Stone-von Neumann teoremi - Stone–von Neumann theorem

İçinde matematik ve teorik fizik, Stone-von Neumann teoremi herhangi bir dizi farklı formülasyondan herhangi biri benzersizlik of kanonik komütasyon ilişkileri arasında durum ve itme operatörler. Adı için Marshall Stone ve John von Neumann  (1931 ).[1][2][3][4]

Değişim ilişkilerinin temsil sorunları

İçinde Kuantum mekaniği, fiziksel gözlemlenebilirler matematiksel olarak temsil edilir doğrusal operatörler açık Hilbert uzayları.

Üzerinde hareket eden tek bir parçacık için gerçek çizgi iki önemli gözlemlenebilir öğe vardır: konum ve itme. Schrödinger temsilinde böyle bir parçacığın kuantum tanımında, pozisyon operatörü x ve momentum operatörü sırasıyla verilir

etki alanında Kompakt desteğin sonsuz türevlenebilir fonksiyonlarının . Varsaymak sabit olmak sıfır olmayan gerçek sayı - kuantum teorisinde ... azaltılmış Planck sabiti, eylem birimlerini taşıyan (enerji zamanlar zaman).

Operatörler , tatmin etmek kanonik komütasyon ilişkisi Yalan cebiri,

Zaten klasik kitabında,[5] Hermann Weyl bu komütasyon yasasının tatmin etmek imkansız doğrusal operatörler için p, x üzerinde hareket etmek sonlu boyutlu boşluklar yoksa kaybolur. Bu, iz ikinci denklemin her iki tarafında ve ilişkiyi kullanarak İz (AB) = İz (BA); sol taraf sıfır, sağ taraf sıfır değil. Daha fazla analiz[6] aslında, yukarıdaki komütasyon ilişkisini karşılayan herhangi iki kendine eş operatörün her ikisi olamayacağını gösterir. sınırlı. Gösterim kolaylığı için, sonsuz olmayan karekökü normalleşmesine absorbe edilebilir p ve x, böylece etkin bir şekilde 1 ile değiştirilir. Bu normalleşmeyi takip eden bölümde varsayıyoruz.

Stone-von Neumann teoremi fikri, kanonik komütasyon ilişkilerinin indirgenemez herhangi iki temsilinin birimsel olarak eşdeğer olmasıdır. Bununla birlikte, ilgili operatörler zorunlu olarak sınırsız olduklarından (yukarıda belirtildiği gibi), karşı örneklere izin veren zor alan sorunları vardır.[7] Kesin bir sonuç elde etmek için, operatörlerin Weyl ilişkileri olarak bilinen kanonik komütasyon ilişkilerinin üslü biçimini karşılaması gerekir. Üslü operatörler sınırlı ve üniterdir. Aşağıda belirtildiği gibi, bu ilişkiler biçimsel olarak standart kanonik komütasyon ilişkilerine eşdeğer olsa da, bu eşdeğerlik, (yine) operatörlerin sınırsız doğasından dolayı kesin değildir. (Ayrıca, sonlu boyutlu bir uzayda tutulabilen Weyl ilişkilerinin ayrık bir analoğu da vardır,[8] yani Sylvester 's saat ve kaydırma matrisleri sonlu Heisenberg grubunda, aşağıda tartışılmıştır.)

Temsilin benzersizliği

Kanonik komütasyon bağıntısının temsillerini, ayrılabilir Hilbert uzayları üzerinde hareket eden iki öz-eş operatör tarafından sınıflandırmak isteriz, üniter denkliğe kadar. Tarafından Stone teoremi kendi kendine eş operatörler ve (güçlü bir şekilde sürekli) tek parametreli üniter gruplar arasında bire bir yazışma vardır.

İzin Vermek Q ve P kanonik komütasyon ilişkisini tatmin eden iki kendine eş operatör olmak, [Q, P] = ben, ve s ve t iki gerçek parametre. Takdim etmek eitQ ve eisPkarşılık gelen üniter gruplar tarafından verilen fonksiyonel hesap. (Açık operatörler için x ve p yukarıda tanımlanan, bunlar ile çarpma tecrübe(itx) ve çeviri ile geri çekilme xx + s.) Resmi bir hesaplama[9] (özel bir durumu kullanarak Baker – Campbell – Hausdorff formülü ) kolayca verir

Tersine, iki tek parametreli üniter grup verildiğinde U(t) ve V(s) örgü ilişkisini tatmin etmek

   (E1)

0'da resmen farklılaşma, iki sonsuz küçük üreticinin yukarıdaki kanonik komütasyon ilişkisini sağladığını gösterir. Tek parametreli üniter gruplar için kanonik komütasyon ilişkilerinin (CCR) bu örgü formülasyonuna, CCR'nin Weyl formu.

Önceki türetmenin tamamen resmi olduğuna dikkat etmek önemlidir. İlgili operatörler sınırsız olduğundan, teknik sorunlar Baker – Campbell – Hausdorff formülünün ek alan varsayımları olmadan uygulanmasını engellemektedir. Aslında, kanonik komütasyon ilişkisini tatmin eden operatörler var, ancak Weyl ilişkilerini değil (E1).[10] Bununla birlikte, "iyi" durumlarda, kanonik komütasyon ilişkisini tatmin eden operatörlerin Weyl ilişkilerini de tatmin etmesini bekliyoruz.

Böylece sorun, ikiyi birlikte sınıflandırmak olur indirgenemez tek parametreli üniter gruplar U(t) ve V(s) Ayrılabilir Hilbert uzayları üzerindeki Weyl ilişkisini sağlayan. Cevap, içeriğidir. Stone-von Neumann teoremi: tek parametreli üniter grupların bu tür tüm çiftleri birimsel olarak eşdeğerdir.[11] Başka bir deyişle, böyle herhangi ikisi için U(t) ve V(s) bir Hilbert uzayında ortaklaşa indirgenemez şekilde hareket etmek Hüniter bir operatör var W : L2(R) → H Böylece

nerede p ve x daha önceki açık pozisyon ve momentum operatörleri. Ne zaman W dır-dir U bu denklemde x-temsil, açıktır ki P birimsel olarak eşdeğerdir eitQPeitQ = P + tve spektrumu P tüm gerçek çizgi boyunca değişmelidir. Analog argüman için geçerlidir Q.

Stone-von Neumann teoreminin basit bir uzantısı da vardır. n özgürlük derecesi.[12]

Tarihsel olarak, bu sonuç önemliydi, çünkü bunu kanıtlamada önemli bir adımdı. Heisenberg 's matris mekaniği Kuantum mekaniksel gözlemlenebilirleri ve dinamikleri sonsuz matrisler cinsinden sunan, birimsel olarak eşdeğerdir Schrödinger dalgalı mekanik formülasyonu (bkz. Schrödinger resmi ),

Temsil teorisi formülasyonu

Temsil teorisi açısından, Stone-von Neumann teoremi belirli üniter temsillerini sınıflandırır. Heisenberg grubu. Bu daha ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Heisenberg grup bölümü, altında.

Heisenberg grubunun her temsili, belli teknik varsayımlarla gayri resmi olarak ifade edilmiştir. H2n + 1 konum operatörlerine ve momentum operatörlerine eşdeğerdir Rn. Alternatif olarak, hepsinin eşdeğer olduğunu Weyl cebiri (veya CCR cebiri ) semplektik bir boyut alanında 2n.

Daha resmi olarak, bir benzersiz (ölçeğe kadar) önemsiz olmayan merkezi kuvvetle sürekli üniter temsil.

Bu daha sonra tarafından genelleştirildi Mackey teorisi - ve Heisenberg grubunun kuantum fiziğine girmesinin motivasyonuydu.

Detayda:

  • Sürekli Heisenberg grubu bir merkezi uzantı değişmeli Lie grubunun R2n kopyası ile R,
  • karşılık gelen Heisenberg cebiri, değişmeli Lie cebirinin merkezi bir uzantısıdır R2n (ile önemsiz parantez ) bir kopyası ile R,
  • ayrık Heisenberg grubu, serbest değişmeli grubun merkezi bir uzantısıdır Z2n kopyası ile Z, ve
  • ayrık Heisenberg grup modülo p serbest değişmeliğin merkezi bir uzantısıdır p-grup (Z/pZ)2n kopyası ile Z/pZ.

Her durumda, birinin temsili varsa H2n + 1Bir, nerede Bir bir cebir[açıklama gerekli ] ve merkez sıfıra eşler, sonra basitçe karşılık gelen değişmeli grup veya cebirin bir temsiline sahip olur, Fourier teorisi.[açıklama gerekli ]

Merkez sıfırla eşleşmiyorsa, daha ilginç bir teori vardır, özellikle de kendini merkezi temsiller.

Somut olarak, merkezi bir temsille, Heisenberg grubunun merkezinin, cebirin merkezi: örneğin, bir Hilbert uzayında operatörler tarafından matris temsillerini veya temsillerini inceliyorsanız, matris cebirinin veya operatör cebirinin merkezi, skaler matrisler. Böylece, Heisenberg grubunun merkezinin temsili, bir ölçek değeri tarafından belirlenir. niceleme değeri (fizik açısından, Planck sabiti) ve bu sıfıra giderse, değişmeli grubun bir temsilini alır (fizik açısından, bu klasik sınırdır).

Daha resmi olarak, grup cebiri Heisenberg grubunun alanı üzerinde skaler K, yazılı K[H], merkezi var K[R], yani grup cebirini alan üzerinde bir cebir olarak düşünmek yerine Kdeğişmeli cebire göre bir cebir olarak düşünülebilir K[R]. Bir matris cebirinin veya operatör cebirinin merkezi skaler matrisler olduğundan, K[R]matris cebirindeki yapı, bir skaler matris seçimidir - bir ölçek seçimi. Böyle bir ölçek seçimi verildiğinde, Heisenberg grubunun merkezi bir temsili, K[R]-algebralar K[H] → Birmerkezi seçilen bir ölçeğe gönderdiğini söylemenin resmi yolu budur.

O halde Stone-von Neumann teoremi, standart kuantum mekanik ölçek (etkin olarak, ħ değeri) verildiğinde, her güçlü sürekli üniter gösterimin, konum ve momentum ile standart gösterime birimsel olarak eşdeğer olmasıdır.

Fourier dönüşümü aracılığıyla yeniden formülasyon

İzin Vermek G yerel olarak kompakt bir değişmeli grup olmak ve G^ ol Pontryagin ikili nın-nin G. Fourier-Plancherel dönüşümü tarafından tanımlandı

bir C * izomorfizmine uzanır grup C * -algebra C * (G) nın-nin G ve C0(G^)yani spektrum nın-nin C * (G) tam olarak G^. Ne zaman G gerçek çizgi R, bu Stone'un bir parametreli üniter grupları karakterize eden teoremidir. Stone-von Neumann teoremi de benzer bir dil kullanılarak yeniden ifade edilebilir.

Grup G üzerinde hareket eder C*-cebir C0(G) doğru çeviri ile ρ: için s içinde G ve f içinde C0(G),

Yukarıda verilen izomorfizm altında, bu eylemin doğal eylemi haline gelir. G açık C * (G^):

Yani, karşılık gelen bir kovaryant gösterim C*-çapraz ürün

üniter bir temsildir U(s) nın-nin G ve V(γ) nın-nin G^ öyle ki

Kovaryant temsillerin, karşılık gelen çapraz ürünün * temsiliyle bire bir yazışmaları olduğu genel bir gerçektir. Öte yandan, hepsi indirgenemez temsiller nın-nin

birimsel olarak eşdeğerdir , kompakt operatörler açık L2(G)). Bu nedenle, tüm çiftler {U(s), V(γ)} birimsel eşdeğerdir. Nerede uzmanlaşır G = R Stone-von Neumann teoremini verir.

Heisenberg grubu

Yukarıdaki kanonik komütasyon ilişkileri P, Q belirleyen komütasyon ilişkileriyle aynıdır Lie cebiri generalin Heisenberg grubu H2n + 1 için n pozitif bir tam sayı. Bu Lie grubu nın-nin (n + 2) × (n + 2) formun kare matrisleri

Aslında, Heisenberg grubu kullanılarak, Stone von Neumann teoremi temsil teorisi dilinde yeniden formüle edilebilir.

Merkezinin H2n + 1 matrislerden oluşur M (0, 0,c). Ancak bu merkez değil kimlik operatörü Heisenberg'in orijinal CCR'lerinde. Heisenberg grubu Lie cebir oluşturucuları, ör. için n = 1, vardır

ve merkezi jeneratör z = günlük M(0, 0, 1) = exp (z) − 1 kimlik değil.

Teorem. Sıfır olmayan her gerçek sayı için h bir indirgenemez temsil Uh Hilbert uzayında hareket etmek L2 (Rn) tarafından

Tüm bu temsiller birimsel eşitsiz; ve merkezinde önemsiz olmayan herhangi bir indirgenemez temsil Hn tam olarak bunlardan birine birimsel olarak eşdeğerdir.

Bunu not et Uh üniter bir operatördür, çünkü kolayca üniter olduğu görülen iki operatörün bileşimidir: ayrıldı tarafından Ha ve bir fonksiyonla çarpma mutlak değer 1. göstermek Uh çarpımsaldır, basit bir hesaplamadır. Teoremin zor kısmı, benzersizliği göstermektir; yine de bu iddia, yukarıda belirtildiği gibi Stone-von Neumann teoreminden kolaylıkla çıkar. Kesin olarak karşılık gelen Stone-von Neumann teoreminin bir kanıtını aşağıda çizeceğiz. sonlu Heisenberg grupları.

Özellikle, indirgenemez temsiller π, π ′ Heisenberg grubunun Hn merkezinde önemsiz olmayan Hn birimsel eşdeğerdir ancak ve ancak π(z) = π ′(z) herhangi z merkezinde Hn.

Heisenberg grubunun bir temsili sayı teorisi ve teorisi modüler formlar ... teta gösterimi, çünkü adlandırılmış Jacobi teta işlevi Heisenberg grubunun ayrık alt grubunun eylemi altında değişmez.

Fourier dönüşümü ile ilişki

Sıfır olmayanlar için h, eşleme

bir otomorfizm nın-nin Hn merkezindeki kimlik hangisidir Hn. Özellikle temsiller Uh ve Uhα birimsel eşdeğerdir. Bu, üniter bir operatör olduğu anlamına gelir W açık L2(Rn) öyle ki, herhangi biri için g içinde Hn,

Üstelik temsillerin indirgenemezliği ile Uhbunu takip eder skalere kadar böyle bir operatör W benzersizdir (cf. Schur lemması ). Dan beri W üniterdir, bu skaler kat benzersiz olarak belirlenir ve dolayısıyla böyle bir operatör W benzersiz.

Teoremi. Operatör W ... Fourier dönüşümü açık L2(Rn).

Bu, faktörünü göz ardı ederek (2π)n/2 Fourier dönüşümünün tanımında,

Bu teorem, Fourier dönüşümünün şu anki sonucuna sahiptir. üniter olarak da bilinir Plancherel teoremi. Dahası,

Teoremi. Operatör W1 öyle ki

yansıma operatörü

Bu gerçekten Fourier ters çevirme formülü kolayca takip eder.

Örnek: Segal – Bargmann uzayı

Segal – Bargmann uzayı holomorfik fonksiyonların uzayıdır Cn bir Gauss ölçüsüne göre kare integral alabilir. Fock 1920'lerde operatörlerin

holomorfik işlevler üzerinde hareket ederek, olağan imha ve yaratma operatörleri ile aynı komutasyon ilişkilerini sağlar, yani,

1961'de Bargmann bunu gösterdi a
j
aslında ekidir aj Gauss ölçüsünden gelen iç ürüne göre. Uygun doğrusal kombinasyonlarını alarak aj ve a
j
daha sonra kanonik komütasyon ilişkilerini tatmin eden "konum" ve "momentum" operatörleri elde edilebilir. Bu operatörlerin üstellerinin Weyl ilişkilerini sağladığını ve üslü operatörlerin indirgenemez şekilde davrandığını göstermek zor değildir.[13] Stone-von Neumann teoremi bu nedenle geçerlidir ve tek bir haritanın varlığını ima eder. L2(Rn) olağan imha ve yaratma operatörlerini operatörlerle iç içe geçiren Segal-Bargmann alanına aj ve a
j
. Bu üniter harita, Segal-Bargmann dönüşümü.

Sonlu Heisenberg gruplarının temsilleri

Heisenberg grubu Hn(K) herhangi bir değişmeli halka için tanımlanmıştır K. Bu bölümde alanda uzmanlaşalım K = Z/pZ için p bir asal. Bu alan, bir katıştırma özelliğine sahiptir ω nın-nin K olarak katkı grubu çevre grubuna T. Bunu not et Hn(K) ile sonlu kardinalite |K|2n + 1. Sonlu Heisenberg grubu için Hn(K) basit özellikleri kullanılarak Stone-von Neumann teoreminin basit bir ispatı verilebilir. karakter fonksiyonları temsillerin. Bu özellikler, ortogonalite ilişkileri sonlu grupların temsillerinin karakterleri için.

Sıfır olmayanlar için h içinde K temsili tanımla Uh sonlu boyutlu iç çarpım alanı 2(Kn) tarafından

Teorem. Sabit sıfır olmayan hkarakter işlevi χ nın-nin Uh tarafından verilir:

Bunu takip eder

Sonlu grupların temsillerinin karakterleri için diklik ilişkileri ile bu gerçek, Heisenberg grupları için karşılık gelen Stone-von Neumann teoremini ifade eder. Hn(Z/pZ), özellikle:

  • İndirgenemezlik Uh
  • Tüm temsillerin ikili eşitsizliği Uh.

Aslında, tüm indirgenemez temsilleri Hn(K) Merkezin üzerinde hareket ettiği şey bu şekilde ortaya çıkar.[14]

Genellemeler

Stone-von Neumann teoremi çok sayıda genellemeyi kabul eder. Erken dönem çalışmalarının çoğu George Mackey bir formülasyon elde etmeye yönelikti[15] teorisinin indüklenmiş temsiller aslen tarafından geliştirildi Frobenius sonlu gruplar için yerel olarak kompakt topolojik grupların üniter temsilleri bağlamında.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ von Neumann, J. (1931), "Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren", Mathematische Annalen, Springer Berlin / Heidelberg, 104: 570–578, doi:10.1007 / BF01457956, ISSN  0025-5831
  2. ^ von Neumann, J. (1932), "Ueber Einen Satz Von Herrn M. H. Stone", Matematik Yıllıkları, İkinci Seri (Almanca), Matematik Annals of Mathematics, 33 (3): 567–573, doi:10.2307/1968535, ISSN  0003-486X, JSTOR  1968535
  3. ^ Stone, M. H. (1930), "Hilbert Uzayında Doğrusal Dönüşümler. III. İşlemsel Yöntemler ve Grup Teorisi", Amerika Birleşik Devletleri Ulusal Bilimler Akademisi Bildirileri Ulusal Bilimler Akademisi, 16 (2): 172–175, Bibcode:1930PNAS ... 16..172S, doi:10.1073 / pnas.16.2.172, ISSN  0027-8424, JSTOR  85485, PMC  1075964, PMID  16587545
  4. ^ Taş, M.H. (1932), "Hilbert Uzayında tek parametreli üniter gruplar hakkında", Matematik Yıllıkları, 33 (3): 643–648, doi:10.2307/1968538, JSTOR  1968538
  5. ^ Weyl, H. (1927), "Quantenmechanik und Gruppentheorie", Zeitschrift für Physik, 46 (1927) s. 1–46, doi:10.1007 / BF02055756; Weyl, H., Gruplar Teorisi ve Kuantum MekaniğiDover Yayınları, 1950, ISBN  978-1-163-18343-4.
  6. ^ Not [xn, p] = bennxn − 1dolayısıyla 2||p|| ||x||nn ℏ ||x||n − 1, Böylece, n: 2||p|| ||x|| ≥ n.
  7. ^ Salon 2013 Örnek 14.5
  8. ^ Salon 2013 Bölüm 14, Alıştırma 5
  9. ^ Salon 2013 Bölüm 14.2
  10. ^ Salon 2013 Örnek 14.5
  11. ^ Salon 2013 Teorem 14.8
  12. ^ Salon 2013 Teorem 14.8
  13. ^ Salon 2013 Bölüm 14.4
  14. ^ Salon 2013 Bölüm 14, Alıştırma 5
  15. ^ Mackey, G.W. (1976). Üniter Grup Temsilleri Teorisi, Chicago Press Üniversitesi, 1976.