PSL (2; 7) - PSL(2,7)

İçinde matematik, projektif özel doğrusal grup PSL (2, 7)izomorfik GL (3; 2), bir sonlu basit grup önemli uygulamaları olan cebir, geometri, ve sayı teorisi. O otomorfizm grubu of Klein çeyrek yanı sıra simetri grubu of Fano uçağı. 168 öğe ile PSL (2, 7) en küçük abeliyen olmayan basit grup sonra alternatif grup Bir₅ 60 elementli, PSL'ye izomorfiktir (2, 5).

Tanım

genel doğrusal grup GL (2, 7) tamamen ters çevrilebilir 2 × 2'den oluşur matrisler bitmiş F₇, sonlu alan 7 elementli. Bunların sıfırdan farklı bir determinantı vardır. alt grup SL (2, 7) tüm bu tür matrislerden oluşur. belirleyici. Daha sonra PSL (2, 7), bölüm grubu

SL (2, 7) / {I, −I}

I ve −I tanımlanarak elde edilir, burada ben ... kimlik matrisi. Bu yazıda G PSL'ye (2, 7) izomorfik herhangi bir grubu belirtir.

Özellikleri

G = PSL (2, 7) 168 öğeye sahiptir. Bu, olası sütunları sayarak görülebilir; 7 tane var²−1 = ilk sütun için 48 olasılık, ardından 7²−7 = ikinci sütun için 42 olasılık. Determinantı bire eşit olmaya zorlamak için 7−1 = 6'ya bölmeliyiz ve sonra I ve identifyI'yı tanımladığımızda 2'ye bölmeliyiz. Sonuç (48 × 42) / (6 × 2) = 168'dir.

PSL'nin (n, q) dır-dir basit için n, q ≥ 2 (q asal sayının bir kuvveti olmak), sürece (n, q) = (2, 2) veya (2, 3). PSL (2; 2) izomorf için simetrik grup S₃ve PSL (2, 3) izomorfiktir alternatif grup Bir₄. Aslında, PSL (2, 7) ikinci en küçük abeliyen olmayan basit gruptan sonra alternatif grup Bir₅ = PSL (2, 5) = PSL (2, 4).

Sayısı eşlenik sınıfları ve indirgenemez temsiller 6. Eşlenik sınıflarının boyutları 1, 21, 42, 56, 24, 24'tür. İndirgenemez temsillerin boyutları 1, 3, 3, 6, 7, 8.

Karakter tablosu

${ displaystyle { begin {array} {r | cccccc} & 1A_ {1} & 2A_ {21} & 4A_ {42} & 3A_ {56} & 7A_ {24} & 7B_ {24} hline chi _ {1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 chi _ {2} & 3 & -1 & 1 & 0 & sigma & { bar { sigma}} chi _ {3} & 3 & -1 & 1 & 0 & { bar { sigma}} & sigma chi _ {4 } & 6 & 2 & 0 & 0 & -1 & -1 chi _ {5} & 7 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 chi _ {6} & 8 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 end {array}},}$

nerede:

${ displaystyle sigma = { frac {-1 + i { sqrt {7}}} {2}}.}$

Aşağıdaki tablo, sınıftaki bir elemanın sırası, sınıfın büyüklüğü, GL'deki her temsilcinin minimum polinomu (3, 2) ve PSL'deki bir temsilci için fonksiyon gösterimi (2) açısından eşlenik sınıflarını açıklamaktadır. , 7). 7A ve 7B sınıflarının bir otomorfizm ile değiştirildiğini ve bu nedenle GL (3, 2) ve PSL (2, 7) temsilcilerinin keyfi olarak değiştirilebileceğini unutmayın.

Grubun sırası 168 = 3 × 7 × 8'dir, bu şu anlama gelir: Sylow'un alt grupları 3, 7 ve 8. sıraların ilk ikisini tanımlamak kolaydır, çünkü bunlar döngüseldir, çünkü herhangi bir asal düzen grubu döngüseldir. Eşlenik sınıf 3'ün herhangi bir öğesiBir₅₆ Sylow 3 alt grubunu oluşturur. Eşlenik sınıflarından herhangi bir öğe 7Bir₂₄, 7B₂₄ Sylow 7 alt grubunu oluşturur. Sylow 2 alt grubu bir dihedral grup 8 düzen. Olarak tanımlanabilir merkezleyici eşlenik sınıf 2'den herhangi bir öğeninBir₂₁. GL (3, 2) gösteriminde, bir Sylow 2 alt grubu, üst üçgen matrislerden oluşur.

Bu grup ve onun Sylow 2 alt grubu, çeşitli normal p-tamamlayıcı teoremleri p = 2.

Projektif alanlarla ilgili eylemler

G = PSL (2, 7), doğrusal kesirli dönüşüm üzerinde projektif çizgi P¹(7) 7 elemanlı alan üzerinde:

${ displaystyle { mbox {For}} gamma = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} in { mbox {PSL}} (2,7) { mbox {ve}} x in mathbb {P} ^ {1} ! (7), gamma cdot x = { frac {ax + b} {cx + d}}}$

Her yönelim koruyan otomorfizmi P¹(7) bu şekilde ortaya çıkar ve böylece G = PSL (2, 7) geometrik olarak projektif çizginin bir simetri grubu olarak düşünülebilir P¹(7); Muhtemelen oryantasyonu tersine çeviren projektif doğrusal otomorfizmlerin tam grubu, bunun yerine sıra 2 uzantısı PGL (2, 7) ve collineations projektif çizginin tamamlanması simetrik grup Puanların.

Bununla birlikte, PSL (2, 7) de izomorf PSL (3, 2) (= SL (3, 2) = GL (3, 2)), 2 elemanlı alan üzerinde 3 × 3 matrislerin özel (genel) doğrusal grubu. Benzer şekilde, G = PSL (3, 2), projektif düzlem P²(2) 2 öğeli alan üzerinde - aynı zamanda Fano uçağı:

İçin ${ displaystyle gamma = { begin {pmatrix} a & b & c d & e & f g & h & i end {pmatrix}} { mbox {PSL}} (3,2) }$ ve ${ displaystyle mathbf {x} = { begin {pmatrix} x y z end {pmatrix}} in mathbb {P} ^ {2} ! (2), gamma cdot mathbf {x} = { begin {pmatrix} ax + by + cz dx + ey + fz gx + hy + iz end {pmatrix}}}$

Yine, her otomorfizmi P²(2) bu şekilde ortaya çıkar ve böylece G = PSL (3, 2) geometrik olarak şu şekilde düşünülebilir: simetri grubu bu yansıtmalı düzlemin. Fano uçağı çarpımını tanımlamak için kullanılabilir sekizlik, yani G sekizlik çarpım tabloları üzerinde hareket eder.

Klein kuartik simetrileri

Klein çeyrek bir bölümü olarak gerçekleştirilebilir sıra-3 altıgen döşeme.

İkili olarak Klein çeyrek bir bölümü olarak gerçekleştirilebilir sipariş-7 üçgen döşeme.

Klein çeyrek projektif çeşitlilik Karışık sayılar C kuartik polinom tarafından tanımlanan

x³y + y³z + z³x = 0.

Bir kompakt Riemann yüzeyi g = 3 cinsinin ve konformal otomorfizm grubunun boyutunun maksimum 84'e ulaştığı tek yüzeydir (g−1). Bu sınır, Hurwitz otomorfizm teoremi, hangisi için geçerli g> 1. Böyle "Hurwitz yüzeyleri "nadirdir; var olan sonraki cins g = 7 ve bundan sonraki g = 14.

Hepimiz gibi Hurwitz yüzeyleri Klein quartic'e bir metriği verilebilir sabit negatif eğrilik ve sonra döşendi düzenli (hiperbolik) Heptagonlar, bölüm olarak sıra-3 altıgen döşeme Riemann yüzeyi olarak yüzeyin simetrileri veya cebirsel eğri, döşemenin simetrileriyle tamamen aynıdır. Klein çeyreği için bu, 24 yedagonluk bir döşeme verir ve G bu nedenle, 24 × 7 = 168 olduğu gerçeğiyle ilişkilidir. İkili, 56 eşkenar üçgen, 24 köşeli, her biri 7. derece olan 56 eşkenar üçgenin bir bölümü olarak döşenebilir. sipariş-7 üçgen döşeme.

Klein'ın kuartiği, temsil teorisi, homoloji teorisi, oktonyon çarpımı dahil olmak üzere matematiğin birçok alanında ortaya çıkar. Fermat'ın son teoremi, ve Stark teoremi 1 numaralı sınıfın hayali ikinci dereceden sayı alanlarında.

Mathieu grubu

PSL (2, 7), bir maksimal alt grubudur. Mathieu grubu M₂₁; M grupları₂₁ ve M₂₄ PSL'nin uzantıları olarak yapılandırılabilir (2, 7). Bu uzantılar, Klein quartic'in döşenmesi açısından yorumlanabilir, ancak döşemenin geometrik simetrileriyle gerçekleştirilmez.^[1]

Permütasyon eylemleri

PSL (2, 7) grubu çeşitli sonlu kümelere etki eder:

• PSL (2, 7) olarak orijinal yorumunda, projektif çizgi P'nin oryantasyonu koruyan doğrusal otomorfizmaları¹(F₇), belirli bir noktayı sabitleyen 21 numaralı bir dengeleyici ile 8 noktada geçişli olarak hareket eder. Ayrıca, her bir nokta çifti üzerinde 3 dereceli sabitleyici ile 2 geçişli olarak hareket eder; ve üçlü noktalarda iki yörüngeye sahiptir ve her üçlüde önemsiz dengeleyici bulunur. (Daha büyük PGL grubu (2,7), 3 geçişli olarak keskin bir şekilde hareket eder.)
• PGL (3,2) olarak yorumlanır, Fano düzlemi P'nin doğrusal otomorfizmaları²(F₂), 7 nokta üzerinde 2-geçişli olarak hareket eder, her noktayı sabitleyen 24 sıra sabitleyici ve her bir nokta çiftini sabitleyen 4 dereceli sabitleyici.
• Klein quartic'in bir döşemesinin otomorfizmaları olarak yorumlanan bu sistem, 24 köşede (veya iki kez, 24 yedigende) geçişli olarak hareket eder ve stabilizatör 7 mertebesinde (köşe / heptagon etrafında bir dönüşe karşılık gelir).
• Mathieu grubu M'nin bir alt grubu olarak yorumlandı₂₁alt grup 21 noktada geçişsiz hareket etmektedir.

Referanslar

daha fazla okuma

• Brown, Ezra; Loehr Nicholas (2009). "Neden PSL (2,7) ≅ GL (3,2)?" (PDF). Am. Matematik. Pzt. 116 (8): 727–732. doi:10.4169 / 193009709X460859. Zbl  1229.20046. Arşivlenen orijinal (PDF) 2016-10-09 tarihinde. Alındı 2014-09-27.

Dış bağlantılar

• Sekiz Katlı Yol: Klein'in Kuartik Eğrisinin Güzelliği (Silvio Levy, ed.)
• Matematiksel Fizikte Bu Haftanın Bulguları - Hafta 214 (John Baez)
• Sayı Teorisinde Klein Kuartiği (Noam Elkies)
• Projektif özel doğrusal grup: PSL (3,2)