Lax-Friedrichs yöntemi - Lax–Friedrichs method

Lax-Friedrichs yöntemi, adını Peter Lax ve Kurt O. Friedrichs, bir sayısal çözümü için yöntem hiperbolik kısmi diferansiyel denklemler dayalı sonlu farklar. Yöntem şu şekilde tanımlanabilir: FTCS (zamanda ileri, uzayda merkezlenmiş) şeması 1/2 sayısal dağılım terimi ile. Lax-Friedrichs yöntemini, Godunov'un planı, biri çözmekten kaçınırsa Riemann sorunu yapay viskozite eklenmesi pahasına her hücre arayüzünde.

Doğrusal Bir Problem İçin Örnek

Tek boyutlu, doğrusal hiperbolik kısmi diferansiyel denklemi düşünün. ${displaystyle u (x, t)}$ şeklinde:

${displaystyle u_ {t} + au_ {x} = 0,}$

etki alanında

${displaystyle bleq xleq c,; 0leq tleq d}$

başlangıç ​​koşulu ile

${displaystyle u (x, 0) = u_ {0} (x),}$

ve sınır koşulları

${displaystyle u (b, t) = u_ {b} (t),}$

${displaystyle u (c, t) = u_ {c} (t).,}$

Alanın ayrılması durumunda ${displaystyle (b, c) imes (0, d)}$ eşit aralıklı noktalara sahip bir ızgaraya ${displaystyle Delta x}$ içinde ${displaystyle x}$yön ve ${displaystyle Delta t}$ içinde ${displaystyle t}$-yön, biz tanımlıyoruz

${displaystyle u_ {i} ^ {n} = u (x_ {i}, t ^ {n}) {ext {with}} x_ {i} = b + i, Delta x ,, t ^ {n} = n , Delta t {ext {for}} i = 0, ldots, N ,, n = 0, ldots, M,}$

nerede

${displaystyle N = {frac {c-b} {Delta x}} ,, M = {frac {d} {Delta t}}}$

ızgara aralıklarının sayısını temsil eden tam sayılardır. Sonra, yukarıdaki kısmi diferansiyel denklemi çözmek için Lax-Friedrichs yöntemi şu şekilde verilir:

${displaystyle {frac {u_ {i} ^ {n + 1} - {frac {1} {2}} (u_ {i + 1} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n})} { Delta t}} + a {frac {u_ {i + 1} ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n}} {2, Delta x}} = 0}$

Veya bilinmeyeni çözmek için bunu yeniden yazmak ${displaystyle u_ {i} ^ {n + 1},}$

${displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = {frac {1} {2}} (u_ {i + 1} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n}) - a {frac { Delta t} {2, Delta x}} (u_ {i + 1} ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n}),}$

İlk değerlerin ve sınır düğümlerinin nereden alındığı

${displaystyle u_ {i} ^ {0} = u_ {0} (x_ {i})}$

${displaystyle u_ {0} ^ {n} = u_ {b} (t ^ {n})}$

${displaystyle u_ {N} ^ {n} = u_ {c} (t ^ {n}).}$

Doğrusal Olmayan Sorunların Uzantıları

Doğrusal olmayan bir hiperbolik koruma yasası, bir akı işlevi aracılığıyla tanımlanır ${displaystyle f}$:

${displaystyle u_ {t} + (f (u)) _ {x} = 0.}$

Bu durumuda ${displaystyle f (u) = au}$, bir skaler doğrusal problemle sonuçlanırız. Genel olarak şunu unutmayın: ${displaystyle u}$ ile bir vektör ${displaystyle m}$ Lax-Friedrichs yönteminin doğrusal olmayan sistemlere genelleştirilmesi şeklini alır.^[1]

${displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = {frac {1} {2}} (u_ {i + 1} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n}) - {frac {Delta t} {2, Delta x}} (f (u_ {i + 1} ^ {n}) - f (u_ {i-1} ^ {n})).}$

Bu yöntem muhafazakar ve birinci dereceden doğrudur, dolayısıyla oldukça tüketicidir. Bununla birlikte, hiperbolik kısmi diferansiyel denklemleri çözmek için yüksek dereceli sayısal şemalar oluşturmak için bir yapı taşı olarak kullanılabilir, tıpkı Euler zaman adımlarının, sıradan diferansiyel denklemler için yüksek dereceli sayısal entegratörler oluşturmak için bir yapı taşı olarak kullanılabileceği gibi.

Bu yöntemin koruma formunda yazılabileceğini not ediyoruz:

${displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = u_ {i} ^ {n} - {frac {Delta t} {Delta x}} sol ({hat {f}} _ {i + 1/2} ^ {n} - {hat {f}} _ {i-1/2} ^ {n} ıght),}$

nerede

${displaystyle {hat {f}} _ {i-1/2} ^ {n} = {frac {1} {2}} sol (f_ {i-1} + f_ {i} ight) - {frac {Delta x} {2Delta t}} kaldı (u_ {i} ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n} ight).}$

Ekstra şartlar olmadan ${displaystyle u_ {i} ^ {n}}$ ve ${displaystyle u_ {i-1} ^ {n}}$ ayrık akışta, ${displaystyle {şapka {f}} _ {i-1/2} ^ {n}}$, biri ile biter FTCS şeması Hiperbolik problemler için koşulsuz olarak istikrarsız olduğu iyi bilinir.

Kararlılık ve doğruluk

Örnek problem başlangıç ​​koşulu

Lax-Friedrichs çözümü

Bu yöntem açık ve ilk sipariş zamanında doğru ve uzayda birinci derece doğru (${displaystyle O (Delta t) + O ({frac {Delta x ^ {2}} {Delta t}})}$ sağlanan ${displaystyle u_ {0} (x) ,, u_ {b} (t) ,, u_ {c} (t)}$ yeterince düzgün işlevlerdir. Bu koşullar altında yöntem kararlı ancak ve ancak aşağıdaki koşul karşılanırsa:

${displaystyle left | a {frac {Delta t} {Delta x}} ight | leq 1.}$

(Bir von Neumann kararlılık analizi Bu stabilite koşulunun gerekliliğini gösterebilir.) Lax – Friedrichs yöntemi ikinci dereceden olarak sınıflandırılır. yayılma ve üçüncü derece dağılım (Chu 1978, sf. 304). Sahip fonksiyonlar için süreksizlikler, şema güçlü bir dağılım ve dağılım gösterir (Thomas 1995, §7.8); sağdaki şekillere bakın.

Referanslar

• DuChateau, Paul; Zachmann, David (2002), Uygulamalı Kısmi Diferansiyel Denklemler, New York: Dover Yayınları, ISBN  978-0-486-41976-3.
• Thomas, J.W. (1995), Sayısal Kısmi Diferansiyel Denklemler: Sonlu Fark Yöntemleri, Uygulamalı Matematik Metinleri, 22, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97999-1.
• Chu, C. K. (1978), Akışkanlar Mekaniğinde Sayısal YöntemlerUygulamalı Mekanikte Gelişmeler, 18, New York: Akademik Basın, ISBN  978-0-12-002018-8.
• Basın, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Bölüm 10.1.2. Lax Yöntemi", Sayısal Tarifler: Bilimsel Hesaplama Sanatı (3. baskı), New York: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8