Sınırlı ortalama salınım - Bounded mean oscillation

İçinde harmonik analiz içinde matematik bir fonksiyonu sınırlı ortalama salınımolarak da bilinir BMO işlevi, bir gerçek değerli işlev ortalama salınımı sınırlı (sonlu). İşlevlerin alanı sınırlı ortalama salınım (BMO), bir işlev alanı bir anlamda, teoride aynı rolü oynar. Hardy uzayları H^p bu alan L^∞ nın-nin esasen sınırlı fonksiyonlar teorisinde oynuyor L^p-uzaylar: aynı zamanda John-Nirenberg uzayı, sonra Fritz John ve Louis Nirenberg onu ilk kez tanıtan ve inceleyen.

Tarihsel not

Göre Nirenberg (1985, s. 703 ve s. 707),^[1] sınırlı ortalama salınımın fonksiyon alanı şu şekilde tanıtıldı: John (1961), s. 410–411) ile ilgili çalışmalarıyla bağlantılı olarak eşlemeler bir sınırlı küme Ω ait Rⁿ içine Rⁿ ve aşağıdakilerden kaynaklanan ilgili sorunlar esneklik teorisi, tam olarak kavramından elastik gerilim: temel gösterim, yakından takip eden bir makalede tanıtıldı: John ve Nirenberg (1961),^[2] Bu fonksiyon uzaylarının birçok özelliği kanıtlanmıştır. Teorinin geliştirilmesindeki bir sonraki önemli adım, Charles Fefferman^[3] of ikilik arasında BMO ve Hardy uzayı H¹, not edilen kağıtta Fefferman ve Stein 1972: bu sonucun yapıcı bir kanıtı, yeni metotların tanıtılması ve teorinin daha da geliştirilmesine başlanması, Akihito Uchiyama.^[4]

Tanım

Tanım 1. ortalama salınım bir yerel olarak entegre edilebilir işlev sen üzerinde hiperküp^[5] Q içinde Rⁿ aşağıdakinin değeri olarak tanımlanır integral:

${displaystyle {frac {1} {| Q |}} int _ {Q} | u (y) -u_ {Q} |, mathrm {d} y}$

nerede

• |Q| ... Ses nın-nin Qyani onun Lebesgue ölçümü
• sen_Q ortalama değeridir sen küpte Qyani

${displaystyle u_ {Q} = {frac {1} {| Q |}} int _ {Q} u (y), mathrm {d} y.}$

Tanım 2. Bir BMO işlevi yerel olarak entegre edilebilir bir işlevdir sen kimin ortalama salınımı üstünlük, hepsinin setini devraldı küpler Q içerdiği Rⁿ, sonludur.

Not 1. Ortalama salınımın üstünlüğü, BMO normu nın-nin sen.^[6] ve || ile gösterilirsen||_BMO (ve bazı durumlarda aynı zamanda ||sen||_∗).

Not 2. Kullanımı küpler Q içinde Rⁿ olarak entegrasyon etki alanları hangi ortalama salınım hesaplanır, zorunlu değildir: Wiegerinck (2001) harvtxt hatası: hedef yok: CITEREFWiegerinck2001 (Yardım) kullanır toplar bunun yerine ve belirtildiği gibi Stein (1993), s. 140), bunu yaparken tamamen eşdeğer bir tanım fonksiyonlar Sınırlı ortalama salınım ortaya çıkar.

Gösterim

• Belirli bir etki alanındaki BMO işlevleri kümesi için kullanılan evrensel olarak benimsenen gösterim Ω dır-dir BMO(Ω): ne zaman Ω = Rⁿ, BMO(Rⁿ) basitçe şu şekilde sembolize edilir: BMO.
• BMO normu belirli bir BMO işlevinin sen || ile gösterilirsen||_BMO: bazı durumlarda, || olarak da belirtilirsen||_∗.

Temel özellikler

BMO işlevleri yerel olarak pEntegre edilebilir

BMO işlevleri yerel olarak L^p 0 ise < p <∞, ancak yerel olarak sınırlı olması gerekmez. Aslında, John-Nirenberg Eşitsizliğini kullanarak bunu kanıtlayabiliriz

${displaystyle | u | _ {BMO} simeq sup _ {Q} sol ({frac {1} {| Q |}} int _ {Q} | u-u_ {Q} | ^ {p} dxight) ^ {1 / p}}$.

BMO bir Banach alanıdır

Sabit fonksiyonlar sıfır ortalama salınım var, bu nedenle sabit için farklı fonksiyonlar c > 0, farkı sıfır olmasa bile aynı BMO norm değerini paylaşabilir neredeyse heryerde. Bu nedenle, ||sen||_BMO tam olarak bir normdur bölüm alanı BMO fonksiyonları modulo alanı sabit fonksiyonlar dikkate alınan etki alanında.

Bitişik küplerin ortalamaları karşılaştırılabilir

Adından da anlaşılacağı gibi, BMO'daki bir işlevin ortalama veya ortalaması, konum ve ölçek açısından birbirine yakın küpler üzerinden hesaplanırken çok fazla salınım yapmaz. Kesinlikle, eğer Q ve R vardır ikili küpler öyle ki sınırları birbirine değecek ve kenar uzunluğu Q yan uzunluğunun yarısından az değildir R (ve tersi), o zaman

${displaystyle | f_ {R} -f_ {Q} | leq C | f | _ {BMO}}$

nerede C > 0 bazı evrensel sabittir. Bu özellik aslında eşdeğerdir f BMO'da olmak, yani f yerel olarak entegre edilebilir bir işlevdir, öyle ki |f_R−f_Q| ≤ C tüm ikili küpler için Q ve R yukarıda açıklanan anlamda bitişik ve f ikili BMO içindedir (burada üstünlük yalnızca ikili küpler üzerinden alınır Q), sonra f BMO'da.^[7]

BMO, çift vektör uzayıdır. H¹

Fefferman (1971) BMO alanının iki yönlü olduğunu gösterdi H¹Hardy uzayı p = 1.^[8] Arasındaki eşleştirme f ∈ H¹ ve g ∈ BMO,

${displaystyle (f, g) = int _ {mathbb {R} ^ {n}} f (x) g (x), mathrm {d} x}$

bu integrali tanımlarken biraz özen gösterilmesi gerekse de, çünkü genel olarak mutlak bir şekilde birleşmez.

John-Nirenberg Eşitsizliği

John-Nirenberg Eşitsizliği sınırlı ortalama salınımın bir fonksiyonunun ortalamasından ne kadar sapabileceğini belirleyen bir tahmindir.

Beyan

Her biri için ${displaystyle fin operatorname {BMO} left (mathbb {R} ^ {n} ight)}$sabitler var ${displaystyle c_ {1}, c_ {2}> 0}$, öyle ki herhangi bir küp için ${displaystyle Q}$ içinde ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$,

${displaystyle left | left {xin S: | f-f_ {Q} |> lambda ight} ight | leq c_ {1} exp left (-c_ {2} {frac {lambda} {| f | _ {BMO}} } ight) | S |.}$

Tersine, eğer bu eşitsizlik her şeyi kapsıyorsa küpler biraz sabit C yerine ||f||_BMO, sonra f BMO'da en fazla sabit zamanlarda norm ile C.

Bir sonuç: BMO'daki mesafe L^∞

John-Nirenberg eşitsizliği aslında bir fonksiyonun BMO normundan daha fazla bilgi verebilir. Yerel olarak entegre edilebilir bir işlev için f, İzin Vermek Bir(f) sonsuz ol Bir> 0 hangisi için

${displaystyle sup _ {Qsubseteq mathbb {R} ^ {n}} {frac {1} {| Q |}} int _ {Q} e ^ {frac {| f-f_ {Q} |} {A}} mathrm {d} x$

John-Nirenberg eşitsizliği şunu ima eder: Bir(f) ≤ C ||f||_BMO bazı evrensel sabitler için C. Bir ... için L^∞ işlev, ancak yukarıdaki eşitsizlik herkes için geçerli olacaktır Bir > 0. Başka bir deyişle, Bir(f) = 0 ise f L'de^∞. Dolayısıyla sabit Bir(f) bize BMO'daki bir fonksiyonun alt uzaydan ne kadar uzakta olduğunu ölçmenin bir yolunu verir L^∞. Bu ifade daha kesin yapılabilir:^[9] sabit var Csadece şuna bağlı olarak boyut n, öyle ki herhangi bir işlev için f ∈ BMO (Rⁿ) aşağıdaki iki taraflı eşitsizlik geçerlidir

${displaystyle {frac {1} {C}} A (f) leq inf _ {gin L ^ {infty}} | f-g | _ {BMO} leq CA (f).}$

Genellemeler ve uzantılar

BMOH ve BMOA alanları

Ne zaman boyut Ortam boşluğunun% 'si 1, BMO alanı bir doğrusal alt uzay nın-nin harmonik fonksiyonlar üzerinde birim disk ve teorisinde önemli bir rol oynar Hardy uzayları: kullanarak tanım 2BMO'yu (T) üzerinde boşluk birim çember alanı olarak fonksiyonlar f : T → R öyle ki

${displaystyle {frac {1} {| I |}} int _ {I} | f (y) -f_ {I} |, mathrm {d} y$

yani öyle ki ortalama salınım her arkı üzerinde birim çember^[10] Sınırlı. Burada eskisi gibi f_ben f I yay üzerindeki ortalama değeridir.

Tanım 3. Bir Analitik fonksiyon birim disk ait olduğu söyleniyor Harmonik BMO veya içinde BMOH alanı eğer ve sadece bu ise Poisson integrali bir BMO'nun (T) işlevi. Bu nedenle, BMOH tüm fonksiyonların alanıdır sen form ile:

${displaystyle u (a) = {frac {1} {2pi}} int _ {mathbf {T}} {frac {1- | a | ^ {2}} {| ae ^ {i heta} | ^ {2} }} f (e ^ {i heta}), mathrm {d} heta}$

norm ile donatılmış:

${displaystyle | u | _ {BMOH} = sup _ {| a | <1} sol {{frac {1} {2pi}} int _ {mathbf {T}} {frac {1- | a | ^ {2} } {| ae ^ {i heta} | ^ {2}}} | f (e ^ {i heta}) - u (a) |, mathrm {d} heta ight}}$

BMOH'ye ait analitik fonksiyonların alt uzayına Analitik BMO alanı ya da BMOA alanı.

Çift uzayı olarak BMOA H¹(D)

Charles Fefferman Orijinal çalışmasında, gerçek BMO alanının üst kısımdaki gerçek değerli harmonik Hardy uzayına çift olduğunu kanıtladı. yarım boşluk Rⁿ × (0, ∞].^[11] Birim disk üzerinde Kompleks ve Harmonik analizi teorisinde sonucu aşağıdaki şekilde belirtilmiştir.^[12] İzin Vermek H^p(D) Analitik olun Hardy uzayı üzerinde birim Disk. İçin p = 1 biz tanımlıyoruz (H¹) * BMOA ile eşleştirerek f ∈ H¹(D) ve g ∈ BMOA, anti-lineer dönüşüm T_g

${displaystyle T_ {g} (f) = lim _ {rightarrow 1} int _ {- pi} ^ {pi} {ar {g}} (e ^ {i heta}) f (re ^ {i heta}), mathrm {d} heta}$

Sınırın her zaman bir H¹ f fonksiyonu ve T_g ikili uzayın bir öğesidir (H¹) *, çünkü dönüşüm doğrusal olmayanarasında izometrik bir izomorfizm yok (H¹) * ve BMOA. Bununla birlikte, bir tür olduğunu düşünürlerse bir izometri elde edilebilir. eşlenik BMOA işlevlerinin alanı.

Boşluk VMO

Boşluk VMO fonksiyonlarının kaybolan ortalama salınım sonsuzda yok olan sürekli fonksiyonların BMO'daki kapanışıdır. Aynı zamanda küpler üzerindeki "ortalama salınımları" olan fonksiyonların uzayı olarak da tanımlanabilir. Q sadece sınırlı değil, aynı zamanda küpün yarıçapı olarak eşit olarak sıfır olma eğilimindedir. Q 0 veya ∞ eğilimindedir. VMO uzayı, sonsuzda kaybolan sürekli fonksiyonlar uzayının bir çeşit Hardy uzayı analoğudur ve özellikle gerçek değerli harmonik Hardy uzayı H¹ VMO'nun ikilisidir.^[13]

Hilbert dönüşümü ile ilişki

Yerel olarak entegre edilebilir bir işlev f açık R BMO ancak ve ancak şu şekilde yazılabilirse

${displaystyle f = f_ {1} + Hf_ {2} + alfa}$

nerede f_ben ∈ L^∞, α bir sabittir ve H ... Hilbert dönüşümü.

BMO normu daha sonra en düşük olana eşittir ${displaystyle | f_ {1} | _ {infty} + | f_ {2} | _ {infty}}$ tüm bu tür temsiller üzerinde.

benzer şekilde f VMO, ancak ve ancak yukarıdaki biçimde ile temsil edilebiliyorsa f_ben sınırlı düzgün sürekli fonksiyonlar R.^[14]

İkili BMO alanı

İzin Vermek Δ kümesini belirtmek ikili küpler içinde Rⁿ. Boşluk ikili BMO, BMO yazıldı_d BMO işlevleriyle aynı eşitsizliği sağlayan işlevlerin uzayıdır, yalnızca üstünlük tüm ikili küplerin üzerindedir. Bu üstünlük bazen belirtilir ||•||_BMOd.

Bu alan düzgün bir şekilde BMO içeriyor. Özellikle, işlev günlük (x) χ_[0,∞) ikili BMO'da olan ancak BMO'da olmayan bir fonksiyondur. Ancak, bir işlev f öyle ki ||f(•−x)||_BMOd ≤ C hepsi için x içinde Rⁿ bazı C > 0, ardından üçte bir numara f ayrıca BMO'da. BMO açık olması durumunda Tⁿ onun yerine Rⁿ, bir işlev f öyle ki ||f(•−x)||_BMOd ≤ C n + 1 için uygun şekilde seçilmiş x, sonra f ayrıca BMO'da. Bu, BMO (Tⁿ ), ikili BMO'nun n + 1 çevirisinin kesişimidir. Dualite ile, H¹(Tⁿ ) ikili H'nin n + 1 çevirisinin toplamıdır¹.

İkili BMO, BMO'dan çok daha dar bir sınıf olmasına rağmen, BMO için doğru olan birçok teorem, ikili BMO için ispatlanması çok daha basittir ve bazı durumlarda, orijinal BMO teoremlerini ilk önce özel ikili durumda ispatlayarak kurtarılabilir.^[15]

Örnekler

BMO işlevlerinin örnekleri aşağıdakileri içerir:

• Tüm sınırlı (ölçülebilir) fonksiyonlar. Eğer f L'de^∞, sonra ||f||_BMO ≤ 2 || f ||_∞:^[16] ancak, aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi tersi doğru değildir.
• İşlev günlüğü (|P|) herhangi bir polinom için P bu aynı şekilde sıfır değildir: özellikle bu | için de geçerlidir.P(x)| = |x|.^[16]
• Eğer w bir Bir_∞ ağırlık, sonra giriş yapın (w) BMO'dur. Tersine, eğer f BMO ise e^δf bir Bir_∞ δ> 0 için ağırlık yeterince küçük: bu gerçek, John-Nirenberg Eşitsizliği.^[17]

Notlar

Referanslar