Lagranges kimliği - Lagranges identity - Wikipedia

İçinde cebir, Lagrange kimliği, adını Joseph Louis Lagrange, dır-dir:[1][2]

herhangi iki küme için geçerlidir {a1, a2, . . ., an} ve {b1, b2, . . ., bn} nın-nin gerçek veya Karışık sayılar (veya daha genel olarak, bir değişmeli halka ). Bu kimlik bir genellemedir Brahmagupta – Fibonacci kimliği ve özel bir form Binet-Cauchy kimliği.

Daha kompakt bir vektör gösteriminde, Lagrange kimliği şu şekilde ifade edilir:[3]

nerede a ve b vardır ngerçek sayı olan bileşenlere sahip boyutlu vektörler. Karmaşık sayıların uzantısı, nokta ürün olarak iç ürün veya Hermitian nokta çarpımı. Açıkça, karmaşık sayılar için Lagrange kimliği şu şekilde yazılabilir:[4]

dahil mutlak değer.[5]

Kimliğin sağ tarafı açıkça olumsuz olmadığı için, şu anlama gelir: Cauchy eşitsizliği içinde sonlu boyutlu gerçek koordinat alanın ve karmaşık karşılığı ℂn.

Geometrik olarak, özdeşlik bir dizi vektör tarafından yayılan paralel yüzlü hacminin karesinin, Gram belirleyici vektörlerin.

Lagrange kimliği ve dış cebir

Açısından kama ürünü, Lagrange kimliği yazılabilir

Dolayısıyla tanımladıkları paralelkenarın alanı olan iki vektörün kama çarpımının uzunluğunu iki vektörün iç çarpımları cinsinden veren bir formül olarak görülebilir.

Lagrange kimliği ve vektör hesabı

Üç boyutta Lagrange kimliği, eğer a ve b vektörler ℝ3 uzunluklarla |a| ve |b|, daha sonra Lagrange'ın kimliği, Çapraz ürün ve nokta ürün:[6][7]

Açı tanımını kullanarak nokta ürün (Ayrıca bakınız Cauchy-Schwarz eşitsizliği ), sol taraf

θ vektörlerin oluşturduğu açıdır a ve b. Kenarları olan bir paralelkenarın alanı |a| ve |b| ve θ açısının temel geometride olduğu bilinmektedir

dolayısıyla Lagrange kimliğinin sol tarafı paralelkenarın kare alanıdır. Sağ tarafta görünen çapraz çarpım şu şekilde tanımlanır:

Bu, bileşenleri büyüklük olarak paralelkenarın projeksiyonlarının alanlarına eşit olan bir vektördür. yz, zx, ve xy sırasıyla uçaklar.

Yedi boyut

İçin a ve b ℝ'deki vektörler gibi7, Lagrange'ın kimliği ℝ durumunda olduğu gibi aynı formu alır3 [8]

Ancak 7 boyuttaki çapraz çarpım, 3 boyutta çapraz çarpımın tüm özelliklerini paylaşmaz. Örneğin, yönü a × b 7 boyutlu olarak aynı olabilir c × d buna rağmen c ve d doğrusal olarak bağımsızdır a ve b. Ayrıca yedi boyutlu çapraz çarpım ile uyumlu değil Jacobi kimliği.[8]

Kuaterniyonlar

Bir kuaterniyon p skaler toplamı olarak tanımlanır t ve bir vektör v:

İki kuaterniyonun çarpımı p = t + v ve q = s + w tarafından tanımlanır

Kuaterniyonik eşleniği q tarafından tanımlanır

ve norm karesi

Kuaterniyon cebirindeki normun çarpımı, kuaterniyonlar için sağlar p ve q:[9]

Kuaterniyonlar p ve q skaler kısmı sıfırsa sanal olarak adlandırılır; eşdeğer olarak, eğer

Lagrange kimliği, hayali kuaterniyonlar normunun çok yönlülüğüdür.

çünkü tanım gereği

Cebirsel formun kanıtı

Vektör formu, Binet-Cauchy kimliğini ayarlayarak izler cben = aben ve dben = bben. İkinci versiyon, cben ve dben belirtmek karmaşık eşlenikler nın-nin aben ve bben, sırasıyla,

İşte doğrudan bir kanıt.[10] Sol taraftaki ilk terimin açılımı:

(1)   

bu, bir sütunun ürünü anlamına gelir as ve bir sıra bs bir kare verir (öğelerinin toplamı) abs, bir köşegen ve köşegenin her iki tarafında bir çift üçgene bölünebilir.

Lagrange kimliğinin sol tarafındaki ikinci terim şu şekilde genişletilebilir:

(2)   

Bu, simetrik bir karenin köşegenine ve köşegenin her iki yanında bir çift eşit üçgene bölünebileceği anlamına gelir.

Lagrange kimliğinin sağ tarafındaki toplamı genişletmek için, önce toplamın içindeki kareyi genişletin:

Toplamı sağ tarafa dağıtın,

Şimdi endeksleri değiştirin ben ve j sağ taraftaki ikinci terim ve permütasyon b üçüncü terimin faktörleri:

(3)   

Lagrange kimliğinin sol tarafına dönelim: Denklemler tarafından genişletilmiş biçimde verilen iki terim vardır. ('1 ') ve ('2 '). Denklemin sağ tarafındaki ilk terim ('2 ') Denklemin sağ tarafındaki ilk terimi iptal ederek sona erer ('1 '), verimli

('1 ') - ('2 ') =

Denklem ile aynı olan ('3 '), dolayısıyla Lagrange'ın kimliği gerçekten bir kimliktir, Q.E.D..

Karmaşık sayılar için Lagrange kimliğinin kanıtı

Normlu bölme cebirleri, çarpımın normunun normların çarpımına eşit olmasını gerektirir. Lagrange kimliği bu eşitliği sergiler.Burada başlangıç ​​noktası olarak kullanılan ürün kimliği, scator cebirleri için normun çarpımı ile ürün eşitliği normunun bir sonucudur. Orijinal olarak deforme olmuş bir Lorentz metriği bağlamında sunulan bu öneri, hiperbolik scator cebirindeki ürün işleminden ve büyüklük tanımından kaynaklanan bir dönüşüme dayanmaktadır.[11]Lagrange'ın kimliği çeşitli yollarla kanıtlanabilir.[4]Çoğu türetme, kimliği bir başlangıç ​​noktası olarak kullanır ve eşitliğin doğru olduğunu şu ya da bu şekilde kanıtlar. Mevcut yaklaşımda, Lagrange kimliği aslında varsayılmadan türetilmiştir. Önsel.[kaynak belirtilmeli ]

İzin Vermek karmaşık sayılar olabilir ve üst çubuk karmaşık eşleniği temsil eder.

Ürün kimliği bir dizi genişletmede dördüncü derece terimler dikkate alındığında karmaşık Lagrange kimliğine indirgenir.

Bunu kanıtlamak için, ürün kimliğinin LHS'sindeki ürünü, dördüncü sıraya kadar seri olarak genişletin. Bu amaçla, formdaki ürünleri hatırlayın toplamlar açısından genişletilebilirnerede üçüncü veya daha yüksek dereceli terimler anlamına gelir .

Sağ taraftaki iki faktör de seri olarak yazılmıştır.

Bu ifadenin dördüncü sıraya kadar olan ürünü:

Ürün kimliğindeki bu iki sonucun ikame edilmesi

İki konjugat serisinin çarpımı, konjuge terimlerin çarpımını içeren seriler olarak ifade edilebilir. Eşlenik seri ürün , Böylece

LHS'deki son iki serinin şartları şu şekilde gruplandırılmıştır: karmaşık Lagrange kimliğini elde etmek için:

Modüller açısından,

Lagrange'ın karmaşık sayılar için kimliği, basit bir ürün kimliğinden elde edilmiştir. Gerçekler için bir türetme açıkça daha da kısadır. Cauchy-Schwarz eşitsizliği Lagrange kimliğinin özel bir durumu olduğundan,[4] bu kanıt, CS eşitsizliğini elde etmenin başka bir yoludur. Serideki yüksek mertebeden terimler yeni kimlikler üretir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ Eric W. Weisstein (2003). CRC özlü matematik ansiklopedisi (2. baskı). CRC Basın. ISBN  1-58488-347-2.
  2. ^ Robert E Greene; Steven G Krantz (2006). "Egzersiz 16". Bir karmaşık değişkenin fonksiyon teorisi (3. baskı). Amerikan Matematik Derneği. s. 22. ISBN  0-8218-3962-4.
  3. ^ Vladimir A. Boichenko; Gennadiĭ Alekseevich Leonov; Volker Reitmann (2005). Sıradan diferansiyel denklemler için boyut teorisi. Vieweg + Teubner Verlag. s. 26. ISBN  3-519-00437-2.
  4. ^ a b c J. Michael Steele (2004). "Alıştırma 4.4: Lagrange'ın karmaşık sayılar için kimliği". Cauchy-Schwarz ana sınıfı: matematiksel eşitsizlikler sanatına giriş. Cambridge University Press. s. 68–69. ISBN  0-521-54677-X.
  5. ^ Greene, Robert E .; Krantz Steven G. (2002). Bir Karmaşık Değişkenin Fonksiyon Teorisi. Providence, R.I .: Amerikan Matematik Derneği. s. 22, Egzersiz 16. ISBN  978-0-8218-2905-9.;
    Palka, Bruce P. (1991). Karmaşık Fonksiyon Teorisine Giriş. Berlin, New York: Springer-Verlag. s.27, Egzersiz 4.22. ISBN  978-0-387-97427-9..
  6. ^ Howard Anton; Chris Rorres (2010). "Nokta ve çapraz ürünler arasındaki ilişkiler". Elementary Lineer Cebir: Uygulama Sürümü (10. baskı). John Wiley and Sons. s. 162. ISBN  0-470-43205-5.
  7. ^ Pertti Lounesto (2001). Clifford cebirleri ve spinörleri (2. baskı). Cambridge University Press. s. 94. ISBN  0-521-00551-5.
  8. ^ a b Kapı Pertti Lounesto (2001). Clifford cebirleri ve spinörleri (2. baskı). Cambridge University Press. ISBN  0-521-00551-5. Özellikle bakın § 7.4 ℝ'deki çapraz ürünler7, s. 96.
  9. ^ Jack B. Kuipers (2002). "§5.6 Norm". Kuaterniyonlar ve rotasyon dizileri: yörüngelere uygulamaları olan bir astar. Princeton University Press. s. 111. ISBN  0-691-10298-8.
  10. ^ Örneğin bkz. Frank Jones, Rice Üniversitesi Bölüm 7, sayfa 4 kitap hala yayınlanacak.
  11. ^ M. Fernández-Guasti, Göreli hızların bileşimi için alternatif gerçekleştirme, Optik ve Fotonik 2011, cilt. 8121 Işığın doğası: Foton nedir? IV, s. 812108–1–11. SPIE, 2011.

Dış bağlantılar