Littlewood-Richardson kuralı - Littlewood–Richardson rule - Wikipedia

İçinde matematik, Littlewood-Richardson kuralı iki çarpımı ayrıştırırken ortaya çıkan katsayıların birleşik bir açıklamasıdır Schur fonksiyonları diğer Schur fonksiyonlarının doğrusal bir kombinasyonu olarak. Bu katsayılar, Littlewood-Richardson kuralının belirli sayma olarak tanımladığı doğal sayılardır. çarpık tablo. Diğer birçok matematiksel bağlamda ortaya çıkarlar, örneğin çokluk ayrışmasında tensör ürünleri nın-nin indirgenemez temsiller nın-nin genel doğrusal gruplar (veya gibi ilgili gruplar özel doğrusal ve özel üniter gruplar ) veya belirli bir ayrışmada indüklenmiş temsiller içinde simetrik grubun temsil teorisi veya alanında cebirsel kombinatorik uğraşmak Genç Tableaux ve simetrik polinomlar.

Littlewood-Richardson katsayıları üçe bağlıdır bölümler, söyle ${ displaystyle lambda, mu, nu}$, olan ${ displaystyle lambda}$ ve ${ displaystyle mu}$ çarpılan Schur fonksiyonlarını açıklar ve ${ displaystyle nu}$ doğrusal kombinasyondaki katsayısı olan Schur fonksiyonunu verir; başka bir deyişle katsayılardır ${ displaystyle c _ { lambda, mu} ^ { nu}}$ öyle ki

${ displaystyle s _ { lambda} s _ { mu} = toplam _ { nu} c _ { lambda, mu} ^ { nu} s _ { nu}.}$

Littlewood-Richardson kuralı şunu belirtir: ${ displaystyle c _ { lambda, mu} ^ { nu}}$ Littlewood-Richardson tablolarının sayısına eşittir çarpık şekil ${ displaystyle nu / lambda}$ ve ağırlık ${ displaystyle mu}$.

Tarih

Littlewood-Richardson kuralı ilk olarak D. E. Littlewood ve A. R. Richardson  (1934 teorem III s. 119) ancak bir teorem olduğunu iddia etmelerine rağmen, bunu yalnızca oldukça basit bazı özel durumlarda ispatladılar. Robinson  (1938 ) kanıtlarını tamamladığını iddia etti, ancak argümanında boşluklar vardı, ancak o kadar belirsiz bir şekilde yazılmıştı ki, bu boşluklar bir süre fark edilmedi ve argümanı kitapta tekrarlandı (Littlewood 1950 ). Bazı boşluklar daha sonra dolduruldu Macdonald (1995). Kuralın ilk titiz kanıtları, Schützenberger tarafından bulunduktan kırk yıl sonra verildi (1977 ) ve Thomas (1974) gerekli kombinatoryal teori geliştirildikten sonra C. Schensted  (1961 ), Schützenberger (1963 ), ve Knuth  (1970 ) üzerindeki çalışmalarında Robinson-Schensted yazışmaları. Artık kuralın birkaç kısa kanıtı var, örneğin (Gasharov 1998 ), ve (Stembridge 2002 ) kullanarak Bender-Knuth tutulumları.Littelmann (1994) Kullandı Littelmann yol modeli Littlewood – Richardson kuralını diğer yarı basit Lie gruplarına genellemek.

Littlewood-Richardson kuralı, eksiksiz, yayınlanan kanıtından önce ortaya çıkan hataların sayısıyla ünlüdür. Eksik olduğunu kanıtlamak için yayınlanan birkaç girişim ve onunla elle hesaplamalar yaparken hatalardan kaçınmak özellikle zordur: D.E. Littlewood ve A.R.Richardson'daki orijinal örnek bile (1934 ) bir hata içeriyor.

Littlewood – Richardson tableaux

Bir Littlewood-Richardson tablosu

Littlewood-Richardson tablosu çarpık yarı standart tablo tersine çevrilmiş satırlarını birleştirerek elde edilen dizinin bir kafes kelime (veya kafes permütasyonu), yani dizinin her ilk bölümünde herhangi bir sayı ${ displaystyle i}$ en az sayı kadar sık ​​görülür ${ displaystyle i + 1}$. Diğer bir eşdeğer (çok açık olmasa da) karakterizasyon, tablonun kendisinin ve en soldaki sütunlarının bir kısmını kaldırarak ondan elde edilen herhangi bir tablonun zayıf bir şekilde azalan bir ağırlığa sahip olmasıdır. Littlewood-Richardson tableaux ile örtüştüğü ortaya çıkan ve bu nedenle Littlewood-Richardson katsayılarını tanımlamak için de kullanılabilen birçok başka kombinatoryal kavram bulunmuştur.

Başka bir Littlewood-Richardson tablosu

Misal

Şu durumu düşünün ${ displaystyle lambda = (2, 1)}$, ${ displaystyle mu = (3,2,1)}$ ve ${ displaystyle nu = (4,3,2)}$. O zaman gerçeği ${ displaystyle c _ { lambda, mu} ^ { nu} = 2}$ sağda gösterilen iki tablonun Littlewood-Richardson şekil tablosu olduğu gerçeğinden anlaşılabilir. ${ displaystyle nu / lambda}$ ve ağırlık ${ displaystyle mu}$. Aslında, çarpık diyagramın ilk boş olmayan satırındaki son kutu yalnızca bir giriş 1 içerebileceğinden, ilk satırın tamamı girişler 1 ile doldurulmalıdır (bu, herhangi bir Littlewood-Richardson tablosu için geçerlidir); ikinci satırın son kutusuna yalnızca 2 sütun katılığı yerleştirebiliriz ve kafes kelimemizin 2 içermeden önce daha büyük bir giriş içeremeyeceği gerçeği. İkinci satırın ilk kutusu için artık 1 kullanabiliriz. veya 2. Bu giriş seçildikten sonra, üçüncü satır, ağırlığı (3,2,1) zayıf bir şekilde artan bir sırada yapmak için kalan girişleri içermelidir, bu nedenle artık başka seçeneğimiz kalmaz; her iki durumda da bir Littlewood-Richardson tablosu bulduğumuz ortaya çıkıyor.

Daha geometrik bir açıklama

Tablodan biraz tuhaf bir sırada okunan girdi dizisinin bir kafes kelimesi oluşturması koşulu, daha yerel ve geometrik bir koşulla değiştirilebilir. Yarı standart bir tabloda eşit girişler asla aynı sütunda gerçekleşmediğinden, herhangi bir değerin kopyaları sağdan sola doğru numaralandırılabilir, bu da bir kafes kelime olması gereken dizideki oluşum sırasıdır. Her girişin endeksiyle ilişkili olan numarayı arayın ve bir giriş yazın ben indeks ile j gibi ben[j]. Şimdi Littlewood-Richardson tablosu bir giriş içeriyorsa ${ displaystyle i> 1}$ indeks ile j, sonra o giriş ben[j] kesinlikle aşağıdaki satırda yer almalıdır: ${ displaystyle (i-1) [j]}$ (girişten beri kesinlikle meydana gelen ben - 1, en az giriş kadar sıklıkta gerçekleşir ben yapar). Aslında giriş ben[j] aynı girişten daha sağdaki bir sütunda da yer almalıdır ${ displaystyle (i-1) [j]}$ (ilk bakışta daha katı bir durum gibi görünen). Littlewood-Richardson tablosunun ağırlığı önceden sabitlenmişse, o zaman indekslenmiş girdilerin sabit bir koleksiyonunu oluşturabilir ve eğer bunlar, aşağıdakilere ek olarak, bu geometrik kısıtlamalara uyacak şekilde yerleştirilirse yarı standart tablo ve aynı girişlerin indekslenmiş kopyalarının indekslerin sağdan sola sıralamasına uygun olması koşuluyla, ortaya çıkan tabloların Littlewood-Richardson tablosu olduğu garanti edilir.

Kuralın algoritmik bir biçimi

Yukarıda belirtildiği gibi Littlewood-Richardson, Littlewood-Richardson katsayıları için bireysel bir kombinasyonel ifade verir, ancak bu katsayıların değerlerini bulmak için Littlewood-Richardson tablosunu numaralandırmak için pratik bir yöntem göstermez. Gerçekten, verilen için ${ displaystyle lambda, mu, nu}$ Littlewood-Richardson tablosu şeklinde olup olmadığını belirlemek için basit bir kriter yoktur. ${ displaystyle nu / lambda}$ ve ağırlık ${ displaystyle mu}$ hiç var (en basit olanı olan bir dizi gerekli koşul olmasına rağmen) ${ displaystyle | lambda | + | mu | = | nu |}$); bu nedenle, bazı durumlarda kişinin yalnızca çözümün olmadığını bulmak için ayrıntılı bir araştırmadan geçmesi kaçınılmaz görünüyor.

Bununla birlikte, kural, Schur fonksiyonlarının bir ürününün tam ayrışmasını belirlemek, diğer bir deyişle tüm katsayıları belirlemek için oldukça verimli bir prosedüre götürür. ${ displaystyle c _ { lambda, mu} ^ { nu}}$ sabit λ ve μ için, ancak değişen ν. Bu, inşa edilecek Littlewood-Richardson tablasının ağırlığını ve şekillerinin "iç kısmını" λ sabitler, ancak "dış kısmı" ν serbest bırakır. Ağırlık bilindiğinden, geometrik açıklamadaki indekslenmiş girişler seti sabittir. Artık ardışık indekslenmiş girişler için, geometrik kısıtlamaların izin verdiği tüm olası pozisyonlar bir geri izleme arama. Girişler artan sırayla denenebilir, eşit başvurular arasında ise azalan indeks. İkinci nokta, arama prosedürünün etkinliğinin anahtarıdır: giriş ben[j] daha sonra sağdaki bir sütunda olacak şekilde sınırlandırılır ${ displaystyle i [j + 1]}$ama sağa doğru ${ displaystyle i-1 [j]}$ (bu tür girişler mevcutsa). Bu, olası pozisyonlar kümesini büyük ölçüde kısıtlar, ancak her zaman için en az bir geçerli pozisyon bırakır ${ displaystyle i [j]}$; bu nedenle, bir girişin her yerleştirilmesi, en az bir tam Littlewood-Richardson tablosuna yol açacaktır ve arama ağacı çıkmaz sokak içermez.

Tüm katsayıları bulmak için benzer bir yöntem kullanılabilir ${ displaystyle c _ { lambda, mu} ^ { nu}}$ sabit λ ve ν için, ancak değişen μ.

Littlewood-Richardson katsayıları

Littlewood-Richardson katsayıları c^ν
_λμ aşağıdaki birbiriyle ilişkili şekillerde görünür:

• Ürünün yapı sabitleridir. simetrik fonksiyonlar halkası Schur fonksiyonlarının temeli ile ilgili olarak

${ displaystyle s _ { lambda} s _ { mu} = toplamı c _ { lambda mu} ^ { nu} s _ { nu}}$

Veya eşdeğer olarak c^ν
_λμ iç çarpımı s_ν ve s_λs_μ.

• İfade ederler skew Schur fonksiyonları Schur fonksiyonları açısından

${ displaystyle s _ { nu / lambda} = toplam _ { mu} c _ { lambda mu} ^ { nu} s _ { mu}.}$

• c^ν
  _λμ bir üzerinde kesişim numaraları olarak görünür Grassmanniyen:

${ displaystyle sigma _ { lambda} sigma _ { mu} = toplamı c _ { lambda mu} ^ { nu} sigma _ { nu}}$

nerede σ_μ sınıfı Schubert çeşidi bir Grassmannian'ınμ.

• c^ν
  _λμ indirgenemez temsilin sayısıdır V_λ ⊗ V_μ simetrik grupların çarpımının S_|λ| × S_|μ| temsil kısıtlamasında görünür V_ν nın-nin S_|ν| -e S_|λ| × S_|μ|. Tarafından Frobenius karşılıklılığı bu aynı zamanda V_ν temsilinde oluşur S_|ν| kaynaklı V_λ ⊗ V_μ.
• c^ν
  _λμ tensör ürününün ayrışmasında ortaya çıkar (Fulton 1997 ) iki Schur modülleri (özel doğrusal grupların indirgenemez gösterimleri)

${ displaystyle E ^ { lambda} otimes E ^ { mu} = bigoplus _ { nu} (E ^ { nu}) ^ { oplus c _ { lambda mu} ^ { nu}} .}$

• c^ν
  _λμ standart Young tableaux şekli sayısıdır ν/μ bunlar jeu de taquin bazı sabit standart Genç şekil tablosuna eşdeğerλ.
• c^ν
  _λμ Littlewood-Richardson tablolarının sayısıdır ν/λ ve ağırlıkμ.
• c^ν
  _λμ sayısı resimler μ ve ν / λ arasında.

Genellemeler ve özel durumlar

azaltılmış Kronecker katsayısı simetrik grubun ${ displaystyle { bar {C}} _ ​​{ lambda, mu, nu}}$ bir genellemedir ${ displaystyle c _ { lambda, mu} ^ { nu}}$ üç rastgele Young diyagramı ${ displaystyle lambda, mu, nu}$, üç diyagramın permütasyonları altında simetriktir.

Zelevinsky (1981) Littlewood-Richardson kuralını Schur işlevlerini aşağıdaki gibi çarpıtacak şekilde genişletti:

${ displaystyle s _ { lambda} s _ { mu / nu} = toplamı _ { lambda + omega (T _ { geq j}) P} s _ { lambda + omega (T)}}$

toplamın tüm tabloların üzerinde olduğu T μ / ν üzerinde öyle ki herkes için j, tamsayı dizisi λ + ω (T_≥j) artmamaktadır ve ω ağırlıktır.

Pieri'nin formülü Bu, Littlewood – Richardson kuralının, bölümlerden birinin yalnızca bir kısım, şunu belirtir

• ${ displaystyle displaystyle S _ { mu} S_ {n} = toplam _ { lambda} S _ { lambda}}$

nerede S_n tek satırlı bir bölümün Schur fonksiyonudur ve toplamı, μ ekleyerek elde edilen tüm bölümlerin λ toplamıdır n onun elemanları Ferrers diyagramı, aynı sütunda iki tane yok.

Her iki bölüm de dikdörtgen şeklinde, toplam da çokluksuzdur (Okada 1998 ). Düzelt a, b, p, ve q pozitif tamsayılar p ${ displaystyle geq}$ q. Gösteren ${ displaystyle (a ^ {p})}$ ile bölüm p uzunluk kısımları a. Bölümlerin önemsiz olmayan bileşenlerini indeksleyen ${ displaystyle s _ {(a ^ {p})} s _ {(b ^ {q})}}$ o bölümler mi ${ displaystyle lambda}$ uzunluk ile ${ displaystyle leq p + q}$ öyle ki

• ${ displaystyle lambda _ {q + 1} = lambda _ {q + 2} = cdots = lambda _ {p} = a,}$
• ${ displaystyle lambda _ {q} geq mathrm {maks} (a, b)}$
• ${ displaystyle lambda _ {i} + lambda _ {p + q-i + 1} = a + b, quad {i = 1, dots, q}.}$

Örneğin,

.

Örnekler

Aşağıdaki Littlewood-Richardson katsayılarının örnekleri, Schur polinomlarının ürünleri cinsinden verilmiştir. S_π, π bölümlere göre indekslenmiş, formül kullanılarak

${ displaystyle S _ { lambda} S _ { mu} = toplamı c _ { lambda mu} ^ { nu} S _ { nu}.}$

En fazla 4 ν olan tüm katsayılar şu şekilde verilir:

• S₀S_π = S_π herhangi için π. nerede S₀= 1, boş bölümün Schur polinomudur
• S₁S₁ = S₂ + S₁₁
• S₂S₁ = S₃ + S₂₁
• S₁₁S₁ = S₁₁₁ + S₂₁
• S₃S₁ = S₄ + S₃₁
• S₂₁S₁ = S₃₁ + S₂₂ + S₂₁₁
• S₂S₂ = S₄ + S₃₁ + S₂₂
• S₂S₁₁ = S₃₁ + S₂₁₁
• S₁₁₁S₁ = S₁₁₁₁ + S₂₁₁
• S₁₁S₁₁ = S₁₁₁₁ + S₂₁₁ + S₂₂

Küçük bölümler için katsayıların çoğu 0 veya 1'dir, bu özellikle faktörlerden biri formda olduğunda gerçekleşir S_n veya S_11...1yüzünden Pieri'nin formülü ve transpoze muadili. 1'den büyük katsayıya sahip en basit örnek, faktörlerden hiçbiri bu biçime sahip olmadığında gerçekleşir:

• S₂₁S₂₁ = S₄₂ + S₄₁₁ + S₃₃ + 2S₃₂₁ + S₃₁₁₁ + S₂₂₂ + S₂₂₁₁.

Daha büyük bölümler için katsayılar daha karmaşık hale gelir. Örneğin,

• S₃₂₁S₃₂₁ = S₆₄₂ +S₆₄₁₁ +S₆₃₃ +2S₆₃₂₁ +S₆₃₁₁₁ +S₆₂₂₂ +S₆₂₂₁₁ +S₅₅₂ +S₅₅₁₁ +2S₅₄₃ +4S₅₄₂₁ +2S₅₄₁₁₁ +3S₅₃₃₁ +3S₅₃₂₂ +4S₅₃₂₁₁ +S₅₃₁₁₁₁ +2S₅₂₂₂₁ +S₅₂₂₁₁₁ +S₄₄₄ +3S₄₄₃₁ +2S₄₄₂₂ +3S₄₄₂₁₁ +S₄₄₁₁₁₁ +3S₄₃₃₂ +3S₄₃₃₁₁ +4S₄₃₂₂₁ +2S₄₃₂₁₁₁ +S₄₂₂₂₂ +S₄₂₂₂₁₁ +S₃₃₃₃ +2S₃₃₃₂₁ +S₃₃₃₁₁₁ +S₃₃₂₂₂ +S₃₃₂₂₁₁ 34 terim ve toplam çokluk 62 ve en büyük katsayı 4
• S₄₃₂₁S₄₃₂₁ toplam çokluk 930 ve en büyük katsayı 18 olmak üzere 206 terimin toplamıdır.
• S₅₄₃₂₁S₅₄₃₂₁ toplam çokluğu 26704 olan 1433 terimin toplamı ve en büyük katsayısı ( S_86543211) 176'dır.
• S₆₅₄₃₂₁S₆₅₄₃₂₁ Toplam çokluğu olan 10873 terimin toplamı 1458444'tür (bu nedenle katsayıların ortalama değeri 100'den fazladır ve 2064 kadar büyük olabilirler).

Orijinal örnek Littlewood ve Richardson (1934, s. 122-124) idi (buldukları 3 tabloyu düzelttikten sonra, ancak nihai toplama eklemeyi unuttular)

• S₄₃₁S₂₂₁ = S₆₅₂ + S₆₅₁₁ + S₆₄₃ + 2S₆₄₂₁ + S₆₄₁₁₁ + S₆₃₃₁ + S₆₃₂₂ + S₆₃₂₁₁ + S₅₅₃ + 2S₅₅₂₁ + S₅₅₁₁₁ + 2S₅₄₃₁ + 2S₅₄₂₂ + 3S₅₄₂₁₁ + S₅₄₁₁₁₁ + S₅₃₃₂ + S₅₃₃₁₁ + 2S₅₃₂₂₁ + S₅₃₂₁₁₁ + S₄₄₃₂ + S₄₄₃₁₁ + 2S₄₄₂₂₁ + S₄₄₂₁₁₁ + S₄₃₃₂₁ + S₄₃₂₂₂ + S₄₃₂₂₁₁

26 terim aşağıdaki 34 tablodan gelmektedir:

....11 ....11 ....11 ....11 ....11 ....11 ....11 ....11 ....11    ...22  ...22  ...2   ...2   ...2   ...2   ...    ...    ....3     .      .23    .2     .3     .      .22    .2     .2            3             3      2      2      3      23     2                                         3                    3....1  ....1  ....1  ....1  ....1  ....1  ....1  ....1  ....1   ...12  ...12  ...12  ...12  ...1   ...1   ...1   ...2   ...1.23    .2     .3     .      .23    .22    .2     .1     .2             3      2      2      2      3      23     23     2                     3                                  3....1  ....1  ....1  ....1  ....1  ....1  ....1  ....1   ...2   ...2   ...2   ...    ...    ...    ...    ...    .1     .3     .      .12    .12    .1     .2     .2      2      1      1      23     2      22     13     13      2      2             3      3      2      2              3                                  3....   ....   ....   ....   ....   ....   ....   ....   ...1   ...1   ...1   ...1   ...1   ...    ...    ...    .12    .12    .1     .2     .2     .11    .1     .1      23     2      22     13     1      22     12     12       3      3      2      2      3      23     2                            3                    3

Eğri Schur fonksiyonlarının hesaplanması benzerdir. Örneğin, ν = 5432 ve λ = 331 için 15 Littlewood – Richardson tablosu

...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2.11   .11   .11   .12   .11   .12   .13   .13   .23   .13   .13   .12   .12   .23   .2312    13    22    12    23    13    12    24    14    14    22    23    33    13    34

yani S_5432/331 = Σc^ν
_λμ  S_μ = S₅₂ + S₅₁₁ + S₄₁₁₁ + S₂₂₂₁ + 2S₄₃ + 2S₃₂₁₁ + 2S₃₂₂ + 2S₃₃₁ + 3S₄₂₁ (Fulton 1997, s. 64).

Referanslar

• Fulton, William (1997), Genç Tableaux, London Mathematical Society Öğrenci Metinleri, 35, Cambridge University Press, s. 121, ISBN  978-0-521-56144-0, BAY  1464693
• Gasharov, Vesselin (1998), "Littlewood-Richardson kuralının kısa bir kanıtı", Avrupa Kombinatorik Dergisi, 19 (4): 451–453, doi:10.1006 / eujc.1998.0212, ISSN  0195-6698, BAY  1630540
• James, Gordon (1987), "Simetrik grupların temsil teorisi", Arcata Sonlu Grupların Temsilleri Konferansı (Arcata, CA, 1986), Proc. Sempozyumlar. Saf Matematik., 47Providence, R.I .: Amerikan Matematik Derneği, s. 111–126, BAY  0933355
• Knuth, Donald E. (1970), "Permütasyonlar, matrisler ve genelleştirilmiş Young tabloları", Pacific Journal of Mathematics, 34: 709–727, doi:10.2140 / pjm.1970.34.709, ISSN  0030-8730, BAY  0272654
• Littelmann, Peter (1994), "Simetrik Kac-Moody cebirleri için Littlewood-Richardson kuralı" (PDF), İcat etmek. Matematik., 116: 329–346, doi:10.1007 / BF01231564
• Littlewood, Dudley E. (1950), Grup karakterleri teorisi ve grupların matris gösterimleri, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN  978-0-8218-4067-2, BAY  0002127
• Littlewood, D. E .; Richardson, A. R. (1934), "Grup Karakterleri ve Cebir", Londra Kraliyet Cemiyeti'nin Felsefi İşlemleri. Seri A, Matematiksel veya Fiziksel Karakterli Kağıtlar İçerenKraliyet Cemiyeti 233 (721–730): 99–141, doi:10.1098 / rsta.1934.0015, ISSN  0264-3952, JSTOR  91293
• Macdonald, I. G. (1995), Simetrik fonksiyonlar ve Hall polinomları, Oxford Mathematical Monographs (2. baskı), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853489-1, BAY  1354144, dan arşivlendi orijinal 2012-12-11'de
• Okada, Soichi (1998), "Küçük toplama formüllerinin klasik grupların dikdörtgen şeklindeki temsillerine uygulamaları", Cebir Dergisi, 205 (2): 337–367, doi:10.1006 / jabr.1997.7408, ISSN  0021-8693, BAY  1632816
• Robinson, G. de B. (1938), "Simetrik Grubun Temsilleri Üzerine", Amerikan Matematik Dergisi Johns Hopkins University Press, 60 (3): 745–760, doi:10.2307/2371609, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371609 Zbl0019.25102
• Schensted, C. (1961), "En uzun artan ve azalan alt diziler", Kanada Matematik Dergisi, 13: 179–191, doi:10.4153 / CJM-1961-015-3, ISSN  0008-414X, BAY  0121305
• Schützenberger, M.P. (1963), "Quelques remarques sur une construction de Schensted", Mathematica Scandinavica, 12: 117–128, doi:10.7146 / math.scand.a-10676, ISSN  0025-5521, BAY  0190017^{[kalıcı ölü bağlantı ]}
• Schützenberger, Marcel-Paul (1977), "La yazışma de Robinson", Combinatoire et représentation du groupe symétrique (Actes Table Ronde CNRS, Univ. Louis-Pasteur Strasbourg, Strasbourg, 1976) Matematik Ders Notları, 579, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp.59–113, doi:10.1007 / BFb0090012, ISBN  978-3-540-08143-2, BAY  0498826
• Stembridge, John R. (2002), "Littlewood-Richardson kuralının kısa bir kanıtı" (PDF), Elektronik Kombinatorik Dergisi, 9 (1): Not 5, 4 s. (Elektronik), ISSN  1077-8926, BAY  1912814
• Thomas, Glânffrwd P. (1974), Baxter cebirleri ve Schur fonksiyonları, Ph.D. Tez, Swansea: Swansea Üniversite Koleji
• van Leeuwen, Marc A. A. (2001), "Littlewood-Richardson kuralı ve ilgili kombinatorikler", Kombinasyon ve temsil teorisinin etkileşimi (PDF), MSJ Mem., 11, Tokyo: Matematik. Soc. Japonya, s. 95–145, BAY  1862150
• Zelevinsky, A. V. (1981), "Littlewood-Richardson kuralı ve Robinson-Schensted-Knuth yazışmalarının bir genellemesi", Cebir Dergisi, 69 (1): 82–94, doi:10.1016/0021-8693(81)90128-9, ISSN  0021-8693, BAY  0613858

Dış bağlantılar

• Çevrimiçi bir program, Littlewood-Richardson kuralı kullanarak Schur fonksiyonlarının ürünlerini ayrıştırma