Petrie poligonu - Petrie polygon

Petrie poligonu dodecahedron bir çarpıklık dekagon. Katı cismin 5 kat simetri ekseninden bakıldığında, normal bir decagon gibi görünür. Her bir ardışık taraf çifti bir beşgene aittir (ancak üçlü yoktur).

İçinde geometri, bir Petrie poligonu için normal politop nın-nin n boyutlar bir çarpık çokgen içinde her (n - 1) ardışık yanlar (ama hayır n) şunlardan birine aittir yönler. Petrie poligonu bir normal çokgen normal çokgenin kendisidir; bu bir düzenli çokyüzlü bir çarpık çokgen öyle ki her iki ardışık yan (ama üç değil) birine ait yüzler.^[1] Petrie çokgenleri, matematikçi John Flinders Petrie'den alınmıştır.

Her normal politop için bir dikey projeksiyon bir Petrie poligonunun bir normal çokgen projeksiyonun iç kısmının geri kalanıyla. Söz konusu uçak, Coxeter düzlemi of simetri grubu çokgenin ve kenarların sayısı, h, dır-dir Coxeter numarası of Coxeter grubu. Bu çokgenler ve yansıtılan grafikler, yüksek boyutlu düzenli politopların simetrik yapısını görselleştirmede kullanışlıdır.

Petrie poligonları, herhangi biri için daha genel olarak tanımlanabilir gömülü grafik. Aynı grafiğin başka bir gömülmesinin yüzlerini oluştururlar, genellikle farklı bir yüzeyde Petrie dual.^[2]

Tarih

John Flinders Petrie (1907–1972), Mısırbilimci Flinders Petrie. 1907'de doğdu ve bir okul çocuğu olarak dikkate değer matematiksel yetenek vaadi gösterdi. Yoğun konsantrasyon dönemlerinde karmaşık dört boyutlu nesnelerle ilgili soruları şu şekilde yanıtlayabilirdi: görselleştirme onları.

İlk önce, normal çokyüzlülerin ve daha yüksek politopların yüzeyinde görünen düzenli çarpık çokgenlerin önemini belirtti. Coxeter, 1937'de kendisinin ve Petrie'nin klasik polihedra konusunu nasıl genişletmeye başladığını açıkladı:

1926'da bir gün, J. F. Petrie bana iki yeni düzenli çok yüzlü keşfettiğini büyük bir heyecanla söyledi; sonsuz, ancak yanlış köşelerden yoksun. Şüphem azalmaya başladığında, onları bana anlattı: biri her köşede altı tane olmak üzere karelerden ve biri her köşede dört tane olmak üzere altıgenden oluşan.^[3]

1938'de Petrie, Coxeter ile işbirliği yaptı, Patrick du Val ve H.T. Flather üretmek için Elli Dokuz Icosahedra yayın için.^[4]Petrie tarafından kullanılan çarpık çokgenlerin geometrik tesisini fark eden Coxeter, yazarken arkadaşının adını verdi. Normal Politoplar.

Petrie poligonları fikri daha sonra şu şekilde genişletildi: yarı düzenli politoplar.

Normal çokyüzlülerin Petrie çokgenleri

İki tetrahedra Petrie kareleri ile

Küp ve oktahedron Petrie altıgenleri ile

Dodecahedron ve icosahedron Petrie ongenleri ile

normal ikili, {p,q} ve {q,p}, aynı Petrie poligonunun içinde yer alır. ikili bileşikler sağda, Petrie poligonlarının, kenarların ortak noktaya temas ettiği noktalarda dikdörtgen kesişimlere sahip olduğu görülebilir. orta küre.

Platonik katılar için Petrie poligonları
Meydan	Altıgen		Dekagon

dörtyüzlü {3,3}	küp {4,3}	sekiz yüzlü {3,4}	dodecahedron {5,3}	icosahedron {3,5}

kenar merkezli	köşe merkezli	yüz merkezli	yüz merkezli	köşe merkezli
V:(4,0)	V:(6,2)	V:(6,0)	V:(10,10,0)	V:(10,2)
Petrie poligonları bu ortogonal projeksiyonların dışıdır. Köşelerin eşmerkezli halkaları, dışarıdan başlayarak içeriye doğru bir gösterimle sayılır: V:(a, b, ...), merkezi köşe yoksa sıfırla biter. {İçin kenar sayısıp, q} 24 / (10−p−q) − 2.^[5]

gD ve sD Petrie altıgenleri ile

gI ve gsD Petrie decagrams ile

Petrie çokgenleri Kepler-Poinsot çokyüzlü vardır altıgenler {6} ve dekagramlar {10/3}.

Kepler-Poinsot polyhedra için Petrie poligonları
Altıgen		Decagram

gD {5,5/2}	SD {5,5/2}	gI {3,5/2}	gsD {5/2,3}

Sonsuz düzenli çarpık çokgenler (maymun ), sırasıyla kare, altıgen ve üçgen yüzlerinin sırasıyla 90, 120 ve 60 derecelik açılarına sahip olan normal döşemelerin Petrie poligonları olarak da tanımlanabilir.

Sonsuz düzenli eğik çokgenler, normal hiperbolik döşemelerin Petrie poligonları olarak da mevcuttur; sipariş-7 üçgen döşeme, {3,7}:

Normal polychora'nın Petrie poligonu (4-politoplar)

Petrie poligonu tesseract bir sekizgen. Ardışık kenarların her üçü, sekiz kübik hücresinden birine aittir.

Normal polychora için Petrie poligonu {p, q ,r} de belirlenebilir.

{3,3,3} 5 hücreli 5 taraf V:(5,0)	{3,3,4} 16 hücreli 8 taraf V:(8,0)	{4,3,3} tesseract 8 taraf V:(8,8,0)
{3,4,3} 24 hücreli 12 taraf V:(12,6,6,0)	{5,3,3} 120 hücreli 30 taraf V:((30,60)³,60³,30,60,0)	{3,3,5} 600 hücreli 30 taraf V: (30,30,30,30,0)

Düzenli ve tek tip politopların Petrie poligon projeksiyonları

Petrie poligon projeksiyonları, dördüncü boyut ve daha yüksek politopların görselleştirilmesi için kullanışlıdır.

Hiperküpler

Bir hiperküp boyut n 2 boyutunda bir Petrie poligonuna sahiptirnaynı zamanda onun numarasıdır yönler.
Yani her biri (n−1) -küpleri oluşturan yüzey vardır nPetrie poligonunun kenarları arasında 1 tarafı.

Hiperküpler
1 küplerin Petrie'si Digon 1 küp ile aynı görünüyor. Ancak 1 küpün tek kenarı varken digonun iki kenarı vardır. 2 küpün Petrie karesi 2 küp ile aynıdır. 3 küpün Petrie altıgeninin her bir ardışık kenarı çifti, altı kare yüzünden birine aittir. 4 küpün Petrie sekizgeninin ardışık kenarlarının her üçlüsü, sekiz küp hücresinden birine aittir. Resimler, boyut için Petrie poligonunun n+1, boyut için bundan inşa edilebilir n: İlk yarı (<2 numaralı köşeler arasındaki kenarlarⁿ) olduğu yerde kalır. İkinci yarı bir sonraki boyuta taşınır (2ⁿ köşe numaralarına eklendi). İki yeni kenar (turuncu ile gösterilmiştir) iki parçayı birbirine bağlamak için eklenir. (İçin n= 1 birinci ve ikinci yarı, bir digonun iki farklı ancak çakışan kenarıdır.) Her Petrie poligonunun kenarları şu boyutlara aittir: (1, 1), (1, 2, 1, 2), (1, 2, 3, 1, 2, 3), (1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4), vb. Bu yüzden herhangi n ardışık taraflar farklı boyutlara aittir.
Meydan	Küp	Tesseract

İndirgenemez politop aileleri

Bu tablo, 3 normal ailenin Petrie poligon projeksiyonlarını temsil etmektedir (basit, hiperküp, ortopleks ), ve istisnai Lie grubu E_n 4 ila 8 arasındaki boyutlar için yarı düzgün ve tek biçimli politoplar oluşturan.

İndirgenemez politop aileleri tablosu

Aile
n

n-basit

n-hiperküp

n-ortopleks

n-demiküp

1_k2

2_k1

k₂₁

beşgen politop

Grup

Bir_n

B_n

ben₂(p)

D_n

E₆

E₇

E₈

F₄

G₂

H_n

2

Üçgen

Meydan

p-gon
(misal: p = 7 )

1₂₂

2₂₁

1₃₂

2₃₁

3₂₁

1₄₂

2₄₁

4₂₁

Notlar

^ Kaleidoscopes: H.S.M.Coxeter'in Seçilmiş YazılarıF. Arthur Sherk tarafından düzenlenmiş, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Yayını, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] (Tanım: makale 13, Yansımalarla oluşturulan ayrık gruplar, 1933, s. 161)
^ Gorini Catherine A. (2000), İş Yerinde Geometri MAA Notları, 53, Cambridge University Press, s. 181, ISBN 9780883851647
^ H.S.M. Coxeter (1937) "Üç ve dört boyutta düzenli çarpık çok yüzlü ve bunların topolojik benzerleri", Londra Matematik Derneği Bildirileri (2) 43:33 ila 62
^ H. S. M. Coxeter, Patrick du Val, H.T. Flather, J.F. Petrie (1938) Elli dokuz Icosahedra, Toronto Üniversitesi çalışmalar, matematiksel seriler 6: 1–26
^ http://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0220-0221.pdf

Referanslar

Coxeter, H. S.M. (1947, 63, 73) Normal Politoplar, 3. baskı. New York: Dover, 1973. (bölüm 2.6 Petrie Çokgenleri sayfa 24–25 ve Bölüm 12, sayfa 213–235, Genelleştirilmiş Petrie poligonu )
Coxeter, H.S.M. (1974) Düzenli karmaşık politoplar. Bölüm 4.3 Bayraklar ve Orthoschemes, Bölüm 11.3 Petrie çokgenleri
Ball, W.W.R. ve H.S.M.Coxeter (1987) Matematiksel Rekreasyonlar ve Denemeler, 13. baskı. New York: Dover. (s. 135)
Coxeter, H.S.M. (1999) Geometrinin Güzelliği: On İki Deneme, Dover Yayınları LCCN 99-35678
Peter McMullen Egon Schulte (2002) Soyut Düzenli Politoplar, Cambridge University Press. ISBN 0-521-81496-0
Steinberg, Robert,PETRİ POLİGONUNUN KENAR SAYISI ÜZERİNE

Ayrıca bakınız

Çeşitli görselleştirmeler icosahedron

Temel dışbükey düzenli ve tek tip politoplar 2-10 boyutlarında
Aile	Bir_n	B_n	ben₂(p) / D_n	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H_n
Normal çokgen	Üçgen	Meydan	p-gon	Altıgen	Pentagon
Düzgün çokyüzlü	Tetrahedron	Oktahedron • Küp	Demicube		Oniki yüzlü • Icosahedron
Üniforma 4-politop	5 hücreli	16 hücreli • Tesseract	Demitesseract	24 hücreli	120 hücreli • 600 hücreli
Üniforma 5-politop	5 tek yönlü	5-ortopleks • 5 küp	5-demiküp
Üniforma 6-politop	6-tek yönlü	6-ortopleks • 6 küp	6-demiküp	1₂₂ • 2₂₁
Üniforma 7-politop	7-tek yönlü	7-ortopleks • 7 küp	7-demiküp	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
Üniforma 8-politop	8 tek yönlü	8-ortopleks • 8 küp	8-demiküp	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
Üniforma 9-politop	9-tek yönlü	9-ortopleks • 9 küp	9-demiküp
Üniforma 10-politop	10 tek yönlü	10-ortopleks • 10 küp	10-demiküp
Üniforma n-politop	n-basit	n-ortopleks • n-küp	n-demiküp	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-beşgen politop
Konular: Politop aileleri • Düzenli politop • Düzenli politopların ve bileşiklerin listesi

Dış bağlantılar

[1] Kaleidoscopes: H.S.M.Coxeter'in Seçilmiş YazılarıF. Arthur Sherk tarafından düzenlenmiş, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Yayını, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] (Tanım: makale 13, Yansımalarla oluşturulan ayrık gruplar, 1933, s. 161)

[2] Gorini Catherine A. (2000), İş Yerinde Geometri MAA Notları, 53, Cambridge University Press, s. 181, ISBN 9780883851647

[3] H.S.M. Coxeter (1937) "Üç ve dört boyutta düzenli çarpık çok yüzlü ve bunların topolojik benzerleri", Londra Matematik Derneği Bildirileri (2) 43:33 ila 62

[4] H. S. M. Coxeter, Patrick du Val, H.T. Flather, J.F. Petrie (1938) Elli dokuz Icosahedra, Toronto Üniversitesi çalışmalar, matematiksel seriler 6: 1–26

[5] ttp://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0220-0221.pdf

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]