Dalga teorisindeki denklemlerin listesi - List of equations in wave theory

Bu makale özetler denklemler teorisinde dalgalar.

Tanımlar

Genel temel miktarlar

Bir dalga olabilir boyuna salınımların yayılma yönüne paralel (veya antiparalel) olduğu yerlerde veya enine salınımların yayılma yönüne dik olduğu yer. Bu salınımlar, paralel veya dikey yönde periyodik olarak zamanla değişen bir yer değiştirme ile karakterize edilir ve bu nedenle anlık hız ve ivme de periyodiktir ve bu yönlerde zaman değişir. (Denge pozisyonları etrafında parçacıkların veya alanların birbirini izleyen salınımlarından kaynaklanan dalganın görünür hareketi), boylamasına ve enine dalgalarda ortak olan yayılma yönüne paralel veya antiparalel faz ve grup hızlarında yayılır. Salınımlı yer değiştirmenin altında hız ve ivme, dalganın salınım yönlerindeki kinematiğe atıfta bulunur - enine veya boyuna (matematiksel açıklama aynıdır), grup ve faz hızları ayrıdır.

Miktar (genel ad / lar)	(Ortak) sembol / ler	SI birimleri	Boyut
Dalga döngüsü sayısı	N	boyutsuz	boyutsuz
(Salınımlı) yer değiştirme	Periyodik olarak değişen herhangi bir miktarın sembolü, örneğin h, x, y (mekanik dalgalar), x, s, η (uzunlamasına dalgalar) ben, V, E, B, H, D (elektromanyetizma), sen, U (lümen dalgaları), ψ, Ψ, Φ (Kuantum mekaniği). Çoğu genel amaç y, ψ, Ψ. Genellik için burada, Bir kullanılır ve başka herhangi bir sembolle değiştirilebilir, çünkü diğerlerinin belirli, ortak kullanımları vardır. ${ displaystyle mathbf {A} = A mathbf { hat {e}} _ { paralel} , !}$ boyuna dalgalar için, ${ displaystyle mathbf {A} = A mathbf { hat {e}} _ { bot} , !}$ enine dalgalar için.	m	[L]
(Salınımlı) yer değiştirme genlik	Genellikle 0, m veya max ile veya büyük harfle yazılmış herhangi bir miktar sembolü (yer değiştirme küçük harf ise). A genelliği için burada₀ kullanılır ve değiştirilebilir.	m	[L]
(Salınımlı) hız genliği	V, v₀, v_m. Buraya v₀ kullanıldı.	Hanım⁻¹	[L] [T]⁻¹
(Salınımlı) ivme genliği	Bir, a₀, a_m. Buraya a₀ kullanıldı.	Hanım⁻²	[L] [T]⁻²
Mekansal konum Bir noktanın uzaydaki konumu, dalga profili üzerinde bir nokta veya herhangi bir yayılma çizgisi olması gerekmez.	d, r	m	[L]
Dalga profili yer değiştirme Yayılma yönü boyunca, kaynak noktadan bir dalga tarafından katedilen mesafe (yol uzunluğu) r₀ uzayda herhangi bir noktaya d (boyuna veya enine dalgalar için)	L, d, r ${ displaystyle mathbf {r} equiv r mathbf { hat {e}} _ { parallel} equiv mathbf {d} - mathbf {r} _ {0} , !}$	m	[L]
Faz açısı	δ, ε, φ	rad	boyutsuz

Genel türetilmiş miktarlar

Miktar (genel ad / lar)	(Ortak) sembol / ler	Denklemi tanımlama	SI birimleri	Boyut
Dalgaboyu	λ	Genel tanım (izin verir FM ): ${ displaystyle lambda = mathrm {d} r / mathrm {d} N , !}$ FM olmayan dalgalar için bu şu şekilde azalır: ${ displaystyle lambda = Delta r / Delta N , !}$	m	[L]
Dalga sayısı, k-vektör, Dalga vektör	k, σ	İki tanım kullanılmaktadır: ${ displaystyle mathbf {k} = sol (2 pi / lambda sağ) mathbf { hat {e}} _ { açı} , !}$ ${ displaystyle mathbf {k} = sol (1 / lambda sağ) mathbf { hat {e}} _ { açı} , !}$	m⁻¹	[L]⁻¹
Sıklık	f, ν	Genel tanım (izin verir FM ): ${ displaystyle f = mathrm {d} N / mathrm {d} t , !}$ FM olmayan dalgalar için bu şu şekilde azalır: ${ displaystyle f = Delta N / Delta t , !}$ Uygulamada N 1 döngüye ayarlanmış ve t = T = Daha faydalı ilişkiyi elde etmek için 1 döngü için süre: ${ displaystyle f = 1 / T , !}$	Hz = s⁻¹	[T]⁻¹
Açısal frekans / pulsatance	ω	${ displaystyle omega = 2 pi f = 2 pi / T , !}$	Hz = s⁻¹	[T]⁻¹
Salınım hızı	v, v_t, v	Uzunlamasına dalgalar: ${ displaystyle mathbf {v} = mathbf { hat {e}} _ { paralel} sol ( kısmi A / kısmi t sağ) , !}$ Enine dalgalar: ${ displaystyle mathbf {v} = mathbf { hat {e}} _ { bot} sol ( kısmi A / kısmi t sağ) , !}$	Hanım⁻¹	[L] [T]⁻¹
Salınımlı hızlanma	a, a_t	Uzunlamasına dalgalar: ${ displaystyle mathbf {a} = mathbf { hat {e}} _ { paralel} sol ( kısmi ^ {2} A / kısmi t ^ {2} sağ) , !}$ Enine dalgalar: ${ displaystyle mathbf {a} = mathbf { hat {e}} _ { bot} sol ( kısmi ^ {2} A / kısmi t ^ {2} sağ) , !}$	Hanım⁻²	[L] [T]⁻²
İki dalga arasındaki yol uzunluğu farkı	L, ΔL, Δx, Δr	${ displaystyle mathbf {r} = mathbf {r} _ {2} - mathbf {r} _ {1} , !}$	m	[L]
Faz hızı	v_p	Genel tanım: ${ displaystyle mathbf {v} _ { mathrm {p}} = mathbf { hat {e}} _ { paralel} sol ( Delta r / Delta t sağ) , !}$ Pratikte yararlı forma indirgenir: ${ displaystyle mathbf {v} _ { mathrm {p}} = lambda f mathbf { hat {e}} _ { paralel} = sol ( omega / k sağ) mathbf { şapka {e}} _ { paralel} , !}$	Hanım⁻¹	[L] [T]⁻¹
(Boyuna) grup hızı	v_g	${ displaystyle mathbf {v} _ { mathrm {g}} = mathbf { hat {e}} _ { paralel} sol ( kısmi omega / kısmi k sağ) , !}$	Hanım⁻¹	[L] [T]⁻¹
Zaman gecikmesi, gecikme süresi / kurşun	Δt	${ displaystyle Delta t = t_ {2} -t_ {1} , !}$	s	[T]
Faz farkı	δ, Δε, Δϕ	${ displaystyle Delta phi = phi _ {2} - phi _ {1} , !}$	rad	boyutsuz
Evre	Standart sembol yok	${ displaystyle mathbf {k} cdot mathbf {r} mp omega t + phi = 2 pi N , !}$ Fiziksel olarak; üst işaret: + 'da dalga yayılımır yön alt işaret: dalga yayılımı -r yön Faz açısı şu durumlarda gecikebilir: ϕ > 0 veya şu durumlarda liderlik edin: ϕ < 0.	rad	boyutsuz

Evreyi tanımlamak için kullanılan uzay, zaman, açı analogları arasındaki ilişki:

${ displaystyle { frac { Delta r} { lambda}} = { frac { Delta t} {T}} = { frac { phi} {2 pi}} , !}$

Modülasyon indeksleri

Miktar (genel ad / lar)	(Ortak) sembol / ler	Denklemi tanımlama	SI birimleri	Boyut
AM dizini:	h, h_AM	${ displaystyle h_ {AM} = A / A_ {m} , !}$ Bir = taşıyıcı genliği Bir_m = modülasyon sinyalindeki bir bileşenin tepe genliği	boyutsuz	boyutsuz
FM endeksi:	h_FM	${ displaystyle h_ {FM} = Delta f / f_ {m} , !}$ Δf = maks. anlık frekansın taşıyıcı frekansından sapması f_m = modülasyon sinyalindeki bir bileşenin tepe frekansı	boyutsuz	boyutsuz
PM dizini:	h_ÖS	${ displaystyle h_ {PM} = Delta phi , !}$ Δϕ = tepe faz sapması	boyutsuz	boyutsuz

Akustik

Miktar (genel ad / lar)	(Ortak) sembol / ler	Denklemi tanımlama	SI birimleri	Boyut
Akustik empedans	Z	${ displaystyle Z = rho v , !}$ v = ses hızı,ρ = ortamın hacim yoğunluğu	kg m⁻² s⁻¹	[M] [L]⁻² [T]⁻¹
Spesifik akustik empedans	z	${ displaystyle z = ZS , !}$ S = yüzey alanı	kg s⁻¹	[M] [T]⁻¹
Ses seviyesi	β	${ displaystyle beta = sol ( mathrm {dB} sağ) 10 log sol \| { frac {I} {I_ {0}}} sağ \| , !}$	boyutsuz	boyutsuz

Denklemler

Akabinde n, m herhangi bir tam sayıdır (Z = dizi tamsayılar ); ${ displaystyle n, m in mathbf {Z} , !}$ .

Duran dalgalar

Fiziksel durum	İsimlendirme	Denklemler
Harmonik frekanslar	f_n = n'inci titreşim modu, n'inci harmonik, (n-1). aşırı ton	${ displaystyle f_ {n} = { frac {v} { lambda _ {n}}} = { frac {nv} {2L}} = nf_ {1} , !}$

Yayılan dalgalar

Ses dalgaları

Fiziksel durum	İsimlendirme	Denklemler
Ortalama dalga gücü	P₀ = Kaynak nedeniyle ses gücü	${ displaystyle langle P rangle = mu v omega ^ {2} x_ {m} ^ {2} / 2 , !}$
Ses yoğunluğu	Ω = Katı açı	${ displaystyle I = P_ {0} / ( Omega r ^ {2}) , !}$ ${ displaystyle I = P / A = rho v omega ^ {2} s_ {m} ^ {2} / 2 , !}$
Akustik vuruş frekansı	f₁, f₂ = iki dalganın frekansları (neredeyse eşit genlikler)	${ displaystyle f _ { mathrm {beat}} = sol \| f_ {2} -f_ {1} sağ \| , !}$
Mekanik dalgalar için Doppler etkisi	V = ortamdaki ses dalgasının hızı f₀ = Kaynak frekansı f_r = Alıcı frekansı v₀ = Kaynak hızı v_r = Alıcı hızı	${ displaystyle f_ {r} = f_ {0} { frac {V pm v_ {r}} {V mp v_ {0}}} , !}$ üstteki işaretler göreceli yaklaşımı, alt işaretler göreceli durgunluğu gösterir.
Mach koni açısı (Süpersonik şok dalgası, sonik patlama)	v = vücut hızı v_s = yerel ses hızı θ = üst üste binen dalga cephelerinin hareket yönü ile konik zarfı arasındaki açı	${ displaystyle sin theta = { frac {v} {v_ {s}}} , !}$
Akustik basınç ve yer değiştirme genlikleri	p₀ = basınç genliği s₀ = yer değiştirme genliği v = ses hızı ρ = ortamın yerel yoğunluğu	${ displaystyle p_ {0} = sol (v rho omega sağ) s_ {0} , !}$
Ses için dalga fonksiyonları		Akustik vuruşlar ${ displaystyle s = sol [2s_ {0} cos sol ( omega 't sağ) sağ] çünkü sol ( omega t sağ) , !}$ Ses değiştirme işlevi ${ displaystyle s = s_ {0} cos (kr- omega t) , !}$ Ses basıncı değişimi ${ displaystyle p = p_ {0} sin (kr- omega t) , !}$

Yerçekimi dalgaları

Düşük hız sınırında yörüngedeki iki cisim için yerçekimi radyasyonu.^[1]

Fiziksel durum	İsimlendirme	Denklemler
Yayılan güç	P = Sistemden yayılan güç, t = zaman, r = kütle merkezleri arasındaki ayrım m₁, m₂ = yörüngedeki cisimlerin kütleleri	${ displaystyle P = { frac { mathrm {d} E} { mathrm {d} t}} = - { frac {32} {5}} , { frac {G ^ {4}} { c ^ {5}}} , { frac {(m_ {1} m_ {2}) ^ {2} (m_ {1} + m_ {2})} {r ^ {5}}}}$
Yörünge yarıçapı azalması		${ displaystyle { frac { mathrm {d} r} { mathrm {d} t}} = - { frac {64} {5}} { frac {G ^ {3}} {c ^ {5 }}} { frac {(m_ {1} m_ {2}) (m_ {1} + m_ {2})} {r ^ {3}}} }$
Yörünge ömrü	r₀ = yörüngedeki cisimler arasındaki başlangıç mesafesi	${ displaystyle t = { frac {5} {256}} { frac {c ^ {5}} {G ^ {3}}} { frac {r_ {0} ^ {4}} {(m_ { 1} m_ {2}) (m_ {1} + m_ {2})}} }$

Süperpozisyon, girişim ve kırınım

Fiziksel durum	İsimlendirme	Denklemler
Süperpozisyon ilkesi	N = dalga sayısı	${ displaystyle y _ { mathrm {net}} = toplam _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} , !}$
Rezonans	ω_d = sürüş açısal frekansı (harici etken) ω_nat = doğal açısal frekans (osilatör)	${ displaystyle omega _ {d} = omega _ { mathrm {nat}} , !}$
Faz ve girişim	Δr = yol uzunluğu farkı φ = herhangi iki ardışık dalga döngüsü arasındaki faz farkı	${ displaystyle { frac { Delta r} { lambda}} = { frac { Delta t} {T}} = { frac { phi} {2 pi}} , !}$ Yapıcı girişim ${ displaystyle n = { frac { lambda} { Delta x}} , !}$ Yokedici girişim ${ displaystyle n + { frac {1} {2}} = { frac { lambda} { Delta x}} , !}$

Dalga yayılımı

Faz hızı ve grup hızı arasında yaygın bir yanlış anlama meydana gelir (kütle ve yerçekimi merkezlerine benzer). Dağıtıcı olmayan medyada eşittirler. Dağıtıcı ortamda faz hızı, grup hızıyla aynı olmak zorunda değildir. Faz hızı, frekansa göre değişir.

evre hız, dalganın fazının uzayda yayılma hızıdır.

grup hız, dalga zarfının, yani genlikteki değişikliklerin yayılma hızıdır. Dalga zarfı, dalga genliklerinin profilidir; tüm enine yer değiştirmeler, zarf profili ile sınırlıdır.

Sezgisel olarak dalga zarfı, küresel profilin içinde "değişen" yerel profilleri içeren "dalganın" küresel profilidir ". Her biri, genellikle adı verilen önemli işlev tarafından belirlenen farklı hızlarda yayılır. Dağılım İlişkisi. Açık formun kullanımı ω(k) standarttır, çünkü faz hızı ω/k ve grup hızı dω/ gk genellikle bu işlevle uygun temsillere sahiptir.

Fiziksel durum	İsimlendirme	Denklemler
İdealize edilmiş dağılmayan ortam	p = (herhangi bir tür) Stres veya Basınç, ρ = Hacim Kütle Yoğunluğu, F = Germe Kuvveti, μ = Ortamın Doğrusal Kütle Yoğunluğu	${ displaystyle v = { sqrt { frac {p} { rho}}} = { sqrt { frac {F} { mu}}} , !}$
Dağılım ilişkisi		Örtülü form ${ displaystyle D sol ( omega, k sağ) = 0}$ Açık form ${ displaystyle omega = omega sol (k sağ)}$
Genlik modülasyonu, AM		${ Displaystyle A = A sol (t sağ)}$
Frekans modülasyonu, FM		${ displaystyle f = f sol (t sağ)}$

Genel dalga fonksiyonları

Dalga denklemleri

Fiziksel durum	İsimlendirme	Dalga denklemi	Genel çözüm / çözümler
Dağılmayan Dalga Denklemi 3 boyutlu	Bir = konum ve zamanın fonksiyonu olarak genlik	${ displaystyle nabla ^ {2} A = { frac {1} {v _ { parallel} ^ {2}}} { frac { kısmi ^ {2} A} { kısmi t ^ {2}} } , !}$	${ displaystyle A sol ( mathbf {r}, t sağ) = A sol (x-v _ { paralel} t sağ) , !}$
Üstel olarak sönümlü dalga formu	Bir₀ = Zamanda ilk genlik t = 0 b = sönümleme parametresi		${ displaystyle A = A_ {0} e ^ {- bt} sin sol (kx- omega t + phi sağ) , !}$
Korteweg – de Vries denklemi^[2]	α = sabit	${ displaystyle { frac { kısmi y} { kısmi t}} + alpha y { frac { kısmi y} { kısmi x}} + { frac { kısmi ^ {3} y} { kısmi x ^ {3}}} = 0 , !}$	${ displaystyle A (x, t) = { frac {3v _ { paralel}} { alpha}} mathrm {sech} ^ {2} sol [{ frac { sqrt {v _ { paralel}} } {2}} left (x-v _ { paralel} t sağ) sağ] , !}$

3 boyutlu dalga denklemine sinüzoidal çözümler

N farklı sinüzoidal dalga

Dalganın karmaşık genliği n
${ displaystyle A_ {n} = sol | A_ {n} sağ | e ^ {i sol ( mathbf {k} _ { mathrm {n}} cdot mathbf {r} - omega _ { n} t + phi _ {n} sağ)} , !}$

Hepsinin sonuçta ortaya çıkan karmaşık genliği N dalgalar
${ displaystyle A = toplam _ {n = 1} ^ {N} A_ {n} , !}$

Genlik modülü
${ displaystyle A = { sqrt {AA ^ {*}}} = { sqrt { sum _ {n = 1} ^ {N} sum _ {m = 1} ^ {N} left | A_ { n} sağ | sol | A_ {m} sağ | cos left [ left ( mathbf {k} _ {n} - mathbf {k} _ {m} sağ) cdot mathbf { r} + left ( omega _ {n} - omega _ {m} sağ) t + left ( phi _ {n} - phi _ {m} sağ) sağ]}} , !}$

Enine yer değiştirmeler, basitçe karmaşık genliklerin gerçek parçalarıdır.

İki sinüzoidal dalga için 1 boyutlu doğal sonuçlar

Aşağıdakiler, trigonometrik kimlikler kullanılarak iki sinüzoidal dalgaya süperpozisyon ilkesi uygulanarak çıkarılabilir. açı ilavesi ve toplam ürün trigonometrik formüller kullanışlıdır; daha gelişmiş işlerde karmaşık sayılar ve fourier serileri ve dönüşümler kullanılmaktadır.

Dalga fonksiyonu	İsimlendirme	Süperpozisyon	Sonuç
Durağan dalga		${ displaystyle { başlar {hizalı} y_ {1} + y_ {2} & = A sin sol (kx- omega t sağ) ve + A sin sol (kx + omega t sağ ) end {hizalı}} , !}$	${ Displaystyle y = 2A sin sol (kx sağ) çünkü sol ( omega t sağ) , !}$
Vuruşlar	${ displaystyle langle omega rangle = { frac { omega _ {1} + omega _ {2}} {2}} , !}$ ${ displaystyle langle k rangle = { frac {k_ {1} + k_ {2}} {2}} , !}$ ${ displaystyle Delta omega = omega _ {1} - omega _ {2} , !}$ ${ displaystyle Delta k = k_ {1} -k_ {2} , !}$	${ displaystyle { başlar {hizalı} y_ {1} + y_ {2} & = A sin sol (k_ {1} x- omega _ {1} t sağ) ve + A sin sol (k_ {2} x + omega _ {2} t sağ) end {hizalı}} , !}$	${ displaystyle y = 2A sin sol ( langle k rangle x- langle omega rangle t sağ) çünkü sol ({ frac { Delta k} {2}} x - { frac { Delta omega} {2}} t sağ) , !}$
Tutarlı müdahale		${ displaystyle { başlar {hizalı} y_ {1} + y_ {2} & = 2A sin sol (kx- omega t sağ) & + A sin sol (kx + omega t + phi sağ) end {hizalı}} , !}$	${ displaystyle y = 2A çünkü sol ({ frac { phi} {2}} sağ) sin sol (kx- omega t + { frac { phi} {2}} sağ) , !}$

Ayrıca bakınız

Dipnotlar

^ "Yerçekimi Radyasyonu" (PDF). Arşivlenen orijinal (PDF) 2012-04-02 tarihinde. Alındı 2012-09-15.
^ Encyclopaedia of Physics (2. Baskı), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3

Kaynaklar

P.M. Whelan; M.J. Hodgeson (1978). Fiziğin Temel Prensipleri (2. baskı). John Murray. ISBN 0-7195-3382-1.
G. Woan (2010). Cambridge Fizik Formülleri El Kitabı. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2.
A. Halpern (1988). 3000 Fizikte Çözülmüş Problemler, Schaum Serisi. Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-025734-4.
R.G. Lerner; G.L. Trigg (2005). Fizik Ansiklopedisi (2. baskı). VHC Publishers, Hans Warlimont, Springer. sayfa 12–13. ISBN 978-0-07-025734-4.
C.B. Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2. baskı). McGraw Hill. ISBN 0-07-051400-3.
P.A. Tipler; G. Mosca (2008). Bilim Adamları ve Mühendisler İçin Fizik: Modern Fizikle (6. baskı). W.H. Freeman ve Co. ISBN 978-1-4292-0265-7.
L.N. El; J.D. Finch (2008). Analitik Mekanik. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57572-0.
T.B. Arkill; CJ Millar (1974). Mekanik, Titreşimler ve Dalgalar. John Murray. ISBN 0-7195-2882-8.
H.J. Pain (1983). Titreşimlerin ve Dalgaların Fiziği (3. baskı). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-90182-2.
J.R. Forshaw; A.G. Smith (2009). Dinamik ve Görelilik. Wiley. ISBN 978-0-470-01460-8.
G.A.G. Bennet (1974). Elektrik ve Modern Fizik (2. baskı). Edward Arnold (İngiltere). ISBN 0-7131-2459-8.
DIR-DİR. Hibe; W.R. Phillips; Manchester Fiziği (2008). Elektromanyetizma (2. baskı). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
D.J. Griffiths (2007). Elektrodinamiğe Giriş (3. baskı). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2.

daha fazla okuma

L.H. Greenberg (1978). Modern Uygulamalar ile Fizik. Holt-Saunders Uluslararası W.B. Saunders ve Co. ISBN 0-7216-4247-0.
J.B. Marion; W.F. Hornyak (1984). Fizik Prensipleri. Holt-Saunders Uluslararası Saunders Koleji. ISBN 4-8337-0195-2.
A. Beiser (1987). Modern Fizik Kavramları (4. baskı). McGraw-Hill (Uluslararası). ISBN 0-07-100144-1.
H.D. Genç; R.A. Freedman (2008). Üniversite Fiziği - Modern Fizikle (12. baskı). Addison-Wesley (Pearson Uluslararası). ISBN 978-0-321-50130-1.

[Gravitational_Radiation-1] "Yerçekimi Radyasyonu" (PDF). Arşivlenen orijinal (PDF) 2012-04-02 tarihinde. Alındı 2012-09-15.

[2] Encyclopaedia of Physics (2. Baskı), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3

[1]

[2]

SI birimleri
Temel birimler	amper Candela Kelvin kilogram metre köstebek ikinci
Türetilmiş birimler özel isimlerle	Becquerel Coulomb santigrat derece farad gri Henry hertz joule katal lümen lüks Newton ohm Pascal radyan Siemens Sievert steradyan Tesla volt vat Weber
Kabul edilen diğer birimler	Astronomik birimi Dalton gün desibel ark derecesi elektronvolt hektar saat litre dakika dakika ve saniye ark Neper ton
Ayrıca bakınız	Birimlerin dönüşümü Metrik önekler 2005–2019 tanımı 2019 yeniden tanımlama Ölçüm sistemleri
Kitap Kategori