Önceden konjuge - Conjugate prior

Bir dizinin parçası
Bayes istatistikleri
Teori
Kabul edilebilir karar kuralı Bayes verimliliği Bayes olasılığı Olasılık yorumları Bayes teoremi Bayes faktörü Bayesci çıkarım Bayes ağı Önceki Arka Olasılık Önceden konjuge Arka tahmin Hiperparametre Hyperprior Kayıtsızlık ilkesi Maksimum entropi ilkesi Ampirik Bayes yöntemi Cromwell kuralı Bernstein-von Mises teoremi Schwarz kriteri Güvenilir aralık Maksimum bir posteriori tahmin Radikal olasılık
Teknikler
Bayes doğrusal regresyon Bayes tahmincisi Yaklaşık Bayes hesaplaması Markov zinciri Monte Carlo
Matematik portalı

İçinde Bayes olasılığı teori, eğer arka dağılımlar p(θ | x) aynı olasılık dağılım ailesi olarak önceki olasılık dağılımı p(θ), daha sonra önceki ve sonraki çağrılır eşlenik dağılımlar, ve öncekine a denir önceki eşlenik için olasılık işlevi p(x | θ). Örneğin, Gauss aile kendine eşleniktir (veya kendi kendine eşlenik) bir Gauss olabilirlik fonksiyonu ile ilgili olarak: eğer olasılık fonksiyonu Gauss ise, ortalamanın üzerinde bir Gaussian seçmek, arka dağılımın da Gaussian olmasını sağlayacaktır. Bu, Gauss dağılımının, aynı zamanda Gaussian olan olasılığın eşlenik bir önceliği olduğu anlamına gelir. Kavram ve "önceki eşlenik" terimi, Howard Raiffa ve Robert Schlaifer çalışmalarında Bayesçi karar teorisi.^[1] Benzer bir kavram bağımsız olarak keşfedilmişti. George Alfred Barnard.^[2]

Bazı verilere veya verilere verilen bir parameter parametresi için (sürekli) bir dağılım çıkarmanın genel problemini düşünün. x. Nereden Bayes teoremi, arka dağılım, olabilirlik fonksiyonunun ürününe eşittir ${ displaystyle theta mapsto p (x mid theta) !}$ ve önceki ${ displaystyle p ( teta) !}$, verilerin olasılığına göre normalleştirilmiş (bölünmüş) ${ displaystyle p (x) !}$:

${ displaystyle { başlar {hizalı} p ( theta orta x) & = { frac {p (x orta theta) , p ( theta)} {p (x)}} & = { frac {p (x mid theta) , p ( theta)} { int _ { theta '} p (x, theta') , d theta '}} & = { frac {p (x mid theta) , p ( theta)} { int _ { theta '} p (x mid theta') , p ( theta ') , d theta '}} end {hizalı}}}$

Olabilirlik fonksiyonunun sabit kabul edelim; Olabilirlik işlevi genellikle veri oluşturma sürecinin bir ifadesinden iyi belirlenir^{[örnek gerekli ]}. Önceki dağıtımın farklı seçeneklerinin p(θ) integralin hesaplanmasını az çok zorlaştırabilir ve çarpım p(x|θ) × p(θ) bir cebirsel form veya başka bir form alabilir. Öncekinin belirli seçimleri için posterior, öncekiyle aynı cebirsel forma sahiptir (genellikle farklı parametre değerleriyle). Böyle bir seçim önceki eşlenik.

Eşlenik önceki bir cebirsel kolaylıktır, kapalı form ifadesi posterior için; aksi takdirde Sayısal entegrasyon gerekli olabilir. Dahası, eşlenik öncelikler bir olasılık fonksiyonunun önceki bir dağıtımı nasıl güncellediğini daha şeffaf bir şekilde göstererek sezgi verebilir.

Tüm üyeleri üstel aile eşlenik geçmişleri var.^[3]

Misal

Önceki konjugatın şekli genel olarak, olasılık yoğunluğu veya olasılık kütle fonksiyonu bir dağıtımın. Örneğin, bir rastgele değişken başarıların sayısından oluşan ${ displaystyle s}$ içinde ${ displaystyle n}$ Bernoulli denemeleri bilinmeyen başarı olasılığı ile ${ displaystyle q}$ [0,1] içinde. Bu rastgele değişken, Binom dağılımı, formun olasılık kütle fonksiyonu ile

${ displaystyle p (s) = {n s} q ^ {s} (1-q) ^ {n-s}}$

Her zamanki eşlenik önceki, beta dağılımı parametrelerle (${ displaystyle alpha}$, ${ displaystyle beta}$):

${ displaystyle p (q) = {q ^ { alpha -1} (1-q) ^ { beta -1} mathrm üzerinde {B} ( alpha, beta)}}$

nerede ${ displaystyle alpha}$ ve ${ displaystyle beta}$ mevcut herhangi bir inancı veya bilgiyi yansıtmak üzere seçilmişlerdir (${ displaystyle alpha}$ = 1 ve ${ displaystyle beta}$ = 1 verir üniforma dağıtımı ) ve Β(${ displaystyle alpha}$, ${ displaystyle beta}$) Beta işlevi gibi davranmak sabit normalleştirme.

Bu içerikte, ${ displaystyle alpha}$ ve ${ displaystyle beta}$ arandı hiperparametreler (öncekinin parametreleri), bunları temel modelin parametrelerinden ayırmak için (burada q). Hiperparametrelerin boyutluluğunun, orijinal dağılımın parametrelerinden bir daha büyük olması, eşlenik önceliklerin tipik bir özelliğidir. Tüm parametreler skaler değerler ise, bu, parametreden bir fazla hiperparametre olacağı anlamına gelir; ancak bu, vektör değerli ve matris değerli parametreler için de geçerlidir. (Genel makaleye bakın. üstel aile ve ayrıca düşünün Wishart dağıtımı, önceki eşlenik kovaryans matrisi bir çok değişkenli normal dağılım, büyük boyutluluğun söz konusu olduğu bir örnek için.)

Daha sonra bu rastgele değişkeni örnekleyip şunu elde edersek: s başarılar ve f başarısızlıklarımız var

${ displaystyle { başlar {hizalı} P (s, f orta q = x) & = {s + f s seçin} x ^ {s} (1-x) ^ {f}, P (q = x) & = {x ^ { alpha -1} (1-x) ^ { beta -1} over mathrm {B} ( alpha, beta)}, P (q = x orta s, f) & = { frac {P (s, f mid x) P (x)} { int P (s, f mid y) P (y) dy}} & = {{ {s + f s} x ^ {s + alpha -1} (1-x) ^ {f + beta -1} / mathrm {B} ( alpha, beta)} seçin int _ { y = 0} ^ {1} left ({s + f s} y ^ {s + alpha -1} (1-y) ^ {f + beta -1} / mathrm {B} ( alpha , beta) right) dy} & = {x ^ {s + alpha -1} (1-x) ^ {f + beta -1} over mathrm {B} (s + alpha, f + beta)}, end {hizalı}}}$

parametreli başka bir Beta dağılımı olan (${ displaystyle alpha}$ + s, ${ displaystyle beta}$ + f). Bu posterior dağılım daha sonra daha fazla örnek için öncelik olarak kullanılabilir, hiperparametreler sadece her ekstra bilgi parçasını geldikçe ekler.

Sözde gözlemler

Bir eşlenik önceki dağılımın hiperparametrelerinin belirli sayıda gözlemlenmiş olmasına karşılık geldiğini düşünmek genellikle yararlıdır. sözde gözlemler parametreler tarafından belirtilen özelliklere sahip. Örneğin değerler ${ displaystyle alpha}$ ve ${ displaystyle beta}$ bir beta dağılımı karşılık geldiği düşünülebilir ${ displaystyle alpha -1}$ başarılar ve ${ displaystyle beta -1}$ optimum bir parametre ayarı seçmek için arka mod kullanılırsa arızalar veya ${ displaystyle alpha}$ başarılar ve ${ displaystyle beta}$ optimal bir parametre ayarı seçmek için arka ortalama kullanılırsa başarısız olur. Genel olarak, hemen hemen tüm eşlenik önceki dağılımlar için, hiperparametreler sözde gözlemler olarak yorumlanabilir. Bu, hem sık sık karışık olan güncelleme denklemlerinin ardında bir sezgi sağlamaya hem de bir önceki için makul hiperparametreler seçmeye yardımcı olabilir.

Yorumlar

Özfonksiyonlarla analoji^{[kaynak belirtilmeli ]}

Eşlenik öncelikler benzerdir özfonksiyonlar içinde operatör teorisi bir operatör olarak öncekinden arkaya geçiş sürecini düşünerek, "koşullandırma operatörünün" iyi anlaşılmış bir şekilde hareket ettiği dağıtımlardır.

Hem özfonksiyonlarda hem de eşlenik öncüllerde, bir sonlu boyutlu operatör tarafından korunan alan: çıktı, girdi ile aynı formdadır (aynı boşlukta). Bu, aksi takdirde sonsuz boyutlu bir uzay (tüm fonksiyonların uzayı, tüm dağılımların uzayı) dikkate alması nedeniyle analizi büyük ölçüde basitleştirir.

Bununla birlikte, süreçler sadece benzerdir, özdeş değildir: koşullandırma doğrusal değildir, çünkü dağılımlar alanı doğrusal kombinasyon, sadece dışbükey kombinasyon ve arka taraf sadece aynı form önceki gibi, skaler kat değil.

Bir operatörün uygulaması altında özfonksiyonların doğrusal bir kombinasyonunun nasıl geliştiğini kolayca analiz edebilmesi gibi (çünkü, bu fonksiyonlarla ilgili olarak operatör, köşegenleştirilmiş ), konjuge önceliklerin konveks bir kombinasyonunun koşullandırma altında nasıl evrimleştiği kolaylıkla analiz edilebilir; buna bir hiperprior, ve a kullanımına karşılık gelir karışım yoğunluğu tek bir konjugat öncekinden ziyade eşlenik öncüllerin.

Dinamik sistem

Eşlenik öncüllere göre şartlandırmanın bir tür (ayrık zaman) tanımlanması olarak düşünülebilir. dinamik sistem: belirli bir hiperparametre kümesinden gelen veriler bu hiperparametreleri günceller, böylece hiperparametrelerdeki değişikliği sistemin "öğrenmeye" karşılık gelen bir tür "zaman evrimi" olarak görebilir. Farklı noktalardan başlamak, zamanla farklı akışlar sağlar. Bu yine doğrusal bir operatör tarafından tanımlanan dinamik sisteme benzer, ancak farklı örnekler farklı çıkarımlara yol açtığından, bunun sadece zamana değil, zaman içindeki verilere bağlı olduğuna dikkat edin. İlgili yaklaşımlar için bkz. Yinelemeli Bayes kestirimi ve Veri asimilasyonu.

Pratik örnek

Şehrinizde kiralık bir araba servisinin çalıştığını varsayalım. Sürücüler, şehir sınırları içinde herhangi bir yerde araç bırakabilir ve alabilir. Bir uygulamayı kullanarak araba bulabilir ve kiralayabilirsiniz.

Günün herhangi bir saatinde ev adresinize kısa bir mesafede bir kiralık araba bulma olasılığınızı bulmak istediğinizi varsayalım.

Üç gün içinde, günün rastgele saatlerinde uygulamaya bakarsınız ve ev adresinize kısa bir mesafede aşağıdaki araç sayısını bulursunuz: ${ displaystyle mathbf {x} = [3,4,1]}$

Verilerin bir Poisson Dağılımı hesaplayabiliriz maksimum olasılık modelin parametrelerinin tahmini ${ textstyle lambda = { frac {3 + 4 + 1} {3}} yaklaşık 2,67.}$ Bu maksimum olasılık tahminini kullanarak, en az bir arabanın mevcut olma olasılığını hesaplayabiliriz: ${ textstyle p (x> 0) = 1-p (x = 0) = 1 - { frac {2.67 ^ {0} e ^ {- 2.67}} {0!}} yaklaşık 0,93}$

Bu Poisson dağılımıdır büyük olasılıkla gözlemlenen verileri oluşturmuştur ${ displaystyle mathbf {x}}$. Ancak veriler başka bir Poisson dağılımından da gelmiş olabilir, ör. ile ${ displaystyle lambda = 3}$veya ${ displaystyle lambda = 2}$, vb. Aslında sonsuz sayıda poisson dağılımı vardır. abilir gözlemlenen verileri oluşturmuştur ve görece az veri noktasıyla, bu verileri hangi tam poisson dağılımının oluşturduğundan oldukça emin olmamız gerekir. Sezgisel olarak bunun yerine olasılığın ağırlıklı ortalamasını almalıyız ${ displaystyle p (x> 0)}$ Bu Poisson dağılımlarının her biri için, gözlemlediğimiz verilere göre, her birinin ne kadar olası olduğuna göre ağırlıklandırılır. ${ displaystyle mathbf {x}}$.

Genel olarak bu miktar, posterior tahmin dağılımı ${ displaystyle p (x | mathbf {x}) = int _ { theta} p (x | theta) p ( theta | mathbf {x}) d theta ,,}$ nerede ${ displaystyle x}$ yeni bir veri noktasıdır, ${ displaystyle mathbf {x}}$ gözlemlenen veriler ve ${ displaystyle theta}$ modelin parametreleridir. Kullanma Bayes teoremi genişletebiliriz ${ displaystyle p ( theta | mathbf {x}) = { frac {p ( mathbf {x} | theta) p ( theta)} {p ( mathbf {x})}} ,, }$ öyle ki ${ displaystyle p (x | mathbf {x}) = int _ { theta} p (x | theta) { frac {p ( mathbf {x} | theta) p ( theta)} { p ( mathbf {x})}} d theta ,.}$ Genel olarak, bu integralin hesaplanması zordur. Ancak, önceden bir eşlenik dağıtım seçerseniz ${ displaystyle p ( theta)}$kapalı form ifadesi türetilebilir. Bu, aşağıdaki tablolarda yer alan arka tahmin sütunudur.

Örneğimize dönersek, Gama dağılımı poisson dağılımlarının oranı üzerinden önceki dağılımımız olarak, son tahmin, negatif binom dağılımı aşağıdaki tablodaki son sütundan görülebileceği gibi. Gama dağılımı iki hiperparametre ile parametrelendirilir ${ displaystyle alpha, beta}$ seçmemiz gereken. Gama dağılımının grafiklerine bakarak ${ displaystyle alpha = beta = 2}$, bu ortalama araba sayısı için makul bir öncesidir. Önceki hiperparametrelerin seçimi doğası gereği özneldir ve önceki bilgilere dayanır.

Önceki hiperparametreler göz önüne alındığında ${ displaystyle alpha}$ ve ${ displaystyle beta}$ arka hiperparametreleri hesaplayabiliriz ${ textstyle alpha '= alpha + toplamı _ {i} x_ {i} = 2 + 3 + 4 + 1 = 10}$ ve ${ textstyle beta '= beta + n = 2 + 3 = 5}$

Posterior hiperparametreler göz önüne alındığında, nihayet posterior tahminini hesaplayabiliriz ${ textstyle p (x> 0 | mathbf {x}) = 1-p (x = 0 | mathbf {x}) = 1-NB sol (0 , | , 10, { frac {1 } {1 + 5}} sağ) yaklaşık 0,84}$

Bu çok daha ihtiyatlı tahmin, arka öngörünün hesaba kattığı model parametrelerindeki belirsizliği yansıtır.

Eşlenik dağılım tablosu

İzin Vermek n gözlemlerin sayısını gösterir. Aşağıdaki tüm durumlarda, verilerin aşağıdakilerden oluştuğu varsayılır: n puan ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ (hangisi olacak rastgele vektörler çok değişkenli durumlarda).

Olasılık işlevi, üstel aile, daha sonra, genellikle üstel ailede de bir eşlenik ön vardır; görmek Üstel aile: Eşlenik dağılımlar.

Olabilirlik işlevi ayrık bir dağılım olduğunda

Bu bölüm için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. (Ağustos 2020) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Olasılık	Model parametreleri	Önceki dağıtım eşlenik	Önceki hiperparametreler	Arka hiperparametreler[not 1]	Hiperparametrelerin yorumlanması	Arka tahmin[not 2]
Bernoulli	p (olasılık)	Beta	${ displaystyle alpha, , beta !}$	${ displaystyle alpha + sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}, , beta + n- toplam _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} !}$	${ displaystyle alpha}$ başarılar ${ displaystyle beta}$ başarısızlıklar[not 3]	${ displaystyle p ({ tilde {x}} = 1) = { frac { alpha '} { alpha' + beta '}}}$
Binom	p (olasılık)	Beta	${ displaystyle alpha, , beta !}$	${ displaystyle alpha + sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}, , beta + sum _ {i = 1} ^ {n} N_ {i} - toplam _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} !}$	${ displaystyle alpha}$ başarılar ${ displaystyle beta}$ başarısızlıklar[not 3]	${ displaystyle operatorname {BetaBin} ({ tilde {x}} | alpha ', beta')}$ (beta-binom )
Negatif iki terimli bilinen arıza numarası ile, r	p (olasılık)	Beta	${ displaystyle alpha, , beta !}$	${ displaystyle alpha + sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}, , beta + rn !}$	${ displaystyle alpha}$ toplam başarı, ${ displaystyle beta}$ başarısızlıklar[not 3] (yani ${ displaystyle { frac { beta} {r}}}$ deneyler, varsayım ${ displaystyle r}$ sabit kalır)	${ displaystyle operatorname {BetaNegBin} ({ tilde {x}} | alpha ', beta')}$ (beta negatif iki terimli)
Poisson	λ (oran)	Gama	${ displaystyle k, , theta !}$	${ displaystyle k + sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}, { frac { theta} {n theta +1}} !}$	${ displaystyle k}$ toplam oluşum ${ displaystyle { frac {1} { theta}}}$ aralıklar	${ displaystyle operatorname {NB} sol ({ tilde {x}} orta k ', { frac { theta'} { theta '+1}} sağ)}$ (negatif iki terimli )
			${ displaystyle alpha, , beta !}$ [not 4]	${ displaystyle alpha + sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}, beta + n !}$	${ displaystyle alpha}$ toplam oluşum ${ displaystyle beta}$ aralıklar	${ displaystyle operatorname {NB} sol ({ tilde {x}} orta alpha ', { frac {1} {1+ beta'}} sağ)}$ (negatif iki terimli )
Kategorik	p (olasılık vektörü), k (kategori sayısı; yani boyutu p)	Dirichlet	${ displaystyle { boldsymbol { alpha}} !}$	${ displaystyle { boldsymbol { alpha}} + (c_ {1}, ldots, c_ {k}),}$ nerede ${ displaystyle c_ {i}}$ kategorideki gözlemlerin sayısıdır ben	${ displaystyle alpha _ {i}}$ kategori oluşumları ${ displaystyle i}$[not 3]	${ displaystyle { begin {align} p ({ tilde {x}} = i) & = { frac {{ alpha _ {i}} '} { sum _ {i} { alpha _ {i }} '}} & = { frac { alpha _ {i} + c_ {i}} { sum _ {i} alpha _ {i} + n}} end {hizalı}}}$
Çok terimli	p (olasılık vektörü), k (kategori sayısı; yani boyutu p)	Dirichlet	${ displaystyle { boldsymbol { alpha}} !}$	${ displaystyle { boldsymbol { alpha}} + sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {x} _ {i} !}$	${ displaystyle alpha _ {i}}$ kategori oluşumları ${ displaystyle i}$[not 3]	${ displaystyle operatorname {DirMult} ({ tilde { mathbf {x}}} mid { boldsymbol { alpha}} ')}$ (Dirichlet-multinomial )
Hipergeometrik bilinen toplam nüfus büyüklüğü ile N	M (hedef üye sayısı)	Beta-binom[4]	${ displaystyle n = N, alpha, , beta !}$	${ displaystyle alpha + sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}, , beta + sum _ {i = 1} ^ {n} N_ {i} - toplam _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} !}$	${ displaystyle alpha}$ başarılar ${ displaystyle beta}$ başarısızlıklar[not 3]
Geometrik	p0 (olasılık)	Beta	${ displaystyle alpha, , beta !}$	${ displaystyle alpha + n, , beta + sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} !}$	${ displaystyle alpha}$ deneyler ${ displaystyle beta}$ toplam başarısızlıklar[not 3]

Olabilirlik işlevi sürekli bir dağılım olduğunda

Olasılık	Model parametreleri	Önceki dağıtım eşlenik	Önceki hiperparametreler	Arka hiperparametreler[not 1]	Hiperparametrelerin yorumlanması	Arka tahmin[not 5]
Normal bilinen varyansla σ2	μ (anlamına gelmek)	Normal	${ displaystyle mu _ {0}, , sigma _ {0} ^ {2} !}$	${ displaystyle { frac {1} {{ frac {1} { sigma _ {0} ^ {2}}} + { frac {n} { sigma ^ {2}}}}} sol ( { frac { mu _ {0}} { sigma _ {0} ^ {2}}} + { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}} { sigma ^ {2}}} sağ), sol ({ frac {1} { sigma _ {0} ^ {2}}} + { frac {n} { sigma ^ {2}}} sağ) ^ {- 1}}$	ortalama, toplam hassasiyetle gözlemlerden tahmin edilmiştir (tüm bireysel hassasiyetlerin toplamı)${ displaystyle 1 / sigma _ {0} ^ {2}}$ ve örnek ortalamayla ${ displaystyle mu _ {0}}$	${ displaystyle { mathcal {N}} ({ tilde {x}} | mu _ {0} ', { sigma _ {0} ^ {2}}' + sigma ^ {2})}$[5]
Normal bilinen hassasiyetle τ	μ (anlamına gelmek)	Normal	${ displaystyle mu _ {0}, , tau _ {0} !}$	${ displaystyle { frac { tau _ {0} mu _ {0} + tau sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}} { tau _ {0} + n tau }}, , tau _ {0} + n tau}$	ortalama, toplam hassasiyetle gözlemlerden tahmin edilmiştir (tüm bireysel hassasiyetlerin toplamı)${ displaystyle tau _ {0}}$ ve örnek ortalamayla ${ displaystyle mu _ {0}}$	${ displaystyle { mathcal {N}} sol ({ tilde {x}} mid mu _ {0} ', { frac {1} { tau _ {0}'}} + { frac {1} { tau}} sağ)}$[5]
Normal bilinen anlamı ile μ	σ2 (varyans)	Ters gama	${ displaystyle mathbf { alpha, , beta}}$ [not 6]	${ displaystyle mathbf { alpha} + { frac {n} {2}}, , mathbf { beta} + { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} {(x_ { i} - mu) ^ {2}}} {2}}}$	varyans tahmin edildi ${ displaystyle 2 alpha}$ örnek varyanslı gözlemler ${ displaystyle beta / alpha}$ (yani toplamı ile kare sapmalar ${ displaystyle 2 beta}$, bilinen ortalamadan sapmalar olduğunda ${ displaystyle mu}$)	${ displaystyle t_ {2 alpha '} ({ tilde {x}} | mu, sigma ^ {2} = beta' / alpha ')}$[5]
Normal bilinen anlamı ile μ	σ2 (varyans)	Ters ölçeklenmiş ki-kare	${ displaystyle nu, , sigma _ {0} ^ {2} !}$	${ displaystyle nu + n, , { frac { nu sigma _ {0} ^ {2} + toplamı _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - mu) ^ { 2}} { nu + n}} !}$	varyans tahmin edildi ${ displaystyle nu}$ örnek varyanslı gözlemler ${ displaystyle sigma _ {0} ^ {2}}$	${ displaystyle t _ { nu '} ({ tilde {x}} | mu, { sigma _ {0} ^ {2}}')}$[5]
Normal bilinen anlamı ile μ	τ (hassas)	Gama	${ displaystyle alpha, , beta !}$[not 4]	${ displaystyle alpha + { frac {n} {2}}, , beta + { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - mu) ^ {2 }} {2}} !}$	hassasiyet tahmin edildi ${ displaystyle 2 alpha}$ örnek varyanslı gözlemler ${ displaystyle beta / alpha}$ (yani toplamı ile kare sapmalar ${ displaystyle 2 beta}$, bilinen ortalamadan sapmalar olduğunda ${ displaystyle mu}$)	${ displaystyle t_ {2 alpha '} ({ tilde {x}} orta mu, sigma ^ {2} = beta' / alpha ')}$[5]
Normal[not 7]	μ ve σ2 Varsayım değiştirilebilirlik	Normal-ters gama	${ displaystyle mu _ {0}, , nu, , alpha, , beta}$	${ displaystyle { frac { nu mu _ {0} + n { bar {x}}} { nu + n}}, , nu + n, , alpha + { frac {n } {2}}, ,}$ ${ displaystyle beta + { tfrac {1} {2}} sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2} + { frac {n nu} { nu + n}} { frac {({ bar {x}} - mu _ {0}) ^ {2}} {2}}}$ ${ displaystyle { çubuğu {x}}}$ örnek anlamı	ortalama tahmin edildi ${ displaystyle nu}$ örnek ortalamalı gözlemler ${ displaystyle mu _ {0}}$; varyans tahmin edildi ${ displaystyle 2 alpha}$ örnek ortalamalı gözlemler ${ displaystyle mu _ {0}}$ ve toplamı kare sapmalar ${ displaystyle 2 beta}$	${ displaystyle t_ {2 alpha '} sol ({ tilde {x}} orta mu', { frac { beta '( nu' +1)} { nu ' alpha'}} sağ)}$[5]
Normal	μ ve τ Varsayım değiştirilebilirlik	Normal gama	${ displaystyle mu _ {0}, , nu, , alpha, , beta}$	${ displaystyle { frac { nu mu _ {0} + n { bar {x}}} { nu + n}}, , nu + n, , alpha + { frac {n } {2}}, ,}$ ${ displaystyle beta + { tfrac {1} {2}} sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2} + { frac {n nu} { nu + n}} { frac {({ bar {x}} - mu _ {0}) ^ {2}} {2}}}$ ${ displaystyle { çubuğu {x}}}$ örnek anlamı	ortalama tahmin edildi ${ displaystyle nu}$ örnek ortalamalı gözlemler ${ displaystyle mu _ {0}}$ve hassasiyet ${ displaystyle 2 alpha}$ örnek ortalamalı gözlemler ${ displaystyle mu _ {0}}$ ve toplamı kare sapmalar ${ displaystyle 2 beta}$	${ displaystyle t_ {2 alpha '} sol ({ tilde {x}} orta mu', { frac { beta '( nu' +1)} { alpha ' nu'}} sağ)}$[5]
Çok değişkenli normal bilinen kovaryans matrisi ile Σ	μ (ortalama vektör)	Çok değişkenli normal	${ displaystyle { boldsymbol { boldsymbol { mu}}} _ {0}, , { boldsymbol { Sigma}} _ {0}}$	${ displaystyle sol ({ kalın sembol { Sigma}} _ {0} ^ {- 1} + n { kalın sembol { Sigma}} ^ {- 1} sağ) ^ {- 1} sol ({ boldsymbol { Sigma}} _ {0} ^ {- 1} { boldsymbol { mu}} _ {0} + n { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf { bar {x }} sağ),}$ ${ displaystyle sol ({ boldsymbol { Sigma}} _ {0} ^ {- 1} + n { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} sağ) ^ {- 1}}$ ${ displaystyle mathbf { bar {x}}}$ örnek anlamı	ortalama, toplam hassasiyetle gözlemlerden tahmin edilmiştir (tüm bireysel hassasiyetlerin toplamı)${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} _ {0} ^ {- 1}}$ ve örnek ortalamayla ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} _ {0}}$	${ displaystyle { mathcal {N}} ({ tilde { mathbf {x}}} mid {{ boldsymbol { mu}} _ {0}} ', {{ boldsymbol { Sigma}} _ {0}} '+ { kalın sembol { Sigma}})}$[5]
Çok değişkenli normal bilinen hassas matris ile Λ	μ (ortalama vektör)	Çok değişkenli normal	${ displaystyle mathbf { boldsymbol { mu}} _ {0}, , { boldsymbol { Lambda}} _ {0}}$	${ displaystyle sol ({ boldsymbol { Lambda}} _ {0} + n { boldsymbol { Lambda}} sağ) ^ {- 1} sol ({ boldsymbol { Lambda}} _ {0 } { boldsymbol { mu}} _ {0} + n { boldsymbol { Lambda}} mathbf { bar {x}} right), , left ({ boldsymbol { Lambda}} _ {0} + n { boldsymbol { Lambda}} sağ)}$ ${ displaystyle mathbf { bar {x}}}$ örnek anlamı	ortalama, toplam hassasiyetle gözlemlerden tahmin edilmiştir (tüm bireysel hassasiyetlerin toplamı)${ displaystyle { boldsymbol { Lambda}} _ {0}}$ ve örnek ortalamayla ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} _ {0}}$	${ displaystyle { mathcal {N}} left ({ tilde { mathbf {x}}} mid {{ boldsymbol { mu}} _ {0}} ', ({{{ boldsymbol { Lambda}} _ {0}} '} ^ {- 1} + { boldsymbol { Lambda}} ^ {- 1}) ^ {- 1} sağ)}$[5]
Çok değişkenli normal bilinen anlamı ile μ	Σ (kovaryans matrisi)	Ters-Wishart	${ displaystyle nu, , { kalın sembol { Psi}}}$	${ displaystyle n + nu, , { boldsymbol { Psi}} + sum _ {i = 1} ^ {n} ( mathbf {x_ {i}} - { boldsymbol { mu}}) ( mathbf {x_ {i}} - { kalın sembol { mu}}) ^ {T}}$	kovaryans matrisi ${ displaystyle nu}$ ikili sapma ürünlerinin toplamı ile gözlemler ${ displaystyle { boldsymbol { Psi}}}$	${ displaystyle t _ { nu '-p + 1} left ({ tilde { mathbf {x}}} | { boldsymbol { mu}}, { frac {1} { nu' -p + 1}} { boldsymbol { Psi}} ' sağ)}$[5]
Çok değişkenli normal bilinen anlamı ile μ	Λ (hassas matris)	Wishart	${ displaystyle nu, , mathbf {V}}$	${ displaystyle n + nu, , left ( mathbf {V} ^ {- 1} + sum _ {i = 1} ^ {n} ( mathbf {x_ {i}} - { kalın sembol { mu}}) ( mathbf {x_ {i}} - { boldsymbol { mu}}) ^ {T} sağ) ^ {- 1}}$	kovaryans matrisi ${ displaystyle nu}$ ikili sapma ürünlerinin toplamı ile gözlemler ${ displaystyle mathbf {V} ^ {- 1}}$	${ displaystyle t _ { nu '-p + 1} left ({ tilde { mathbf {x}}} mid { boldsymbol { mu}}, { frac {1} { nu' -p) +1}} { mathbf {V} '} ^ {- 1} sağ)}$[5]
Çok değişkenli normal	μ (ortalama vektör) ve Σ (kovaryans matrisi)	normal-ters-Wishart	${ displaystyle { boldsymbol { mu}} _ {0}, , kappa _ {0}, , nu _ {0}, , { boldsymbol { Psi}}}$	${ displaystyle { frac { kappa _ {0} { boldsymbol { mu}} _ {0} + n mathbf { bar {x}}} { kappa _ {0} + n}}, , kappa _ {0} + n, , nu _ {0} + n, ,}$ ${ displaystyle { boldsymbol { Psi}} + mathbf {C} + { frac { kappa _ {0} n} { kappa _ {0} + n}} ( mathbf { bar {x} } - { boldsymbol { mu}} _ {0}) ( mathbf { bar {x}} - { boldsymbol { mu}} _ {0}) ^ {T}}$ ${ displaystyle mathbf { bar {x}}}$ örnek anlamı ${ displaystyle mathbf {C} = toplam _ {i = 1} ^ {n} ( mathbf {x_ {i}} - mathbf { bar {x}}) ( mathbf {x_ {i}} - mathbf { bar {x}}) ^ {T}}$	ortalama tahmin edildi ${ displaystyle kappa _ {0}}$ örnek ortalamalı gözlemler ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} _ {0}}$; kovaryans matrisi ${ displaystyle nu _ {0}}$ örnek ortalamalı gözlemler ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} _ {0}}$ ve ikili sapma ürünlerinin toplamı ile ${ displaystyle { boldsymbol { Psi}} = nu _ {0} { boldsymbol { Sigma}} _ {0}}$	${ displaystyle t _ {{ nu _ {0}} '- p + 1} left ({ tilde { mathbf {x}}} | {{ boldsymbol { mu}} _ {0}}', { frac {{ kappa _ {0}} '+ 1} {{ kappa _ {0}}' ({ nu _ {0}} '- p + 1)}} { boldsymbol { Psi} }'sağ)}$[5]
Çok değişkenli normal	μ (ortalama vektör) ve Λ (hassas matris)	normal Wishart	${ displaystyle { boldsymbol { mu}} _ {0}, , kappa _ {0}, , nu _ {0}, , mathbf {V}}$	${ displaystyle { frac { kappa _ {0} { boldsymbol { mu}} _ {0} + n mathbf { bar {x}}} { kappa _ {0} + n}}, , kappa _ {0} + n, , nu _ {0} + n, ,}$ ${ displaystyle sol ( mathbf {V} ^ {- 1} + mathbf {C} + { frac { kappa _ {0} n} { kappa _ {0} + n}} ( mathbf { bar {x}} - { boldsymbol { mu}} _ {0}) ( mathbf { bar {x}} - { boldsymbol { mu}} _ {0}) ^ {T} sağ ) ^ {- 1}}$ ${ displaystyle mathbf { bar {x}}}$ örnek anlamı ${ displaystyle mathbf {C} = toplam _ {i = 1} ^ {n} ( mathbf {x_ {i}} - mathbf { bar {x}}) ( mathbf {x_ {i}} - mathbf { bar {x}}) ^ {T}}$	ortalama tahmin edildi ${ displaystyle kappa _ {0}}$ örnek ortalamalı gözlemler ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} _ {0}}$; kovaryans matrisi ${ displaystyle nu _ {0}}$ örnek ortalamalı gözlemler ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} _ {0}}$ ve ikili sapma ürünlerinin toplamı ile ${ displaystyle mathbf {V} ^ {- 1}}$	${ displaystyle t _ {{ nu _ {0}} '- p + 1} left ({ tilde { mathbf {x}}} orta {{ boldsymbol { mu}} _ {0}}' , { frac {{ kappa _ {0}} '+ 1} {{ kappa _ {0}}' ({ nu _ {0}} '- p + 1)}} { mathbf {V} '} ^ {- 1} sağ)}$[5]
Üniforma	${ displaystyle U (0, theta) !}$	Pareto	${ displaystyle x_ {m}, , k !}$	${ displaystyle max {, x_ {1}, ldots, x_ {n}, x _ { mathrm {m}} }, , k + n !}$	${ displaystyle k}$ maksimum değere sahip gözlemler ${ displaystyle x_ {m}}$
Pareto bilinen minimum xm	k (şekil)	Gama	${ displaystyle alpha, , beta !}$	${ displaystyle alpha + n, , beta + sum _ {i = 1} ^ {n} ln { frac {x_ {i}} {x _ { mathrm {m}}}} !}$	${ displaystyle alpha}$ toplamlı gözlemler ${ displaystyle beta}$ of büyüklük sırası her gözlemin (yani her gözlemin minimuma oranının logaritması) ${ displaystyle x_ {m}}$)
Weibull bilinen şekli ile β	θ (ölçek)	Ters gama[4]	${ displaystyle a, b !}$	${ displaystyle a + n, , b + sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ { beta} !}$	${ displaystyle a}$ toplamlı gözlemler ${ displaystyle b}$ of β 'her gözlemin gücü
Normal günlük	Verileri üslendikten sonra normal dağılımla aynı
Üstel	λ (oran)	Gama	${ displaystyle alpha, , beta !}$ [not 4]	${ displaystyle alpha + n, , beta + sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} !}$	${ displaystyle alpha -1}$ toplamı olan gözlemler ${ displaystyle beta}$ [6]	${ displaystyle operatorname {Lomax} ({ tilde {x}} ort beta ', alpha')}$ (Lomax dağılımı )
Gama bilinen şekli ile α	β (oran)	Gama	${ displaystyle alpha _ {0}, , beta _ {0} !}$	${ displaystyle alpha _ {0} + n alpha, , beta _ {0} + sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} !}$	${ displaystyle alpha _ {0} / alpha}$ toplamlı gözlemler ${ displaystyle beta _ {0}}$	${ displaystyle operatorname {CG} ({ tilde { mathbf {x}}} mid alpha, { alpha _ {0}} ', { beta _ {0}}') = operatöradı { beta '} ({ tilde { mathbf {x}}} | alpha, { alpha _ {0}}', 1, { beta _ {0}} ')}$ [not 8]
Ters Gama bilinen şekli ile α	β (ters ölçek)	Gama	${ displaystyle alpha _ {0}, , beta _ {0} !}$	${ displaystyle alpha _ {0} + n alpha, , beta _ {0} + sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {1} {x_ {i}}} ! }$	${ displaystyle alpha _ {0} / alpha}$ toplamlı gözlemler ${ displaystyle beta _ {0}}$
Gama bilinen oranla β	α (şekil)	${ displaystyle propto { frac {a ^ { alpha -1} beta ^ { alpha c}} { Gama ( alfa) ^ {b}}}}$	${ displaystyle a, , b, , c !}$	${ displaystyle a prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}, , b + n, , c + n !}$	${ displaystyle b}$ veya ${ displaystyle c}$ gözlemler (${ displaystyle b}$ tahmin etmek için ${ displaystyle alpha}$, ${ displaystyle c}$ tahmin etmek için ${ displaystyle beta}$) ürünle ${ displaystyle a}$
Gama [4]	α (şekil), β (ters ölçek)	${ displaystyle propto { frac {p ^ { alpha -1} e ^ {- beta q}} { Gama ( alpha) ^ {r} beta ^ {- alpha s}}}}$	${ displaystyle p, , q, , r, , s !}$	${ displaystyle p prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}, , q + sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}, , r + n, , s + n !}$	${ displaystyle alpha}$ -dan tahmin edildi ${ displaystyle r}$ ürün ile gözlemler ${ displaystyle p}$; ${ displaystyle beta}$ -dan tahmin edildi ${ displaystyle s}$ toplamlı gözlemler ${ displaystyle q}$

Ayrıca bakınız

• Beta-binom dağılımı

Notlar

Referanslar