Yansıtmalı çokyüzlü - Projective polyhedron

İçinde geometri, a (global olarak) yansıtmalı çokyüzlü bir mozaikleme of gerçek yansıtmalı düzlem.^[1] Bunlar projektif analoglardır. küresel çokyüzlü - mozaikler küre - ve toroidal çokyüzlü - toroidlerin mozaik yapısı.

Projektif çokyüzlüler ayrıca şu şekilde anılır: eliptik mozaikler^[2] veya eliptik eğimleryansıtmalı düzleme atıfta bulunarak (yansıtmalı) eliptik geometri benzeterek küresel döşeme,^[3] "küresel polihedron" ile eşanlamlıdır. Ancak terim eliptik geometri hem küresel hem de projektif geometriler için geçerlidir, bu nedenle terim çokyüzlüler için bazı belirsizlikler taşır.

Gibi hücresel ayrışmalar yansıtmalı düzlemin Euler karakteristiği 1, küresel çokyüzlüler Euler karakteristiğine sahipken 2. "global" niteleyici, yerel olarak projektif çokyüzlüler tanımlı teorisinde soyut çokyüzlü.

Örtüşmeyen projektif polihedra (yoğunluk 1) karşılık gelir küresel çokyüzlü (eşdeğer olarak, dışbükey çokyüzlü ) ile merkezi simetri. Bu ayrıntılı ve aşağıda, küresel polihedra ile ilişki ve geleneksel polyhedra ile ilişki.

Örnekler

hemi-küp 3 kare yüzü, 6 kenarı ve 4 köşesi olan normal bir yansıtmalı çokyüzlüdür.

Yansıtmalı çokyüzlülerin en iyi bilinen örnekleri, düzenli yansıtmalı çokyüzlülerdir, merkezi simetrik Platonik katılar ve iki sonsuz çift sınıfının yanı sıra dihedra ve Hosohedra:^[4]

Hemi-küp, {4,3}/2
Hemi-oktahedron, {3,4}/2
Hemi-dodecahedron, {5,3}/2
Hemi-ikosahedron, {3,5}/2
Hem-dihedron, {2p, 2} / 2, p> = 1
Hem-hosohedron, {2,2p} / 2, p> = 1

Bunlar, ilişkili küresel polihedronun bölümü ile elde edilebilir. antipodal harita (küredeki zıt noktaları belirleyerek).

Öte yandan, dörtyüzlü merkezi simetriye sahip değildir, bu nedenle "hemi-tetrahedron" yoktur. Görmek küresel polihedra ile ilişki aşağıda tetrahedronun nasıl tedavi edildiği anlatılmaktadır.

Hemipolihedra

tetrahemiheksahedron yansıtmalı bir çokyüzlüdür ve tek tek biçimli yansıtmalı çokyüzlüdür. batırmalar Öklid 3-uzayında.

"Hemi-" ön ekinin aynı zamanda şunu belirtmek için kullanıldığını unutmayın: hemipolihedra, hangileri tekdüze çokyüzlü simetrinin merkezinden geçen bazı yüzlere sahip olmak. Bunlar küresel çokyüzlüleri tanımlamadıkları için (merkezden geçtikleri için, küre üzerinde tanımlı bir noktaya eşlenmezler), 3-uzaydan (eksi başlangıç) projektife bölüm haritası ile yansıtmalı çokyüzlüleri tanımlamazlar. uçak.

Bu tek tip hemipolihedraların sadece tetrahemiheksahedron topolojik olarak yansıtmalı bir polihedron olup, bununla doğrulanabilir. Euler karakteristiği ve görsel olarak bariz bağlantı Roma yüzeyi. 2 kapsamlıdır. küpoktahedron ve küresel küboktahedronun zıt kutuplu harita ile bölümü olarak gerçekleştirilebilir. Yansıtıcı olan tek tek biçimli (geleneksel) çokyüzlüdür - yani, tek biçimli yansıtmalı çokyüzlüdür. batırmalar Öklid üç uzayında tekdüze bir geleneksel çokyüzlü olarak.

Küresel çokyüzlü ile ilişki

2'ye 1 var kapsayan harita ${ displaystyle S ^ {2} - mathbf {RP} ^ {2}}$ kürenin projektif düzleme ve bu haritanın altında, projektif polihedralar küresel çokyüzlülere karşılık gelir. merkezi simetri - bir projektif çokyüzlünün 2 katlı kapağı, merkezi olarak simetrik küresel bir çokyüzlüdür. Dahası, çünkü a kapsayan harita bir yerel homeomorfizm (bu durumda a yerel izometri ), hem küresel hem de karşılık gelen projektif çokyüzlüler aynı soyut köşe figürü.

Örneğin, (projektif) 2 katlı kapak hemi-küp (küresel) küptür. Hemi-küpün 4 köşesi, 3 yüzü ve her biri kürede 2 kopya ile örtülmüş 6 kenarı vardır ve buna göre küpün 8 köşesi, 6 yüzü ve 12 kenarı bulunurken, bu çokyüzlülerin her ikisinde de 4.4 vardır. 4 köşe figürü (bir tepe noktasında buluşan 3 kare).

Dahası, simetri grubu (nın-nin izometriler ) izdüşümlü bir çokyüzlünün ve örtücü küresel çokyüzlünün) ilişkilidir: yansıtmalı çokyüzlünün simetrileri doğal olarak rotasyon küresel çokyüzlünün simetrileri, küresel çokyüzlünün tam simetri grubu ise dönme grubunun (projektif çokyüzlünün simetri grubu) ve 2. dereceden döngüsel grubun ürünüdür, {±ben}. Görmek simetri grubu detaylandırma ve diğer boyutlar için aşağıda.

Köşelerin, kenarların ve yüzlerin görüntüleri üst üste geleceği için, merkezi simetriye sahip olmayan küresel çokyüzlüler yansıtmalı bir çokyüzlü tanımlamaz. Eğilme dilinde, yansıtmalı düzlemdeki görüntü 2. derece döşemedir, yani projektif düzlemdeki 1 yüze karşılık gelen küredeki 2 yüz yerine yansıtmalı düzlemi iki kez kaplar, onu iki kez kaplar, her yüz içeride küre, projektif düzlemdeki tek bir yüze karşılık gelir ve buna göre onu iki kez kaplar.

Yansıtmalı çokyüzlüler ile merkezi simetrik küresel çokyüzlüler arasındaki yazışma, bir Galois bağlantısı tüm küresel çokyüzlüler dahil (merkezi olarak simetrik olması gerekmez), eğer kapakları çokyüzlü değil, daha ziyade, projektif düzlemin 2. derece eğimlerini içerecek şekilde genişletilirse çok yüzlü bileşik merkezi olmayan simetrik bir çokyüzlünün, merkezi tersi (2 çokyüzlü bir bileşik) ile birlikte. Bu, Galois bağlantısını O (3) ve PO (3) 'ün sonlu alt grupları düzeyinde geometrileştirir, burada birleşim "merkezi ters ile birleşme" dir. Örneğin, dörtyüzlü merkezi simetrik değildir ve 4 köşesi, 6 kenarı ve 4 yüzü vardır ve tepe noktası şekil 3.3.3 (her köşede 3 üçgen birleşir). Projektif düzlemdeki görüntüsünün, projektif düzlemi iki kez kaplayan 4 köşesi, 6 kenarı (kesişen) ve 4 yüzü (üst üste binen) vardır. Bunun kapağı yıldız şeklinde oktahedron - eşdeğer olarak, 8 köşesi, 12 kenarı ve 8 yüzü olan iki tetrahedranın bileşiği ve tepe noktası şekil 3.3.3.

Genellemeler

Bağlamında soyut politoplar, bunun yerine "yerel olarak projektif politoplar "- bkz. Soyut politop: Yerel topoloji. Örneğin, 11 hücreli "yerel olarak yansıtmalı bir politoptur", ancak küresel olarak yansıtmalı bir polihedron veya gerçekten de mozaikler değildir hiç manifold, yerel olarak Öklid değil, adından da anlaşılacağı gibi yerel olarak yansıtıcı.

Yansıtmalı politoplar, yüksek boyutta, bir eksik boyutta yansıtmalı uzayın mozaikleri olarak tanımlanabilir. Tanımlama kboyutsal yansıtmalı politoplar nboyutlu yansıtmalı uzay biraz daha zordur, çünkü Öklid uzayındaki politopların olağan tanımı, dışbükey kombinasyonlar yansıtmalı bir kavram olmayan ve literatürde nadiren ele alınan, ancak (Vives ve Mayo 1991 ).

Simetri grubu

Yansıtmalı bir politopun simetri grubu sonludur (dolayısıyla ayrıktır)^{[not 1]} alt grubu projektif ortogonal grup, PO, ve tersine, PO'nun her sonlu alt grubu, bir projektif politopun simetri grubudur. temel alan grup için.

İlgili boyutlar aşağıdaki gibidir: nboyutlu gerçek yansıtmalı uzay, (n+1) boyutlu Öklid uzayı, ${ displaystyle mathbf {RP} ^ {n} = mathbf {P} ( mathbf {R} ^ {n + 1}),}$ yani projektif ortogonal grubu bir nboyutlu yansıtmalı uzay gösterilir

PO (n+1) = P (O (n+1)) = O (n+1)/{±ben}.

Eğer n=2k eşittir (yani n+1 = 2k+1 tuhaftır), sonra O (2k+1) = SO (2k+1)×{±ben} bir ürün olarak ayrışır ve böylece ${ displaystyle PO (2k + 1) = PSO (2k + 1) cong SO (2k + 1)}$ ^{[not 2]} böylece projektif izometriler grubu, dönme izometrileri grubu ile tanımlanabilir.

Bu nedenle, özellikle yansıtmalı bir çokyüzlünün simetri grubu, rotasyonel örten küresel çokyüzlünün simetri grubu; küresel çokyüzlünün tam simetri grubu o zaman sadece doğrudan üründür. köken yoluyla yansıma, yansıtmalı uzaya geçişteki çekirdek. Projektif düzlem yönlendirilemez ve bu nedenle, PSO (3) = PO (3) eşitliğinde yansıtılan "bir projektif çokyüzlünün oryantasyonu koruyan izometrileri" nin belirgin bir kavramı yoktur.

Eğer n=2k + 1 tuhaftır, sonra O (n+1) = O (2k+2) bir ürün olarak ayrışmaz ve bu nedenle projektif politopun simetri grubu, sadece küresel politopun dönme simetrileri değil, karşılık gelen küresel politopun tam simetri grubunun 2'ye 1 bölümüdür ( küresel grup bir merkezi uzantı projektif grubun). Dahası, garip projektif boyutta (çift vektör boyut) ${ displaystyle PSO (2k) neq PO (2k)}$ ve bunun yerine uygun (indeks 2) bir alt gruptur, bu nedenle farklı bir yönelim koruyan izometriler kavramı vardır.

Örneğin, n = 1 (çokgenler), 2'nin simetrilerir-gon dihedral grubu Dih_2r (sipariş 4r), dönme grubu ile döngüsel grup C_2rbunlar sırasıyla O (2) ve SO (2) alt gruplarıdır. 2'nin projelendirilmesir-gon (daire içinde) bir r-gon (projektif çizgide) ve buna göre bölüm grupları, PO (2) ve PSO (2) alt grupları Dih_r ve C_r. Aynı olduğunu unutmayın değişmeli kare alt grupların karesi için oluşur Spin grubu ve Grubu sabitle - Döndürme (2), Pim₊(2), SO (2), O (2) - burada 2 katlık bir bölüm yerine 2 katlık bir kapağa gidiyor.

Son olarak, kafes teoremi var Galois bağlantısı O alt grupları arasında (n) ve PO alt grupları (n), özellikle sonlu alt gruplar. Bu bağlantı altında, merkezi simetrik politopların simetri grupları, karşılık gelen projektif politopun simetri gruplarına karşılık gelirken, merkezi simetriye sahip olmayan küresel politopların simetri grupları 2. derece projektif politopların simetri gruplarına karşılık gelir (projektif alanı iki kez kaplayan eğimler). bağlantının birleşimine karşılık gelir) iki politopun bir bileşiğidir - orijinal politop ve merkezi tersi.

Bu simetri grupları karşılaştırılmalı ve karşılaştırılmalıdır. ikili çok yüzlü gruplar - tıpkı Pin gibi_±(n) → O (n) 2'ye 1 bir kapaktır ve bu nedenle ikili çok yüzlü gruplar ile çok yüzlü gruplar arasında bir Galois bağlantısı vardır, O (n) → PO (n) 2'ye 1 kapalıdır ve bu nedenle alt gruplar arasında benzer bir Galois bağlantısına sahiptir. Ancak, O'nun ayrı alt grupları (n) ve PO (n) geometrik olarak kaplama haritasına karşılık gelen küresel ve projektif politopların simetri gruplarına karşılık gelir ${ displaystyle S ^ {n} - mathbf {RP} ^ {n},}$ örtme alanı yok ${ displaystyle S ^ {n}}$ (için ${ displaystyle n geq 2}$ ) küre olduğu gibi basitçe bağlı ve dolayısıyla Pin alt gruplarının simetri grupları olduğu karşılık gelen "ikili politop" yoktur.

Ayrıca bakınız

Notlar

^ PO olduğundan kompakt, sonlu ve ayrık kümeler aynıdır - sonsuz kümeler bir birikim noktası.
^ izomorfizm / Bu denklemdeki eşitlik ayrımı, bağlamın 2'ye 1 bölüm haritası olmasıdır. ${ displaystyle O 'dan PO}$ - PSO (2k+1) ve PO (2k+1) hedefin eşit alt kümeleridir (yani, tüm alan), dolayısıyla eşitliktir; ${ displaystyle SO 'dan PSO'ya}$ bir izomorfizmdir, ancak iki grup farklı alanların alt kümeleridir, dolayısıyla bir eşitlikten ziyade izomorfizmdir.Conway ve Smith 2003, s. 34 ) yapılan bu ayrımın bir örneği için.

Referanslar

Dipnotlar

^ Schulte, Egon; Weiss, Asia Ivic (2006), "5 Topolojik sınıflandırma", Politoplar, Grupları ve Gerçekleşmeleri ile İlgili Sorunlar, s. 9–13, arXiv:math / 0608397v1, Bibcode:2006math ...... 8397S
^ Coxeter Harold Scott Macdonald (1970). Bükülmüş petekler. Matematikte CBMS bölgesel konferans serisi (4). AMS Kitabevi. s.11. ISBN 978-0-8218-1653-0.
^ Magnus, Wilhelm (1974), Yokuklitli mozaikler ve grupları, Akademik Basın, s. 65, ISBN 978-0-12-465450-1
^ Coxeter, Geometriye giriş, 1969, İkinci baskı, sn. 21.3 Normal haritalar, s. 386-388

Genel referanslar

Archdeacon, Dan; Negami, Seiya (1993), "Kendinden ikili projektif polihedranın inşası", J. Comb. Teori B, 59 (1): 122–131, doi:10.1006 / jctb.1993.1059, alındı 2010-04-15
Arocha, Jorge L .; Bracho, Javier; Montejano, Luis (2000-02-01). "Düzlemsel yüzleri olan normal yansıtmalı çokyüzlüler I" (PDF). Aequationes Mathematicae. 59 (1): 55–73. CiteSeerX 10.1.1.498.9945. doi:10.1007 / PL00000128. Alındı 2010-04-15.
Bracho, Javier (2000-02-01). "Düzlemsel yüzleri olan düzenli yansıtmalı çokyüzlüler II". Aequationes Mathematicae. 59 (1): 160–176. doi:10.1007 / PL00000122.
Conway, John Horton; Smith, Derek Alan (2003-02-07), "3.7 Projektif veya Eliptik Gruplar", Kuaterniyonlar ve oktonyonlar hakkında, A K Peters, Ltd., s.34, ISBN 978-1-56881-134-5
Hilbert, David; Cohn-Vossen, S. (1999), Geometri ve hayal gücü, AMS Kitabevi, s.147, ISBN 978-0-8218-1998-2
McMullen, Peter; Schulte, Egon (Aralık 2002), "6C. Projektif Düzenli Politoplar", Soyut Düzenli Politoplar (1. baskı), Cambridge University Press, s.162–165, ISBN 978-0-521-81496-6
Vives, Gilberto Calvillo; Mayo, Guillermo Lopez (1991). Susana Gómez; Jean Pierre Hennart; Richard A. Tapia (editörler). Sayısal kısmi diferansiyel denklemlerdeki gelişmeler ve optimizasyon. Beşinci Birleşik Devletler-Meksika Çalıştayı. SIAM. pp.43–49. ISBN 978-0-89871-269-8.

[5] PO olduğundan kompakt, sonlu ve ayrık kümeler aynıdır - sonsuz kümeler bir birikim noktası.

[6] zomorfizm / Bu denklemdeki eşitlik ayrımı, bağlamın 2'ye 1 bölüm haritası olmasıdır. ${ displaystyle O 'dan PO}$ - PSO (2k+1) ve PO (2k+1) hedefin eşit alt kümeleridir (yani, tüm alan), dolayısıyla eşitliktir; ${ displaystyle SO 'dan PSO'ya}$ bir izomorfizmdir, ancak iki grup farklı alanların alt kümeleridir, dolayısıyla bir eşitlikten ziyade izomorfizmdir.Conway ve Smith 2003, s. 34 ) yapılan bu ayrımın bir örneği için.

[1] Schulte, Egon; Weiss, Asia Ivic (2006), "5 Topolojik sınıflandırma", Politoplar, Grupları ve Gerçekleşmeleri ile İlgili Sorunlar, s. 9–13, arXiv:math / 0608397v1, Bibcode:2006math ...... 8397S

[2] Coxeter Harold Scott Macdonald (1970). Bükülmüş petekler. Matematikte CBMS bölgesel konferans serisi (4). AMS Kitabevi. s.11. ISBN 978-0-8218-1653-0.

[3] Magnus, Wilhelm (1974), Yokuklitli mozaikler ve grupları, Akademik Basın, s. 65, ISBN 978-0-12-465450-1

[cox-4] Coxeter, Geometriye giriş, 1969, İkinci baskı, sn. 21.3 Normal haritalar, s. 386-388

[1]

[2]

[3]

[4]

[not 1]

[not 2]