Grothendieck topolojisi - Grothendieck topology

İçinde kategori teorisi bir dalı matematik, bir Grothendieck topolojisi bir kategori üzerindeki yapıdır C nesnelerini yapan C gibi davran açık setler bir topolojik uzay. Grothendieck topolojisi seçimiyle birlikte bir kategoriye site.

Grothendieck topolojileri, bir kavramın aksiyomatize edilmesi açık kapak. Bir Grothendieck topolojisi tarafından sağlanan örtme kavramını kullanarak, kasnaklar bir kategori ve onların kohomoloji. Bu ilk olarak cebirsel geometri ve cebirsel sayı teorisi tarafından Alexander Grothendieck tanımlamak için étale kohomolojisi bir plan. O zamandan beri diğer kohomoloji teorilerini tanımlamak için kullanılmıştır. ℓ-adik kohomoloji, düz kohomoloji, ve kristalin kohomoloji. Grothendieck topolojileri çoğunlukla kohomoloji teorilerini tanımlamak için kullanılsa da, başka uygulamalar da bulmuşlardır. John Tate teorisi katı analitik geometri.

Bir siteyi sıradan bir siteyle ilişkilendirmenin doğal bir yolu vardır. topolojik uzay ve Grothendieck'in teorisi, genel olarak klasik topolojinin bir genellemesi olarak kabul edilir. Yetersiz nokta-kümesi hipotezleri altında, yani ayıklık, bu tamamen doğrudur - ilişkili siteden ölçülü bir alanı kurtarmak mümkündür. Ancak aşağıdaki gibi basit örnekler ayrık topolojik uzay Grothendieck topolojileri kullanılarak tüm topolojik uzayların ifade edilemeyeceğini gösterin. Tersine, topolojik uzaylardan gelmeyen Grothendieck topolojileri vardır.

"Grothendieck topolojisi" terimi anlam olarak değişti. İçinde Artin (1962) şimdi Grothendieck pretopolojisi denen şey anlamına geliyordu ve bazı yazarlar hala bu eski anlamı kullanıyor. Giraud (1964) tanımı kullanmak için değiştirdi elekler Kapaklar yerine. Her Grothendieck pretopolojisi benzersiz bir Grothendieck topolojisi belirlediğinden, çoğu zaman bu pek bir fark yaratmaz, ancak oldukça farklı pretopolojiler aynı topolojiyi verebilir.

Genel Bakış

André Weil ünlü Weil varsayımları bazı özelliklerinin denklemler ile integral katsayılar, geometrik özellikler olarak anlaşılmalıdır. cebirsel çeşitlilik onlar tanımlıyor. Onun varsayımları, bir kohomoloji tanımlayıcı denklemleri hakkında sayı-teorik bilgi veren cebirsel çeşitler teorisi. Bu kohomoloji teorisi "Weil kohomolojisi" olarak biliniyordu, ancak Weil elindeki araçları kullanarak onu inşa edemedi.

1960'ların başında, Alexander Grothendieck étale haritaları yerel analitik izomorfizmlerin cebirsel analogları olarak cebirsel geometriye analitik Geometri. Étale kaplamalarını cebirsel bir analogunu tanımlamak için kullandı. temel grup bir topolojik uzay. Yakında Jean-Pierre Serre étale kaplamaların bazı özelliklerinin, açık daldırma ve sonuç olarak, bunu taklit eden yapılar yapmak mümkün olmuştur. kohomoloji işleci H¹. Grothendieck, Serre'nin fikrini Weil kohomolojisi olacağından şüphelendiği bir kohomoloji teorisini tanımlamak için kullanmanın mümkün olacağını gördü. Bu kohomoloji teorisini tanımlamak için, Grothendieck'in olağan, topolojik açık kaplama kavramını onun yerine étale kaplamaları kullanacak olanla değiştirmesi gerekiyordu. Grothendieck, örtme tanımının soyut olarak nasıl ifade edileceğini de gördü; Grothendieck topolojisinin tanımının geldiği yer burasıdır.

Tanım

Motivasyon

Demetin klasik tanımı topolojik bir uzay ile başlar X. Bir demet, bilgiyi açık kümeleriyle ilişkilendirir. X. Bu bilgiler soyut olarak ifade edilebilir. Ö(X) nesneleri açık alt kümeler olan kategori olmak U nın-nin X ve morfizmleri dahil etme haritaları olan V → U açık setlerin U ve V nın-nin X. Bu tür haritaları arayacağız açık daldırmabağlamında olduğu gibi şemalar. Sonra bir kafa kafesi X bir aykırı işlevci itibaren Ö(X) setler kategorisine ve bir demet, yapıştırma aksiyomu (burada ayırma aksiyomu dahil). Yapıştırma aksiyomu şu terimlerle ifade edilir: noktasal kaplama yani ${displaystyle {U_ {i}}}$ kapakları U ancak ve ancak ${displaystyle igcup _ {i} U_ {i} = U}$. Bu tanımda, ${displaystyle U_ {i}}$ açık bir alt kümesidir X. Grothendieck topolojileri her birinin yerini alır ${displaystyle U_ {i}}$ bütün bir açık alt küme ailesi ile; bu örnekte, ${displaystyle U_ {i}}$ tüm açık daldırma ailesi ile değiştirilir ${displaystyle V_ {ij} o U_ {i}}$. Böyle bir koleksiyona Elek. Noktasal örtme, bir kavramla değiştirilir. kapsayan aile; yukarıdaki örnekte, tümü ${displaystyle {V_ {ij} o U_ {i}} _ {j}}$ gibi ben değişir, kapsayan bir ailedir U. Elekler ve kaplama aileleri aksiyomatize edilebilir ve bu yapıldıktan sonra açık kümeler ve noktasal kaplama, mekanın diğer özelliklerini tanımlayan diğer kavramlarla değiştirilebilir. X.

Elekler

Bir Grothendieck topolojisinde, açık alt kümelerin bir koleksiyonu kavramı U dahil edilme altında kararlı, a kavramı ile değiştirilir Elek. Eğer c içinde verilen herhangi bir nesne C, bir Elek açık c bir yardımcı functor Hom (-, c); (bu Yoneda yerleştirme uygulanan c). Bu durumuda Ö(X), bir elek S açık bir sette U açık alt kümelerinden oluşan bir koleksiyon seçer U dahil edilme durumunda kararlıdır. Daha doğrusu, herhangi bir açık alt küme için bunu düşünün V nın-nin U, S(V) Hom'un bir alt kümesi olacak (V, U), sadece bir elemente sahip olan açık daldırma V → U. Sonra V tarafından "seçilmiş" olarak kabul edilecek S ancak ve ancak S(V) boş değildir. Eğer W alt kümesidir V, sonra bir morfizm var S(V) → S(W) dahil olmak üzere kompozisyon tarafından verilir W → V. Eğer S(V) boş değildir, bunu takip eder S(W) ayrıca boş değildir.

Eğer S bir elek X, ve f: Y → X bir morfizmdir, sonra bırakılan kompozisyondur f elemek Y aradı geri çekmek nın-nin S boyunca file gösterilir f^{${displaystyle ^ {ast}}$}S. Olarak tanımlanır lifli ürün S ×_{Hom (-, X)} Hom (-, Y) Hom'a doğal gömülmesiyle birlikte (-, Y). Her nesne için daha somut olarak Z nın-nin C, f^{${displaystyle ^ {ast}}$}S(Z) = { g: Z → Y | fg ${displaystyle in}$S(Z) }, ve f^{${displaystyle ^ {ast}}$}S Hom'un bir alt işlevi olarak morfizmler üzerindeki etkisini miras alır (-, Y). Klasik örnekte, bir koleksiyonun geri çekilmesi {V_benalt kümesinin} kadarı U bir dahil etme boyunca W → U koleksiyon {V_ben∩W}.

Grothendieck topolojisi

Bir Grothendieck topolojisi J bir kategoride C bir koleksiyon, C'nin her c nesnesi içinüzerinde seçkin elekler cile gösterilir J(c) ve aradı elekleri örten nın-nin c. Bu seçim, aşağıda belirtilen belirli aksiyomlara tabi olacaktır. Önceki örneğe devam edersek, bir elek S açık bir sette U içinde Ö(X), ancak ve ancak tüm açık kümelerin birleşmesi durumunda koruyucu bir elek olacaktır. V hangisi için S(V) boş olmayan eşittir U; başka bir deyişle, eğer ve ancak S bize açık kümelerden oluşan bir koleksiyon verir örtmek U klasik anlamda.

Aksiyomlar

Bir Grothendieck topolojisine koyduğumuz koşullar şunlardır:

• (T 1) (Baz değişikliği) Eğer S üzerini örten bir elek X, ve f: Y → X bir morfizm, sonra geri çekilme f^{${displaystyle ^ {ast}}$}S üzerini örten bir elek Y.
• (T 2) (Yerel karakter) S örtmek Xve izin ver T elemek X. Varsayalım ki her nesne için Y nın-nin C ve her ok f: Y → X içinde S(Y), geri çekme eleği f^{${displaystyle ^ {ast}}$}T üzerini örten bir elek Y. Sonra T üzerini örten bir elek X.
• (Ö 3) (Kimlik) Hom (-, X) bir örtücü elektir X herhangi bir nesne için X içinde C.

Temel değişim aksiyomu, şu fikre karşılık gelir: {U_ben} kapaklar U, sonra {U_ben ∩ V} kapsamalıdır U ∩ V. Yerel karakter aksiyomu şu fikre karşılık gelir: {U_ben} kapaklar U ve {V_ij}_{j ${displaystyle in}$Jben} kapakları U_ben her biri için ben, sonra koleksiyon {V_ij} hepsi için ben ve j kapsamalı U. Son olarak, kimlik aksiyomu, herhangi bir kümenin tüm olası alt kümeleri tarafından kapsanması fikrine karşılık gelir.

Grothendieck pretopolojileri

Aslında, bu aksiyomları geometrik karakterlerinin daha belirgin olduğu başka bir formda koymak, altta yatan kategori olduğunu varsayarak mümkündür. C belirli lifli ürünleri içerir. Bu durumda, elekleri belirtmek yerine, ortak bir ortak etki alanına sahip belirli harita koleksiyonlarının ortak etki alanlarını kapsaması gerektiğini belirtebiliriz. Bu koleksiyonlara aileleri kapsayan. Tüm kapsayan ailelerin koleksiyonu belirli aksiyomları karşılıyorsa, o zaman bunların bir Grothendieck pretopolojisi. Bu aksiyomlar şunlardır:

• (PT 0) (Lifli ürünlerin varlığı) Tüm nesneler için X nın-nin Cve tüm morfizmler için X₀ → X bazı örtücü ailelerde görülen Xve tüm morfizmler için Y → Xlifli ürün X₀ ×_X Y var.
• (PT 1) (Baz değişikliği altında stabilite) Tüm nesneler için X nın-nin C, tüm morfizmler Y → Xve tüm kapsayan aileleri {X_α → X}, aile {X_α ×_X Y → Y} örtücü bir ailedir.
• (PT 2) (Yerel karakter) Eğer {X_α → X} kapsayan bir ailedir ve tümü için α ise, {X_βα → X_α} kapsayan bir ailedir, ardından kompozit ailesidir {X_βα → X_α → X} örtücü bir ailedir.
• (PT 3) (İzomorfizmler) Eğer f: Y → X bir izomorfizmdir, o zaman {f} örtücü bir ailedir.

Herhangi bir pretopoloji için, pretopolojiden bir kaplama ailesi içeren tüm eleklerin toplanması her zaman bir Grothendieck topolojisidir.

Lifli ürünler içeren kategoriler için bir sohbet var. Oklardan oluşan bir koleksiyon verildiğinde {X_α → X}, bir elek oluşturuyoruz S izin vererek S(Y) tüm morfizmlerin kümesi olun Y → X bir okla bu faktör X_α → X. Buna elek denir tarafından oluşturuldu {X_α → X}. Şimdi bir topoloji seçin. Şunu söyle {X_α → X}, ancak ve ancak ürettiği elek, verilen topoloji için bir kaplama eleği ise bir örtücü ailedir. Bunun bir pretopolojiyi tanımladığını kontrol etmek kolaydır.

(PT 3) bazen daha zayıf bir aksiyomla değiştirilir:

• (PT 3 ') (Kimlik) 1 ise_X : X → X kimlik oku, ardından {1_X} örtücü bir ailedir.

(PT 3), (PT 3 ') anlamına gelir, ancak tersi değildir. Bununla birlikte, (PT 0) ila (PT 2) ve (PT 3 ') karşılayan ancak (PT 3) karşılamayan aileleri kapsayan bir koleksiyonumuz olduğunu varsayalım. Bu aileler bir pretopoloji oluşturur. Örtücü ailelerin orijinal koleksiyonunun ürettiği topoloji daha sonra pretopoloji tarafından üretilen topoloji ile aynıdır, çünkü bir izomorfizm tarafından üretilen elek Y → X Hom (-, X). Sonuç olarak, dikkatimizi topolojilere sınırlarsak, (PT 3) ve (PT 3 ') eşdeğerdir.

Siteler ve kasnaklar

İzin Vermek C kategori ol ve izin ver J bir Grothendieck topolojisi olun C. Çift (C, J) a denir site.

Bir kafa kafalı bir kategoride, aykırı bir fonksiyondur C tüm setlerin kategorisine. Bu tanım için unutmayın C bir topolojiye sahip olmak gerekli değildir. Bununla birlikte, bir sahadaki demet, klasik topolojideki kasnaklar gibi yapıştırmaya izin vermelidir. Sonuç olarak, bir demet Ön kafalı olmak için bir sitede F öyle ki tüm nesneler için X ve tüm örtücü elekler S açık X, doğal harita Hom (Hom (-, X), F) → Hom (S, F), dahil edilmesiyle indüklenir S Hom içine (-, X), bir bijeksiyondur. Bir ön kafayla demet arasında kalan yolun ortasında bir ayrılmış ön yaprak, yukarıdaki doğal haritanın tüm elekler için bir eşleştirme değil, sadece bir enjeksiyon olması gerektiği durumlarda S. Bir morfizm ön sargılar veya kasnaklar, fonktorların doğal bir dönüşümüdür. Tüm kasnakların kategorisi C ... topolar site tarafından tanımlanan (C, J).

Kullanmak Yoneda lemma kategoride bir ön kafanın gösterilmesi mümkündür. Ö(X) yukarıda tanımlanan topolojideki bir demettir, ancak ve ancak klasik anlamda bir demet ise.

Pretopolojideki demetlerin özellikle basit bir açıklaması vardır: Her bir kapsayan aile için {X_α → X}, Şema

${displaystyle F (X) ightarrow prod _ {alpha in A} F (X_ {alpha}) {{{} atop longrightarrow} atop {longrightarrow atop {}}} prod _ {alpha, eta in A} F (X_ {alpha } imes _ {X} X_ {eta})}$

olmalı ekolayzer. Ayrılmış bir ön kaf için, ilk okun yalnızca enjekte edilmesi gerekir.

Benzer şekilde, ön sargıları ve kasnakları tanımlanabilir. değişmeli gruplar, yüzükler, modüller, ve benzeri. Bir ön kafaya ihtiyaç duyulabilir F değişmeli gruplar (veya halkalar veya modüller, vb.) kategorisine aykırı bir fonksiyondur veya F tüm kontravaryant functors kategorisindeki bir değişmeli grup (halka, modül, vb.) nesnesi olmak C kümeler kategorisine. Bu iki tanım eşdeğerdir.

Sitelerin örnekleri

Ayrık ve ayrık topolojiler

İzin Vermek C herhangi bir kategori olabilir. Tanımlamak için ayrık topoloji, tüm eleklerin elekleri kapattığını beyan ederiz. Eğer C tüm lifli ürünlere sahiptir, bu, tüm ailelerin aileleri kapsadığını beyan etmeye eşdeğerdir. Tanımlamak için ayrık topolojiolarak da bilinir kaba veya kaotik topoloji^[1] sadece Hom formundaki elekleri beyan ederiz (-, X) elekleri örtmek için. Ayrık topoloji, aileleri kapsayan yalnızca izomorfizmlere sahip olan pretopoloji tarafından oluşturulur. Ayrık alandaki bir demet, ön kafayla aynı şeydir.

Kanonik topoloji

İzin Vermek C herhangi bir kategori olabilir. Yoneda yerleştirme işlevi bir işlev Hom verir (-, X) her nesne için X nın-nin C. kanonik topoloji en büyük (en iyi) topolojidir, öyle ki her temsil edilebilir ön kafaya, yani Hom formunun ön kafasına (-, X), bir demettir. Bu site için bir örtücü elek veya kaplama ailesi olduğu söyleniyor. kesinlikle evrensel olarak epimorfik çünkü bir eşzamanlı koninin bacaklarından oluşur (kurucu morfizmlerinin etki alanlarının tam diyagramı altında) ve bu eş sınırlar, C. Kanonik topolojiden daha az ince olan, yani her örtücü eleğin kesinlikle evrensel olarak epimorfik olduğu bir topoloji denir alt kanonik. Altkanonik siteler, tam olarak Hom formunun her ön kafasının (-, X) bir demettir. Uygulamada karşılaşılan çoğu site alt kanoniktir.

Bir topolojik uzayla ilişkili küçük site

Yukarıdan başladığımız örneği tekrarlıyoruz. İzin Vermek X topolojik bir uzay olabilir. Biz tanımladık Ö(X) nesneleri açık kümeler olan kategori olmak X ve morfizmleri açık kümelerin kapsamıdır. Açık bir set için unutmayın U ve bir elek S açık U, set S(V) her açık küme için sıfır veya bir öğe içerir V. Bir nesne üzerindeki örtü elekleri U nın-nin Ö(X) bu elekler S aşağıdaki koşulu yerine getirmek:

• Eğer W tüm setlerin birleşimidir V öyle ki S(V) boş değildir, o zaman W = U.

Bu kapak kavramı, nokta-küme topolojisindeki olağan kavramla eşleşir.

Bu topoloji, doğal olarak bir pretopoloji olarak da ifade edilebilir. Bir kapsama ailesi olduğunu söylüyoruz {V_α ${displaystyle subseteq}$ U} kapsayıcı bir ailedir ancak ve ancak birlik ${displaystyle cup}$V_α eşittir U. Bu sitenin adı topolojik bir uzay ile ilişkili küçük site X.

Topolojik bir uzay ile ilişkili büyük site

İzin Vermek Uzm tüm topolojik uzayların kategorisi olun. Herhangi bir işlev ailesi verildiğinde {sen_α : V_α → X}, bunun bir örten aile ya da morfizmler sen_α vardır ortaklaşa örten Eğer ${displaystyle cup}$ sen_α(V_α) eşittir X. Bir pretopoloji tanımlıyoruz Uzm örten aileleri, tüm üyeleri açık daldırma olan sübjektif aileler olarak kabul ederek. İzin Vermek S elemek Uzm. S bu topoloji için örtücü bir elektir, ancak ve ancak:

• Hepsi için Y ve her morfizm f : Y → X içinde S(Y), bir V ve bir g : V → X öyle ki g açık bir daldırmadır, g içinde S(V), ve f faktörler aracılığıyla g.
• Eğer W tüm setlerin birleşimidir f(Y), nerede f : Y → X içinde S(Y), sonra W = X.

Topolojik bir alanı düzeltin X. Yi hesaba kat virgül kategorisi Uzm / X sabit sürekli haritalı topolojik uzayların X. Topoloji Uzm bir topolojiye neden olur Uzm / X. Örtücü elekler ve örtme aileleri hemen hemen aynıdır; tek fark, artık dahil olan tüm haritaların sabit haritalarla gidip gelmesidir. X. Bu topolojik bir uzay ile ilişkili büyük site X. Dikkat edin Uzm tek nokta boşlukla ilişkili büyük sitedir. Bu site ilk olarak tarafından değerlendirildi Jean Giraud.

Bir manifoldun büyük ve küçük siteleri

İzin Vermek M olmak manifold. M açık kümeler kategorisine sahiptir Ö(M) çünkü bu bir topolojik uzaydır ve yukarıdaki örnekte olduğu gibi bir topoloji alır. İki açık set için U ve V nın-nin Mfiber ürün U ×_M V açık set U ∩ V, hala içinde Ö(M). Bu, topolojinin açık olduğu anlamına gelir Ö(M) bir pretopoloji ile tanımlanır, önceki gibi aynı pretopoloji.

İzin Vermek Mfd tüm manifoldların ve sürekli haritaların kategorisi olun. (Veya pürüzsüz manifoldlar ve pürüzsüz haritalar veya gerçek analitik manifoldlar ve analitik haritalar vb.) Mfd alt kategorisidir Uzmve açık daldırma süreklidir (veya pürüzsüz veya analitik vb.), bu nedenle Mfd bir topolojiyi miras alır Uzm. Bu, manifoldun büyük sitesini oluşturmamızı sağlar M site olarak Mfd / M. Bu topolojiyi yukarıda kullandığımız pretopolojinin aynısını kullanarak da tanımlayabiliriz. (PT 0) tatmin etmek için, herhangi bir sürekli manifold haritası için bunu kontrol etmemiz gerektiğine dikkat edin. X → Y ve herhangi bir açık alt küme U nın-nin Ylifli ürün U ×_Y X içinde Mfd / M. Bu sadece açık bir setin ön görüntüsünün açık olduğu ifadesidir. Bununla birlikte, tüm lifli ürünlerin şu ülkelerde bulunmadığına dikkat edin. Mfd çünkü kritik bir değerdeki pürüzsüz bir haritanın ön görüntüsünün bir manifold olması gerekmez.

Şema kategorisine ilişkin topolojiler

Kategorisi şemalar, belirtilen Sch, çok sayıda yararlı topolojiye sahiptir. Bazı soruların tam olarak anlaşılması, birkaç farklı topoloji kullanan bir şemayı incelemeyi gerektirebilir. Bu topolojilerin tümü küçük ve büyük siteleri ilişkilendirmiştir. Topoloji tarafından belirlenen örtme elekleri ile birlikte şemaların tüm kategorisi ve morfizmaları alınarak büyük saha oluşturulur. Belirli bir şema üzerindeki küçük site, yalnızca verilen şemanın bir kapağının parçası olan nesneler ve morfizmler alınarak oluşturulur.

Bunlardan en temel olanı Zariski topolojisi. İzin Vermek X bir plan olun. X temelde bir topolojik uzaya sahiptir ve bu topolojik uzay bir Grothendieck topolojisini belirler. Zariski topolojisi açık Sch örtücü aileleri şema-teorik açık daldırmaların ortaklaşa sübjektif aileleri olan pretopoloji tarafından üretilir. Kaplama elekleri S için Zar aşağıdaki iki özellikle karakterize edilir:

• Hepsi için Y ve her morfizm f : Y → X içinde S(Y), bir V ve bir g : V → X öyle ki g açık bir daldırmadır, g içinde S(V), ve f faktörler aracılığıyla g.
• Eğer W tüm setlerin birleşimidir f(Y), nerede f : Y → X içinde S(Y), sonra W = X.

Dışsal benzerliklerine rağmen, topoloji Zar dır-dir değil topolojinin kısıtlanması Uzm! Bunun nedeni, topolojik olarak açık daldırmalar olan ancak şema-teorik açık daldırmalar olmayan şemaların morfizmalarının olmasıdır. Örneğin, izin ver Bir olmayacakindirgenmiş çal ve bırak N üstsüzler için ideal olun. Bölüm haritası Bir → A / N bir harita spesifikasyonuna neden olur A / N → Teknik Özellikler Bir, temelde yatan topolojik uzayların özdeşliği. Bir şema-teorik açık daldırma olması için, bu haritanın yapmadığı yapı kasnakları üzerinde bir izomorfizmi de indüklemesi gerekir. Aslında bu harita kapalı bir daldırmadır.

étale topolojisi Zariski topolojisinden daha incedir. Yakından incelenen ilk Grothendieck topolojisiydi. Örtme aileleri, birlikte étale morfizmlerinin sübjektif aileleridir. Nisnevich topolojisinden daha ince, ancak ne daha ince ne de daha kaba cdh ve l ′ topolojileri.

İki tane düz topolojiler, fppf topoloji ve fpqc topoloji. fppf duruyor fidèlement plate de présentation finieve bu topolojide, afin şemaların bir morfizmi, eğer aslına uygun şekilde düz, sonlu sunum ve yarı-sonlu ise bir kaplama morfizmidir. fpqc duruyor fidèlement plate et quasi-compacteve bu topolojide, afin şemaların bir morfizmi, eğer aslına uygun şekilde düz ise bir kaplama morfizmidir. Her iki kategoride de bir örtücü aile, Zariski açık alt kümelerini kapsayan bir aile olarak tanımlanır.^[2] Fpqc topolojisinde, herhangi bir aslına sadık düz ve yarı kompakt morfizm bir kapaktır.^[3] Bu topolojiler yakından ilişkilidir iniş. fpqc topoloji, yukarıda bahsedilen tüm topolojilerden daha incedir ve kanonik topolojiye çok yakındır.

Grothendieck tanıtıldı kristalin kohomoloji incelemek pKarakteristik kohomolojisinin dönme kısmı p çeşitleri. İçinde kristalin topolojiBu teorinin temeli olan, altta yatan kategori, sonsuz küçük kalınlaşmalarla birlikte verilen nesnelere sahiptir. bölünmüş güç yapıları. Kristal siteler, nihai bir nesnesi olmayan sitelerin örnekleridir.

Sürekli ve sürekli fonktorlar

Siteler arasında iki doğal işlev türü vardır. Bir anlamda topoloji ile uyumlu olan functorlar tarafından verilirler.

Sürekli functors

Eğer (C, J) ve (D, K) siteler ve sen : C → D bir functor ise sen dır-dir sürekli her demet için F açık D topolojiye göre K, ön kafa Fu topolojiye göre bir demet J. Sürekli functors, bir demet göndererek karşılık gelen topoi arasında functors oluşturur F -e Fu. Bu functorlara ileri itmek. Eğer ${displaystyle {ilde {C}}}$ ve ${displaystyle {ilde {D}}}$ ilişkili topoi'yi gösterir C ve Dise pushforward işlevi ${displaystyle u_ {s}: {ilde {D}} o {ilde {C}}}$.

sen_s bir sol ek kabul eder sen^s aradı geri çekmek. sen^s sınırları, hatta sonlu sınırları korumaya gerek yoktur.

Aynı şekilde, sen bir nesneye bir elek gönderir X nın-nin C nesne üzerindeki bir eleğe uX nın-nin D. Sürekli bir functor, örtme eleklerini örtme eleklerine gönderir. Eğer J bir pretopoloji tarafından tanımlanan topolojidir ve eğer sen elyaflı ürünlerle işe gidip gelirse sen ancak ve ancak örtü eleklerini örtü eleklerine göndermesi ve ancak ve ancak koruma ailelerini koruma ailelerine göndermesi durumunda süreklidir. Genel olarak değil için yeterli sen örtme eleklerini örten eleklere göndermek için (bkz.SGA IV 3, Örnek 1.9.3).

Sürekli fonktorlar

Yine, izin ver (C, J) ve (D, K) siteler ve v : C → D functor olmak. Eğer X nesnesi C ve R bir elek vX, sonra R bir eleğe geri çekilebilir S aşağıdaki gibi: Bir morfizm f : Z → X içinde S ancak ve ancak v(f) : vZ → vX içinde R. Bu bir eleği tanımlar. v dır-dir sürekli ancak ve ancak her nesne için X nın-nin C ve her örtücü elek R nın-nin vXgeri çekilme S nın-nin R üzerini örten bir elek X.

İle kompozisyon v ön kafasını gönderir F açık D kafasına Fv açık C, ama eğer v süreksizdir, bunun kasnaklara kasnaklar göndermesine gerek yoktur. Bununla birlikte, bu functor, genellikle şu şekilde gösterilir. ${displaystyle {şapka {v}} ^ {*}}$, doğru bir ek kabul eder ${displaystyle {şapka {v}} _ {*}}$. Sonra v aynı süreksizdir ancak ve ancak ${displaystyle {şapka {v}} _ {*}}$ kasnakları kasnaklara gönderir, yani ancak ve ancak bir functor ile sınırlıysa ${displaystyle v _ {*}: {ilde {C}} o {ilde {D}}}$. Bu durumda, bileşik ${displaystyle {şapka {v}} ^ {*}}$ ilişkili demet functoru ile v_* belirtilen v^*. Ayrıca, v^* sonlu limitleri korur, bu nedenle ek fonksiyonlar v_* ve v^* belirlemek geometrik biçimlilik topoi ${displaystyle {ilde {C}} o {ilde {D}}}$.

Sitelerin morfizmaları

Sürekli bir işleç sen : C → D bir sitelerin morfizmi D → C (değil C → D) Eğer sen^s sonlu sınırları korur. Bu durumda, sen^s ve sen_s topoi'nin geometrik bir morfizmini belirlemek ${displaystyle {ilde {C}} o {ilde {D}}}$. Sürekli bir görevlinin C → D zıt yöndeki sitelerin bir morfizmini belirlediği söyleniyor, bunun topolojik uzaylar durumunda gelen sezgiye uymasıdır. Sürekli bir topolojik uzay haritası X → Y sürekli bir functor belirler Ö(Y) → Ö(X). Topolojik uzaylardaki orijinal haritanın gönderdiği söylendiğinden X -e Ysitelerin morfizmi de söyleniyor.

Bunun özel bir durumu, sürekli bir functor bir sol eşleniği kabul ettiğinde ortaya çıkar. Farz et ki sen : C → D ve v : D → C ile çalışan sen sağa bitişik v. Sonra sen süreklidir ancak ve ancak v sürekli değildir ve bu olduğunda sen^s doğal olarak izomorfiktir v^* ve sen_s doğal olarak izomorfiktir v_*. Özellikle, sen sitelerin bir morfizmidir.

Ayrıca bakınız

• Lifli kategori
• Lawvere – Tierney topolojisi

Notlar

Referanslar

• Artin, Michael (1962). Grothendieck topolojileri. Cambridge, MA: Harvard Üniversitesi, Matematik Bölümü. Zbl  0208.48701.
• Demazure, Michel; Grothendieck, Alexandre, eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - cilt. 1. Matematik ders notları (Fransızca). 151. Berlin; New York: Springer-Verlag. s. xv + 564. Zbl  0212.52810.
• Artin, Michael (1972). Alexandre Grothendieck; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - cilt. 1 (Matematikte ders notları 269) (Fransızcada). Berlin; New York: Springer-Verlag. xix + 525.
• Giraud, Jean (1964), "Analiz durumu", Séminaire Bourbaki, 1962/63. Fasc. 3, Paris: Secrétariat mathématique, BAY  0193122
• Shatz Stephen S. (1972). Profinite grupları, aritmetik ve geometri. Matematik Çalışmaları Annals. 67. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN  0-691-08017-8. BAY  0347778. Zbl  0236.12002.
• Nisnevich, Yevsey A. (1989). "Şemalar üzerindeki tamamen ayrıştırılmış topoloji ve cebirsel K-teorisinde ilgili iniş spektral dizileri". Jardine, J. F .; Snaith, V. P. (editörler). Cebirsel K-teorisi: geometri ve topoloji ile bağlantılar. 7–11 Aralık 1987'de Lake Louise, Alberta'da düzenlenen NATO İleri Araştırma Enstitüsü Tutanakları. NATO İleri Bilim Enstitüleri Seri C: Matematiksel ve Fiziksel Bilimler, 279. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. sayfa 241–342. Zbl  0715.14009.

Dış bağlantılar

• Grothendieck topolojilerinin doğum günü
• Grothendieck topolojilerinin doğum günü (arşivlenmemiş sürüm)