Kayıtsızlık ilkesi - Principle of indifference

Bu makale şunları içerir: referans listesi, ilgili okuma veya Dış bağlantılar, ancak kaynakları belirsizliğini koruyor çünkü eksik satır içi alıntılar. Lütfen yardım edin geliştirmek bu makale tanıtım daha kesin alıntılar. (Nisan 2010) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Bir dizinin parçası
Bayes istatistikleri
Teori
Kabul edilebilir karar kuralı Bayes verimliliği Bayes olasılığı Olasılık yorumları Bayes teoremi Bayes faktörü Bayesci çıkarım Bayes ağı Önceki Arka Olasılık Önceden konjuge Arka tahmin Hiperparametre Hyperprior Kayıtsızlık ilkesi Maksimum entropi ilkesi Ampirik Bayes yöntemi Cromwell kuralı Bernstein-von Mises teoremi Schwarz kriteri Güvenilir aralık Maksimum bir posteriori tahmin Radikal olasılık
Teknikler
Bayes doğrusal regresyon Bayes tahmincisi Yaklaşık Bayes hesaplaması Markov zinciri Monte Carlo
Matematik portalı

ilgisizlik ilkesi (olarak da adlandırılır yetersiz sebep ilkesi) atama kuralıdır epistemik olasılıklar. Kayıtsızlık ilkesi, herhangi bir ilgili kanıtın yokluğunda, temsilcilerin inancını (veya 'inanç derecelerini') değerlendirilen tüm olası sonuçlar arasında eşit olarak dağıtması gerektiğini belirtir.^[1]

İçinde Bayes olasılığı bu en basit olanı bilgilendirici olmayan önceki. Kayıtsızlık ilkesi, olasılığın frekans yorumu,^{[kaynak belirtilmeli ]} Olasılıkların belirsiz önermelere olan inanç derecelerinden çok göreli frekanslar olduğu, durum bilgisine bağlı.

Örnekler

Kayıtsızlık ilkesinin uygulanmasına ilişkin ders kitabı örnekleri şunlardır: madeni paralar, zar, ve kartları.

İçinde makroskobik sistem, en azından sistemi yöneten fizik kanunlarının sonucu tahmin edecek kadar iyi bilinmediği varsayılmalıdır. Birkaç yüzyıl önce gözlemlendiği gibi John Arbuthnot (önsözünde Şans Kanunları, 1692),

Böylesine belirleyici bir güce ve yöne sahip bir Kalıp'ın böyle belirlenmiş bir tarafa düşmemesi imkansızdır, sadece onu böyle belirleyici tarafa düşüren gücü ve yönü bilmiyorum ve bu nedenle ben ona Şans deyin, bu sanat arzusundan başka bir şey değildir ...

Yeterli zaman ve kaynak verildiğinde, madeni paraların, zarların ve kartların sonucunun yüksek doğrulukta tahmin edilmesini sağlayacak uygun şekilde hassas ölçümlerin yapılamayacağını varsaymak için temel bir neden yoktur: Persi Diaconis ile çalışmak yazı tura atma makineler bunun pratik bir örneğidir.

Madeni paralar

Bir simetrik madalyonun keyfi olarak etiketlenmiş iki yüzü vardır kafalar (birçok madeni paranın bir tarafında bir kişinin başı tasvir edilmiştir) ve kuyruklar. Madeni paranın bir tarafa veya diğer tarafa düşmesi gerektiğini varsayarsak, yazı tura atmanın sonuçları birbirini dışlar, kapsamlı ve değiştirilebilir. Kayıtsızlık ilkesine göre, olası sonuçların her birine 1/2 olasılık atarız.

Bu analizde, madeni paraya etki eden kuvvetlerin herhangi bir kesinlik ile bilinmediği zımnen belirtilmiştir. Madeni paraya fırlatıldığında verilen momentum yeterli doğrulukla biliniyorsa, madalyonun uçuşu mekanik yasalarına göre tahmin edilebilir. Bu nedenle, bir yazı tura atmanın sonucundaki belirsizlik (çoğunlukla) başlangıç ​​koşullarına ilişkin belirsizlikten türetilir. Bu nokta, hakkındaki makalede daha ayrıntılı olarak tartışılmıştır. yazı tura atmak.

Zar

Bir simetrik ölmek vardır n 1'den 1'e kadar rastgele etiketlenmiş yüzler n. Sıradan bir kübik kalıp vardır n = 6 yüz, ancak farklı sayıda yüze sahip simetrik bir kalıp oluşturulabilir; görmek Zar. Kalıbın bir yüze veya başka bir yüze düşeceğini ve başka olası sonuç olmadığını varsayıyoruz. Kayıtsızlık ilkesini uygulayarak, olası sonuçların her birine 1 /n. Madeni paralarda olduğu gibi, zar atmanın ilk koşullarının, mekanik yasalarına göre sonucu tahmin etmek için yeterli kesinlikte bilinmediği varsayılır. Zarlar tipik olarak bir masaya veya başka yüzeylere sıçrayacak şekilde atılır. Bu etkileşim, sonucun tahminini çok daha zor hale getirir.

Simetri varsayımı burada çok önemlidir. Bizden "6" sonucunun lehine veya aleyhine bahis oynamamızın istendiğini varsayalım. Burada "6" veya "değil 6" olmak üzere iki alakalı sonuç olduğunu ve bunların birbirini dışlayan ve kapsamlı olduğunu düşünebiliriz. Bu, iki sonucun her birine 1/2 olasılığının atanmasını önerir.

Kartlar

Standart bir deste, her birine rastgele bir şekilde benzersiz bir etiket verilen, yani keyfi olarak sipariş edilen 52 kart içerir. Desteden bir kart çekiyoruz; Kayıtsızlık ilkesini uygulayarak, olası sonuçların her birine 1 / 52'lik bir olasılık atarız.

Bu örnek, diğerlerinden daha fazla, gerçek durumlarda kayıtsızlık ilkesini gerçekten uygulamanın zorluğunu göstermektedir. "Keyfi sıralı" ifadesiyle gerçekten kastettiğimiz şey, bizi belirli bir kartı tercih etmeye götürecek hiçbir bilgiye sahip olmadığımızdır. Gerçek uygulamada, durum nadiren böyledir: Yeni bir kart destesi kesinlikle keyfi bir sırada değildir ve bir el karttan hemen sonra bir deste de değildir. Pratikte biz bu nedenle Karıştır kartlar; Bu, sahip olduğumuz bilgileri yok etmez, bunun yerine (umarız) bilgilerimizi pratikte kullanılamaz hale getirir, ancak yine de prensipte kullanılabilir. Aslında, bazı uzman blackjack oyuncuları, destedeki asları takip edebilir; onlar için kayıtsızlık ilkesini uygulama koşulu yerine getirilmemiştir.

Sürekli değişkenlere uygulama

Kayıtsızlık ilkesinin yanlış uygulanması, özellikle çok değişkenli, sürekli değişkenler söz konusu olduğunda, kolaylıkla anlamsız sonuçlara yol açabilir. Tipik bir yanlış kullanım durumu aşağıdaki örnektir:

• Bir kutuda gizlenmiş bir küp olduğunu varsayalım. Kutunun üzerindeki bir etiket, küpün kenar uzunluğunun 3 ile 5 cm arasında olduğunu söylüyor.
• Gerçek kenar uzunluğunu bilmiyoruz, ancak tüm değerlerin eşit olasılık olduğunu varsayabiliriz ve basitçe 4 cm'nin orta değerini seçebiliriz.
• Etiket üzerindeki bilgiler, küpün yüzey alanının 54 ile 150 cm² arasında olduğunu hesaplamamıza olanak tanır. Gerçek yüzey alanını bilmiyoruz, ancak tüm değerlerin eşit olasılık olduğunu varsayabiliriz ve sadece 102 cm²'lik orta değeri seçebiliriz.
• Etiket üzerindeki bilgiler, küpün hacminin 27 ile 125 cm arasında olduğunu hesaplamamıza olanak tanır.³. Gerçek hacmi bilmiyoruz, ancak tüm değerlerin eşit olasılık olduğunu varsayabiliriz ve basitçe 76 cm'lik orta değeri seçebiliriz.³.
• Ancak artık küpün 4 cm kenar uzunluğuna, 102 cm² yüzey alanına ve 76 cm hacmine sahip olduğu imkansız sonucuna vardık.³!

Bu örnekte, küpün uzunluğu, yüzey alanı ve hacminin karşılıklı olarak çelişen tahminleri, bu parametreler için birbiriyle çelişen üç dağılım varsaydığımız için ortaya çıkar: a üniforma dağıtımı değişkenlerden herhangi biri için diğer ikisi için tek tip olmayan bir dağılım anlamına gelir. Genel olarak, kayıtsızlık ilkesi hangi değişkenin (örneğin bu durumda uzunluk, yüzey alanı veya hacim) tek tip epistemik olasılık dağılımına sahip olacağını göstermez.

Bu tür bir kötüye kullanımın bir başka klasik örneği, Bertrand paradoksu. Edwin T. Jaynes tanıttı dönüşüm grupları ilkesi, bu problem için epistemik bir olasılık dağılımı sağlayabilir. Bu, birinin kayıtsız olduğunu söyleyerek kayıtsızlık ilkesini genelleştirir. eşdeğer problemler önermeler arasındaki kayıtsızlık yerine. Eşdeğer problemler (yani permütasyon dönüşüm grubunu kullanarak) üreten etiketlerin permütasyonunu düşündüğünüzde, bu hala sıradan kayıtsızlık ilkesine indirgenir. Bunu yukarıdaki kutu örneğine uygulamak için, geometrik denklemlerle ilişkili üç rastgele değişkenimiz var. Bir üçlü değeri diğerine tercih etmek için bir nedenimiz yoksa, o zaman önceki olasılıklarımız sürekli dağılımlarda değişkenleri değiştirme kuralı ile ilişkilendirilmelidir. İzin Vermek L uzunluk ol ve V hacim olun. O zaman sahip olmalıyız

${ displaystyle f_ {L} (L) = sol | { kısmi V üzerinde kısmi L} sağ | f_ {V} (V) = 3L ^ {2} f_ {V} (L ^ {3} )}$,

nerede ${ displaystyle f_ {L}, , f_ {V}}$ bunlar olasılık yoğunluk fonksiyonları (pdf) belirtilen değişkenler. Bu denklemin genel bir çözümü var: ${ displaystyle f (L) = {K L üzerinde}}$, nerede K aralığı tarafından belirlenen bir normalizasyon sabitidir L, bu durumda eşittir:

${ displaystyle K ^ {- 1} = int _ {3} ^ {5} {dL L üzeri} = log sol ({5 3} üzerinde sağ)}$

Bunu "teste tabi tutmak" için, uzunluğun 4'ten az olma olasılığını istiyoruz. Bunun olasılığı:

${ displaystyle Pr (L <4) = int _ {3} ^ {4} {dL L log üzerinde ({5 3'ün üzerinde})} = { log (3'ün üzerinde {4 3}) fazla log ({5 over 3})} yaklaşık 0,56}$.

Hacim için bu, hacmin 4'ten küçük olma olasılığına eşit olmalıdır.³ = 64. Hacmin pdf'si

${ displaystyle f (V ^ {1 3'ten fazla}) {1 3} üzerinde V ^ {- {2 3V'den fazla}} = {1 3V'den fazla log ({5 3'ün üzerinde})}}$.

Ve 64'ten küçük hacim olasılığı

${ displaystyle Pr (V <64) = int _ {27} ^ {64} {dV 3V üzerinde log ({5 3'ün üzerinde})} = { log (27'den fazla {64 )) fazla 3 log ({5 3} üzerinden)} = {3 log ({4 3} üzerinde) 3 log üzerinde {5 3} üzerinde)} = { log ({4 3} ) over log ({5 over 3})} yaklaşık 0,56}$.

Böylece hacim ve uzunluk açısından değişmezlik elde ettik. Aynı değişmezlik yüzey alanının 6'dan küçük olmasına göre de gösterilebilir (4²) = 96. Ancak, bu olasılık atamasının mutlaka "doğru" bir olasılık olmadığını unutmayın. Uzunlukların, hacmin veya yüzey alanının tam dağılımı, "deneyin" nasıl yürütüleceğine bağlı olacaktır.

Temel hipotezi istatistiksel fizik, aynı toplam enerjiye sahip bir sistemin herhangi iki mikro durumu eşit derecede olasıdır denge, bir bakıma ilgisizlik ilkesinin bir örneğidir. Bununla birlikte, mikro durumlar sürekli değişkenlerle (konumlar ve momentler gibi) tanımlandığında, aşağıda açıklamak için ek bir fiziksel temele ihtiyaç vardır. hangi parametrelendirme olasılık yoğunluğu tekdüze olacaktır. Liouville teoremi pozisyonlar ve bunların eşlenik momentumları gibi kanonik olarak eşlenik değişkenlerin kullanımını gerekçelendirir.

şarap / su paradoksu bağlantılı değişkenlerle bir ikilemi ve hangisinin seçileceğini gösterir.

Tarih

Olasılık üzerine orijinal yazarlar, öncelikle Jacob Bernoulli ve Pierre Simon Laplace, kayıtsızlık ilkesinin sezgisel olarak açık olduğunu düşündü ve ona bir isim verme zahmetine bile girmedi. Laplace şunu yazdı:

Şans teorisi, aynı türden tüm olayları eşit derecede mümkün olan belirli sayıda vakaya indirgemekten, yani, onların varlığı konusunda eşit derecede kararsız olabileceğimiz durumlara indirgemekten ve vaka sayısını belirlemekten ibarettir. olasılığı aranan olaya elverişlidir. Bu sayının mümkün olan tüm durumların oranına oranı, bu olasılığın ölçüsüdür, bu nedenle, payı olumlu davaların sayısı ve paydası olası tüm durumların sayısı olan bir kesirdir.

Bu eski yazarlar, özellikle Laplace, sürekli parametreler durumuna kayıtsızlık ilkesini saf bir şekilde genelleştirerek, tüm gerçek sayılar üzerinde sabit olan bir fonksiyon olan "tek tip önceki olasılık dağılımını" verdi. Bu işlevi, bir parametrenin değerine ilişkin tam bir bilgi eksikliğini ifade etmek için kullandı. Stigler'a göre (sayfa 135), Laplace'ın tek tip önceki olasılıklar varsayımı bir meta-fiziksel varsayım değildi. Analiz kolaylığı için yapılan üstü kapalı bir varsayımdı.

yetersiz sebep ilkesi daha sonraki yazarlar tarafından muhtemelen bir oyun olarak verilen ilk adıydı. Leibniz 's yeterli sebep ilkesi. Bu sonraki yazarlar (George Boole, John Venn ve diğerleri) üniformanın kullanılmasına iki nedenden dolayı itiraz etmişlerdir. İlk neden, sabit fonksiyonun normalleştirilebilir olmaması ve dolayısıyla uygun bir olasılık dağılımı olmamasıdır. İkinci neden, yukarıda açıklandığı gibi, sürekli değişkenlere uygulanamazlığıdır. (Bununla birlikte, bu paradoksal sorunlar çözülebilir. İlk durumda, sabit veya daha genel bir sonlu polinom, dır-dir herhangi bir sonlu aralıkta normalleştirilebilir: burada önemli olan tek şey [0,1] aralığıdır. Alternatif olarak, işlev bir aralıkta olduğu gibi bu aralığın dışında sıfır olacak şekilde değiştirilebilir. sürekli düzgün dağılım. İkinci durumda, sorunun "iyi açıklanmış" olması koşuluyla, herhangi bir belirsizlik yoktur, böylelikle gereksiz varsayımlar yapılamaz veya yapılmak zorunda kalmaz, böylece uygun önceki olasılık yoğunluk fonksiyonu veya önceki an oluşturma işlevi (değişkenler uygun şekilde sabitlenmiş olarak) olasılığın kendisi için kullanılacak. Bakın Bertrand paradoksu (olasılık) benzer bir durum için.)

"Yetersiz neden ilkesi", ekonomist tarafından "Kayıtsızlık ilkesi" olarak yeniden adlandırıldı. John Maynard Keynes  (1921 ), yalnızca eşit olmayan olasılıkları gösteren hiçbir bilgi olmadığında geçerli olduğuna dikkat edin.

Fikri daha sağlam hale getirme girişimleri felsefi zemin genel olarak kavramıyla başlamıştır. donatılabilirlik ve ondan ilerledi eş yeterlilik.

Kayıtsızlık ilkesine, eşdeğer bilgi durumlarına eşdeğer epistemik olasılıklar atanması gerektiğine dikkat çekilerek daha derin bir mantıksal gerekçelendirme verilebilir. Bu argüman tarafından ileri sürüldü E.T. Jaynes: iki genellemeye götürür, yani dönüşüm grupları ilkesi olduğu gibi Jeffreys önceden, ve maksimum entropi ilkesi.

Daha genel olarak, biri bilgilendirici olmayan öncelikler.

Ayrıca bakınız

• Veraset kuralı: az sayıda gözlem olduğunda temeldeki olasılıkları tahmin etmek için veya (sonlu) örneklem verilerinde hiç meydana gelmediği gözlemlenmemiş olaylar için bir formül

Referanslar

• Diaconis, Persi; Keller, Joseph B. (1989). "Adil zar". American Mathematical Monthly. 96 (4): 337–339. doi:10.2307/2324089. JSTOR  2324089. ("Simetriyle" ve "süreklilikle" adil olan zarların tartışılması.)
• Jaynes, Edwin Thompson (2003). Olasılık Teorisi: Bilimin Mantığı. Cambridge University Press. ISBN  0-521-59271-2.
• Keynes, John Maynard (1921). "Bölüm IV. Kayıtsızlık İlkesi". Olasılık Üzerine Bir İnceleme. 4. Macmillan ve Co. s. 41–64.
• Stigler, Stephen M. (1986). İstatistiğin Tarihi: 1900 Öncesi Belirsizliğin Ölçülmesi. Cambridge, Mass: Belknap Press, Harvard University Press. ISBN  0-674-40340-1.