delta {dt} = delta (-infty, x],}$

ikincisi bu aralığın ölçüsüdür; daha resmi, ${displaystyle delta {ig (} (- infty, x] {ig)}.}$Bu nedenle, özellikle delta fonksiyonunun sürekli bir fonksiyona karşı integrali, bir Riemann – Stieltjes integrali:^[23]

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} f (x) delta {dx} = int _ {- infty} ^ {infty} f (x), dH (x).}$

Hepsi daha yüksek anlar nın-nin δ sıfırdır. Özellikle, karakteristik fonksiyon ve an oluşturma işlevi her ikisi de bire eşittir.

Dağıtım olarak

Teorisinde dağıtımlar genelleştirilmiş bir işlev, kendi başına bir işlev olarak değil, yalnızca onlara karşı "entegre edildiğinde" diğer işlevleri nasıl etkilediğiyle ilişkili olarak kabul edilir.^[24]:41 Bu felsefeye uygun olarak, delta fonksiyonunu doğru bir şekilde tanımlamak için, delta fonksiyonunun "integralinin" yeterince "iyi" ye karşı ne olduğunu söylemek yeterlidir. test fonksiyonu φ. Test fonksiyonları aynı zamanda çarpma işlevleri. Eğer delta fonksiyonu zaten bir ölçü olarak anlaşılmışsa, o zaman bu ölçüme karşı bir test fonksiyonunun Lebesgue integrali gerekli integrali sağlar.

Tipik bir test işlevleri alanı tüm pürüzsüz fonksiyonlar açık R ile Yoğun destek gerektiği kadar çok türeve sahip olanlar. Dağıtım olarak Dirac deltası bir doğrusal işlevsel test fonksiyonları alanında ve şu şekilde tanımlanır:^[25]

${displaystyle delta [varphi] = varphi (0)}$

(1)

her test işlevi için ${displaystyle varphi}$.

İçin δ düzgün bir dağılım olması için, test fonksiyonlarının uzayında uygun bir topolojide sürekli olması gerekir. Genel olarak, doğrusal bir işlev için S bir dağılımı tanımlamak için test fonksiyonları uzayında, her pozitif tamsayı için gerekli ve yeterlidir. N bir tam sayı var M_N ve sabit C_N öyle ki her test fonksiyonu için φeşitsizlik var^[26]

${displaystyle | S [varphi] | leq C_ {N} toplamı _ {k = 0} ^ {M_ {N}} sup _ {xin [-N, N]} | varphi ^ {(k)} (x) | .}$

İle δ dağıtımda böyle bir eşitsizlik var ( C_N = 1) ile M_N = 0 hepsi için N. Böylece δ sıfır dereceli bir dağılımdır. Ayrıca, kompakt destekli bir dağıtımdır ( destek {0} olmak).

Delta dağılımı aynı zamanda birkaç eşdeğer yolla da tanımlanabilir. Örneğin, dağılım türevi of Heaviside adım işlevi. Bu, her test işlevi için φ, birinde var

${displaystyle delta [varphi] = - int _ {- infty} ^ {infty} varphi '(x) H (x), dx.}$

Sezgisel olarak, eğer Parçalara göre entegrasyon izin verildiği takdirde, son integralin basitleştirmesi gerekir

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} varphi (x) H '(x), dx = int _ {- infty} ^ {infty} varphi (x) delta (x), dx,}$

ve aslında, Stieltjes integrali için parçalarla bir entegrasyon biçimine izin verilir ve bu durumda bir

${displaystyle -int _ {- infty} ^ {infty} varphi '(x) H (x), dx = int _ {- infty} ^ {infty} varphi (x), dH (x).}$

Ölçü teorisi bağlamında, Dirac ölçüsü entegrasyon yoluyla bir dağılıma yol açar. Tersine, denklem (1) bir Daniell integrali kompakt olarak desteklenen tüm sürekli işlevler alanında φ tarafından Riesz temsil teoremi, Lebesgue integrali olarak gösterilebilir φ bazılarına göre Radon ölçümü.

Genellikle, "terimiDirac delta işlevi"ölçülerden çok dağılımlar anlamında kullanılırsa, Dirac ölçüsü ölçü teorisinde karşılık gelen kavram için birkaç terim arasında olmak. Bazı kaynaklar da terimini kullanabilir Dirac delta dağılımı.

Genellemeler

Delta işlevi şu şekilde tanımlanabilir: n-boyutlu Öklid uzayı Rⁿ ölçü olarak

${displaystyle int _ {mathbf {R} ^ {n}} f (mathbf {x}) delta {dmathbf {x}} = f (mathbf {0})}$

kompakt olarak desteklenen her sürekli işlev için f. Ölçü olarak, nboyutlu delta işlevi ürün ölçüsü Her değişkendeki 1 boyutlu delta fonksiyonlarının ayrı ayrı. Bu nedenle, resmi olarak x = (x₁, x₂, ..., x_n), birinde var^[6]

${displaystyle delta (mathbf {x}) = delta (x_ {1}) delta (x_ {2}) cdots delta (x_ {n}).}$

(2)

Delta işlevi, tek boyutlu durumda aynen yukarıdaki gibi dağılımlar anlamında da tanımlanabilir.^[27] Bununla birlikte, mühendislik bağlamlarında yaygın kullanıma rağmen, (2) dikkatli bir şekilde manipüle edilmelidir, çünkü dağıtımların ürünü ancak oldukça dar koşullar altında tanımlanabilir.^[28]

A kavramı Dirac ölçüsü herhangi bir sette mantıklı.^[20] Böylece eğer X bir set x₀ ∈ X işaretli bir noktadır ve Σ herhangi bir sigma cebiri alt kümelerinin yüzdesi X, ardından setler üzerinde tanımlanan ölçü Bir ∈ Σ tarafından

${displaystyle delta _ {x_ {0}} (A) = {egin {case} 1 & {ext {if}} x_ {0} in A 0 & {ext {if}} x_ {0} otin Aend {case}} }$

Delta ölçüsü veya yoğunlaşan birim kütle x₀.

Delta işlevinin diğer bir yaygın genellemesi, türevlenebilir manifold bir dağıtım olarak özelliklerinin çoğunun aynı zamanda ayırt edilebilir yapı. Bir manifold üzerindeki delta işlevi M noktada ortalanmış x₀ ∈ M aşağıdaki dağıtım olarak tanımlanır:

${displaystyle delta _ {x_ {0}} [varphi] = varphi (x_ {0})}$

(3)

kompakt olarak desteklenen tüm gerçek değerli işlevler için φ açık M.^[29] Bu yapının ortak bir özel durumu, M bir açık küme Öklid uzayında Rⁿ.

Bir yerel olarak kompakt Hausdorff uzayı XDirac delta ölçüsü bir noktada yoğunlaştı x ... Radon ölçümü Daniell integrali ile ilişkili (3) kompakt olarak desteklenen sürekli işlevler hakkında φ.^[30] Bu genellik düzeyinde, bu haliyle analiz artık mümkün değildir, ancak soyut analizden çeşitli teknikler mevcuttur. Örneğin, haritalama ${displaystyle x_ {0} mapsto delta _ {x_ {0}}}$ sürekli bir yerleştirmedir X sonlu Radon ölçümlerinin uzayına Xile donatılmış belirsiz topoloji. Dahası, dışbükey örtü görüntüsünün X bu yerleştirmenin altında yoğun olasılık ölçüleri alanında X.^[31]

Özellikleri

Ölçekleme ve simetri

Delta işlevi, sıfır olmayan bir skaler α için aşağıdaki ölçeklendirme özelliğini karşılar:^[32]

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} delta (alpha x), dx = int _ {- infty} ^ {infty} delta (u), {frac {du} {| alpha |}} = {frac { 1} {| alfa |}}}$

ve bu yüzden

${displaystyle delta (alfa x) = {frac {delta (x)} {| alfa |}}.}$

(4)

Kanıt:

${displaystyle delta (alpha x) = lim _ {a o 0} {frac {1} {| a | {sqrt {pi}}}} e ^ {- (alpha x / a) ^ {2}} qquad {ext {beri}} a {ext {bir kukla değişken, biz ayarladık}} a = alfa b}$

${displaystyle = lim _ {b o 0} {frac {1} {| alpha b | {sqrt {pi}}}} e ^ {- (alfa x / (alfa b)) ^ {2}}}$

${displaystyle = lim _ {b o 0} {frac {1} {| alpha |}} {frac {1} {| b | {sqrt {pi}}}} e ^ {- (x / b) ^ {2 }} = {frac {1} {| alfa |}} delta (x)}$

Özellikle, delta işlevi bir hatta dağıtım, anlamında

${displaystyle delta (-x) = delta (x)}$

hangisi homojen −1 derece.

Cebirsel özellikler

dağıtım ürünü nın-nin δ ile x sıfıra eşittir:

${displaystyle xdelta (x) = 0.}$

Tersine, eğer xf(x) = xg(x), nerede f ve g dağıtımlardır, o zaman

${displaystyle f (x) = g (x) + cdelta (x)}$

bazı sabitler için c.^[33]

Tercüme

Zaman gecikmeli Dirac deltanın integrali^[34]:276

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} f (t) delta (t-T), dt = f (T).}$

Bu bazen eleme özelliği^[35] ya da örnekleme özelliği.^[36]:15 Delta işlevinin, değerin "elenmesi" olduğu söylenir. t = T.^[37]:40

Bunu şu şekilde izler: kıvrımlı bir işlev f(t) gecikmeli Dirac deltası ile ${displaystyle delta _ {T} (t) = delta (t-T)}$zaman geciktirmek f(t) aynı miktarda:

${displaystyle (f * delta _ {T}) (t)}$	${displaystyle {stackrel {mathrm {def}} {=}} int _ {- infty} ^ {infty} f (au) delta (t-T- au), d au}$
	${displaystyle = int limitler _ {- infty} ^ {infty} f (au) delta (au - (t-T)), d au}$ (kullanarak (4): ${displaystyle delta (-x) = delta (x)}$)
	${displaystyle = f (t-T).}$

Bu kesin koşul altında geçerlidir f olmak temperli dağıtım (Fourier dönüşümü tartışmasına bakın altında ). Özel bir durum olarak, örneğin, kimliğimiz var (dağıtım anlamında anlaşıldı)

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} delta (xi -x) delta (x-eta), dx = delta (eta -xi).}$

İşlevli kompozisyon

Daha genel olarak, delta dağılımı bestelenmiş pürüzsüz bir işleve sahip g(x) değişken formülündeki tanıdık değişimin geçerli olacağı şekilde,

${displaystyle int _ {mathbf {R}} delta {igl (} g (x) {igr)} f {igl (} g (x) {igr)} | g '(x) |, dx = int _ {g (mathbf {R})} delta (u) f (u), du}$

şartıyla g bir sürekli türevlenebilir ile işlev g′ Hiçbir yerde sıfır.^[38] Yani, dağıtıma anlam atamanın benzersiz bir yolu var. ${displaystyle delta circ g}$ böylece bu kimlik kompakt olarak desteklenen tüm test işlevleri için geçerlidir f. Bu nedenle, alan adının ayrılması gerekir. g′ = 0 puan. Bu dağılım tatmin ediyor δ(g(x)) = 0 Eğer g sıfır değil, aksi takdirde eğer g gerçek kök -de x₀, sonra

${displaystyle delta (g (x)) = {frac {delta (x-x_ {0})} {| g '(x_ {0}) |}}.}$

Bu nedenle doğaldır tanımlamak kompozisyon δ(g(x)) sürekli türevlenebilir fonksiyonlar için g tarafından

${displaystyle delta (g (x)) = toplam _ {i} {frac {delta (x-x_ {i})} {| g '(x_ {i}) |}}}$

toplamın tüm köklere yayıldığı g(x) olduğu varsayılır basit.^[38] Böylece, örneğin

${displaystyle delta left (x ^ {2} -alpha ^ {2} ight) = {frac {1} {2 | alpha |}} {Büyük [} delta sol (x + alfa ışık) + delta sol (x-alfa ight) {Büyük]}.}$

İntegral formda genelleştirilmiş ölçekleme özelliği şu şekilde yazılabilir:

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} f (x), delta (g (x)), dx = toplam _ {i} {frac {f (x_ {i})} {| g '(x_ { i}) |}}.}$

Özellikleri n boyutları

Bir delta dağılımı nboyutlu uzay bunun yerine aşağıdaki ölçekleme özelliğini karşılar,

${displaystyle delta (alpha mathbf {x}) = | alpha | ^ {- n} delta (mathbf {x}) ~,}$

Böylece δ bir homojen derece dağılımı -n.

Herhangi birinin altında yansıma veya rotasyon ρ, delta fonksiyonu değişmezdir,

${displaystyle delta (ho mathbf {x}) = delta (mathbf {x}) ~.}$

Tek değişkenli durumda olduğu gibi, kompozisyonunu tanımlamak mümkündür. δ Birlikte bi-Lipschitz işlevi^[39] g: Rⁿ → Rⁿ benzersiz şekilde böylece kimlik

${displaystyle int _ {mathbf {R} ^ {n}} delta (g (mathbf {x})), f (g (mathbf {x})) sol | det g '(mathbf {x}) ight |, dmathbf {x} = int _ {g (mathbf {R} ^ {n})} delta (mathbf {u}) f (mathbf {u}), dmathbf {u}}$

kompakt olarak desteklenen tüm işlevler için f.

Kullanmak coarea formülü itibaren geometrik ölçü teorisi delta işlevinin bileşimi bir dalma bir Öklid mekanından diğerine farklı boyutta; sonuç bir tür akım. Sürekli türevlenebilir bir fonksiyonun özel durumunda g: Rⁿ → R öyle ki gradyan nın-nin g hiçbir yerde sıfır değil, aşağıdaki kimlik geçerli^[40]

${displaystyle int _ {mathbf {R} ^ {n}} f (mathbf {x}), delta (g (mathbf {x})), dmathbf {x} = int _ {g ^ {- 1} (0) } {frac {f (mathbf {x})} {| mathbf {abla} g |}}, dsigma (mathbf {x})}$

sağdaki integralin bittiği yer g⁻¹(0), (n − 1)ile tanımlanan boyutsal yüzey g(x) = 0 saygıyla Minkowski içeriği ölçü. Bu bir basit katman integral.

Daha genel olarak, eğer S pürüzsüz bir hiper yüzeydir Rⁿ, sonra ilişkilendirebiliriz S kompakt olarak desteklenen herhangi bir düzgün işlevi entegre eden dağıtım g bitmiş S:

${displaystyle delta _ {S} [g] = int _ {S} g (mathbf {s}), dsigma (mathbf {s})}$

σ, ilişkili hiper yüzey ölçüsüdür S. Bu genelleme, potansiyel teori nın-nin basit katman potansiyelleri açık S. Eğer D bir alan adı içinde Rⁿ pürüzsüz sınır ile S, sonra δ_S eşittir normal türev of gösterge işlevi nın-nin D dağıtım anlamında,

${displaystyle -int _ {mathbf {R} ^ {n}} g (mathbf {x}), {frac {kısmi 1_ {D} (mathbf {x})} {kısmi n}}; dmathbf {x} = int _ {S}, g (mathbf {s}); dsigma (mathbf {s}),}$

nerede n dışa doğru normaldir.^[41][42] Kanıt için bkz. Ör. ile ilgili makale yüzey delta işlevi.

Fourier dönüşümü

Delta işlevi bir temperli dağıtım ve bu nedenle iyi tanımlanmış bir Fourier dönüşümü. Resmen, biri bulur^[43]

${displaystyle {widehat {delta}} (xi) = int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- 2pi ixxi} delta (x), dx = 1.}$

Düzgün bir şekilde konuşursak, bir dağılımın Fourier dönüşümü empoze edilerek tanımlanır kendi kendine eşleşme dualite eşleşmesi altında Fourier dönüşümünün ${displaystyle langle cdot, cdot angle}$ ile temperlenmiş dağılımların Schwartz fonksiyonları. Böylece ${displaystyle {widehat {delta}}}$ tatmin edici benzersiz temperlenmiş dağıtım olarak tanımlanır

${displaystyle langle {widehat {delta}}, varphi angle = langle delta, {widehat {varphi}} angle}$

tüm Schwartz fonksiyonları için ${displaystyle varphi}$. Ve gerçekten de bundan şu sonuç çıkar: ${displaystyle {widehat {delta}} = 1.}$

Bu kimliğin bir sonucu olarak, kıvrım delta fonksiyonunun diğer herhangi bir temperlenmiş dağılımla S basitçe S:

${displaystyle S * delta = S.}$

Bu demek ki δ bir kimlik öğesi tavlanmış dağılımlarda evrişim için ve aslında evrişim altında kompakt olarak desteklenen dağılımların alanı bir ilişkisel cebir kimlik ile delta işlevi. Bu özellik, sinyal işleme, normal dağılımlı evrişim bir doğrusal zamanla değişmeyen sistem ve doğrusal zamanla değişmeyen sistemi uygulamak, dürtü yanıtı. Darbe tepkisi, aşağıdakiler için uygun bir yaklaşım seçilerek istenen herhangi bir doğruluk derecesine göre hesaplanabilir. δve bir kez bilindiğinde, sistemi tamamen karakterize eder. Görmek LTI sistem teorisi § İmpuls cevabı ve evrişim.

Tavlanmış dağılımın ters Fourier dönüşümü f(ξ) = 1, delta fonksiyonudur. Resmi olarak bu ifade edilir

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} 1cdot e ^ {2pi ixxi}, dxi = delta (x)}$

ve daha titiz bir şekilde,

${displaystyle langle 1, {widehat {f}} açı = f (0) = langle delta, fangle}$

tüm Schwartz fonksiyonları için f.

Bu terimlerle delta fonksiyonu, Fourier çekirdeğinin ortogonallik özelliğinin anlamlı bir ifadesini sağlar. R. Resmen, biri var

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {i2pi xi _ {1} t} sol [e ^ {i2pi xi _ {2} t} ight] ^ {*}, dt = int _ {- infty } ^ {infty} e ^ {- i2pi (xi _ {2} -xi _ {1}) t}, dt = delta (xi _ {2} -xi _ {1}).}$

Bu, elbette, temperlenmiş dağılımın Fourier dönüşümü iddiasının kısaltmasıdır.

${displaystyle f (t) = e ^ {i2pi xi _ {1} t}}$

dır-dir

${displaystyle {widehat {f}} (xi _ {2}) = delta (xi _ {1} -xi _ {2})}$

Fourier dönüşümünün kendine-eşliğini empoze ederek bunu takip eder.

Tarafından analitik devam Fourier dönüşümünün Laplace dönüşümü delta işlevinin^[44]

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} delta (t-a) e ^ {- st}, dt = e ^ {- sa}.}$

Dağıtım türevleri

Dirac delta dağılımının dağılım türevi, dağılımdır δ′ Kompakt olarak desteklenen sorunsuz test işlevlerinde tanımlanmıştır φ tarafından^[45]

${displaystyle delta '[varphi] = - delta [varphi'] = - varphi '(0).}$

Buradaki ilk eşitlik, parçalara göre bir tür entegrasyondur. δ o zamanlar gerçek bir işlevdi

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} delta '(x) varphi (x), dx = -int _ {- infty} ^ {infty} delta (x) varphi' (x), dx.}$

k-nin türevi δ benzer şekilde test fonksiyonlarında verilen dağılım olarak tanımlanır.

${displaystyle delta ^ {(k)} [varphi] = (- 1) ^ {k} varphi ^ {(k)} (0).}$

Özellikle, δ sonsuz derecede türevlenebilir bir dağılımdır.

Delta fonksiyonunun ilk türevi, fark bölümlerinin dağılım sınırıdır:^[46]

${displaystyle delta '(x) = lim _ {h o 0} {frac {delta (x + h) -delta (x)} {h}}.}$

Daha doğrusu,

${displaystyle delta '= lim _ {h o 0} {frac {1} {h}} (au _ ​​{h} delta -delta)}$

nerede τ_h çeviri operatörüdür, işlevler üzerinde tanımlanır: τ_hφ(x) = φ(x + h)ve bir dağıtımda S tarafından

${displaystyle (au _ ​​{h} S) [varphi] = S [au _ {- h} varphi].}$

Teorisinde elektromanyetizma delta fonksiyonunun ilk türevi bir manyetik noktayı temsil eder dipol kökeninde bulunur. Buna göre, bir dipol veya ikili işlevi.^[47]

Delta işlevinin türevi, aşağıdakiler dahil bir dizi temel özelliği karşılar:

${displaystyle {egin {hizalı} ve {frac {d} {dx}} delta (-x) = {frac {d} {dx}} delta (x) [8pt] ve delta '(-x) = - delta' (x) [8pt] & xdelta '(x) = - delta (x). uç {hizalı}}}$^[48]

Bu özelliklerin sonuncusu, dağılımsal türev tanımı, Liebnitz teoremi ve iç çarpımın doğrusallığı uygulanarak kolayca gösterilebilir:

${extstyle langle xdelta ', varphi angle, =, langle delta', xvarphi angle, =, - langle delta, (xvarphi) 'angle, =, - langle delta, x'varphi + xvarphi' angle, =, - langle delta, x'varphi açısı -langle delta, xvarphi 'açı, =, - x' (0) varphi (0) -x (0) varphi '(0)}$ ${extstyle =, - x '(0) langle delta, varphi angle -x (0) langle delta, varphi' angle, =, - x '(0) langle delta, varphi angle + x (0) langle delta', varphi açı, =, langle x (0) delta '-x' (0) delta, varphi angle}$${extstyle Longrightarrow x (t) delta '(t) = x (0) delta' (t) -x '(0) delta (t) = - x' (0) delta (t) = - delta (t)}$^[49]

Ayrıca, evrişim δ′ Kompakt bir şekilde desteklenen pürüzsüz bir işleve sahip f dır-dir

${displaystyle delta '* f = delta * f' = f ',}$

bu, bir evrişimin dağılım türevinin özelliklerinden çıkar.

Daha yüksek boyutlar

Daha genel olarak, bir açık küme U içinde n-boyutlu Öklid uzayı RⁿDirac delta dağıtımı bir noktada merkezlenmiş a ∈ U tarafından tanımlanır^[50]

${displaystyle delta _ {a} [varphi] = varphi (a)}$

hepsi için φ ∈ S(U), kompakt bir şekilde desteklenen tüm işlevlerin alanı U. Eğer α = (α₁, ..., α_n) herhangi biri çoklu dizin ve ∂^α ilişkili karmayı gösterir kısmi türev operatör, ardından αtürev ∂^αδ_a nın-nin δ_a tarafından verilir^[50]

${displaystyle leftlangle kısmi ^ {alpha} delta _ {a}, varphi ightangle = (- 1) ^ {| alpha |} leftlangle delta _ {a}, kısmi ^ {alpha} değişken ightangle = (- 1) ^ {| alfa |} kısmi ^ {alfa} varphi (x) {Büyük |} _ {x = a} {ext {for all}} varphi, S (U).}$

Yani αtürevi δ_a herhangi bir test fonksiyonundaki değeri olan dağılımdır φ ... αtürevi φ -de a (uygun pozitif veya negatif işaretli).

Delta fonksiyonunun ilk kısmi türevleri şöyle düşünülür: çift ​​katmanlar koordinat düzlemleri boyunca. Daha genel olarak, normal türev Bir yüzey üzerinde desteklenen basit bir katmanın, bu yüzey üzerinde desteklenen bir çift katmandır ve bir laminer manyetik monopolü temsil eder. Delta fonksiyonunun daha yüksek türevleri fizikte şu şekilde bilinir: çok kutuplu.

Daha yüksek türevler matematiğe doğal olarak nokta destekli tüm dağılım yapısı için yapı taşları olarak girer. Eğer S herhangi bir dağıtım U sette destekleniyor {a} tek bir noktadan oluşursa bir tam sayı vardır m ve katsayılar c_α öyle ki^[51]

${displaystyle S = toplam _ {| alfa | leq m} c_ {alfa} kısmi ^ {alfa} delta _ {a}.}$

Delta işlevinin gösterimleri

Delta işlevi, bir dizi işlevin sınırı olarak görülebilir

${displaystyle delta (x) = lim _ {varepsilon o 0 ^ {+}} eta _ {varepsilon} (x),}$

nerede η_ε(x) bazen a olarak adlandırılır yeni oluşan delta işlevi. Bu sınır, zayıf anlamda ifade edilmektedir: ya öyle

${displaystyle lim _ {varepsilon o 0 ^ {+}} int _ {- infty} ^ {infty} eta _ {varepsilon} (x) f (x), dx = f (0)}$

(5)

hepsi için sürekli fonksiyonlar f sahip olmak Yoğun destek veya bu sınırın herkes için geçerli olduğunu pürüzsüz fonksiyonlar f kompakt destekli. Bu iki biraz farklı zayıf yakınsama modu arasındaki fark çoğu zaman incedir: ilki, belirsiz topoloji ölçüler ve ikincisi anlamında yakınsamadır dağıtımlar.

Kimliğe yaklaşımlar

Tipik olarak yeni oluşan bir delta işlevi η_ε aşağıdaki şekilde inşa edilebilir. İzin Vermek η kesinlikle entegre edilebilir bir işlev olmak R Toplam integral 1'e oranla ve tanımla

${displaystyle eta _ {varepsilon} (x) = varepsilon ^ {- 1} eta sol ({frac {x} {varepsilon}} ight).}$

İçinde n boyutlar, biri ölçekleme yerine

${displaystyle eta _ {varepsilon} (x) = varepsilon ^ {- n} eta sol ({frac {x} {varepsilon}} ight).}$

Sonra basit bir değişken değişikliği şunu gösterir: η_ε ayrıca integral 1'e sahiptir. Biri gösterilebilir (5) tüm sürekli kompakt olarak desteklenen işlevler için tutar f,^[52] ve bu yüzden η_ε zayıf bir şekilde birleşir δ ölçü anlamında.

η_ε bu şekilde inşa edilmiş bir kimliğe yaklaşım.^[53] Bu terminoloji, boşluk L¹(R) kesinlikle entegre edilebilir fonksiyonların çalışması altında kapatılır kıvrım fonksiyonların: f ∗ g ∈ L¹(R) her ne zaman f ve g içeride L¹(R). Ancak, içinde kimlik yok L¹(R) evrişim ürünü için: element yok h öyle ki f ∗ h = f hepsi için f. Yine de dizi η_ε şu anlamda böyle bir kimliğe yaklaşıyor:

${displaystyle f * eta _ {varepsilon} o fquad {ext {as}} varepsilon o 0.}$

Bu sınır anlamında geçerlidir ortalama yakınsama (yakınsama L¹). Diğer koşullar η_εörneğin, kompakt bir şekilde desteklenen bir işlevle ilişkili bir yumuşatıcı olması,^[54] noktasal yakınsamayı sağlamak için gereklidir neredeyse heryerde.

Eğer ilk η = η₁ kendisi düzgün ve kompakt bir şekilde desteklendiğinde, sıraya yumuşatıcı. Standart yumuşatıcı seçilerek elde edilir η uygun şekilde normalleştirilmiş olmak çarpma işlevi, Örneğin

${displaystyle eta (x) = {egin {case} e ^ {- {frac {1} {1- | x | ^ {2}}}} & {ext {if}} | x | <1 0 & {ext {if}} | x | geq 1. {vakaları sonlandır}}}$

Gibi bazı durumlarda Sayısal analiz, bir Parçalı doğrusal kimliğe yakınlık arzu edilir. Bu, alınarak elde edilebilir η₁ biri olmak şapka işlevi. Bu seçimle η₁, birinde var

${displaystyle eta _ {varepsilon} (x) = varepsilon ^ {- 1} en fazla sol (1-sol | {frac {x} {varepsilon}} ight |, 0ight)}$

bunların tümü sürekli ve kompakt bir şekilde desteklenmiştir, ancak pürüzsüz değildir ve bu nedenle bir yumuşatıcı değildir.

Olasılıklı düşünceler

Bağlamında olasılık teorisi başlangıçtaki ek koşulu empoze etmek doğaldır. η₁ özdeşliğe bir yaklaşım olarak pozitif olmalıdır, çünkü böyle bir fonksiyon bir olasılık dağılımı. Olasılık dağılımına sahip evrişim bazen elverişlidir çünkü aşmak veya çıktı bir dışbükey kombinasyon ve bu nedenle giriş işlevinin maksimum ve minimum değerleri arasında kalır. Alma η₁ herhangi bir olasılık dağılımı olması ve η_ε(x) = η₁(x/ε)/ε yukarıdaki gibi, kimliğe bir yaklaşıma yol açacaktır. Genel olarak bu, ek olarak, eğer ek olarak, bir delta fonksiyonuna daha hızlı yakınsar. η ortalama 0 ve daha küçük anlara sahiptir. Örneğin, eğer η₁ ... üniforma dağıtımı açık [−1/2, 1/2]olarak da bilinir dikdörtgen fonksiyon, sonra:^[55]

${displaystyle eta _ {varepsilon} (x) = {frac {1} {varepsilon}} operatör adı {rect} left ({frac {x} {varepsilon}} ight) = {egin {case} {frac {1} {varepsilon }}, & - {frac {varepsilon} {2}}$

Başka bir örnek ise Wigner yarım daire dağılımı

${displaystyle eta _ {varepsilon} (x) = {egin {case} {frac {2} {pi varepsilon ^ {2}}} {sqrt {varepsilon ^ {2} -x ^ {2}}} ve - varepsilon$

Bu sürekli ve kompakt bir şekilde desteklenir, ancak pürüzsüz olmadığı için yumuşatıcı değildir.

Yarıgruplar

Yeni oluşan delta fonksiyonları genellikle evrişim olarak ortaya çıkar yarı gruplar.^[56]:748 Bu, konvolüsyonun daha fazla kısıtlanması anlamına gelir. η_ε ile η_δ tatmin etmeli

${displaystyle eta _ {varepsilon} * eta _ {delta} = eta _ {varepsilon + delta}}$

hepsi için ε, δ > 0. Evrişim yarı grupları L¹ yeni oluşan bir delta işlevi oluşturan, yukarıdaki anlamda özdeşliğe her zaman bir yaklaşımdır, ancak yarı grup koşulu oldukça güçlü bir kısıtlamadır.

Uygulamada, delta fonksiyonuna yaklaşan yarı gruplar şu şekilde ortaya çıkar: temel çözümler veya Green fonksiyonları fiziksel olarak motive etmek eliptik veya parabolik kısmi diferansiyel denklemler. Bağlamında Uygulamalı matematik yarıgruplar, bir doğrusal zamanla değişmeyen sistem. Soyut olarak, eğer Bir doğrusal bir operatördür. x, sonra bir evrişim yarı grubu ortaya çıkar başlangıç ​​değeri problemi

${displaystyle {egin {case} {dfrac {kısmi} {kısmi t}} eta (t, x) = Aeta (t, x), dörtlü t> 0 [5pt] displaystyle lim _ {t o 0 ^ {+} } eta (t, x) = delta (x) end {vakalar}}}$

burada sınır, zayıf anlamda her zamanki gibi anlaşılır. Ayar η_ε(x) = η(ε, x) ilişkili yeni delta işlevini verir.

Böyle temel bir çözümden ortaya çıkan fiziksel olarak önemli evrişim yarı gruplarının bazı örnekleri aşağıdakileri içerir.

Isı çekirdeği

ısı çekirdeği, tarafından tanımlanan

${displaystyle eta _ {varepsilon} (x) = {frac {1} {sqrt {2pi varepsilon}}} mathrm {e} ^ {- {frac {x ^ {2}} {2varepsilon}}}}$

zamandaki sonsuz bir teldeki sıcaklığı temsil eder t > 0, telin başlangıcında bir birim ısı enerjisi depolanırsa t = 0. Bu yarı grup, tek boyutlu yapıya göre gelişir. ısı denklemi:

${displaystyle {frac {kısmi u} {kısmi t}} = {frac {1} {2}} {frac {kısmi ^ {2} u} {kısmi x ^ {2}}}.}$

İçinde olasılık teorisi, η_ε(x) bir normal dağılım nın-nin varyans ε ve ortalama 0. Bu, olasılık yoğunluğu zamanda t = ε bir standardın ardından başlangıç ​​noktasından başlayan bir parçacığın pozisyonunun Brown hareketi. Bu bağlamda, yarı grup koşulu daha sonra Markov özelliği Brown hareketi.

Daha yüksek boyutlu Öklid uzayında Rⁿısı çekirdeği

${displaystyle eta _ {varepsilon} = {frac {1} {(2pi varepsilon) ^ {n / 2}}} mathrm {e} ^ {- {frac {xcdot x} {2varepsilon}}},}$

ve aynı fiziksel yoruma sahip, gerekli değişiklikler yapılarak. Aynı zamanda yeni ortaya çıkan bir delta işlevini temsil eder. η_ε → δ dağıtım anlamında ε → 0.

Poisson çekirdeği

Poisson çekirdeği

${displaystyle eta _ {varepsilon} (x) = {frac {1} {pi}} mathrm {Im} left {{frac {1} {x-mathrm {i} varepsilon}} ight} = {frac {1} { pi}} {frac {varepsilon} {varepsilon ^ {2} + x ^ {2}}} = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty} mathrm {e} ^ {mathrm { i} xi x- | varepsilon xi |}; dxi}$

temel çözümdür Laplace denklemi üst yarı düzlemde.^[57] Temsil eder elektrostatik potansiyel in a semi-infinite plate whose potential along the edge is held at fixed at the delta function. The Poisson kernel is also closely related to the Cauchy dağılımı ve Epanechnikov and Gaussian kernel fonksiyonlar.^[58]:81 This semigroup evolves according to the equation

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}}=-left(-{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}ight)^{frac {1}{2}}u(t,x)}$

where the operator is rigorously defined as the Fourier multiplier

${displaystyle {mathcal {F}}left[left(-{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}ight)^{frac {1}{2}}fight](xi )=|2pi xi |{mathcal {F}}f(xi ).}$

Oscillatory integrals

In areas of physics such as dalga yayılımı ve dalga mekaniği, the equations involved are hiperbolik and so may have more singular solutions. As a result, the nascent delta functions that arise as fundamental solutions of the associated Cauchy problems Genellikle salınımlı integraller. An example, which comes from a solution of the Euler–Tricomi equation nın-nin transonik gaz dinamiği,^[59] is the rescaled Airy function

${displaystyle varepsilon ^{-1/3}operatorname {Ai} left(xvarepsilon ^{-1/3}ight).}$

Although using the Fourier transform, it is easy to see that this generates a semigroup in some sense—it is not absolutely integrable and so cannot define a semigroup in the above strong sense. Many nascent delta functions constructed as oscillatory integrals only converge in the sense of distributions (an example is the Dirichlet kernel below), rather than in the sense of measures.

Another example is the Cauchy problem for the dalga denklemi içinde R¹⁺¹:^[60]

${displaystyle { egin{aligned}c^{-2}{frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}}-Delta u&=0u=0,quad {frac {partial u}{partial t}}=delta &qquad { ext{for }}t=0.end{aligned}}}$

Çözüm sen represents the displacement from equilibrium of an infinite elastic string, with an initial disturbance at the origin.

Other approximations to the identity of this kind include the sinc işlevi (used widely in electronics and telecommunications)

${displaystyle eta _{varepsilon }(x)={frac {1}{pi x}}sin left({frac {x}{varepsilon }}ight)={frac {1}{2pi }}int _{-{frac {1}{varepsilon }}}^{frac {1}{varepsilon }}cos(kx);dk}$

ve Bessel işlevi

${displaystyle eta _{varepsilon }(x)={frac {1}{varepsilon }}J_{frac {1}{varepsilon }}left({frac {x+1}{varepsilon }}ight).}$

Plane wave decomposition

One approach to the study of a linear partial differential equation

${displaystyle L[u]=f,}$

nerede L bir diferansiyel operatör açık Rⁿ, is to seek first a fundamental solution, which is a solution of the equation

${displaystyle L[u]=delta .}$

Ne zaman L is particularly simple, this problem can often be resolved using the Fourier transform directly (as in the case of the Poisson kernel and heat kernel already mentioned). For more complicated operators, it is sometimes easier first to consider an equation of the form

${displaystyle L[u]=h}$

nerede h bir düzlem dalga function, meaning that it has the form

${displaystyle h=h(xcdot xi )}$

for some vector ξ. Such an equation can be resolved (if the coefficients of L vardır analitik fonksiyonlar ) tarafından Cauchy – Kovalevskaya teoremi or (if the coefficients of L are constant) by quadrature. So, if the delta function can be decomposed into plane waves, then one can in principle solve linear partial differential equations.

Such a decomposition of the delta function into plane waves was part of a general technique first introduced essentially by Johann Radon, and then developed in this form by Fritz John (1955 ).^[61] Seç k Böylece n + k is an even integer, and for a real number s, koymak

${displaystyle g(s)=operatorname {Re} left[{frac {-s^{k}log(-is)}{k!(2pi i)^{n}}}ight]={ egin{cases}{frac {|s|^{k}}{4k!(2pi i)^{n-1}}}&n{ ext{ odd}}[5pt]-{frac {|s|^{k}log |s|}{k!(2pi i)^{n}}}&n{ ext{ even.}}end{cases}}}$

Sonra δ is obtained by applying a power of the Laplacian to the integral with respect to the unit sphere measure dω of g(x · ξ) için ξ içinde birim küre Sⁿ⁻¹:

${displaystyle delta (x)=Delta _{x}^{(n+k)/2}int _{S^{n-1}}g(xcdot xi ),domega _{xi }.}$

The Laplacian here is interpreted as a weak derivative, so that this equation is taken to mean that, for any test function φ,

${displaystyle varphi (x)=int _{mathbf {R} ^{n}}varphi (y),dy,Delta _{x}^{frac {n+k}{2}}int _{S^{n-1}}g((x-y)cdot xi ),domega _{xi }.}$

The result follows from the formula for the Newton potansiyeli (the fundamental solution of Poisson's equation). This is essentially a form of the inversion formula for the Radon dönüşümü, because it recovers the value of φ(x) from its integrals over hyperplanes. Örneğin, eğer n garip ve k = 1, then the integral on the right hand side is

${displaystyle { egin{aligned}&c_{n}Delta _{x}^{frac {n+1}{2}}int int _{S^{n-1}}varphi (y)|(y-x)cdot xi |,domega _{xi },dy[5pt]={}&c_{n}Delta _{x}^{(n+1)/2}int _{S^{n-1}},domega _{xi }int _{-infty }^{infty }|p|Rvarphi (xi ,p+xcdot xi ),dpend{aligned}}}$

nerede Rφ(ξ, p) is the Radon transform of φ:

${displaystyle Rvarphi (xi ,p)=int _{xcdot xi =p}f(x),d^{n-1}x.}$

An alternative equivalent expression of the plane wave decomposition, from Gelfand & Shilov (1966–1968, I, §3.10), is

${displaystyle delta (x)={frac {(n-1)!}{(2pi i)^{n}}}int _{S^{n-1}}(xcdot xi )^{-n},domega _{xi }}$

için n hatta ve

${displaystyle delta (x)={frac {1}{2(2pi i)^{n-1}}}int _{S^{n-1}}delta ^{(n-1)}(xcdot xi ),domega _{xi }}$

için n garip.

Fourier kernels

Çalışmasında Fourier serisi, a major question consists of determining whether and in what sense the Fourier series associated with a periyodik fonksiyon converges to the function. nth partial sum of the Fourier series of a function f dönem 2π is defined by convolution (on the interval [−π,π]) with the Dirichlet kernel:

${displaystyle D_{N}(x)=sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={frac {sin left((N+{ frac {1}{2}})xight)}{sin(x/2)}}.}$

Böylece,

${displaystyle s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}}$

nerede

${displaystyle a_{n}={frac {1}{2pi }}int _{-pi }^{pi }f(y)e^{-iny},dy.}$

A fundamental result of elementary Fourier series states that the Dirichlet kernel tends to the a multiple of the delta function as N → ∞. This is interpreted in the distribution sense, that

${displaystyle s_{N}(f)(0)=int _{mathbf {R} }D_{N}(x)f(x),dx o 2pi f(0)}$

for every compactly supported pürüzsüz işlevi f. Thus, formally one has

${displaystyle delta (x)={frac {1}{2pi }}sum _{n=-infty }^{infty }e^{inx}}$

on the interval [−π,π].

In spite of this, the result does not hold for all compactly supported sürekli functions: that is D_N does not converge weakly in the sense of measures. The lack of convergence of the Fourier series has led to the introduction of a variety of summability methods in order to produce convergence. Yöntemi Cesàro toplamı yol açar Fejér kernel^[62]

${displaystyle F_{N}(x)={frac {1}{N}}sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={frac {1}{N}}left({frac {sin {frac {Nx}{2}}}{sin {frac {x}{2}}}}ight)^{2}.}$

Fejér kernels tend to the delta function in a stronger sense that^[63]

${displaystyle int _{mathbf {R} }F_{N}(x)f(x),dx o 2pi f(0)}$

for every compactly supported sürekli işlevi f. The implication is that the Fourier series of any continuous function is Cesàro summable to the value of the function at every point.

Hilbert space theory

The Dirac delta distribution is a yoğun tanımlanmış sınırsız doğrusal işlevsel üzerinde Hilbert uzayı L² nın-nin kare integrallenebilir fonksiyonlar. Indeed, smooth compactly support functions are yoğun içinde L², and the action of the delta distribution on such functions is well-defined. In many applications, it is possible to identify subspaces of L² and to give a stronger topoloji on which the delta function defines a sınırlı doğrusal işlevsel.

Sobolev uzayları

Sobolev embedding theorem için Sobolev uzayları on the real line R implies that any square-integrable function f öyle ki

${displaystyle |f|_{H^{1}}^{2}=int _{-infty }^{infty }|{widehat {f}}(xi )|^{2}(1+|xi |^{2}),dxi$

is automatically continuous, and satisfies in particular

${displaystyle delta [f]=|f(0)|$

Böylece δ is a bounded linear functional on the Sobolev space H¹. Equivalently δ bir unsurudur continuous dual space H⁻¹ nın-nin H¹. Daha genel olarak n dimensions, one has δ ∈ H^−s(Rⁿ) sağlanans > n / 2.

Spaces of holomorphic functions

İçinde karmaşık analiz, the delta function enters via Cauchy'nin integral formülü, which asserts that if D is a domain in the karmaşık düzlem with smooth boundary, then

${displaystyle f(z)={frac {1}{2pi i}}oint _{partial D}{frac {f(zeta ),dzeta }{zeta -z}},quad zin D}$

hepsi için holomorf fonksiyonlar f içinde D that are continuous on the closure of D. As a result, the delta function δ_z is represented in this class of holomorphic functions by the Cauchy integral:

${displaystyle delta _{z}[f]=f(z)={frac {1}{2pi i}}oint _{partial D}{frac {f(zeta ),dzeta }{zeta -z}}.}$

Üstelik izin ver H²(∂D) ol Hardy uzayı consisting of the closure in L²(∂D) of all holomorphic functions in D continuous up to the boundary of D. Then functions in H²(∂D) uniquely extend to holomorphic functions in D, and the Cauchy integral formula continues to hold. Özellikle z ∈ D, the delta function δ_z sürekli doğrusal bir işlevdir H²(∂D). This is a special case of the situation in birkaç karmaşık değişken in which, for smooth domains D, Szegő çekirdeği plays the role of the Cauchy integral.^[64]:357

Resolutions of the identity

Given a complete ortonormal taban set of functions {φ_n} in a separable Hilbert space, for example, the normalized özvektörler bir compact self-adjoint operator, any vector f olarak ifade edilebilir

${displaystyle f=sum _{n=1}^{infty }alpha _{n}varphi _{n}.}$

The coefficients {α_n} are found as

${displaystyle alpha _{n}=langle varphi _{n},fangle ,}$

which may be represented by the notation:

${displaystyle alpha _{n}=varphi _{n}^{dagger }f,}$

bir formu sutyen-ket notasyonu of Dirac.^[65] Adopting this notation, the expansion of f alır ikili form:^[66]

${displaystyle f=sum _{n=1}^{infty }varphi _{n}left(varphi _{n}^{dagger }fight).}$

İzin vermek ben belirtmek identity operator on the Hilbert space, the expression

${displaystyle I=sum _{n=1}^{infty }varphi _{n}varphi _{n}^{dagger },}$

denir kimliğin çözümü. When the Hilbert space is the space L²(D) of square-integrable functions on a domain D, the quantity:

${displaystyle varphi _{n}varphi _{n}^{dagger },}$

is an integral operator, and the expression for f yeniden yazılabilir

${displaystyle f(x)=sum _{n=1}^{infty }int _{D},left(varphi _{n}(x)varphi _{n}^{*}(xi )ight)f(xi ),dxi .}$

The right-hand side converges to f içinde L² anlamda. It need not hold in a pointwise sense, even when f is a continuous function. Nevertheless, it is common to abuse notation and write

${displaystyle f(x)=int ,delta (x-xi )f(xi ),dxi ,}$

resulting in the representation of the delta function:^[67]

${displaystyle delta (x-xi )=sum _{n=1}^{infty }varphi _{n}(x)varphi _{n}^{*}(xi ).}$

Uygun bir hileli Hilbert uzayı (Φ, L²(D), Φ*) nerede Φ ⊂ L²(D) contains all compactly supported smooth functions, this summation may converge in Φ*, depending on the properties of the basis φ_n. In most cases of practical interest, the orthonormal basis comes from an integral or differential operator, in which case the series converges in the dağıtım anlamda.^[68]

Infinitesimal delta functions

Cauchy used an infinitesimal α to write down a unit impulse, infinitely tall and narrow Dirac-type delta function δ_α satisfying ${displaystyle int F(x)delta _{alpha }(x)=F(0)}$ in a number of articles in 1827.^[69] Cauchy defined an infinitesimal in Cours d'Analyse (1827) in terms of a sequence tending to zero. Namely, such a null sequence becomes an infinitesimal in Cauchy's and Lazare Carnot terminolojisi.

Standart dışı analiz allows one to rigorously treat infinitesimals. Yazan Yamashita (2007) contains a bibliography on modern Dirac delta functions in the context of an infinitesimal-enriched continuum provided by the hyperreals. Here the Dirac delta can be given by an actual function, having the property that for every real function F birinde var ${displaystyle int F(x)delta _{alpha }(x)=F(0)}$ as anticipated by Fourier and Cauchy.

Dirac comb

A Dirac comb is an infinite series of Dirac delta functions spaced at intervals of T

A so-called uniform "pulse train" of Dirac delta measures, which is known as a Dirac comb, or as the Shah distribution, creates a örnekleme function, often used in dijital sinyal işleme (DSP) and discrete time signal analysis. The Dirac comb is given as the sonsuz toplam, whose limit is understood in the distribution sense,

${displaystyle operatorname {III} (x)=sum _{n=-infty }^{infty }delta (x-n),}$

which is a sequence of point masses at each of the integers.

Up to an overall normalizing constant, the Dirac comb is equal to its own Fourier transform. This is significant because if ${displaystyle f}$ herhangi biri Schwartz işlevi, sonra dönemlendirme nın-nin ${displaystyle f}$ is given by the convolution

${displaystyle (f*operatorname {III} )(x)=sum _{n=-infty }^{infty }f(x-n).}$

Özellikle,

${displaystyle (f*operatorname {III} )^{wedge }={widehat {f}}{widehat {operatorname {III} }}={widehat {f}}operatorname {III} }$

tam olarak Poisson summation formula.^[70]More generally, this formula remains to be true if ${displaystyle f}$ is a tempered distribution of rapid descent or, equivalently, if ${displaystyle {widehat {f}}}$ is a slowly growing, ordinary function within the space of tempered distributions.

Sokhotski – Plemelj teoremi

Sokhotski – Plemelj teoremi, important in quantum mechanics, relates the delta function to the distribution p.v. 1 /x, Cauchy ana değeri of the function 1/x, tarafından tanımlanan

${displaystyle leftlangle operatorname {p.v.} {frac {1}{x}},varphi ightangle =lim _{varepsilon o 0^{+}}int _{|x|>varepsilon }{frac {varphi (x)}{x}},dx.}$

Sokhotsky's formula states that^[71]

${displaystyle lim _{varepsilon o 0^{+}}{frac {1}{xpm ivarepsilon }}=operatorname {p.v.} {frac {1}{x}}mp ipi delta (x),}$

Here the limit is understood in the distribution sense, that for all compactly supported smooth functions f,

${displaystyle lim _{varepsilon o 0^{+}}int _{-infty }^{infty }{frac {f(x)}{xpm ivarepsilon }},dx=mp ipi f(0)+lim _{varepsilon o 0^{+}}int _{|x|>varepsilon }{frac {f(x)}{x}},dx.}$

Relationship to the Kronecker delta

Kronecker deltası δ_ij is the quantity defined by

${displaystyle delta _{ij}={ egin{cases}1&i=j�&iot =jend{cases}}}$