Küme teorisinde matematiğin uygulanması - Implementation of mathematics in set theory

Bu makale matematiksel kavramların uygulamalarını incelemektedir. küme teorisi. Bir dizi temel matematiksel kavramın uygulanması paralel olarak gerçekleştirilir. ZFC (baskın küme teorisi) ve NFU Quine'in versiyonu Yeni Vakıflar ile tutarlı olduğu gösterilmiştir R. B. Jensen 1969'da (burada en azından şu aksiyomları içerdiği anlaşılmaktadır. Sonsuzluk ve Tercih ).

Burada söylenenler aynı zamanda iki küme teorisi ailesi için de geçerlidir: bir yandan, aşağıdakileri içeren bir dizi teori Zermelo küme teorisi ölçeğin alt ucuna yakın ve genişletilmiş ZFC'ye kadar büyük kardinal "gibi hipotezler ölçülebilir kardinal "ve diğer yandan, NFU'nun uzantı hiyerarşisi Yeni Vakıflar makale. Bunlar, küme-teorik evrenin neye benzediğine dair farklı genel görüşlere karşılık gelir ve karşılaştırılan ve karşılaştırılan bu iki genel görüş altında matematiksel kavramların uygulanmasına yönelik yaklaşımlardır.

Matematiğin temeli olarak bu teorilerin göreceli yararları hakkında bir şey söylemek bu makalenin birincil amacı değildir. İki farklı küme teorisinin kullanılmasının nedeni, matematiğin uygulanmasına yönelik çoklu yaklaşımların uygulanabilir olduğunu göstermektir. Tam da bu yaklaşım nedeniyle, bu makale herhangi bir matematiksel kavram için "resmi" tanımların kaynağı değildir.

Ön bilgiler

Aşağıdaki bölümler, iki teoride belirli yapıları gerçekleştirmektedir. ZFC ve NFU ve belirli matematiksel yapıların ortaya çıkan uygulamalarını karşılaştırın (örneğin, doğal sayılar ).

Matematiksel teoriler teoremleri kanıtlar (ve başka hiçbir şeyi). Dolayısıyla, bir teorinin belirli bir nesnenin inşasına izin verdiğini söylemek, o nesnenin varlığının o teorinin bir teoremi olduğu anlamına gelir. Bu, "x" formunun tanımıyla ilgili bir ifadedir. ${ displaystyle phi}$ var ", nerede ${ displaystyle phi}$ bir formül bizim dil: teori, x'in varlığını kanıtlar öyle ki ${ displaystyle phi}$"sadece bir teorem olması durumunda" bir ve yalnızca bir x vardır öyle ki ${ displaystyle phi}$". (Görmek Bertrand Russell's açıklama teorisi.) Teori, gevşek bir şekilde, bu durumda bu nesneyi "tanımlar" veya "inşa eder". İfade bir teorem değilse, teori nesnenin var olduğunu gösteremez; Eğer ifade teoride kanıtlanabilir şekilde yanlışsa, nesnenin var olamayacağını kanıtlar; gevşek bir şekilde, nesne inşa edilemez.

ZFC ve NFU, küme teorisinin dilini paylaşır, dolayısıyla aynı biçimsel tanımlar "x, öyle ki ${ displaystyle phi}$"iki kuramda düşünülebilir. Küme kuramı dilinde belirli bir tanımlama biçimi şudur: set-oluşturucu gösterimi: ${ displaystyle {x mid phi }}$ "A kümesi, tüm x'ler için ${ displaystyle x in A leftrightarrow phi}$"(A olamaz Bedava içinde ${ displaystyle phi}$). Bu gösterim, belirli geleneksel uzantıları kabul eder: ${ displaystyle {x in B mid phi }}$ ile eş anlamlıdır ${ displaystyle {x mid x in B wedge phi }}$; ${ displaystyle {f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) orta phi }}$ olarak tanımlanır ${ displaystyle {z orta var x_ {1}, ldots, x_ {n} , (z = f (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) wedge phi) }}$, nerede ${ displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ zaten tanımlanmış bir ifadedir.

Set-oluşturucu gösteriminde tanımlanabilen ifadeler hem ZFC hem de NFU'da anlamlıdır: her iki teori de belirli bir tanımın başarılı olduğunu veya hiçbirinin başarılı olmadığını kanıtlıyor olabilir (ifade ${ displaystyle {x mid x değil x }}$ içindeki hiçbir şeye atıfta bulunmaz hiç klasik mantıkla küme teorisi; içinde sınıf gibi teoriler NBG bu gösterim bir sınıfa atıfta bulunur, ancak farklı şekilde tanımlanır) veya biri yapar ve diğeri etmez. Ayrıca, ZFC ve NFU'da aynı şekilde tanımlanan bir nesnenin iki teoride farklı özelliklere sahip olduğu ortaya çıkabilir (veya özellikleri arasında kanıtlanabilir bir fark olmadığı durumlarda kanıtlanabilecekler arasında bir fark olabilir).

Ayrıca, küme teorisi matematiğin diğer dallarından kavramları içe aktarır (niyetinde, herşey matematik dalları). Bazı durumlarda, kavramları ZFC ve NFU'ya aktarmanın farklı yolları vardır. Örneğin, ilk sonsuzun olağan tanımı sıra ${ displaystyle omega}$ ZFC'de NFU için uygun değildir çünkü nesne (tamamen teorik dilde tüm sonluların kümesi olarak tanımlanmıştır) von Neumann sıra sayıları ) NFU'da var olduğu gösterilemez. Olağan tanımı ${ displaystyle omega}$ NFU'da (tamamen ayarlanmış teorik dilde) tüm sonsuzların kümesidir iyi sipariş uygun başlangıç ​​segmentlerinin tümü sonlu olan, ZFC'de olmadığı gösterilebilen bir nesne. Bu tür içe aktarılan nesnelerin durumunda, biri ZFC ve ilgili teorilerde kullanılmak üzere ve biri NFU ve ilgili teorilerde kullanılmak üzere farklı tanımlar olabilir. İçe aktarılan matematiksel kavramların bu tür "uygulamalarının" mantıklı olması için, iki paralel yorumun beklenen özelliklere sahip olduğunu gösterebilmek gerekir: örneğin, doğal sayıların ZFC ve NFU'daki uygulamaları farklıdır, ancak her ikisi de aynı matematiksel yapının uygulamaları, çünkü her ikisi de tüm ilkellerin tanımlarını içerir. Peano aritmetiği ve Peano aksiyomlarını (tercümelerini) karşılayın. Daha sonra, ZFC'ye uygun tanımların burada kullanılacağı anlaşıldığı sürece, yalnızca set teorik dil kullanımda olduğu gibi iki teoride neler olduğunu karşılaştırmak mümkündür. ZFC bağlam ve NFU'ya uygun tanımların NFU bağlamında kullanıldığı anlaşılmaktadır.

Bir teoride var olduğu kanıtlanan her şey, bu teorinin herhangi bir uzantısında açıkça kanıtlanabilir şekilde mevcuttur; dahası, belirli bir teoride bir nesnenin var olduğunun ispatının analizi, onun bu teorinin daha zayıf versiyonlarında var olduğunu gösterebilir (kişi, Zermelo küme teorisi Örneğin, bu makalede yapılanların çoğu için ZFC yerine).

Boş küme, tekli, sırasız çiftler ve tuplelar

Bu yapılar önce ortaya çıkar çünkü küme teorisindeki en basit yapılardır, matematikte akla gelen ilk yapılar oldukları için değil (sonlu küme kavramı kesinlikle temeldir). NFU ayrıca set yapımına izin verse de ur öğeleri henüz bir setin üyesi olmak için boş küme eşsiz mi Ayarlamak üye olmadan:

${ displaystyle sol. varnothing sağ. , { taşan { mathrm {def.}} {=}} sol {x: x neq x sağ }}$

Her nesne için ${ displaystyle x}$bir set var ${ displaystyle {x }}$ ile ${ displaystyle x}$ tek unsuru olarak:

${ displaystyle sol {x sağ } { taşması { mathrm {def.}} {=}} sol {y: y = x sağ }}$

Nesneler için ${ displaystyle x}$ ve ${ displaystyle y}$bir set var ${ displaystyle {x, y }}$ kapsamak ${ displaystyle x}$ ve ${ displaystyle y}$ tek unsuru olarak:

${ displaystyle sol {x, y sağ } { taşan { mathrm {def.}} {=}} sol {z: z = x vee z = y sağ }}$

Birlik iki küme olağan şekilde tanımlanır:

${ displaystyle left.x cup y right. , { overset { mathrm {def.}} {=}} left {z: z in x vee z in y right } }$

Bu, sırasızın özyinelemeli bir tanımıdır. ${ displaystyle n}$-herhangi bir beton için ikili ${ displaystyle n}$ (elemanlarının listesi olarak verilen sonlu kümeler :)

${ displaystyle sol {x_ {1}, ldots, x_ {n}, x_ {n + 1} sağ } { taşan { mathrm {def.}} {=}} sol {x_ {1}, ldots, x_ {n} right } cup left {x_ {n + 1} sağ }}$

NFU'da, verilen tüm küme tanımları tabakalı kavrayışla çalışır; ZFC'de, sırasız çiftin varlığı, Eşleştirme Aksiyomu boş kümenin varlığı şöyle devam eder: Ayrılık herhangi bir kümenin varlığından ve iki kümenin ikili birliği, Eşleştirme aksiyomları tarafından mevcuttur ve Birlik (${ displaystyle x cup y = bigcup {x, y }}$).

Sipariş edilen çift

İlk önce, düşünün sıralı çift. Bunun önce gelmesinin nedeni tekniktir: uygulamak için sıralı çiftlere ihtiyaç vardır ilişkiler ve fonksiyonlar, önceki gibi görünen diğer kavramları uygulamak için ihtiyaç duyulan. sıralı çiftin ilk tanımı, tanımdı ${ displaystyle (x, y) { taşması { mathrm {def}} {=}} { { {x }, emptyset }, { {y } } }}$ öneren Norbert Wiener 1914'te tip teorisi bağlamında Principia Mathematica. Wiener, bunun türlerin ortadan kaldırılmasına izin verdiğini gözlemledi. n-için ilişkiler n Bu işin sisteminden> 1. Şimdi tanımı kullanmak daha olağandır ${ displaystyle (x, y) { taşması { mathrm {def.}} {=}} { {x }, {x, y } }}$, Nedeniyle Kuratowski Bu tanımlardan hiçbiri ZFC veya NFU'da çalışmaz. NFU'da, bu iki tanımın teknik bir dezavantajı vardır: Kuratowski sıralı çifti projeksiyonlarından iki tip daha yüksekken, Wiener sıralı çifti üç tip daha yüksektir. Tip düzeyinde sıralı bir çiftin varlığını varsaymak yaygındır (bir çift ${ displaystyle (x, y)}$ bununla aynı tip projeksiyonlar ) NFU'da. Kuratowski çiftini, tip-seviye çiftlerinin kullanımı resmi olarak gerekçelendirilinceye kadar her iki sistemde de kullanmak uygundur. Bu tanımların iç detaylarının, gerçek matematiksel işlevleriyle hiçbir ilgisi yoktur. Herhangi bir fikir için ${ displaystyle (x, y)}$ sıralı çift için önemli olan, tanımlayıcı koşulu karşılamasıdır.

${ displaystyle (x, y) = (z, w) equiv x = z kama y = w}$

… Ve sıralı çiftleri kümeler halinde toplamanın oldukça kolay olduğunu.

İlişkiler

İlişkiler tüm üyelerinin olduğu setlerdir sıralı çiftler. Mümkün olduğunda bir ilişki ${ displaystyle R}$ (bir ikili yüklem ) olarak uygulanır ${ displaystyle {(x, y) orta xRy }}$ (şu şekilde yazılabilir ${ displaystyle {z orta pi _ {1} (z) R pi _ {2} (z) }}$). Ne zaman ${ displaystyle R}$ bir ilişkidir, gösterimdir ${ displaystyle xRy}$ anlamına geliyor $R içinde { displaystyle sol (x, y sağ) }$.

ZFC'de, bazı ilişkiler (kümelerdeki genel eşitlik ilişkisi veya alt küme ilişkisi gibi) küme olamayacak kadar 'çok büyük'dür (ancak zararsız bir şekilde somutlaştırılabilir. uygun sınıflar ). NFU'da bazı ilişkiler (üyelik ilişkisi gibi), tanımları tabakalandırılmadığı için set değildir: ${ displaystyle {(x, y) orta x y içinde }}$ ${ displaystyle x}$ ve ${ displaystyle y}$ aynı türe sahip olmaları gerekirdi (çünkü aynı çiftin izdüşümleri olarak görünürler), ama aynı zamanda başarılı türler (çünkü ${ displaystyle x}$ bir unsuru olarak kabul edilir ${ displaystyle y}$).

İlgili tanımlar

İzin Vermek ${ displaystyle R}$ ve ${ displaystyle S}$ verilmek ikili ilişkiler. O zaman aşağıdaki kavramlar kullanışlıdır:

sohbet etmek nın-nin ${ displaystyle R}$ ilişki ${ displaystyle sol { sol (y, x sağ): xRy sağ }}$.

alan adı nın-nin ${ displaystyle R}$ set ${ displaystyle sol {x: var y sol (xRy sağ) sağ }}$.

Aralık nın-nin ${ displaystyle R}$ sohbetin etki alanıdır ${ displaystyle R}$. Yani set ${ displaystyle sol {y: var x sol (xRy sağ) sağ }}$.

alan nın-nin ${ displaystyle R}$ ... Birlik etki alanı ve aralığı ${ displaystyle R}$.

ön görüntü bir üyenin ${ displaystyle x}$ alanının ${ displaystyle R}$ set ${ displaystyle sol {y: yRx sağ }}$ (aşağıdaki 'sağlam temelli' tanımında kullanılmıştır.)

aşağı kapanma bir üyenin ${ displaystyle x}$ alanının ${ displaystyle R}$ en küçük set ${ displaystyle D}$ kapsamak ${ displaystyle x}$ve her birini içeren ${ displaystyle zRy}$ her biri için $D'de { displaystyle y }$ (yani, her bir öğesinin ön görüntüsü dahil ${ displaystyle R}$ alt küme olarak.)

göreceli ürün ${ displaystyle R | S}$ nın-nin ${ displaystyle R}$ ve ${ displaystyle S}$ ilişki ${ displaystyle sol { sol (x, z sağ): var y , sol (xRy kama ySz sağ) sağ }}$.

İkili bir ilişkinin biçimsel tanımıyla, bir ilişkinin aralığı ve ortak alanının ayırt edilmediğine dikkat edin. Bu bir ilişkiyi temsil ederek yapılabilir ${ displaystyle R}$ ortak alan adı ile ${ displaystyle B}$ gibi ${ displaystyle sol (R, B sağ)}$ama bizim geliştirmemiz bunu gerektirmeyecek.

ZFC'de, alanı bir kümenin alt kümesi olan herhangi bir ilişki ${ displaystyle A}$ ve aralığı bir kümenin alt kümesidir ${ displaystyle B}$ bir set olacak, çünkü Kartezyen ürün ${ displaystyle A times B = sol { sol (a, b sağ): A kama b B sağ }}$ bir kümedir (alt sınıfı olmak ${ displaystyle { mathcal {P}} ! sol (A fincan B sağ)}$), ve Ayrılık varlığını sağlar ${ displaystyle sol { sol (x, y sağ) A times B: xRy sağ }}$. NFU'da, küresel kapsamla (eşitlik ve alt küme gibi) bazı ilişkiler kümeler halinde uygulanabilir. NFU'da şunu unutmayın: ${ displaystyle x}$ ve ${ displaystyle y}$ üç tür daha düşüktür ${ displaystyle R}$ içinde ${ displaystyle xRy}$ (tür düzeyinde sıralı bir çift kullanılıyorsa, bir tür daha düşük).

Özellikler ve ilişki türleri

Bir ikili ilişki ${ displaystyle R}$ dır-dir:

• Dönüşlü Eğer ${ displaystyle xRx}$ her biri için ${ displaystyle x}$ nın alanında ${ displaystyle R}$.
• Simetrik Eğer ${ displaystyle forall x, y , (xRy ile yRx arası)}$.
• Geçişli Eğer ${ displaystyle forall x, y, z , (xRy wedge yRz rightarrow xRz)}$.
• Antisimetrik Eğer ${ displaystyle forall x, y , (xRy kama yRx sağ yön x = y)}$.
• Sağlam temelli eğer her set için ${ displaystyle S}$ alanını karşılayan ${ displaystyle R}$, ${ displaystyle S'de x var}$ kimin ön görüntüsü altında ${ displaystyle R}$ buluşmuyor ${ displaystyle S}$.
• Genişletme her biri için ${ displaystyle x, y}$ nın alanında ${ displaystyle R}$, ${ displaystyle x = y}$ ancak ve ancak ${ displaystyle x}$ ve ${ displaystyle y}$ aynı ön görüntüye sahip olmak ${ displaystyle R}$.

Yukarıdaki özelliklerin belirli kombinasyonlarına sahip ilişkiler standart isimlere sahiptir. Bir ikili ilişki ${ displaystyle R}$ dır-dir:

• Bir denklik ilişkisi Eğer ${ displaystyle R}$ dönüşlü, simetrik ve geçişlidir.
• Bir kısmi sipariş Eğer ${ displaystyle R}$ dönüşlü, antisimetrik ve geçişlidir.
• Bir doğrusal sıra Eğer ${ displaystyle R}$ kısmi bir emirdir ve her biri için ${ displaystyle x, y}$ nın alanında ${ displaystyle R}$ya ${ displaystyle xRy}$ veya ${ displaystyle yRx}$.
• Bir iyi sipariş Eğer ${ displaystyle R}$ doğrusal bir düzen ve temeli sağlamdır.
• Bir resmi ayarla Eğer ${ displaystyle R}$ sağlam temellere sahip ve kapsamlı ve alanı ${ displaystyle R}$ üyelerinden birinin aşağı doğru kapanmasına eşittir (buna üst öğe) veya boş.

Fonksiyonlar

Bir fonksiyonel ilişki bir ikili yüklem ${ displaystyle F}$ öyle ki ${ displaystyle forall x, y, z , left (xFy wedge xFz to y = z right).}$ Böyle bir ilişki (yüklem ) önceki bölümde anlatıldığı gibi bir ilişki (küme) olarak uygulanır. Yani yüklem ${ displaystyle F}$ set tarafından uygulanır ${ displaystyle sol { sol (x, y sağ): xFy sağ }}$. Bir ilişki ${ displaystyle F}$ bir işlevi ancak ve ancak ${ Displaystyle forall x, y, z , sol ( sol (x, y sağ) F kama sol (x, z sağ) F y = z sağa). }$ Bu nedenle değer fonksiyonunu tanımlamak mümkündür ${ displaystyle F ! sol (x sağ)}$ benzersiz nesne olarak ${ displaystyle y}$ öyle ki ${ displaystyle xFy}$ - yani: ${ displaystyle x}$ dır-dir ${ displaystyle F}$-ile ilgili ${ displaystyle y}$ öyle ki ilişki ${ displaystyle f}$ arasında tutar ${ displaystyle x}$ ve ${ displaystyle y}$ - veya benzersiz nesne olarak ${ displaystyle y}$ öyle ki $F'de { displaystyle sol (x, y sağ) }$. Küme olmayan işlevsel yüklemlerin her iki teorisindeki mevcudiyet, gösterime izin vermeyi yararlı kılar. ${ displaystyle F ! sol (x sağ)}$ her ikisi de setler için ${ displaystyle F}$ ve önemli işlevsel yüklemler için. İkinci anlamda fonksiyonlar üzerinde nicelik belirtilmediği sürece, bu tür tüm kullanımlar prensipte ortadan kaldırılabilir.

Biçimsel küme teorisinin dışında, genellikle bir işlevi, "Let" ifadesindeki gibi, alanı ve ortak alanı cinsinden belirtiriz. ${ displaystyle f: A - B}$ bir işlev olabilir ". Bir işlevin etki alanı yalnızca bir ilişki olarak etki alanıdır, ancak henüz bir işlevin eş etki alanını tanımlamadık. Bunu yapmak için bir işlevin olduğu terminolojiyi tanıtıyoruz. itibaren ${ displaystyle A}$ -e ${ displaystyle B}$ alanı eşitse ${ displaystyle A}$ ve aralığı içinde bulunur ${ displaystyle B}$. Bu şekilde, her işlev, etki alanından aralığına kadar bir işlevdir ve bir işlevdir. ${ displaystyle f}$ itibaren ${ displaystyle A}$ -e ${ displaystyle B}$ aynı zamanda bir işlevdir ${ displaystyle A}$ -e ${ displaystyle C}$ herhangi bir set için ${ displaystyle C}$ kapsamak ${ displaystyle B}$.

Aslında, hangi küme bir işlevin ortak etki alanı olarak kabul edersek edelim, işlev bir küme olarak değişmez, çünkü tanım gereği sadece sıralı bir çiftler kümesidir. Yani, bir fonksiyon bizim tanımımıza göre ortak alanını belirlemez. Biri bunu çekici bulmazsa, bunun yerine sıralı çift olarak bir işlevi tanımlayabilir ${ displaystyle (f, B)}$, nerede ${ displaystyle f}$ işlevsel bir ilişkidir ve ${ displaystyle B}$ ortak etki alanıdır, ancak bu makalede bu yaklaşımı ele almıyoruz (sıralı üçlüleri ilk olarak tanımlarsanız daha zarif bir şekilde - örneğin ${ displaystyle (x, y, z) = (x, (y, z))}$- o zaman bir işlev sıralı üçlü olarak tanımlanabilir ${ displaystyle (f, A, B)}$ alanı da içerecek şekilde). Aynı sorunun ilişkiler için de var olduğuna dikkat edin: resmi küme teorisinin dışında genellikle "Let ${ displaystyle R subseteq A times B}$ ikili bir ilişki olabilir ", ancak resmi olarak ${ displaystyle R}$ bir dizi sıralı çifttir öyle ki ${ displaystyle { text {dom}} , R subseteq A}$ ve ${ displaystyle { text {ran}} , R subseteq B}$.

NFU'da, ${ displaystyle x}$ ile aynı türe sahiptir ${ displaystyle F ! sol (x sağ)}$, ve ${ displaystyle F}$ üç tür daha yüksektir ${ displaystyle F ! sol (x sağ)}$ (tür düzeyinde sıralı bir çift kullanılıyorsa, bir tür daha yüksek). Bu sorunu çözmek için tanımlanabilir ${ displaystyle F sol [A sağ]}$ gibi ${ displaystyle sol {y: var x , sol (x A kama y = F ! sol (x sağ) sağ) sağ }}$ herhangi bir set için ${ displaystyle A}$, ancak bu daha uygun bir şekilde şöyle yazılır: ${ displaystyle sol {F ! sol (x sağ): x , A sağ }}$. O zaman eğer ${ displaystyle A}$ bir settir ve ${ displaystyle F}$ herhangi bir fonksiyonel ilişki Değiştirme Aksiyomu garanti eder ${ displaystyle F sol [A sağ]}$ bir set ZFC. NFU'da, ${ displaystyle F sol [A sağ]}$ ve ${ displaystyle A}$ şimdi aynı türe sahip ve ${ displaystyle F}$ iki tür daha yüksektir ${ displaystyle F sol [A sağ]}$ (aynı tür, tür düzeyinde sıralı bir çift kullanılıyorsa).

İşlev ${ displaystyle I ! sol (x sağ) = x}$ ZFC'de bir küme değil çünkü "çok büyük". ${ displaystyle I ! sol (x sağ)}$ ancak NFU'da bir settir. İşlev (yüklem) ${ displaystyle S ! sol (x sağ) = sol {x sağ }}$ her iki teoride de ne işlev ne de kümedir; ZFC'de bu doğrudur çünkü böyle bir küme çok büyük olacaktır ve NFU'da bu doğrudur çünkü tanımı tabakalı. Dahası, ${ displaystyle S ! sol (x sağ)}$ NFU'da bulunmadığı kanıtlanabilir (bkz. Cantor paradoksu içinde Yeni Vakıflar.)

Fonksiyonlarla ilgili işlemler

İzin Vermek ${ displaystyle f}$ ve ${ displaystyle g}$ keyfi işlevler olabilir. kompozisyon nın-nin ${ displaystyle f}$ ve ${ displaystyle g}$, ${ displaystyle g circ f}$, göreli ürün olarak tanımlanır ${ displaystyle f , | , g}$, ancak bu yalnızca böyle bir işlevle sonuçlanırsa ${ displaystyle g circ f}$ aynı zamanda bir işlevdir. ${ Displaystyle sol (g circ f sağ) ! sol (x sağ) = g ! sol (f ! sol (x sağ) sağ)}$eğer aralığı ${ displaystyle f}$ etki alanının bir alt kümesidir ${ displaystyle g}$. ters nın-nin ${ displaystyle f}$, ${ displaystyle f ^ { sol (-1 sağ)}}$, olarak tanımlanır sohbet etmek nın-nin ${ displaystyle f}$ bu bir işlevse. Herhangi bir set verildiğinde ${ displaystyle A}$kimlik işlevi ${ displaystyle i_ {A}}$ set ${ displaystyle sol { sol (x, x sağ) orta x , A sağ }}$ve bu, farklı nedenlerle hem ZFC hem de NFU'da bir settir.

Özel işlev türleri

Bir işlev bir enjekte edici (olarak da adlandırılır bire bir) ters işlevi varsa.

Bir işlev ${ displaystyle f}$ itibaren ${ displaystyle A}$ -e ${ displaystyle B}$ bir:

• Enjeksiyon itibaren ${ displaystyle A}$ -e ${ displaystyle B}$ Eğer Görüntüler altında ${ displaystyle f}$ farklı üyelerinin ${ displaystyle A}$ farklı üyeleridir ${ displaystyle B}$.
• Surjeksiyon itibaren ${ displaystyle A}$ -e ${ displaystyle B}$ eğer aralığı ${ displaystyle f}$ dır-dir ${ displaystyle B}$.
• Birebir örten itibaren ${ displaystyle A}$ -e ${ displaystyle B}$ Eğer ${ displaystyle f}$ hem enjeksiyon hem de surjeksiyondur.

Fonksiyonları sıralı çiftler olarak tanımlama ${ displaystyle (f, B)}$ veya üçlü sıralı ${ displaystyle (f, A, B)}$ bir işlev olma terminolojisini tanıtmak zorunda olmadığımız avantajları vardır. ${ displaystyle A}$ -e ${ displaystyle B}$"ve sadece" örten olmaktan "söz edebilmekten ziyade" örten olmaktan "doğrudan söz edebiliriz. ${ displaystyle B}$".

Setlerin boyutu

Hem de ZFC ve NFU, iki set Bir ve B aynı boyutta (veya eşit sayıdaki) ancak ve ancak bir birebir örten f itibaren Bir -e B. Bu şu şekilde yazılabilir ${ displaystyle | A | = | B |}$, ancak bunun (şimdilik) arasındaki bir ilişkiyi ifade ettiğini unutmayın. Bir ve B henüz tanımlanmamış nesneler arasındaki bir ilişki yerine ${ displaystyle | A |}$ ve ${ displaystyle | B |}$. Bu ilişkiyi şu şekilde göster: ${ displaystyle A sim B}$ gerçek tanımı gibi bağlamlarda kardinaller soyut kardinalleri önceden varsaymaktan bile kaçınılmalıdır.

Benzer şekilde, tanımlayın ${ displaystyle | A | leq | B |}$ sanki ve sadece bir enjeksiyon itibaren Bir -e B.

Eşitlik ilişkisinin bir denklik ilişkisi: eşitlik Bir ile Bir şahit oldu ${ displaystyle i_ {A}}$; Eğer f tanıklar ${ displaystyle | A | = | B |}$, sonra ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ tanıklar ${ displaystyle | B | = | A |}$; ve eğer f tanıklar ${ displaystyle | A | = | B |}$ ve g tanıklar ${ displaystyle | B | = | C |}$, sonra ${ displaystyle g circ f}$ tanıklar ${ displaystyle | A | = | C |}$.

Gösterilebilir ki ${ displaystyle | A | leq | B |}$ bir doğrusal sıra soyut kardinallerde, ama setlerde değil. Kendini yansıtıcılık açıktır ve geçişlilik, eşitlik için olduğu gibi kanıtlanmıştır. Schröder-Bernstein teoremi kanıtlanabilir ZFC ve NFU tamamen standart bir şekilde,

• ${ displaystyle | A | leq | B | kama | B | leq | A | rightarrow | A | = | B |}$

(bu, kardinallerde antisimetri oluşturur) ve

• ${ displaystyle | A | leq | B | vee | B | leq | A |}$

her iki teoride de standart bir yol izler seçim aksiyomu.

Sonlu kümeler ve doğal sayılar

Doğal sayılar, sonlu sıra sayıları veya sonlu kardinaller olarak kabul edilebilir. Burada onları sonlu kardinal sayılar olarak düşünün. Bu, dünyadaki uygulamalar arasında büyük bir farkın olduğu ilk yerdir. ZFC ve NFU belirginleşir.

ZFC'nin Sonsuzluk Aksiyomu bize bir set olduğunu söyler Bir içeren ${ displaystyle emptyset}$ ve içerir ${ displaystyle y cup {y }}$ her biri için ${ displaystyle y A’da}$. Bu set Bir benzersiz olarak belirlenmemiştir (bu kapatma özelliği korunarak daha büyük yapılabilir): set N doğal sayıların yüzdesi

• ${ displaystyle {x A ortada forall B , ( boş küme B kama forall y , (y B sağ y fincan {y } B) sağ x B) }}$

boş kümeyi içeren ve "ardıl" işlemi altında kapatılan tüm kümelerin kesişimidir ${ displaystyle y mapsto y cup {y }}$.

ZFC'de bir set ${ displaystyle A}$ ancak ve ancak varsa sonludur ${ displaystyle n in N}$ öyle ki ${ displaystyle | n | = | A |}$: daha fazla, tanımla ${ displaystyle | A |}$ bunun gibi n sonlu için Bir. (İki farklı doğal sayının aynı boyutta olmadığı kanıtlanabilir).

Aritmetiğin olağan işlemleri yinelemeli olarak ve doğal sayılar kümesinin kendisinin tanımlandığı stile çok benzer bir tarzda tanımlanabilir. Örneğin, + (doğal sayılar üzerindeki toplama işlemi) içeren en küçük küme olarak tanımlanabilir. ${ displaystyle ((x, boş küme), x)}$ her doğal sayı için ${ displaystyle x}$ ve içerir ${ displaystyle ((x, y fincan {y }), z fincan {z })}$ ne zaman içeriyorsa ${ displaystyle ((x, y), z)}$.

NFU'da, halef operasyondan dolayı bu yaklaşımın kullanılabileceği açık değildir. ${ displaystyle y cup {y }}$ tabakasızdır ve bu nedenle N Yukarıda tanımlandığı gibi NFU'da var olduğu gösterilemez (sonlu von Neumann sıralı kümesinin NFU'da var olması tutarlıdır, ancak bu, bu kümenin varlığı Sayma Aksiyomunu ima ettiğinden teoriyi güçlendirir (bunun için aşağıya bakınız veya Yeni Vakıflar makale)).

Aslında en eski olan doğal sayıların standart tanımı doğal sayıların küme-teorik tanımı, eşitlik altında sonlu kümelerin denklik sınıfları gibidir. Esasen aynı tanım aşağıdakilere uygundur: NFU (bu normal tanım değildir, ancak sonuçlar aynıdır): tanımla Fin, sonlu kümeler kümesi

${ displaystyle {A orta forall F , ( boş küme F kama forall x, y , (x F sağ x fincan {y } F'de) sağ A F) }}$

Herhangi bir set için ${ displaystyle A in Fin}$, tanımlamak ${ displaystyle | A |}$ gibi ${ displaystyle {B orta A sim B }}$. Tanımlamak N set olarak ${ displaystyle {| A | orta A in Fin }}$.

NFU'nun Sonsuzluk Aksiyomu şu şekilde ifade edilebilir: ${ displaystyle V değil Fin'de}$: bu, her bir doğal sayının boş olmayan bir halefine sahip olduğunu belirlemek için yeterlidir (halefi ${ displaystyle | A |}$ olmak ${ displaystyle | A fincan {x } |}$ herhangi ${ displaystyle x A değil }$) Peano aritmetiğin aksiyomlarının karşılandığını göstermenin zor kısmı.

Aritmetik işlemleri, yukarıda verilen stile benzer bir tarzda tanımlanabilir (az önce verilen halef tanımını kullanarak). Doğal küme teorik olarak da tanımlanabilirler: Eğer A ve B ayrık sonlu kümeler ise, | A | + | B | gibi ${ displaystyle | A fincan B |}$. Daha resmi olarak tanımlayın m + n için m ve n içinde N gibi

${ displaystyle {A orta B, C , (B içinde m kama C n kama B cap C = boş küme kama A = B fincan C) }}$

(Ancak bu tanımlama tarzının ZFC rakamları için de uygun olduğunu, ancak daha dolambaçlı olduğunu unutmayın: NFU Tanım, küme manipülasyonlarını kolaylaştırırken, ZFC tanımının biçimi yinelemeli tanımları kolaylaştırır, ancak her iki teori de tanımın iki stilinden birini destekler).

İki uygulama oldukça farklıdır. ZFC'de, her sonlu kardinalitenin bir temsilcisini seçin (eşdeğerlik sınıflarının kendisi küme olamayacak kadar büyüktür); NFU'da eşdeğerlik sınıflarının kendileri kümelerdir ve bu nedenle nesnelerin kardinaliteleri temsil etmesi için açık bir seçimdir. Bununla birlikte, iki teorinin aritmetiği aynıdır: Aynı soyutlama, bu iki yüzeysel olarak farklı yaklaşım tarafından uygulanır.

Eşdeğerlik ilişkileri ve bölümler

Küme teorisinde soyutlamaları uygulamak için genel bir teknik, eşdeğerlik sınıflarının kullanılmasıdır. Bir denklik ilişkisi ise R bize alanının unsurlarının Bir belirli bir açıdan benzer, o zaman herhangi bir set için x, seti dikkate al ${ displaystyle [x] _ {R} = {y içinde A orta xRy }}$ kümeden bir soyutlamayı temsil eden x sadece bu özelliklere saygı duyarak ( Bir kadar R).

Herhangi bir set için Bir, bir set ${ displaystyle P}$ bir bölüm nın-nin Bir eğer tüm unsurları P boş değildir, herhangi iki farklı öğe P ayrık ve ${ displaystyle A = bigcup P}$.

Her eşdeğerlik ilişkisi için R alanla Bir, ${ displaystyle {[x] _ {R} orta x A }}$ bir bölümü Bir. Dahası, her bölüm P nın-nin Bir bir denklik ilişkisini belirler ${ displaystyle {(x, y) orta P içinde A , (A kama y içinde x A 'da) }}$.

Bu tekniğin her ikisinde de sınırlamaları vardır. ZFC ve NFU. ZFC'de evren bir küme olmadığından, özellikleri yalnızca küçük alanların öğelerinden soyutlamak mümkün görünmektedir. Bu, bir hile kullanılarak aşılabilir. Dana Scott: Eğer R evrendeki bir denklik ilişkisidir, tanımlayın ${ displaystyle [x] _ {R}}$ hepsinin seti olarak y öyle ki ${ displaystyle yRx}$ ve sıra nın-nin y herhangi birinin sıralamasından küçük veya ona eşittir ${ displaystyle zRx}$. Bu işe yarar çünkü rütbeler setlerdir. Tabii ki, hala uygun bir sınıf olabilir ${ displaystyle [x] _ {R}}$'s. NFU'da ana zorluk şudur: ${ displaystyle [x] _ {R}}$ x'den büyük bir türdür, bu nedenle örneğin "eşleme" ${ displaystyle x mapsto [x] _ {R}}$ genel olarak bir (set) işlevi değildir (ancak ${ displaystyle {x } mapsto [x] _ {R}}$ bir kümedir). Bu, Seçim Aksiyomu'nun her eşdeğerlik sınıfından yerine bir temsilci seçmek için kullanılmasıyla engellenebilir. ${ displaystyle [x] _ {R}}$ile aynı türde olacak xveya Seçim'i çağırmadan bunu yapmanın bir yolu varsa kurallı bir temsilci seçerek (destek teknisyenlerinin kullanımı ZFC'de de pek bilinmemektedir). NFU'da, genel kümelerin soyut özelliklerine eşdeğerlik sınıfı yapılarının kullanımı, örneğin aşağıdaki kardinal ve sıra sayısı tanımlarında olduğu gibi daha yaygındır.

Sıra numaraları

İki iyi sipariş ${ displaystyle W_ {1}}$ ve ${ displaystyle W_ {2}}$ vardır benzer ve yaz ${ displaystyle W_ {1} sim W_ {2}}$ sadece bir bijeksiyon olması durumunda f alanından ${ displaystyle W_ {1}}$ alanına ${ displaystyle W_ {2}}$ öyle ki ${ displaystyle xW_ {1} y leftrightarrow f (x) W_ {2} f (y)}$ hepsi için x ve y.

Benzerliğin, yukarıda eşitlik ilişkisi olarak gösterilen eşitlik ilişkisi gibi bir eşdeğerlik ilişkisi olduğu gösterilmiştir.

İçinde Yeni Vakıflar (NFU), sipariş türü iyi düzenlenmiş W benzer tüm iyi sıralamaların kümesidir W. Kümesi sıra sayıları tüm iyi sıralama türlerinin kümesidir.

Bu çalışmıyor ZFC, çünkü eşdeğerlik sınıfları çok büyük. Resmi olarak kullanmak mümkün olacaktır Scott'ın numarası sıra sayılarını esasen aynı şekilde tanımlamak, ancak von Neumann daha yaygın olarak kullanılır.

Herhangi bir kısmi sipariş için ${ displaystyle leq}$karşılık gelen kesin kısmi sipariş ${ displaystyle {(x, y) orta x leq y kama x neq y }}$. Katı doğrusal siparişler ve katı iyi sıralamalar benzer şekilde tanımlanır.

Bir set Bir olduğu söyleniyor geçişli Eğer ${ displaystyle bigcup A subseteq A}$: bir öğesinin her bir öğesi Bir aynı zamanda bir unsurdur Bir. Bir (von Neumann) sıra üyeliğin katı bir iyi sıralama olduğu geçişli bir settir.

ZFC'de, iyi bir siparişin sipariş türü W daha sonra, alanıyla eşit olan benzersiz von Neumann ordinal olarak tanımlanır. W ve ile ilişkili katı iyi sıralamaya izomorfik olan üyelik W. (eşitlik koşulu, ilişkili katı iyi sıralamaları ayırt edilemez olan, 0 ve 1 boyutlarındaki alanlarla iyi sıralamaları birbirinden ayırır).

ZFC'de tüm sıra sayıları kümesi olamaz. Aslında, von Neumann ordinalleri herhangi bir küme teorisinde tutarsız bir bütünlüktür: bir von Neumann ordinalinin her unsurunun bir von Neumann ordinal olduğu ve von Neumann ordinallerinin üyeliğe göre kesinlikle iyi sıralandığı mütevazı set teorik varsayımlarıyla gösterilebilir. . Bu, von Neumann sıralı sınıfının bir dizi olsaydı bir von Neumann ordinali olacağı sonucuna varır: ancak o zaman bu, üyeliğin von Neumann sıralarının katı bir iyi düzenlenmesi olduğu gerçeğiyle çelişen kendisinin bir unsuru olacaktır.

Tüm iyi sıralamalar için düzen türlerinin varlığı, bir teorem değildir Zermelo küme teorisi: gerektirir Değiştirme aksiyomu. Scott'ın hilesi bile, Zermelo küme teorisinde ek bir varsayım olmaksızın kullanılamaz (her kümenin bir kümeye ait olduğu varsayımı gibi) sıra Bu, esasen Zermelo küme teorisini güçlendirmeyen, ancak bu teorinin bir teoremi olmayan bir kümedir).

NFU'da, tüm sıra sayılarının toplanması, katmanlara ayrılmış bir anlayışla belirlenir. Burali-Forti paradoksu beklenmedik bir şekilde önlenir. Tarafından tanımlanan sıra sayılarında doğal bir düzen vardır. ${ displaystyle alpha leq beta}$ eğer ve sadece eğer bazıları (ve diğerleri) ${ displaystyle W_ {1} in alpha}$ bazılarının (ve benzerlerinin) ilk segmentine benzer ${ displaystyle W_ {2} in beta}$. Ayrıca, bu doğal düzenin sıra sıralarının iyi bir sıralaması olduğu ve bu nedenle bir emir türüne sahip olması gerektiği gösterilebilir. ${ displaystyle Omega}$. Sıralamaların sıra türü, şundan küçük görünüyordu:${ displaystyle Omega}$ doğal düzen ile ${ displaystyle Omega}$, gerçeğiyle çelişen ${ displaystyle Omega}$ sıra, sıra sayılarındaki tüm doğal düzenin emir türüdür (ve dolayısıyla, uygun ilk bölümlerinin hiçbiri değil). Ancak bu, kişinin sezgisine (ZFC'de doğru), sıra sayılarındaki doğal düzenin sıra türünün, ${ displaystyle alpha}$ dır-dir ${ displaystyle alpha}$ herhangi bir sıra için ${ displaystyle alpha}$. Bu iddia tabakalandırılmamıştır, çünkü ikincinin türü ${ displaystyle alpha}$ ilkinin türünden dörttür (bir tür düzeyi çifti kullanılıyorsa iki daha yüksektir). NFU'da doğru ve kanıtlanabilir olan iddia, sıra sayılarındaki doğal düzenin emir tipinin şudur: ${ displaystyle alpha}$ dır-dir ${ displaystyle T ^ {4} ( alpha)}$ herhangi bir sıra için ${ displaystyle alpha}$, nerede ${ displaystyle T ( alfa)}$ sipariş türüdür ${ displaystyle W ^ { iota} = {( {x }, {y }) orta xWy }}$ herhangi ${ displaystyle W in alpha}$ (bunun W seçimine bağlı olmadığını göstermek kolaydır; T'nin türü birer birer yükselttiğine dikkat edin). Bu nedenle, sıra sayılarının sipariş türü, ${ displaystyle Omega}$ doğal düzen ile ${ displaystyle T ^ {4} ( Omega)}$, ve ${ displaystyle T ^ {4} ( Omega) < Omega}$. Tüm kullanımları ${ displaystyle T ^ {4}}$ burası ile değiştirilebilir ${ displaystyle T ^ {2}}$ tür düzeyinde bir çift kullanılıyorsa.

Bu, T işleminin önemsiz olduğunu ve bunun birçok sonucu olduğunu gösterir. Hemen ardından tekli harita ${ displaystyle x mapsto {x }}$ bir küme değildir, aksi takdirde bu haritanın kısıtlamaları, W ve ${ displaystyle W ^ { iota}}$ herhangi bir iyi sipariş için W. T (harici olarak) önyargılı ve düzeni koruyucudur. Bu nedenle gerçek ${ displaystyle T ^ {4} ( Omega) < Omega}$ kurar ${ displaystyle Omega> T ( Omega)> T ^ {2} ( Omega) ldots}$ sıra olamayan sıra sayılarında "azalan dizi" dir.

T ile sabitlenen sıra sayıları denir Kantoryen Sıra sayıları ve yalnızca kantoryal sıralara hakim olan sıra sayıları (bunlar kolaylıkla kantorian olarak gösterilmektedir) kesinlikle kantoryen. Kantoryen sıra dizileri veya güçlü kantoryal sıra dizileri olamaz.

Arasöz: NFU'da von Neumann sıraları

Von Neumann sıra sayıları hakkında mantık yürütmek mümkündür. NFU. Bir von Neumann ordinalinin geçişli bir küme olduğunu hatırlayın Bir öyle ki üyeliğin kısıtlanması Bir katı bir iyi sipariştir. Üyelik ilişkisi bir tür farklılığı içerdiğinden, bu NFU bağlamında oldukça güçlü bir durumdur. Bir von Neumann sıralaması Bir NFU anlamında bir sıra değildir, ancak ${ displaystyle lceil A}$ bir sıraya aittir ${ displaystyle alpha}$ sipariş türü olarak adlandırılabilir (üyelik) Bir. Bir von Neumann ordinalinin sıra türünün Bir cantorian: herhangi bir iyi sipariş için W sipariş türü ${ displaystyle alpha}$, başlangıç ​​segmentlerinin indüklenmiş iyi sıralaması W dahil edilerek sipariş türü vardır ${ displaystyle T ( alfa)}$ (bir tür daha yüksektir, dolayısıyla T'nin uygulanması): ancak bir von Neumann ordinalinin iyi sıralanmasının sıra türleri Bir üyeliğe göre ve dahil ederek ilk segmentlerinin iyi sıralaması açıkça aynıdır çünkü iki iyi sıralama aslında aynı ilişkidir, bu nedenle sipariş türü Bir T altında sabitlenmiştir. Ayrıca, aynı argüman daha küçük herhangi bir sıra için de geçerlidir (bu, ilk segmentin sıra türü olacaktır. Bir, ayrıca bir von Neumann ordinalidir) bu nedenle herhangi bir von Neumann ordinalinin sıra türü güçlü bir şekilde kantoridir.

Ek varsayımlar olmaksızın NFU'da var olduğu gösterilebilen tek von Neumann sıraları somut sonlu olanlardır. Bununla birlikte, bir permütasyon yönteminin uygulanması, herhangi bir NFU modelini, her güçlü kantorian ordinalinin bir von Neumann ordinalinin sıra türü olduğu bir modele dönüştürebilir. Bu, "güçlü bir şekilde NFU ordinali" kavramının, "NFU ordinalinin" görünen analogundan "ZFC ordinaline" daha iyi bir analog olabileceğini düşündürmektedir.

Kardinal sayılar

Kardinal sayılar şu şekilde tanımlanır: NFU doğal sayı tanımını genelleyen bir şekilde: herhangi bir küme için Bir, ${ displaystyle | A | = _ { mathrm {def}} {B mid B sim A }}$.

İçinde ZFC, bu denklik sınıfları her zamanki gibi çok büyük. Scott'ın hilesi kullanılabilir (ve gerçekten de ZF ), ${ displaystyle | A |}$ genellikle en küçük sipariş türü (burada bir von Neumann sıralaması) olarak tanımlanır. Bir (her setin iyi sıralanabileceği, her iki teoride de olağan şekilde Seçim Aksiyomundan çıkar).

Kardinal sayılardaki doğal sıralama iyi bir sıralama olarak görülüyor: refleksif, antisimetrik (şu anda mevcut olan soyut kardinallerde) ve geçişli yukarıda gösterilmiştir. Doğrusal bir sıra olduğu, Seçim Aksiyomundan gelir: iyi sıralı iki küme ve bir iyi sıralamanın ilk bölümü diğerine izomorfik olacaktır, bu nedenle bir kümenin kardinalitesi diğerinden daha küçük olacaktır. Bunun iyi bir sıralama olduğu, Seçim Aksiyomundan da benzer şekilde çıkar.

Her sonsuz kardinal ile, olağan nedenlerle (her iki küme teorisinde) birçok sıra türü ilişkilendirilir.

Cantor'un teoremi (her iki teoride) sonsuz kardinal sayılar arasında önemsiz olmayan ayrımlar olduğunu gösterir. İçinde ZFC, biri kanıtlıyor ${ displaystyle | A | <| P (A) |.}$ İçinde NFU, Cantor teoreminin olağan formu yanlıştır (A = V durumunu düşünün), ancak Cantor teoremi yanlış yazılmış bir ifadedir. Teoremin doğru formu NFU dır-dir ${ displaystyle | P_ {1} (A) | <| P (A) |}$, nerede ${ displaystyle P_ {1} (A)}$ A'nın tek öğeli alt kümeleri kümesidir. ${ displaystyle | P_ {1} (V) | <| P (V) |}$ kümelerden "daha az" tekil olduğunu gösterir (bariz bir şekilde ${ displaystyle x mapsto {x }}$ itibaren ${ displaystyle P_ {1} (V)}$ -e V zaten bir set olmadığı görülmüştür). Aslında NFU + Choice'ta kanıtlanabilir ki ${ displaystyle | P_ {1} (V) | <| P (V) | ll | V |}$ (nerede ${ displaystyle ll}$ araya giren birçok kardinalin varlığına işaret eder; çok, çok sayıda urelement var!). Sıralılar üzerindeki T işlemine benzer şekilde kardinallerde bir tür yükseltme T işlemi tanımlayın: ${ displaystyle T (| A |) = | P_ {1} (A) |}$; bu, tıpkı sıra sayıları üzerindeki T işleminin sıra sayılarının harici bir endomorfizmi olması gibi, kardinallerin harici bir endomorfizmidir.

Bir set Bir olduğu söyleniyor kantoryen her ihtimale karşı ${ displaystyle | A | = | P_ {1} (A) | = T (| A |)}$; kardinal ${ displaystyle | A |}$ is also said to be a cantorian cardinal. Bir set Bir olduğu söyleniyor strongly cantorian (and its cardinal to be strongly cantorian as well) just in case the restriction of the singleton map to Bir (${displaystyle (xmapsto {x})lceil A}$) is a set. Well-orderings of strongly cantorian sets are always strongly cantorian ordinals; this is not always true of well-orderings of cantorian sets (though the shortest well-ordering of a cantorian set will be cantorian). A cantorian set is a set which satisfies the usual form of Cantor's theorem.

The operations of cardinal arithmetic are defined in a set-theoretically motivated way in both theories. ${displaystyle |A|+|B|={Ccup Dmid Csim Awedge Dsim Bwedge Ccap D=emptyset }}$. One would like to define ${ displaystyle | A | cdot | B |}$ gibi ${displaystyle |A imes B|}$, and one does this in ZFC, but there is an obstruction in NFU when using the Kuratowski pair: one defines ${ displaystyle | A | cdot | B |}$ gibi ${displaystyle T^{-2}(|A imes B|)}$ because of the type displacement of 2 between the pair and its projections, which implies a type displacement of two between a cartesian product and its factors. It is straightforward to prove that the product always exists (but requires attention because the inverse of T is not total).

Defining the exponential operation on cardinals requires T in an essential way: if ${displaystyle B^{A}}$ was defined as the collection of functions from Bir -e B, this is three types higher than Bir veya B, so it is reasonable to define ${displaystyle |B|^{|A|}}$ gibi ${displaystyle T^{-3}(|B^{A}|)}$ so that it is the same type as Bir veya B (${displaystyle T^{-1}}$ yerine geçer ${displaystyle T^{-3}}$ with type-level pairs). An effect of this is that the exponential operation is partial: for example, ${displaystyle 2^{|V|}}$ tanımsız. İçinde ZFC biri tanımlar ${displaystyle |B|^{|A|}}$ gibi ${displaystyle |B^{A}|}$ Zorluk olmadan.

The exponential operation is total and behaves exactly as expected on cantorian cardinals, since T fixes such cardinals and it is easy to show that a function space between cantorian sets is cantorian (as are power sets, cartesian products, and other usual type constructors). This offers further encouragement to the view that the "standard" cardinalities in NFU are the cantorian (indeed, the strongly cantorian) cardinalities, just as the "standard" ordinals seem to be the strongly cantorian ordinals.

Now the usual theorems of cardinal arithmetic with the axiom of choice can be proved, including ${displaystyle kappa cdot kappa =kappa }$. From the case ${displaystyle |V|cdot |V|=|V|}$ the existence of a type level ordered pair can be derived: ${displaystyle |V|cdot |V|=T^{-2}(|V imes V|)}$ eşittir ${ displaystyle | V |}$ her ihtimale karşı ${displaystyle |V imes V|=T^{2}(|V|)=|P_{1}^{2}(V)|}$, which would be witnessed by a one-to-one correspondence between Kuratowski pairs ${ displaystyle (a, b)}$ and double singletons ${displaystyle {{c}}}$: redefine ${ displaystyle (a, b)}$ olarak c öyle ki ${displaystyle {{c}}}$ is associated with the Kuratowski ${ displaystyle (a, b)}$: this is a type-level notion of ordered pair.

The Axiom of Counting and subversion of stratification

So there are two different implementations of the natural numbers in NFU (though they are the same in ZFC ): finite ordinals and finite cardinals. Each of these supports a T operation in NFU (basically the same operation). Kanıtlamak çok kolay ${ displaystyle T (n)}$ is a natural number if n is a natural number in NFU + Infinity + Choice (and so ${displaystyle |N|}$ and the firstinfinite ordinal ${ displaystyle omega}$ are cantorian) but it is not possible to prove in this theory that ${displaystyle T(n)=n}$. However, common sense indicates that this should be true, and so it can be adopted as an axiom:

• Rosser's Axiom of Counting: Her doğal sayı için n, ${displaystyle T(n)=n}$.

One natural consequence of this axiom (and indeed its original formulation) is

• ${displaystyle |{1,ldots ,n}|=n}$ her doğal sayı için n.

All that can be proved in NFU without Counting is ${displaystyle |{1,ldots ,n}|=T^{2}(n)}$.

A consequence of Counting is that N is a strongly cantorian set (again, this is an equivalent assertion).

Properties of strongly cantorian sets

The type of any variable restricted to a strongly cantorian set Bir can be raised or lowered as desired by replacing references to ${ displaystyle a A’da}$ referanslarla ${displaystyle igcup f(a)}$ (bir çeşit a raised; this presupposes that it is known that a is a set; otherwise one must say "the element of ${ displaystyle f (a)}$" to get this effect) or ${displaystyle f^{-1}({a})}$ (type of a lowered) where ${displaystyle f(a)={a}}$ hepsi için ${ displaystyle a A’da}$, so it is not necessary to assign types to such variables for purposes of stratification.

Any subset of a strongly cantorian set is strongly cantorian. The power set of a strongly cantorian set is strongly cantorian. The cartesian product of two strongly cantorian sets is strongly cantorian.

Introducing the Axiom of Counting means that types need not be assigned to variables restricted to N ya da P(N), R (the set of reals) or indeed any set ever considered in classical mathematics outside of set theory.

There are no analogous phenomena in ZFC. Ana bak Yeni Vakıflar article for stronger axioms that can be adjoined to NFU to enforce "standard" behavior of familiar mathematical objects.

Familiar number systems: positive rationals, magnitudes, and reals

Temsil etmek positive fractions as pairs of positive natural numbers (0 is excluded): ${displaystyle {frac {p}{q}}}$ çifti ile temsil edilir ${ displaystyle (p, q)}$. To make ${displaystyle {frac {p}{q}}={frac {r}{s}}leftrightarrow ps=qr}$, introduce the relation ${ displaystyle sim}$ tarafından tanımlandı ${displaystyle (p,q)sim (r,s)leftrightarrow ps=qr}$. It is provable that this is an equivalence relation: define positive rational numbers as equivalence classes of pairs of positive natural numbers under this relation. Arithmetic operations on positive rational numbers and the order relation on positive rationals are defined just as in elementary school and proved (with some effort) to have the expected properties.

Temsil etmek büyüklükler (positive reals) as nonempty proper initial segments of the positive rationals with no largest element. The operations of addition and multiplication on magnitudes are implemented by elementwise addition of the positive rational elements of the magnitudes. Order is implemented as set inclusion.

Temsil etmek gerçek sayılar as differences ${ displaystyle m-n}$ of magnitudes: formally speaking, a real number is an equivalence class of pairs ${displaystyle (m,n)}$ of magnitudes under the equivalence relation ${ displaystyle sim}$ tarafından tanımlandı ${displaystyle (m,n)sim (r,s)leftrightarrow m+s=n+r}$. The operations of addition and multiplication on real numbers are defined just as one would expect from the algebraic rules for adding and multiplying differences. The treatment of order is also as in elementary algebra.

This is the briefest sketch of the constructions. Note that the constructions are exactly the same in ZFC ve NFU, except for the difference in the constructions of the natural numbers: since all variables are restricted to strongly cantorian sets, there is no need to worry about stratification restrictions. Without the Axiom of Counting, it might be necessary to introduce some applications of T in a full discussion of these constructions.

Operations on indexed families of sets

In this class of constructions it appears that ZFC üstünlüğü var NFU: though the constructions are clearly feasible in NFU, they are more complicated than in ZFC for reasons having to do with stratification.

Throughout this section assume a type-level ordered pair. Tanımlamak ${displaystyle (x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})}$ gibi ${displaystyle (x_{1},(x_{2},ldots ,x_{n}))}$. The definition of the general n-tuple using the Kuratowski pair is trickier, as one needs to keep the types of all the projections the same, and the type displacement between the n-tuple and its projections increases as n artışlar. Burada n-tuple has the same type as each of its projections.

General cartesian products are defined similarly: ${displaystyle A_{1} imes A_{2} imes ldots imes A_{n}=A_{1} imes (A_{2} imes ldots imes A_{n})}$

The definitions are the same in ZFC but without any worries about stratification (the grouping given here is opposite to that more usually used, but this is easily corrected for).

Now consider the infinite cartesian product ${displaystyle Pi _{iin I}A_{i}}$. In ZFC, this is defined as the set of all functions f etki alanı ile ben öyle ki ${displaystyle f(i)in A_{i}}$ (nerede Bir is implicitly understood as a function taking each ben -e ${ displaystyle A_ {i}}$).

In NFU, this is requires attention to type. Bir set verildi ben and set valued function Bir whose value at ${displaystyle {i}}$ içinde ${displaystyle P_{1}(I)}$ yazılmış ${ displaystyle A_ {i}}$, Define ${displaystyle Pi _{iin I}A_{i}}$ as the set of all functions f etki alanı ile ben öyle ki ${displaystyle f(i)in A_{i}}$: notice that ${displaystyle f(i)in A_{i}=A({i})}$ is stratified because of our convention that Bir is a function with values at singletons of the indices. Note that the very largest families of sets (which cannot be indexed by sets of singletons) will not have cartesian products under this definition. Note further that the sets ${ displaystyle A_ {i}}$ are at the same type as the index set ben (since one type higher than its elements); the product, as a set of functions with domain ben (so at the same type as ben) is one type higher (assuming a type-level ordered pair).

Now consider the product ${displaystyle Pi _{iin I}|A_{i}|}$ of the cardinals of these sets. The cardinality |${displaystyle Pi _{iin I}A_{i}}$| is one type higher than the cardinals ${displaystyle |A_{i}|}$, so the correct definition of the infinite product of cardinals is ${displaystyle T^{-1}(|Pi _{iin I}A_{i}|)}$ (because the inverse of T is not total, it is possible that this may not exist).

Repeat this for disjoint unions of families of sets and sums of families of cardinals. Yine izin ver Bir be a set-valued function with domain ${displaystyle P_{1}(I)}$: write ${ displaystyle A_ {i}}$ için ${displaystyle A({i})}$. The disjoint union ${displaystyle Sigma _{iin I}A_{i}}$ set ${displaystyle {(i,a)mid ain A_{i}}}$. This set is at the same type as the sets ${ displaystyle A_ {i}}$.

The correct definition of the sum ${displaystyle Sigma _{iin I}|A_{i}|}$ bu yüzden ${displaystyle |Sigma _{iin I}A_{i}|}$, since there is no type displacement.

It is possible to extend these definitions to handle index sets which are not sets of singletons, but this introduces an additional type level and is not needed for most purposes.

In ZFC, define the disjoint union ${displaystyle Sigma _{iin I}A_{i}}$ gibi ${displaystyle {(i,a)mid ain A_{i}}}$, nerede ${ displaystyle A_ {i}}$ kısaltmalar ${displaystyle A(i)}$.

Permutation methods can be used to show relative consistency with NFU of the assertion that for every strongly cantorian set A there is a set ben of the same size whose elements are self-singletons: ${displaystyle i={i}}$ her biri için ben içinde ben.

The cumulative hierarchy

İçinde ZFC, tanımla kümülatif hiyerarşi as the ordinal-indexed sequence of sets satisfying the following conditions: ${displaystyle V_{0}=emptyset }$; ${displaystyle V_{alpha +1}=P(V_{alpha })}$; ${displaystyle V_{lambda }=igcup {V_{eta }mid eta$ for limit ordinals ${ displaystyle lambda}$. This is an example of a construction by sonsuz özyineleme. The rank of a set Bir olduğu söyleniyor ${ displaystyle alpha}$ ancak ve ancak ${displaystyle Ain V_{alpha +1}-V_{alpha }}$. The existence of the ranks as sets depends on the axiom of replacement at each limit step (the hierarchy cannot be constructed in Zermelo küme teorisi ); by the axiom of foundation, every set belongs to some rank.

Kardinal ${displaystyle |P(V_{omega +alpha })|}$ denir ${displaystyle eth _{alpha }}$.

This construction cannot be carried out in NFU because the power set operation is not a set function in NFU (${ displaystyle P (A)}$ is one type higher than A for purposes of stratification).

The sequence of cardinals ${displaystyle eth _{alpha }}$ can be implemented in NFU. Hatırlamak ${displaystyle 2^{|A|}}$ olarak tanımlanır ${displaystyle T^{-1}(|{0,1}^{A}|)}$, nerede ${ displaystyle {0,1 }}$ is a convenient set of size 2, and ${displaystyle |{0,1}^{A}|=|P(A)|}$. İzin Vermek ${displaystyle eth }$ be the smallest set of cardinals which contains ${displaystyle |N|}$ (the cardinality of the set of natural numbers), contains the cardinal ${displaystyle 2^{|A|}}$ whenever it contains ${displaystyle |A|}$, and which is closed under suprema of sets of cardinals.

A convention for ordinal indexing of any well-ordering ${ displaystyle W _ { alpha}}$ is defined as the element x of the field of ${ displaystyle W}$ such thatthe order type of the restriction of ${ displaystyle W}$ -e ${displaystyle {ymid yWx}}$ dır-dir ${ displaystyle alpha}$; sonra tanımla ${displaystyle eth _{alpha }}$ as the element with index ${ displaystyle alpha}$ in the natural order on the elements of ${displaystyle eth }$. Kardinal ${ displaystyle aleph _ { alpha}}$ is the element with index ${ displaystyle alpha}$ in the natural order on all infinite cardinals (which is a well-ordering, see above). Bunu not et ${displaystyle aleph _{0}=|N|}$ follows immediately from this definition. In all these constructions, notice that the type of the index ${ displaystyle alpha}$ is two higher (with type-level ordered pair) than the type of ${ displaystyle W _ { alpha}}$.

Her set Bir of ZFC has a transitive closure ${displaystyle TC(A)}$ (the intersection of all transitive sets which contains Bir). By the axiom of foundation, the restriction of the membership relation to the transitive closure of Bir bir sağlam temelli ilişki. İlişki ${displaystyle in lceil TC(A)}$ is either empty or has Bir as its top element, so this relation is a set picture. It can be proved in ZFC that every set picture is isomorphic to some ${displaystyle in lceil TC(A)}$.

This suggests that (an initial segment of) the cumulative hierarchy can be studied by considering the isomorphism classes of set pictures. These isomorphism classes are sets and make up a set in NFU. There is a natural set relation analogous to membership on isomorphism classes of set pictures: if ${ displaystyle x}$ is a set picture, write ${ displaystyle [x]}$ for its isomorphism class and define ${displaystyle [x]E[y]}$ as holding if ${ displaystyle [x]}$ is the isomorphism class of the restriction of y to the downward closure of one of the elements of the preimage under y of the top element of y. The relation E is a set relation, and it is straightforward to prove that it is well-founded and extensional. If the definition of E is confusing, it can be deduced from the observation that it is induced by precisely the relationship which holds between the set picture associated with Bir and the set picture associated with B ne zaman ${ displaystyle A B’de}$ in the usual set theory.

There is a T operation on isomorphism classes of set pictures analogous to the T operation on ordinals: if x is a set picture, so is ${ displaystyle x ^ { iota} = {( {a }, {b }) ortada (a, b) x içinde }}$. Tanımlamak ${ displaystyle T ([x])}$ gibi ${ displaystyle [x ^ { iota}]}$. Bunu görmek kolay ${ displaystyle [x] E [y] leftrightarrow T ([x]) = T ([y])}$.

Bu simüle edilmiş küme teorisi için bir genişleme aksiyomu, E'nin genişlemesinden kaynaklanmaktadır. Sağlam temele dayanılarak, bir temelin temelini izler. E'nin anlama aksiyomunun ne olabileceği sorusu kalır. Herhangi bir set resim koleksiyonunu düşünün ${ displaystyle {x ^ { iota} orta x S }}$ (alanları tamamen tekli tonlardan oluşan set resimler koleksiyonu). Her biri ${ displaystyle x ^ { iota}}$ x'den daha yüksek bir türdür (tür düzeyinde sıralı bir çift kullanarak), her bir öğeyi değiştirir ${ displaystyle {a }}$ her birinin alanının ${ displaystyle x ^ { iota}}$ koleksiyonda ${ displaystyle (x, {a })}$ orijinal koleksiyonla eşbiçimli, ancak alanları ayrık olan bir dizi resim koleksiyonuyla sonuçlanır. Bu set resimlerinin yeni bir üst öğe ile birleşimi, izomorfizm tipi E altındaki ön görüntülerinde tam olarak orijinal koleksiyonun unsurlarına sahip olacak bir set resmi verir. Yani, herhangi bir izomorfizm türü koleksiyonu için ${ displaystyle [x ^ { iota}] = T ([x])}$bir izomorfizm türü var ${ displaystyle [y]}$ E altındaki ön görüntüsü tam da bu koleksiyon.

Özellikle, bir izomorfizm tipi olacak [v] E altındaki ön görüntüsü kimin herşey T[x] 's (dahil T[v]). Dan beri T[v] E v ve E sağlam temellere dayanır, ${ displaystyle T [v] neq v}$. Bu, yukarıda tartışılan Burali-Forti paradoksunun çözümüne benzer. Yeni Vakıflar makale ve aslında yerel karar Mirimanoff paradoksu tüm sağlam temelli setlerden oluşan set.

Her zamanki küme teorisinde küme sıraları olduğu gibi, küme resimlerinin izomorfizm sınıflarının da dereceleri vardır. Herhangi bir set resim koleksiyonu için Bir, tanımlamak S(Bir) E altındaki ön görüntüleri A'nın bir alt kümesi olan set resimlerinin tüm izomorfizm sınıflarının kümesi olarak; A'yı "tam" bir küme olarak çağırın, Bir E altında bir ön görüntüdür. "Rütbeler" koleksiyonu, boş seti içeren en küçük koleksiyondur ve S operasyonu (bir tür güç seti yapımı olan) ve alt koleksiyonlarının birlikleri altında kapatılmıştır. Sıralamaların dahil edilmeye göre iyi sıralandığını kanıtlamak (her zamanki küme teorisinde olduğu gibi) basittir ve bu nedenle sıralamaların bu iyi sırada bir indeksi vardır: indeksli sıralamaya bakın ${ displaystyle alpha}$ gibi ${ displaystyle R _ { alpha}}$. Kanıtlanabilir ki ${ displaystyle | R _ { alpha} | = beth _ { alpha}}$ tam saflar için ${ displaystyle R _ { alpha}}$. Tam sıraların (ilk tamamlanmamış sıra olacak) E ilişkisiyle birleşimi, Zermelo tarzı küme teorisinin evreninin ilk parçası gibi görünüyor (illa ki tüm evren gibi değil ZFC çünkü yeterince büyük olmayabilir). Kanıtlanabilir ki eğer ${ displaystyle R _ { alpha}}$ ilk tamamlanmamış rütbedir, o zaman ${ displaystyle R_ {T ( alpha)}}$ tam bir rütbedir ve bu nedenle ${ displaystyle T ( alpha) < alpha}$. Dolayısıyla, bir "harici otomorfizm" T ile bir "kümülatif hiyerarşi sıralaması" vardır; Yeni Vakıflar makale. Doğrulanacak teknik ayrıntılar var, ancak yalnızca bir parçanın yorumlanması yok. ZFC Ama NFU kendisi ile bu yapıda $_ {NFU} [y]} içinde { displaystyle [x]$ olarak tanımlandı ${ displaystyle T ([x]) E [y] kama [y] içinde R_ {T ( alpha) +1}}$: bu "ilişki" ${ displaystyle E_ {NFU}}$ belirli bir ilişki değildir, ancak argümanları arasında olağan üyelik ilişkisi ile aynı türden yer değiştirmeye sahiptir. ${ displaystyle in}$.

Dolayısıyla, kümülatif kümeler hiyerarşisinin NFU'sunun içinde, Zermelo tarzı küme teorisinde bir NFU modelinin doğal yapısını içselleştiren doğal bir yapı vardır.

Kantorian Set Aksiyomu altında açıklanan Yeni Vakıflar Makalede, üyelik (uygun sınıf) ZFC modeline dönüştüğü için, E ilişkisine sahip set resimlerin izomorfizm sınıfları kümesinin güçlü bir şekilde kantorian bölümü (içinde n-Mahlo kardinalleri her biri içinn; NFU'nun bu uzantısı kesinlikle ZFC'den daha güçlüdür). Bu uygun bir sınıf modelidir çünkü güçlü kantorian izomorfizm sınıfları bir küme oluşturmaz.

Permütasyon yöntemleri, herhangi bir NFU modelinden, her güçlü kantorian izomorfizm tipindeki set resimlerinin gerçekte gerçek üyelik ilişkisinin bir setin geçişli kapanışıyla sınırlandırılması olarak gerçekleştirildiği bir model yaratmak için kullanılabilir.

Ayrıca bakınız

• Aksiyomatik küme teorisi

Referanslar

• Keith Devlin, 1994. Setlerin Keyfi, 2. baskı. Springer-Verlag.
• Holmes, Randall, 1998. Evrensel Küme ile Temel Küme Teorisi. Academia-Bruylant. Yayıncı, bu tanıtımın web üzerinden NFU'ya yayılmasına izin vermeyi nezaketle kabul etti. Telif hakkı saklıdır.
• Potter, Michael, 2004. Küme Teorisi ve Felsefesi, 2. baskı. Oxford Üniv. Basın.
• Destekler, Patrick, 1972. Aksiyomatik Küme Teorisi. Dover.
• Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Cilt. 2. Cambridge Üniv. Basın.

Dış bağlantılar

• Metamath: ZFC aksiyomlarından matematiğin devam eden bir türetilmesine adanmış bir web sitesi ve birinci dereceden mantık.
• Stanford Felsefe Ansiklopedisi:
  • Quine'in Yeni Temelleri - Thomas Forster tarafından.
  • Alternatif aksiyomatik küme teorileri - Randall Holmes tarafından.
• Randall Holmes: Yeni Vakıflar Ana Sayfası