Kolmogorov eşitsizliği - Kolmogorovs inequality - Wikipedia

İçinde olasılık teorisi, Kolmogorov eşitsizliği sözde "maksimal eşitsizlik "bu, olasılığa bir sınır verir kısmi toplamlar bir sonlu koleksiyonu bağımsız rastgele değişkenler belirtilen bazı sınırları aşmak. Eşitsizlik, Rusça matematikçi Andrey Kolmogorov.[kaynak belirtilmeli ]

Eşitsizlik beyanı

İzin Vermek X1, ..., Xn : Ω →R olmak bağımsız rastgele değişkenler ortak olarak tanımlanmış olasılık uzayı (Ω,F, Pr) ile beklenen değer E [Xk] = 0 ve varyans Var [Xk] <+ ∞ için k = 1, ..., n. Ardından, her λ> 0 için,

nerede Sk = X1 + ... + Xk.

Bu sonucun rahatlığı, en kötü durum sapmasını sınırlayabilmemizdir. rastgele yürüyüş zaman aralığının sonundaki değerini kullanarak herhangi bir zamanda.

Kanıt

Aşağıdaki argümanın sebebi Kareem Amin ve ayrık kullanır Martingales. Tartışmasında tartışıldığı gibi Doob'un martingale eşitsizliği, sekans bir martingaldır. tanımla aşağıdaki gibi. İzin Vermek , ve

hepsi için .Sonra aynı zamanda bir martingaldır.

Herhangi bir martingale için ile bizde var

Bu sonucu martingale uygulamak , sahibiz

ilk eşitsizliğin ardından Chebyshev eşitsizliği.


Bu eşitsizlik 1955'te Hájek ve Renyi tarafından genelleştirildi.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  • Billingsley Patrick (1995). Olasılık ve Ölçü. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-00710-2. (Teorem 22.4)
  • Feller, William (1968) [1950]. Olasılık Teorisine Giriş ve Uygulamaları, Cilt 1 (Üçüncü baskı). New York: John Wiley & Sons, Inc. xviii + 509. ISBN  0-471-25708-7.

Bu makale, Kolmogorov'un eşitsizliğiyle ilgili materyalleri içermektedir. PlanetMath altında lisanslı olan Creative Commons Atıf / Benzer Paylaşım Lisansı.