Sokhotski – Plemelj teoremi - Sokhotski–Plemelj theorem

Sokhotski – Plemelj teoremi (Lehçe yazım Sochocki) bir teorem içinde karmaşık analiz, belirli integrallerin değerlendirilmesine yardımcı olur. Bunun gerçek sürüm versiyonu (aşağıya bakınız ) genellikle fizikte kullanılır, ancak nadiren adıyla anılır. Teorem ismini almıştır Julian Sochocki, bunu 1868'de kim kanıtladı ve Josip Plemelj, onu çözümünün ana bileşeni olarak yeniden keşfeden Riemann-Hilbert problemi 1908'de.

Teoremin ifadesi

İzin Vermek C pürüzsüz ol kapalı basit eğri uçakta ve ${displaystyle varphi}$ bir analitik işlev açık C. Unutmayın ki Cauchy tipi integral

${displaystyle phi (z) = {frac {1} {2pi i}} int _ {C} {frac {varphi (zeta), dzeta} {zeta -z}},}$

herhangi biri için değerlendirilemez z eğri üzerinde C. Bununla birlikte, eğrinin içinde ve dışında, integral, gösterilecek olan analitik fonksiyonları üretir. ${displaystyle phi _ {i}}$ içeride C ve ${displaystyle phi _ {e}}$ dışarıda. Sokhotski – Plemelj formülleri, bu iki analitik fonksiyonun sınırlayıcı sınır değerlerini bir noktada ilişkilendirir z açık C ve Cauchy ana değeri ${displaystyle {mathcal {P}}}$ integralin:

${displaystyle lim _ {w oz} phi _ {i} (w) = {frac {1} {2pi i}} {mathcal {P}} int _ {C} {frac {varphi (zeta), dzeta} {zeta -z}} + {frac {1} {2}} varphi (z),}$

${displaystyle lim _ {w oz} phi _ {e} (w) = {frac {1} {2pi i}} {mathcal {P}} int _ {C} {frac {varphi (zeta), dzeta} {zeta -z}} - {frac {1} {2}} varphi (z).}$

Sonraki genellemeler, eğri üzerindeki düzgünlük gereksinimlerini gevşetir C ve işlev φ.

Gerçek hat versiyonu

Özellikle önemli olan gerçek çizgi üzerindeki integrallerin versiyonudur.

İzin Vermek f olmak karmaşık gerçek hatta tanımlanan ve sürekli olan değerli fonksiyon ve a ve b gerçek sabitler olmak ${displaystyle a <0$. Sonra

${displaystyle lim _ {varepsilon o 0 ^ {+}} int _ {a} ^ {b} {frac {f (x)} {xpm ivarepsilon}}, dx = mp ipi f (0) + {mathcal {P} } int _ {a} ^ {b} {frac {f (x)} {x}}, dx,}$

nerede ${displaystyle {mathcal {P}}}$ gösterir Cauchy ana değeri. (Bu sürümün analitikliği kullanmadığını unutmayın.)

Bunun özellikle önemli bir sonucu, çekerken elde edilir. f olarak Dirac delta işlevi:

${displaystyle lim _ {varepsilon o 0 ^ {+}} {frac {1} {xpm ivarepsilon}} = mp ipi delta (x) + {mathcal {P}} {{Büyük (} {frac {1} {x} }{Büyük )}}.}$

Gerçek versiyonun kanıtı

Basit bir kanıt aşağıdaki gibidir.

${displaystyle lim _ {varepsilon o 0 ^ {+}} int _ {a} ^ {b} {frac {f (x)} {xpm ivarepsilon}}, dx = mp ipi lim _ {varepsilon o 0 ^ {+} } int _ {a} ^ {b} {frac {varepsilon} {pi (x ^ {2} + varepsilon ^ {2})}} f (x), dx + lim _ {varepsilon o 0 ^ {+}} int _ {a} ^ {b} {frac {x ^ {2}} {x ^ {2} + varepsilon ^ {2}}}, {frac {f (x)} {x}}, dx.}$

İlk dönem için şunu not ediyoruz:^ε⁄_{π(x² + ε²)} bir yeni oluşan delta işlevi ve bu nedenle bir Dirac delta işlevi sınırda. Bu nedenle, ilk terim eşittir ∓benπ f(0).

İkinci dönem için, faktörün^x2⁄_{(x² + ε²)} yaklaşımlar 1 için |x| ≫ ε, | için 0'a yaklaşırx| ≪ ε ve tam olarak 0 civarında simetriktir. Bu nedenle, sınırda integrali a Cauchy ana değeri integral.

İçin formülün karmaşık versiyonunun basit kanıtı ve polidomainler için sürüm görmek: Mohammed, Alip (Şubat 2007). "Torusla ilgili Riemann sorunu". Matematiksel Analiz ve Uygulamalar Dergisi. 326 (1): 533–555. doi:10.1016 / j.jmaa.2006.03.011.

Fizik uygulaması

İçinde Kuantum mekaniği ve kuantum alan teorisi genellikle formun integrallerini değerlendirmek gerekir

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} dE, int _ {0} ^ {infty} dt, f (E) exp (-iEt)}$

nerede E biraz enerji ve t zamanı. Bu ifade, yazıldığı şekliyle tanımsızdır (çünkü zaman integrali yakınsamadığından), bu nedenle tipik olarak negatif bir gerçek katsayı eklenerek değiştirilir. t üstel olarak ve sonra sıfıra götürerek, yani:

${displaystyle lim _ {varepsilon o 0 ^ {+}} int _ {- infty} ^ {infty} dE, int _ {0} ^ {infty} dt, f (E) exp (-iEt-varepsilon t) = - ilim _ {varepsilon o 0 ^ {+}} int _ {- infty} ^ {infty} {frac {f (E)} {E-ivarepsilon}}, dE = pi f (0) -i {mathcal {P} } int _ {- infty} ^ {infty} {frac {f (E)} {E}}, dE,}$

burada ikinci adım teoremin gerçek versiyonunu kullanır.

Ayrıca bakınız

• Kapalı eğriler üzerinde tekil integral operatörler (Birim çember ve kapalı bir Jordan eğrisi için Sokhotski – Plemelj teoreminin hesabı)
• Kramers-Kronig ilişkileri
• Hilbert dönüşümü

Referanslar

Bu makale genel bir liste içerir Referanslar, ancak büyük ölçüde doğrulanmamış kalır çünkü yeterli karşılık gelmiyor satır içi alıntılar. Lütfen yardım edin geliştirmek bu makale tanıtım daha kesin alıntılar. (Eylül 2019) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

• Weinberg, Steven (1995). Alanların Kuantum Teorisi, Cilt 1: Temeller. Cambridge Üniv. Basın. ISBN  0-521-55001-7. Bölüm 3.1.
• Merzbacher Eugen (1998). Kuantum mekaniği. Wiley, John & Sons, Inc. ISBN  0-471-88702-1. Ek A, denklem (A.19).
• Henrici, Peter (1986). Uygulamalı ve Hesaplamalı Karmaşık Analiz, cilt. 3. Willey, John & Sons, Inc.
• Plemelj, Josip (1964). Riemann ve Klein anlamında sorunlar. New York: Interscience Publishers.
• Gakhov, F.D. (1990), Sınır değer problemleri. 1966 çevirisinin yeniden basımıDover Yayınları, ISBN  0-486-66275-6
• Muskhelishvili, N. I. (1949). Tekil integral denklemler, fonksiyon teorisinin sınır problemleri ve matematiksel fiziğe uygulamaları. Melbourne: Tedarik ve Geliştirme Departmanı, Havacılık Araştırma Laboratuvarları.
• Blanchard, Bruening: Mathematical Methods in Physics (Birkhauser 2003), Örnek 3.3.1 4
• Sokhotskii, Y. W. (1873). Seri genişletmelerde kullanılan belirli integraller ve fonksiyonlar hakkında. St. Petersburg.