Sonlu hacim yöntemi - Finite volume method

sonlu hacim yöntemi (FVM) temsil etme ve değerlendirme yöntemidir kısmi diferansiyel denklemler cebirsel denklemler şeklinde.^[1]Sonlu hacim yönteminde, bir kısmi diferansiyel denklemdeki hacim integralleri uyuşmazlık terim dönüştürülür yüzey integralleri, kullanmak diverjans teoremi. Bu terimler daha sonra her sonlu hacmin yüzeylerindeki akılar olarak değerlendirilir. Belirli bir hacme giren akı, bitişik hacimden çıkanla aynı olduğundan, bu yöntemler muhafazakar. Sonlu hacim yönteminin bir başka avantajı, yapılandırılmamış ağlara izin verecek şekilde kolayca formüle edilebilmesidir. Yöntem birçok alanda kullanılmaktadır hesaplamalı akışkanlar dinamiği "Sonlu hacim", bir ağ üzerindeki her bir düğüm noktasını çevreleyen küçük hacmi ifade eder.

Sonlu hacim yöntemleri, aşağıdakilerle karşılaştırılabilir ve karşılaştırılabilir: sonlu fark yöntemleri düğüm değerlerini kullanarak türevleri yaklaşık olarak hesaplayan veya sonlu eleman yöntemleri, yerel verileri kullanarak bir çözümün yerel yaklaşımlarını oluşturan ve bunları birleştirerek küresel bir yaklaşım oluşturan. Tersine, sonlu bir hacim yöntemi için kesin ifadeleri değerlendirir. ortalama çözümün değeri bir miktar üzerinde ve bu verileri hücreler içindeki çözümün yaklaşımlarını oluşturmak için kullanır.^[2]^[3]

Misal

Basit bir 1D düşünün tavsiye sorun:

{ displaystyle quad (1) qquad qquad { frac { kısmi rho} { kısmi t}} + { frac { kısmi f} { kısmi x}} = 0, quad t geq 0.}

Buraya, ${ displaystyle rho = rho sol (x, t sağ) }$ durum değişkenini temsil eder ve ${ Displaystyle f = f sol ( rho sol (x, t sağ) sağ) }$ temsil etmek akı veya akışı ${ displaystyle rho }$ . Geleneksel olarak pozitif ${ displaystyle f }$ negatifken sağa doğru akışı temsil eder ${ displaystyle f }$ sola doğru akışı temsil eder. Denklemin (1) sabit alanın akan bir ortamını temsil ettiğini varsayarsak, uzamsal alanı alt bölümlere ayırabiliriz, ${ displaystyle x }$ içine sonlu hacimler veya hücreler olarak indekslenen hücre merkezleri ile ${ displaystyle i }$ . Belirli bir hücre için, ${ displaystyle i }$ , tanımlayabiliriz hacim ortalaması değeri ${ displaystyle { rho} _ {i} sol (t sağ) = rho sol (x, t sağ) }$ zamanda ${ displaystyle {t = t_ {1}} }$ ve ${ displaystyle {x in sol [x_ {i - { frac {1} {2}}}, x_ {i + { frac {1} {2}}} sağ]} }$ , gibi

{ displaystyle quad (2) qquad qquad { bar { rho}} _ {i} sol (t_ {1} sağ) = { frac {1} {x_ {i + { frac {1 } {2}}} - x_ {i - { frac {1} {2}}}} int _ {x_ {i - { frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + { frac {1} {2}}}} rho left (x, t_ {1} sağ) , dx,}

ve zamanında ${ displaystyle {t = t_ {2}} }$ gibi,

{ displaystyle quad (3) qquad qquad { bar { rho}} _ {i} sol (t_ {2} sağ) = { frac {1} {x_ {i + { frac {1 } {2}}} - x_ {i - { frac {1} {2}}}} int _ {x_ {i - { frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + { frac {1} {2}}}} rho left (x, t_ {2} sağ) , dx,}

nerede ${ displaystyle x_ {i - { frac {1} {2}}} }$ ve ${ displaystyle x_ {i + { frac {1} {2}}} }$ sırasıyla yukarı ve aşağı yüzlerin veya kenarların konumlarını temsil eder. ${ displaystyle i ^ {th} }$ hücre.

Denklemi (1) zamanla entegre ederek, elimizde:

{ displaystyle quad (4) qquad qquad rho sol (x, t_ {2} sağ) = rho sol (x, t_ {1} sağ) - int _ {t_ {1} } ^ {t_ {2}} f_ {x} left (x, t sağ) , dt,}

nerede ${ displaystyle f_ {x} = { frac { kısmi f} { kısmi x}}}$ .

Hacim ortalamasını elde etmek için ${ displaystyle rho sol (x, t sağ)}$ zamanda ${ displaystyle t = t_ {2} }$ entegre ediyoruz ${ displaystyle rho sol (x, t_ {2} sağ)}$ hücre hacminin üzerinde, ${ displaystyle sol [x_ {i - { frac {1} {2}}}, x_ {i + { frac {1} {2}}} sağ]}$ ve sonucu şuna bölün: ${ displaystyle Delta x_ {i} = x_ {i + { frac {1} {2}}} - x_ {i - { frac {1} {2}}}}$ yani

{ displaystyle quad (5) qquad qquad { bar { rho}} _ {i} sol (t_ {2} sağ) = { frac {1} { Delta x_ {i}}} int _ {x_ {i - { frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + { frac {1} {2}}}} left { rho left (x, t_ { 1} sağ) - int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {x} left (x, t right) dt right } dx.}

Varsayıyoruz ki ${ displaystyle f }$ iyi huyludur ve entegrasyon sırasını tersine çevirebiliriz. Ayrıca, akışın hücrenin birim alanına normal olduğunu hatırlayın. Şimdi, tek boyuttan beri ${ displaystyle f_ {x} triangleq nabla cdot f}$ uygulayabiliriz diverjans teoremi yani ${ displaystyle oint _ {v} nabla cdot fdv = oint _ {S} f , dS}$ ve bunun hacim integrali yerine uyuşmazlık değerleri ile ${ displaystyle f (x) }$ hücre yüzeyinde değerlendirilir (kenarlar ${ displaystyle x_ {i - { frac {1} {2}}} }$ ve ${ displaystyle x_ {i + { frac {1} {2}}} }$ ) aşağıdaki gibi sonlu hacmin:

{ displaystyle quad (6) qquad qquad { bar { rho}} _ {i} sol (t_ {2} sağ) = { bar { rho}} _ {i} sol ( t_ {1} right) - { frac {1} { Delta x_ {i}}} left ( int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {i + { frac {1 } {2}}} dt- int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {i - { frac {1} {2}}} dt right).}

nerede ${ displaystyle f_ {i pm { frac {1} {2}}} = f sol (x_ {i pm { frac {1} {2}}}, t sağ)}$ .

Bu nedenle bir yarı ayrık Yukarıdaki problem için sayısal şema olarak indekslenen hücre merkezleri ${ displaystyle i }$ ve olarak indekslenen hücre kenarı akıları ile ${ displaystyle i pm { frac {1} {2}}}$ (6) 'yı elde etmek için zamana göre farklılaştırarak:

{ displaystyle quad (7) qquad qquad { frac {d { bar { rho}} _ {i}} {dt}} + { frac {1} { Delta x_ {i}}} sol [f_ {i + { frac {1} {2}}} - f_ {i - { frac {1} {2}}} sağ] = 0,}

kenar akıları için değerler, ${ displaystyle f_ {i pm { frac {1} {2}}}}$ tarafından yeniden inşa edilebilir interpolasyon veya ekstrapolasyon Hücre ortalamalarının Denklem (7) tam hacim ortalamaları için; yani, türetilmesi sırasında herhangi bir tahmin yapılmamıştır.

Bu yöntem aynı zamanda bir 2D kuzey ve güney yüzleri ile birlikte doğu ve batı yüzleri bir düğüm etrafında ele alınarak durum.

Genel koruma hukuku

Genel olarak da düşünebiliriz koruma kanunu aşağıdaki ile temsil edilen problem PDE,

{ displaystyle quad (8) qquad qquad {{ kısmi { mathbf {u}}} üzeri { kısmi t}} + nabla cdot { mathbf {f}} sol ({ mathbf {u}} sağ) = { mathbf {0}}.}

Buraya, ${ displaystyle { mathbf {u}} }$ bir durum vektörünü temsil eder ve ${ displaystyle mathbf {f} }$ karşılık gelen akı tensör. Yine, uzamsal alanı sınırlı hacimlere veya hücrelere alt bölümlere ayırabiliriz. Belirli bir hücre için, ${ displaystyle i }$ , hacim integralini hücrenin toplam hacmi üzerinden alırız, ${ displaystyle v_ {i} }$ veren

{ displaystyle quad (9) qquad qquad int _ {v_ {i}} {{ kısmi { mathbf {u}}} over { kısmi t}} , dv + int _ {v_ { i}} nabla cdot { mathbf {f}} left ({ mathbf {u}} right) , dv = { mathbf {0}}.}

İlk terimi entegre etmek için hacim ortalaması ve uygulamak diverjans teoremi ikinciye, bu verir

{ displaystyle quad (10) qquad qquad v_ {i} {{d { mathbf { bar {u}}} _ {i}} over {dt}} + oint _ {S_ {i} } { mathbf {f}} left ({ mathbf {u}} right) cdot { mathbf {n}} dS = { mathbf {0}},}

nerede ${ displaystyle S_ {i} }$ hücrenin toplam yüzey alanını temsil eder ve ${ displaystyle { mathbf {n}}}$ yüzeye dik ve dışa dönük bir birim vektördür. Son olarak, (8) 'e eşdeğer genel sonucu sunabiliyoruz, yani.

{ displaystyle quad (11) qquad qquad {{d { mathbf { bar {u}}} _ {i}} over {dt}} + {{1} over {v_ {i}} } oint _ {S_ {i}} { mathbf {f}} left ({ mathbf {u}} right) cdot { mathbf {n}} dS = { mathbf {0}}. }

Yine, kenar akıları için değerler, hücre ortalamalarının enterpolasyonu veya ekstrapolasyonu yoluyla yeniden oluşturulabilir. Gerçek sayısal şema, problem geometrisine ve ağ yapısına bağlı olacaktır. KAS rekonstrüksiyon genellikle kullanılır yüksek çözünürlüklü şemalar Çözümde şoklar veya süreksizlikler olduğunda.

Hücre ortalamaları kenar akıları boyunca değiştiğinden, sonlu hacim şemaları ihtiyatlıdır. Diğer bir deyişle, bir hücrenin kaybı başka bir hücrenin kazancıdır!

Ayrıca bakınız

daha fazla okuma

Eymard, R. Gallouët, T. R., Herbin, R. (2000) Sonlu hacim yöntemi Sayısal Analiz El Kitabı, Cilt. VII, 2000, s. 713–1020. Editörler: P.G. Ciarlet ve J.L. Lions.
Hirsch, C. (1990), İç ve Dış Akışların Sayısal Hesaplaması, Cilt 2: Viskoz Olmayan ve Viskoz Akışlar için Hesaplamalı Yöntemler, Wiley.
Laney, Culbert B. (1998), Hesaplamalı Gaz Dinamiği, Cambridge University Press.
LeVeque, Randall (1990), Koruma Yasaları için Sayısal Yöntemler, Matematik Serisinde ETH Dersleri, Birkhauser-Verlag.
LeVeque, Randall (2002), Hiperbolik Problemler için Sonlu Hacim Yöntemleri, Cambridge University Press.
Patankar, Suhas V. (1980), Sayısal Isı Transferi ve Akışkan Akışı, Yarımküre.
Tannehill, John C., vd., (1997), Hesaplamalı Akışkanlar mekaniği ve Isı Transferi, 2. Baskı, Taylor ve Francis.
Toro, E.F. (1999), Riemann Çözücüler ve Akışkanlar Dinamiği için Sayısal YöntemlerSpringer-Verlag.
Wesseling, Pieter (2001), Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiğinin PrensipleriSpringer-Verlag.

Referanslar

^ LeVeque Randall (2002). Hiperbolik Problemler için Sonlu Hacim Yöntemleri. ISBN 9780511791253.
^ Fallah, N. A .; Bailey, C .; Cross, M .; Taylor, G.A. (2000-06-01). "Geometrik olarak doğrusal olmayan gerilme analizinde sonlu elemanlar ve sonlu hacim yöntemleri uygulamalarının karşılaştırılması". Uygulamalı Matematiksel Modelleme. 24 (7): 439–455. doi:10.1016 / S0307-904X (99) 00047-5. ISSN 0307-904X.
^ Ranganayakulu, C. (Chennu). "Bölüm 3, Kısım 3.1". Kompakt ısı eşanjörleri: FEM ve CFD yaklaşımını kullanarak analiz, tasarım ve optimizasyon. Seetharamu, K. N. Hoboken, NJ. ISBN 978-1-119-42435-2. OCLC 1006524487.

Dış bağlantılar

Sonlu hacim yöntemleri R. Eymard, T Gallouët ve R. Herbin Handbook of Numerical Analysis, 2000'de yayınlanan makalenin güncellemesi
Rübenkönig, Oliver. "Sonlu Hacim Yöntemi (FVM) - Giriş". Arşivlenen orijinal 2009-10-02 tarihinde. Alıntı dergisi gerektirir | günlük = (Yardım), altında mevcuttur GFDL.
FiPy: Python Kullanan Sonlu Hacimli PDE Çözücü NIST'ten.
PENÇE: bir dalga yayılım yaklaşımı kullanarak hiperbolik kısmi diferansiyel denklemlere sayısal çözümler hesaplamak için tasarlanmış bir yazılım paketi

[1] LeVeque Randall (2002). Hiperbolik Problemler için Sonlu Hacim Yöntemleri. ISBN 9780511791253.

[2] Fallah, N. A .; Bailey, C .; Cross, M .; Taylor, G.A. (2000-06-01). "Geometrik olarak doğrusal olmayan gerilme analizinde sonlu elemanlar ve sonlu hacim yöntemleri uygulamalarının karşılaştırılması". Uygulamalı Matematiksel Modelleme. 24 (7): 439–455. doi:10.1016 / S0307-904X (99) 00047-5. ISSN 0307-904X.

[3] Ranganayakulu, C. (Chennu). "Bölüm 3, Kısım 3.1". Kompakt ısı eşanjörleri: FEM ve CFD yaklaşımını kullanarak analiz, tasarım ve optimizasyon. Seetharamu, K. N. Hoboken, NJ. ISBN 978-1-119-42435-2. OCLC 1006524487.

[1]

[2]

[3]