Simetrik grubun temsil teorisi - Representation theory of the symmetric group

İçinde matematik, simetrik grubun temsil teorisi belirli bir durumdur sonlu grupların temsil teorisi bunun için somut ve ayrıntılı bir teori elde edilebilir. Bu, geniş bir potansiyel uygulama alanına sahiptir. simetrik fonksiyon teori problemlerine Kuantum mekaniği bir dizi için özdeş parçacıklar.

simetrik grup Sn sipariş var n!. Onun eşlenik sınıfları tarafından etiketlendi bölümler nın-nin n. Bu nedenle, sonlu bir grubun temsil teorisine göre, eşitsiz sayısı indirgenemez temsiller, üzerinde Karışık sayılar, bölüm sayısına eşittir n. Sonlu gruplar için genel durumdan farklı olarak, indirgenemez temsilleri, eşlenik sınıflarını parametreleştiren aynı küme ile, yani n Veya eşdeğer olarak Genç diyagramlar boyut n.

Bu tür indirgenemez temsillerin her biri aslında tamsayılar üzerinden gerçekleştirilebilir (her permütasyon, tamsayı katsayılı bir matris tarafından hareket eder); hesaplanarak açıkça inşa edilebilir Genç simetriler tarafından oluşturulan bir alan üzerinde hareket etmek Genç Tableaux Young diyagramı tarafından verilen şekil. Boyut Young diyagramına karşılık gelen temsilin tarafından verilir kanca uzunluğu formülü.

Her indirgenemez gösterime ρ, indirgenemez bir karakteri, χ ilişkilendirebilirizρHesaplamak için χρ(π) π bir permütasyon olduğunda, kombinatoryal kullanılabilir Murnaghan-Nakayama kuralı.[1] Χρ eşlenik sınıflarında sabittir, yani χρ(π) = χρ−1πσ) tüm permütasyonlar için σ.

Diğerine göre alanlar durum çok daha karmaşık hale gelebilir. Alan K vardır karakteristik sıfıra eşit veya daha büyük n sonra Maschke teoremi grup cebiri KSn yarı basittir. Bu durumlarda, tamsayılar üzerinde tanımlanan indirgenemez gösterimler, indirgenemez temsillerin tam setini verir (indirgeme modulodan sonra gerekirse karakteristik).

Bununla birlikte, simetrik grubun indirgenemez temsilleri, keyfi karakterde bilinmemektedir. Bu bağlamda, dilini kullanmak daha olağandır. modüller temsiller yerine. Tamsayılar üzerinden tanımlanan indirgenemez bir gösterimden, modulo'nun indirgenmesiyle elde edilen gösterim, genel olarak indirgenemez. Bu şekilde inşa edilen modüllere Specht modülleri ve her indirgenemez bu tür bir modülün içinde ortaya çıkar. Artık daha az indirgenemezler var ve sınıflandırılmalarına rağmen çok az anlaşılıyorlar. Örneğin, onların boyutları genel olarak bilinmemektedir.

Simetrik grup için indirgenemez modüllerin keyfi bir alan üzerinde belirlenmesi, temsil teorisindeki en önemli açık problemlerden biri olarak geniş çapta kabul edilir.

Düşük boyutlu gösterimler

Simetrik gruplar

Simetrik grupların en düşük boyutlu temsilleri, (Burnside 1955, s. 468). Bu çalışma en küçüğüne kadar genişletildi k derece (açıkça k = 4, ve k = 7) içinde (Rasala 1977 ) ve içinde keyfi alanlar üzerinde (James 1983 ). Karakteristik sıfırdaki en küçük iki derece burada açıklanmıştır:

Her simetrik grubun tek boyutlu bir temsili vardır. önemsiz temsil, burada her eleman tek tek kimlik matrisi olarak hareket eder. İçin n ≥ 2, 1. derecenin indirgenemez başka bir temsili var. işaret gösterimi veya alternatif karakter, giriş ± 1 ile matrise tek tek permütasyon alan permütasyon işareti. Bunlar, simetrik grupların tek boyutlu temsilleridir, çünkü tek boyutlu temsiller değişmeli ve değişme simetrik grubun C2, döngüsel grup sipariş 2.

Hepsi için norada bir nsimetrik düzen grubunun boyutsal gösterimi n!, aradı doğal permütasyon gösterimipermütasyondan oluşan n koordinatlar. Bu, koordinatları eşit olan vektörlerden oluşan önemsiz bir alt gösterime sahiptir. Ortogonal tamamlayıcı, koordinatları toplamı sıfır olan vektörlerden oluşur ve n ≥ 2, bu altuzayın temsili bir (n − 1)boyutsal indirgenemez temsil, adı verilen standart gösterim. Bir diğeri (n − 1)-boyutlu indirgenemez temsil, işaret gösterimi ile tensör yapılarak bulunur. Bir dış güç standart temsilin indirgenemez sağlanır (Fulton ve Harris 2004 ).

İçin n ≥ 7, bunlar S'nin en düşük boyutlu indirgenemez temsilleridirn - diğer tüm indirgenemez temsillerin en azından boyutu vardır n. Ancak n = 4, S'den gelen surjeksiyon4 S'ye3 S'ye izin verir4 iki boyutlu indirgenemez bir temsili miras almak. İçin n = 6, S'nin istisnai geçişli gömülmesi5 S'ye6 başka bir çift beş boyutlu indirgenemez temsiller üretir.

İndirgenemez temsili BoyutGenç diyagram boyut
Önemsiz temsil
İşaret gösterimi
Standart gösterim
Dış güç

Alternatif gruplar

beş dörtyüzlü bileşik, hangi A5 3 boyutlu bir temsil vererek davranır.

Temsil teorisi alternatif gruplar işaret temsili kaybolsa da benzerdir. İçin n ≥ 7, en düşük boyutlu indirgenemez temsiller, birinci boyuttaki önemsiz temsillerdir ve (n − 1)diğer tüm indirgenemez temsillerin daha yüksek boyuta sahip olduğu, permütasyon temsilinin diğer summandından boyutsal temsil, ancak daha küçük istisnalar vardır n.

İçin alternatif gruplar n ≥ 5 sadece bir boyutlu indirgenemez temsile sahip, önemsiz temsil. İçin n = 3, 4 3. dereceden döngüsel gruba ait haritalara karşılık gelen iki ek tek boyutlu indirgenemez gösterim vardır: Bir3 ≅ C3 ve Bir4 → A4/V ≅ C3.

  • İçin n ≥ 7, derecenin sadece bir indirgenemez temsili vardır n − 1ve bu önemsiz olmayan indirgenemez bir temsilin en küçük derecesidir.
  • İçin n = 3 bariz analogu (n − 1)boyutsal gösterim indirgenebilir - permütasyon gösterimi normal gösterimle çakışır ve bu nedenle üç tek boyutlu gösterime ayrılır. Bir3 ≅ C3 değişmeli; görmek ayrık Fourier dönüşümü döngüsel grupların temsil teorisi için.
  • İçin n = 4, sadece bir tane n − 1 indirgenemez temsil, ancak boyut 1'in istisnai indirgenemez temsilleri vardır.
  • İçin n = 5, boyut 3'ün iki indirgenemez ikili temsili vardır; ikozahedral simetri.
  • İçin n = 6, istisnai geçişli gömülmeye karşılık gelen boyut 5'in ekstra indirgenemez temsili vardır. Bir5 içindeBir6.

Temsillerin tensör ürünleri

Kronecker katsayıları

tensör ürünü iki temsilinin Young diyagramlarına karşılık gelen indirgenemez temsillerinin birleşimidir ,

Katsayılar denir Kronecker katsayıları simetrik grubun. karakterler temsillerin (Fulton ve Harris 2004 ):

Toplam bölümlerin üzerinde nın-nin , ile karşılık gelen eşlenik sınıfları. Karakterlerin değerleri kullanılarak hesaplanabilir Frobenius formülü. Katsayılar vardır

nerede kaç kez görünür , Böylece .

Young diyagramları açısından yazılmış birkaç örnek (Hamermesh 1989 ):

Bilgi işlem için basit bir kural var herhangi bir Young diyagramı için (Hamermesh 1989 ): sonuç, aşağıdakilerden elde edilen tüm Young diyagramlarının toplamıdır bir kutuyu kaldırıp ardından katsayıların bir olduğu bir kutu ekleyerek katsayısı olan kendisi yani farklı sıra uzunluklarının sayısı eksi bir.

İndirgenemez bileşenlerine ilişkin bir kısıtlama dır-dir (James ve Kerber 1981 )

derinlik nerede Young diyagramının sayısı, ilk satıra ait olmayan kutuların sayısıdır.

Azaltılmış Kronecker katsayıları

İçin Genç bir diyagram ve , boyutun Young diyagramıdır . Sonra sınırlı, azalmayan bir fonksiyondur , ve

denir azaltılmış Kronecker katsayısı.[2] Kronecker katsayılarının aksine, indirgenmiş Kronecker katsayıları, aynı boyutta olması gerekmeyen, Young diyagramlarının üçlüsü için tanımlanır. Eğer , sonra ile çakışıyor Littlewood-Richardson katsayısı . İndirgenmiş Kronecker katsayıları, Deligne temsilleri kategorilerinin yapı sabitleridir. ile .[3]

Kronecker katsayılarını, indirgenmiş Kronecker katsayılarının doğrusal kombinasyonları olarak geri kazanmak mümkündür. Değerinde bilinen sınırlar vardır nerede sınırına ulaşır.[2]

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ Richard Stanley, Numaralandırmalı Kombinatorik, Cilt. 2
  2. ^ a b Briand, Emmanuel; Orellana, Rosa; Rosas, Mercedes (2009-07-27). "Schur fonksiyonlarının Kronecker ürünlerinin kararlılığı". arXiv.org. doi:10.1016 / j.jalgebra.2010.12.026. Alındı 2020-10-25.
  3. ^ Entova-Aizenbud, Inna (2014-07-06). "Deligne kategorileri ve azaltılmış Kronecker katsayıları". arXiv.org. Alındı 2020-10-25.

Referanslar