Tekil integral - Singular integral

İçinde matematik, tekil integraller merkezi harmonik analiz ve kısmi diferansiyel denklemlerle yakından bağlantılıdır. Genel olarak tekil bir integral, bir integral operatörü

${displaystyle T (f) (x) = int K (x, y) f (y), dy,}$

kimin çekirdek işlevi K : Rⁿ×Rⁿ → R dır-dir tekil köşegen boyunca x = y. Özellikle, tekillik öyle ki |K(x, y) | boyutunda |x − y|⁻ⁿ asimptotik olarak |x − y| → 0. Bu tür integraller genel olarak mutlak integrallenemez olabileceğinden, katı bir tanım onları integralin | over sınırı olarak tanımlamalıdır.y − x| > ε ε → 0 olarak, ancak pratikte bu teknik bir özelliktir. Sınırlılıkları gibi sonuçlar elde etmek için genellikle başka varsayımlar gerekir. L^p(Rⁿ).

Hilbert dönüşümü

Arketipsel tekil integral operatörü, Hilbert dönüşümü H. Çekirdeğe karşı evrişimle verilir K(x) = 1 / (πx) için x içinde R. Daha kesin,

${displaystyle H (f) (x) = {frac {1} {pi}} lim _ {varepsilon o 0} int _ {| xy |> varepsilon} {frac {1} {xy}} f (y), dy .}$

Bunların en basit yüksek boyutlu analogları, Riesz dönüşümleri yerine geçen K(x) = 1/x ile

${displaystyle K_ {i} (x) = {frac {x_ {i}} {| x | ^ {n + 1}}}}$

nerede ben = 1, …, n ve ${displaystyle x_ {i}}$ ... ben-nci bileşen x içinde Rⁿ. Tüm bu operatörler sınırlıdır L^p ve zayıf tip (1, 1) tahminleri karşılar.^[1]

Evrişim tipi tekil integraller

Evrişim türündeki tekil bir integral bir operatördür T çekirdekli evrişim ile tanımlanır K yani yerel olarak entegre edilebilir açık Rⁿ{0}, şu anlamda

${displaystyle T (f) (x) = lim _ {varepsilon o 0} int _ {| y-x |> varepsilon} K (x-y) f (y), dy.}$

(1)

Çekirdeğin şunları sağladığını varsayalım:

1. The boyut koşul Fourier dönüşümü nın-nin K

${displaystyle {hat {K}} L ^ {infty} (mathbf {R} ^ {n})}$

2. The pürüzsüzlük durum: bazıları için C > 0,

${displaystyle sup _ {yeq 0} int _ {| x |> 2 | y |} | K (x-y) -K (x) |, dxleq C.}$

O zaman gösterilebilir ki T sınırlıdır L^p(Rⁿ) ve zayıf tip (1, 1) tahminini karşılar.

Bu evrişimi sağlamak için 1. Özellik gereklidir (1) ile temperli dağıtım p.v.K tarafından verilen temel değer integrali

${displaystyle operatorname {p.v.} ,, K [phi] = lim _ {epsilon o 0 ^ {+}} int _ {| x |> epsilon} phi (x) K (x), dx}$

iyi tanımlanmış Fourier çarpanı açık L². 1. veya 2. özelliklerin hiçbirinin doğrulanması zorunlu olarak kolay değildir ve çeşitli yeterli koşullar mevcuttur. Tipik olarak uygulamalarda bir de iptal şart

${displaystyle int _ {R_ {1} <| x | 0}$

kontrol etmesi oldukça kolaydır. Otomatiktir, örneğin, eğer K bir Tek işlev. Ek olarak, 2. ve aşağıdaki boyut koşulu varsayılırsa

${displaystyle sup _ {R> 0} int _ {R <| x | <2R} | K (x) |, dxleq C,}$

daha sonra 1. aşağıdaki gösterilebilir.

Pürüzsüzlük koşulu 2. aynı zamanda prensip olarak kontrol etmek de genellikle zordur, bir çekirdeğin aşağıdaki yeterli durumu K kullanılabilir:

• ${displaystyle Kin C ^ {1} (mathbf {R} ^ {n} setminus {0})}$
• ${displaystyle | abla K (x) | leq {frac {C} {| x | ^ {n + 1}}}}$

Hilbert ve Riesz dönüşümleri için bu koşulların sağlandığını gözlemleyin, bu nedenle bu sonuç, bu sonucun bir uzantısıdır.^[2]

Evrişimsiz tipteki tekil integraller

Bunlar daha da genel operatörler. Bununla birlikte, varsayımlarımız çok zayıf olduğu için, bu operatörlerin bağlı olması şart değildir. L^p.

Calderon – Zygmund çekirdekleri

Bir işlev K : Rⁿ×Rⁿ → R olduğu söyleniyor Calderon –Zygmund çekirdek bazı sabitler için aşağıdaki koşulları karşılıyorsa C > 0 ve δ> 0.^[2]

${displaystyle (a) qquad | K (x, y) | leq {frac {C} {| x-y | ^ {n}}}}$

${displaystyle (b) qquad | K (x, y) -K (x ', y) | leq {frac {C | x-x' | ^ {delta}} {{igl (} | xy | + | x ' -y | {igr)} ^ {n + delta}}} {ext {her zaman}} | x-x '| leq {frac {1} {2}} max {igl (} | xy |, | x'- y | {igr)}}$

${displaystyle (c) qquad | K (x, y) -K (x, y ') | leq {frac {C | y-y' | ^ {delta}} {{igl (} | xy | + | x- y '| {igr)} ^ {n + delta}}} {ext {her zaman}} | y-y' | leq {frac {1} {2}} max {igl (} | x-y '|, | xy | {igr)}}$

Evrişimsiz tipteki tekil integraller

T olduğu söyleniyor evrişimsiz tipin tekil integral operatörü Calderon-Zygmund çekirdeğiyle ilişkili K Eğer

${displaystyle int g (x) T (f) (x), dx = iint g (x) K (x, y) f (y), dy, dx,}$

her ne zaman f ve g pürüzsüz ve ayrık desteğe sahip.^[2] Bu tür operatörlerin sınırlandırılması gerekmez L^p

Calderon – Zygmund operatörleri

Evrişim olmayan tipte tekil bir integral T Calderon-Zygmund kernel ile ilişkili K denir Calderon-Zygmund operatörü sınırlandığında L²yani bir C > 0 öyle ki

${displaystyle | T (f) | _ {L ^ {2}} leq C | f | _ {L ^ {2}},}$

tüm pürüzsüz kompakt bir şekilde desteklenen için ƒ.

Bu tür operatörlerin aslında her şeye bağlı olduğu kanıtlanabilir. L^p 1 p < ∞.

T(b) teoremi

T(b) teorem, tekil bir integral operatörünün bir Calderon – Zygmund operatörü olması için yeterli koşulları sağlar, yani bir Calderon – Zygmund çekirdeğine bağlı tekil integral operatörün sınırlandırılması için L². Sonucu belirtmek için önce bazı terimleri tanımlamalıyız.

Bir normalleştirilmiş çarpma düzgün bir işlevdir Rⁿ 10 yarıçaplı bir top içinde desteklenir ve başlangıç ​​noktasında ortalanır, öyle ki | ∂^α φ (x) | ≤ 1, tüm çoklu endeksler için | α | ≤n + 2. τ ile göster^x(φ) (y) = φ (y − x) ve φ_r(x) = r⁻ⁿφ (x/r) hepsi için x içinde Rⁿ ve r > 0. Bir operatörün zayıf sınırlı sabitse C öyle ki

${displaystyle sol | int T {igl (} au ^ {x} (varphi _ {r}) {igr)} (y) au ^ {x} (psi _ {r}) (y), dyight | leq Cr ^ {-n}}$

tüm normalleştirilmiş tümsekler için φ ve ψ. Bir işlev olduğu söyleniyor biriken sabitse c > 0 öyle ki Re (b)(x) ≥ c hepsi için x içinde R. Gösteren M_b bir işlevle çarpılarak verilen operatör b.

T(b) teorem, tekil bir integral operatörünün T Calderon-Zygmund çekirdeği ile ilişkili L² bazı sınırlı toplama işlevleri için aşağıdaki üç koşulu karşılarsa b₁ ve b₂:^[3]

(a) ${displaystyle M_ {b_ {2}} TM_ {b_ {1}}}$ zayıf sınırlıdır;

(b) ${displaystyle T (b_ {1})}$ içinde BMO;

(c) ${görüntü stili T ^ {t} (b_ {2}),}$ içinde BMO, nerede T^t devrik operatörüT.

Ayrıca bakınız

• Kapalı eğriler üzerinde tekil integral operatörler

Notlar

Referanslar

• Calderon, A. P.; Zygmund, A. (1952), "Belirli tekil integrallerin varlığı üzerine", Acta Mathematica, 88 (1): 85–139, doi:10.1007 / BF02392130, ISSN  0001-5962, BAY  0052553, Zbl  0047.10201.
• Calderon, A. P.; Zygmund, A. (1956), "Tekil integrallerde", Amerikan Matematik Dergisi, Johns Hopkins University Press, 78 (2): 289–309, doi:10.2307/2372517, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372517, BAY  0084633, Zbl  0072.11501.
• Coifman, Ronald; Meyer, Yves (1997), Dalgacıklar: Calderón-Zygmund ve çok çizgili operatörler, İleri Matematikte Cambridge Çalışmaları, 48, Cambridge University Press, s. Xx + 315, ISBN  0-521-42001-6, BAY  1456993, Zbl  0916.42023.
• Mikhlin, Solomon G. (1948), "Tekil integral denklemler", UMN, 3 (25): 29–112, BAY  0027429 (içinde Rusça ).
• Mikhlin, Solomon G. (1965), Çok boyutlu tekil integraller ve integral denklemler, Saf ve Uygulamalı Matematikte Uluslararası Monograflar Serisi, 83, Oxford –Londra –Edinburg –New York City –Paris –Frankfurt: Pergamon Basın, sayfa XII + 255, BAY  0185399, Zbl  0129.07701.
• Mikhlin, Solomon G.; Prössdorf, Siegfried (1986), Tekil İntegral Operatörler, Berlin –Heidelberg –New York City: Springer Verlag, s. 528, ISBN  0-387-15967-3, BAY  0867687, Zbl  0612.47024, (Avrupa baskısı: ISBN  3-540-15967-3).
• Stein, Elias (1970), Tekil integraller ve fonksiyonların türevlenebilirlik özellikleri, Princeton Matematiksel Serisi 30, Princeton, NJ: Princeton University Press, sayfa XIV + 287, ISBN  0-691-08079-8, BAY  0290095, Zbl  0207.13501

Dış bağlantılar

• Stein, Elias M. (Ekim 1998). "Tekil İntegraller: Calderon ve Zygmund'un Rolleri" (PDF). American Mathematical Society'nin Bildirimleri. 45 (9): 1130–1140.